Une suite arithmético-géométrique apparaît dès qu’un énoncé vous donne une itération du type \(u_{n+1}=a u_n+b\), pour tout entier naturel n. C’est un classique au lycée et un outil très utile en prépa : on peut en déduire une forme explicite, une valeur d’équilibre, un seuil (à partir de quel rang la suite dépasse une valeur), et parfois une somme.
L’objectif ici est de vous donner un raisonnement en mathématiques fiable, en quelques points, avec des repères mathématiques simples (et, si vous le souhaitez, un mini code de vérification pour contrôler une valeur numérique).
L’idée premium (et la plus rentable en contrôle) tient en une phrase : on “enlève le point fixe” pour se ramener à une suite à quotient constant. On obtient alors une fonction exponentielle de n, ce qui rend les calculs très rapides.
Ressources utiles pour éviter la cannibalisation :
- Pour revoir les notions de base (variation, écriture explicite) : Notions sur la suite à quotient constant.
- Pour la démonstration complète et tous les cas de somme : Page dédiée : somme à quotient constant.
- Pour s’entraîner (indispensable, car la méthode SAG y ramène) : fiche PDF d’exercices corrigés.
- Cas particulier \(a=1\) : on retombe sur un pas constant (rappel ici) : Rappel sur la suite à pas constant.
Comprendre et reconnaître une suite arithmético-géométrique
Notion clé (forme standard) et cas particuliers
Notion. Une suite \((u_n)\) est dite arithmético-géométrique si elle vérifie une relation de passage de la forme \(u_{n+1}=a u_n+b\), où \(a\) et \(b\) sont des constantes.
Les cas particuliers à repérer immédiatement :
- Si \(b=0\), alors \((u_n)\) est une suite à quotient constant.
- Si \(a=1\), alors \((u_n)\) est à pas constant.
Comment l’identifier dans un énoncé
En pratique, vous la reconnaissez dès que :
- on vous donne une relation affine de passage : \(u_{n+1}=a u_n+b\) ;
- ou une écriture équivalente : \(u_{n+1}-a u_n=b\) ;
- ou un modèle “intérêt + versement constant” : \(C_{n+1}=(1+i)C_n+v\).
Ne pas confondre : pas constant, quotient constant, arithmético-géométrique
| Catégorie | Signature (passage) | Réflexe |
|---|---|---|
| À pas constant | \(u_{n+1}=u_n+r\) | Différence constante |
| À quotient constant | \(u_{n+1}=q u_n\) | Quotient constant |
| Arithmético-géométrique | \(u_{n+1}=a u_n+b\) | Enlever le point fixe → quotient constant |
Piège classique. Beaucoup d’élèves appliquent directement une “recette” sans vérifier si on est dans un cas simple. Avant toute manipulation, testez mentalement : \(b=0\) ? \(a=1\) ?
Méthode premium n°1 : point fixe + translation (réflexe concours)
Cette méthode est celle qu’on attend le plus souvent : elle donne une solution propre, courte, et réduit fortement les erreurs d’indices. On suppose ici \(a\neq1\) (le cas \(a=1\) est traité plus bas).
Trouver le point fixe
On cherche une constante \(\ell\) telle que si \(u_n=\ell\), alors \(u_{n+1}=\ell\). Autrement dit, \(\ell\) vérifie l’équation : \(\ell=a\ell+b\).
Point fixe. Si \(a\neq1\), alors \(\ell=\frac{b}{1-a}\).
Définir la suite auxiliaire et montrer le quotient constant
On pose la suite auxiliaire : \(v_n=u_n-\ell\). Alors :
- \(v_{n+1}=u_{n+1}-\ell\)
- et comme \(u_{n+1}=a u_n+b\) et \(\ell=a\ell+b\), on obtient :
\(v_{n+1}=a u_n+b-(a\ell+b)=a(u_n-\ell)=a v_n\).
Donc \((v_n)\) est une suite à quotient constant de facteur \(a\).
Revenir à la suite initiale : rédaction “propre”
Rédaction en 4 points (très efficace en contrôle).
- Point 1 : Calculer le point fixe \(\ell=\frac{b}{1-a}\).
- Point 2 : Poser \(v_n=u_n-\ell\).
- Point 3 : Montrer que \(v_{n+1}=a v_n\) : donc \(v_n=v_0 a^n\).
- Point 4 : Conclure : \(u_n=\ell+v_n=\ell+(u_0-\ell)a^n\).
Repère en mathématiques : on a transformé \((u_n)\) en une fonction exponentielle de n via \(a^n\).
Formule explicite et terme général d’une suite arithmético-géométrique (indices propres)
Formule si l’énoncé donne le premier terme \(u_0\)
Avec la méthode précédente, on obtient immédiatement :
Si \(a\neq1\) et \(\ell=\frac{b}{1-a}\), alors \(u_n=\ell+(u_0-\ell)a^n\).
Forme développée (utile si vous voulez éviter \(\ell\)) : \(u_n=a^n u_0 + b\frac{1-a^n}{1-a}\).
Variante si l’énoncé donne \(u_1\) (attention à l’indice)
Si l’énoncé démarre à \(u_1\), adaptez l’exposant :
\(u_n=\ell+(u_1-\ell)a^{n-1}\).
Piège d’indice. Beaucoup d’erreurs viennent d’un décalage entre \(u_0\) et \(u_1\). Prenez 10 secondes pour vérifier l’exposant sur une valeur-test (par exemple \(n=1\)) : c’est un réflexe simple, mais très rentable.
Cas \(a=1\) : on retombe sur une suite arithmétique
Si \(a=1\), la relation devient \(u_{n+1}=u_n+b\) : on est dans le cas à pas constant, donc \(u_n=u_0+n b\).
Pour un rappel utile sur ce cas \(a=1\), consultez : Rappel sur la suite à pas constant.
Le passage clé : somme géométrique (démonstration \(qS-S\))
La méthode “point fixe + translation” ramène à une suite à quotient constant. Il est donc utile de maîtriser la somme des puissances \(1+q+\cdots+q^n\), au moins sous une forme courte (la version complète est sur la page dédiée).
Démonstration attendue : \(1+q+\cdots+q^n\) via \(qS-S\)
On pose \(S=1+q+q^2+\cdots+q^n\). Alors :
- \(qS=q+q^2+\cdots+q^{n+1}\)
- en soustrayant : \(qS-S=q^{n+1}-1\)
Donc, si \(q\neq1\) : \(S=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\).
Pour tous les cas (dont \(q=1\), et les sommes entre deux indices), voir : page dédiée à la somme.
Les 3 écritures à maîtriser (+ lien avec \(\Sigma\))
- Somme de puissances : \(1+q+\cdots+q^n\).
- Somme de valeurs d’une suite à quotient constant : si \(u_k=u_0 q^k\), alors \(u_0+u_1+\cdots+u_n=u_0(1+q+\cdots+q^n)\).
- Somme entre deux indices : \(u_m+\cdots+u_n\) (on factorise souvent par \(u_m\)).
Notation compacte (souvent en prépa) : \(\sum_{k=0}^{n} u_k\) pour \(u_0+\cdots+u_n\), et \(\sum_{k=m}^{n} u_k\) pour \(u_m+\cdots+u_n\).
Bloc anti-erreurs (à relire avant de rendre une copie).
- \(n\) vs \(n+1\) éléments : de \(u_0\) à \(u_n\), il y a \(n+1\) éléments.
- Somme de \(u_m\) à \(u_n\) : nombre d’éléments = \(n-m+1\).
- Valeur initiale : vérifiez si l’énoncé commence à \(u_0\) ou \(u_1\).
- Cas \(q=1\) : la somme devient simplement “nombre d’éléments × valeur initiale”.
- Conseil pratique : relisez les indices et le comptage des éléments avant de conclure.
Somme d’une suite arithmético-géométrique (si demandée)
On rencontre parfois une question du genre : calculer \(S_n=u_0+u_1+\cdots+u_n\) quand \(u_{n+1}=a u_n+b\). L’idée est simple : comme \(u_n=\ell+(u_0-\ell)a^n\), on somme séparément une valeur constante et une somme de puissances.
Somme \(S_n=u_0+\cdots+u_n\) (cas \(a\neq1\))
On pose : \(S_n=\sum_{k=0}^{n} \left(\ell+(u_0-\ell)a^k\right)\).
Donc :
Si \(a\neq1\), alors \(S_n=(n+1)\ell+(u_0-\ell)\frac{1-a^{n+1}}{1-a}\).
Somme entre deux indices : \(u_m+\cdots+u_n\)
Même principe : il y a \(n-m+1\) éléments constants, et une somme de puissances qui démarre à la puissance \(m\). Vous pouvez poser (sans apprendre par cœur) :
\(\sum_{k=m}^{n} a^k=a^m\sum_{j=0}^{n-m} a^j\).
Trouver le nombre de termes / retrouver un rang (option “log”)
Une question fréquente : “à partir de quel rang \(u_n\) dépasse une valeur ?”. Quand \(a\) est positif et \(a\neq1\), on part de : \(u_n=\ell+(u_0-\ell)a^n\), puis on isole \(a^n\).
Méthode rapide (si vous devez isoler \(n\)).
- Écrire \(a^n=\frac{u_n-\ell}{u_0-\ell}\) (ou une inégalité analogue), puis vérifier les indices.
- Prendre le logarithme : \(n\ln(a)=\ln\left(\frac{u_n-\ell}{u_0-\ell}\right)\) (on utilise ici la fonction logarithme).
- Conclure : \(n=\frac{\ln\left(\frac{u_n-\ell}{u_0-\ell}\right)}{\ln(a)}\).
Exemples guidés (5 à 10) : du niveau lycée à prépa
Les exemples ci-dessous sont volontairement très guidés (qualité “cours particulier”) : l’objectif est de vous donner les bons automatismes, sans transformer cette page en banque d’exercices.
Exemple 1 — Trouver la formule explicite.
On définit \((u_n)\) par \(u_{n+1}=2u_n+3\) et \(u_0=1\). Déterminer \(u_n\).
Solution.
Point fixe : \(\ell=\frac{3}{1-2}=-3\). Posons \(v_n=u_n-\ell=u_n+3\). Alors \(v_{n+1}=u_{n+1}+3=2u_n+6=2(u_n+3)=2v_n\). Donc \(v_n=v_0 2^n\) avec \(v_0=u_0+3=4\).
Ainsi \(u_n=v_n-3=4\cdot 2^n-3\).
Exemple 2 — Calculer une valeur \(u_n\) rapidement.
\(u_{n+1}=1.2\,u_n-5\), \(u_0=20\). Calculer \(u_6\).
Solution.
\(\ell=\frac{-5}{1-1.2}=25\), donc \(u_n=25+(20-25)(1.2)^n=25-5(1.2)^n\). Ainsi \(u_6=25-5(1.2)^6\) (valeur numérique ≈ 10.07).
Exemple 3 — Trouver un rang (seuil) avec un calcul propre.
\(u_{n+1}=1.05\,u_n+3\), \(u_0=0\). À partir de quel rang a-t-on \(u_n\) > 100 ?
Solution.
\(\ell=\frac{3}{1-1.05}=-60\), donc \(u_n=-60+(0+60)(1.05)^n=60\left((1.05)^n-1\right)\).
On veut \(u_n\) > 100, soit \(60\left((1.05)^n-1\right)\) > 100, donc \((1.05)^n\) > \(\frac{8}{3}\).
Donc \(n\) > \(\frac{\ln(8/3)}{\ln(1.05)}\) (on prend ensuite l’entier juste au-dessus).
Exemple 4 — Suite contractante : expression et valeur d’arrivée.
\(u_{n+1}=0.8\,u_n+2\), \(u_0=0\). Déterminer \(u_n\) et la valeur vers laquelle la suite se stabilise.
Solution.
\(\ell=\frac{2}{1-0.8}=10\), donc \(u_n=10+(0-10)(0.8)^n=10\left(1-(0.8)^n\right)\).
Comme \(|0.8|\) < 1, on a \((0.8)^n\) → 0, donc \(u_n\) → 10.
Exemple 5 — Cas \(a\) négatif : oscillations et valeur d’arrivée.
\(u_{n+1}=-0.5\,u_n+3\), \(u_0=0\). Déterminer la valeur d’arrivée.
Solution.
\(\ell=\frac{3}{1-(-0.5)}=\frac{3}{1.5}=2\), donc \(u_n=2+(0-2)(-0.5)^n=2-2(-0.5)^n\).
Comme \(|-0.5|\) < 1, la suite se stabilise vers 2, mais elle oscille (le signe change).
Exemple 6 — Somme des \(n+1\) premiers éléments.
Pour la suite de l’exemple 1, \(u_n=4\cdot 2^n-3\). Calculer \(S_n=\sum_{k=0}^{n} u_k\).
Solution.
\(S_n=\sum_{k=0}^{n} (4\cdot 2^k-3)=4\sum_{k=0}^{n}2^k-3(n+1)\). Or \(\sum_{k=0}^{n}2^k=2^{n+1}-1\).
Donc \(S_n=4(2^{n+1}-1)-3(n+1)=4\cdot 2^{n+1}-3n-7\).
Exemple 7 — Cas \(a=1\) : retour au pas constant.
\(u_{n+1}=u_n-4\), \(u_0=10\). Déterminer \(u_n\).
Solution.
Ici \(a=1\) : c’est un pas constant de valeur \(-4\), donc \(u_n=10-4n\).
Pour s’entraîner sur ce cas : rappel sur le pas constant.
Pour renforcer vos automatismes : une grande partie de la méthode SAG consiste à manipuler une somme de puissances (suite auxiliaire, indices, calculs sur \(a^n\)). Vous pouvez consolider cela avec :
- la page de référence sur le quotient constant,
- la page dédiée à la somme,
- la fiche PDF d’exercices corrigés.
Option : pour vérifier une valeur numérique, vous pouvez écrire un court code (Python) et comparer avec vos calculs.
Applications “réelles” : intérêts composés + versement constant
Les suites arithmético-géométriques sont très présentes dans les modèles financiers : ce sont des cas réels où l’on suit une valeur qui évolue avec un pourcentage (multiplication) et un ajout fixe. On retrouve naturellement une fonction exponentielle (les puissances de \(1+i\)).
Voici deux problèmes réels, corrigés proprement.
Problème réel 1 — Épargne avec intérêts + versement mensuel.
Chaque mois, on place 100€ sur un compte rémunéré à 1% par mois. On note \(C_n\) le capital (en euros) juste après le \(n\)-ème versement, avec \(C_0=0\). On a : \(C_{n+1}=1.01\,C_n+100\). Exprimer \(C_n\).
Solution.
Point fixe : \(\ell=\frac{100}{1-1.01}=-10000\). Posons \(v_n=C_n-\ell=C_n+10000\). Alors \(v_{n+1}=1.01\,v_n\), donc \(v_n=v_0(1.01)^n\) avec \(v_0=10000\).
Ainsi \(C_n=v_n-10000=10000\left((1.01)^n-1\right)\).
Problème réel 2 — Crédit : intérêts + remboursement constant.
Une dette suit la récurrence \(D_{n+1}=1.02\,D_n-150\) avec \(D_0=5000\). Interprétation : 2% d’intérêt mensuel puis remboursement de 150€. Donner \(D_n\) et estimer en combien de mois la dette est remboursée.
Solution.
\(\ell=\frac{-150}{1-1.02}=7500\), donc \(D_n=7500+(5000-7500)(1.02)^n=7500-2500(1.02)^n\).
La dette est remboursée quand \(D_n\) devient < 0, soit \(7500-2500(1.02)^n\) < 0, donc \((1.02)^n\) > \(3\). Ainsi \(n\) > \(\frac{\ln(3)}{\ln(1.02)}\) (environ 56 mois).
Bonus rapide : quand la suite converge (si \(|a|\) < 1)
Si \(|a|\) < 1 : la suite converge vers le point fixe
Avec \(u_n=\ell+(u_0-\ell)a^n\), si \(|a|\) < 1 alors \(a^n\) → 0, donc \(u_n\) → \(\ell\). La valeur se stabilise vers le point fixe.
Si \(|a|\) > 1 : divergence (sauf cas stable)
Si \(|a|\) > 1, alors \(a^n\) grandit en valeur absolue : sauf si \(u_0=\ell\), la suite s’éloigne (et peut osciller si \(a\) est négatif).
Option : somme infinie (rappel utile)
Pour une suite à quotient constant de raison \(q\), si \(|q|\) < 1, la somme infinie \(\sum_{k=0}^{\infty} q^k\) vaut \(\frac{1}{1-q}\).
Pour une présentation complète (cas, méthodes, pièges), voir : page dédiée à la somme.
FAQ — Suite arithmético-géométrique
Qu’est-ce qu’une suite arithmético-géométrique ?
C’est une suite \((u_n)\) définie par un passage affine : \(u_{n+1}=a u_n+b\). Elle mélange une partie “multiplicative” (via \(a\)) et une partie “additive” (via \(b\)).
Quelle est la méthode la plus rapide pour la résoudre ?
Le réflexe est : calculer le point fixe \(\ell=\frac{b}{1-a}\) (si \(a\neq1\)), puis poser \(v_n=u_n-\ell\). On obtient \(v_{n+1}=a v_n\) donc une suite à quotient constant.
Quelle est la forme explicite de \(u_n\) ?
Si \(a\neq1\) et \(\ell=\frac{b}{1-a}\), alors \(u_n=\ell+(u_0-\ell)a^n\). Une forme équivalente est : \(u_n=a^n u_0+b\frac{1-a^n}{1-a}\).
Que faire si \(a=1\) ?
Alors \(u_{n+1}=u_n+b\) : on retombe sur le pas constant. Vous trouverez un rappel ici : Rappel sur la suite à pas constant.
Comment trouver le rang \(n\) (seuil) quand \(u_n\) est donné ?
On part de \(u_n=\ell+(u_0-\ell)a^n\) et on isole \(a^n\). Ensuite, on utilise un logarithme : \(n=\frac{\ln\left(\frac{u_n-\ell}{u_0-\ell}\right)}{\ln(a)}\) (en adaptant si on a une inégalité).
La suite peut-elle se stabiliser ?
Oui si \(|a|\) < 1 : dans ce cas, \(u_n\) se stabilise vers le point fixe \(\ell\). Si \(|a|\) > 1, la suite diverge (sauf si elle est exactement au point fixe dès le départ).
Où s’entraîner efficacement ?
La méthode SAG ramène à une suite à quotient constant (suite auxiliaire, somme, puissances). Pour renforcer vos automatismes : page de référence sur le quotient constant, page dédiée à la somme, et la fiche PDF d’exercices corrigés.
Besoin d’un accompagnement personnalisé ?
Les suites arithmético-géométriques sont souvent un point de bascule : une bonne méthode fait gagner beaucoup de points, mais une erreur d’indice peut coûter cher. Si vous voulez un plan de progression clair en mathématiques (lycée ou Prépa), vous pouvez nous contacter ici : réserver un cours particulier avec Excellence Maths.
