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L’épreuve de Mathématiques 2 Approfondies ESCP/HEC ECG 2026 (code sujet 283), d’une durée de 4 heures et sans calculatrice, propose un problème unique et cohérent autour de la théorie des copules et du théorème de Sklar. Structuré en trois grandes parties précédées de préliminaires, le sujet part des propriétés élémentaires des fonctions de répartition de couple pour aboutir à la construction et l’étude de familles de copules concrètes (Gumbel, Gumbel-Barnett). La difficulté est progressive mais les dernières questions exigent une maîtrise technique solide. Sujet exigeant et long (36 questions), réservant l’excellence aux candidats les mieux préparés en probabilités continues.
| Partie du sujet | Thème | Niveau | Notions mobilisées |
|---|---|---|---|
| Préliminaires (Q1-2) | Bijections et CDF dans \(\mathcal{F}_{(a,b)}\) | Accessible | TVI, bijection, densité de probabilité |
| Partie I — Propriétés (Q3-8) | Bornes de Fréchet-Hoeffding | Accessible | Fonction de répartition de couple, limites, événements |
| Partie I — Exemple 1 (Q9-12) | Comonotonie | Élevé | Loi uniforme, convergence p.s., Python |
| Partie I — Exemple 2 (Q13-17) | Contra-monotonie | Élevé | Loi uniforme, fonctions décroissantes, Python |
| Partie II (Q18-26) | Fonctions 2-croissantes et copules | Élevé | Dérivées partielles croisées, intégrales doubles, continuité lipschitzienne |
| Partie III (Q27-36) | Théorème de Sklar, Gumbel, Gumbel-Barnett | Très élevé | Copules, fonctions réciproques, études de variations, densités |
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Structure et thèmes du sujet
Le sujet s’articule autour d’un fil conducteur unique : comprendre comment la dépendance entre deux variables aléatoires réelles est encodée par une fonction appelée copule.
Préliminaires (Q1-2)
On introduit l’ensemble \(\mathcal{F}_{(a,b)}\) des fonctions continues, croissantes sur \(\mathbb{R}\), à valeurs dans \([0,1]\), de classe \(C^1\) et strictement croissantes sur \(]a,b[\), de limite nulle en \(a\) et de limite 1 en \(b\). La question 1 demande de montrer que la restriction à \(]a,b[\) est une bijection sur \(]0,1[\). La question 2 vérifie que la fonction de répartition d’une variable à densité strictement positive sur \(]a,b[\) appartient bien à \(\mathcal{F}_{(a,b)}\).
Partie I — Fonction de répartition d’un couple (Q3-17)
Les questions 3 à 8 établissent les propriétés fondamentales de la fonction de répartition jointe \(F_{(X,Y)}\) : comportements aux limites, reconstruction des marginales, propriété de 2-croissance, et enfin les célèbres bornes de Fréchet-Hoeffding :
\(\max(F_X(x) + F_Y(y) – 1, 0) \leq F_{(X,Y)}(x,y) \leq \min(F_X(x), F_Y(y))\)
Les questions 9 à 12 explorent le cas comonotone (borne supérieure atteinte : \(F_{(X,Y)} = \min(F_1, F_2)\)), où l’on montre que \(U = V\) p.s. et qu’il existe une relation fonctionnelle croissante entre \(X\) et \(Y\). La question 12 demande un programme Python pour simuler ce cas.
Les questions 13 à 17 traitent le cas contra-monotone (borne inférieure atteinte : \(F_{(X,Y)} = \max(F_1 + F_2 – 1, 0)\)), avec \(U = 1 – V\) p.s. et une relation fonctionnelle décroissante. La question 16 est à nouveau une question Python, et la question 17 demande d’identifier les nuages de points associés à chaque cas.
Partie II — Fonctions 2-croissantes et copules (Q18-26)
La partie A (Q18-23) étudie la notion de fonction 2-croissante en dehors du cadre probabiliste. On montre que \(f_1(x,y) = \max(x,y)\) n’est pas 2-croissante alors que \(f_2(x,y) = xy\) l’est. Le lien avec la condition \(\partial_{1,2}^2 F \geq 0\) est établi pour les fonctions \(C^2\) (Q21-22). La question 23 montre que 2-croissance + conditions aux limites impliquent la croissance des applications partielles.
La partie B (Q24-26) introduit formellement la définition d’une copule 2-dimensionnelle, démontre que les marginales sont uniformes sur \([0,1]\), construit la copule de survie \(C^*\), et établit la continuité (lipschitzienne) de toute copule.
Partie III — Théorème de Sklar et applications (Q27-36)
La partie A (Q27-29) démontre le théorème de Sklar : toute fonction de répartition de couple s’écrit \(F_{(X,Y)}(x,y) = C(F_X(x), F_Y(y))\) pour une unique copule \(C\). La réciproque (admise) est également utilisée.
La partie B (Q30-31) applique ce résultat à la distribution logistique bivariée de Gumbel \(F(x,y) = \displaystyle\frac{1}{1 + e^{-x} + e^{-y}}\), dont on détermine les marginales et la copule.
La partie C (Q32-36) étudie la famille des copules de Gumbel-Barnett \(C_\theta(u,v) = uv \, e^{-\theta \ln(u)\ln(v)}\) pour \(\theta \in [0,1]\). On montre que \(C_\theta\) est bien une copule via une étude de signe minutieuse, puis on identifie les lois marginales dans un exemple concret.
Notions et chapitres testés
- Probabilités continues : densité, fonction de répartition, loi normale, loi exponentielle, loi uniforme sur \([0,1]\), fonction de répartition jointe.
- Analyse à deux variables : dérivées partielles croisées, théorème de Schwarz, intégrales doubles (Fubini), fonctions de classe \(C^2\).
- Fonctions d’une variable réelle : fonctions réciproques, théorème des valeurs intermédiaires, bijections, études de variations.
- Convergence et limites : continuité séquentielle, limites de suites d’événements croissants, passage à la limite sous le signe \(\mathbb{P}\).
- Informatique (Python) : simulation de couples aléatoires, utilisation de
scipy.specialpour \(\Phi\) et \(\Phi^{-1}\), représentation graphique avecmatplotlib.
Niveau de difficulté et comparaison aux années précédentes
Ce sujet se situe dans la tranche haute de difficulté pour l’épreuve Maths 2 Appro ESCP/HEC. Plusieurs éléments le distinguent :
- Thématique unitaire et spécialisée : contrairement aux sujets des années 2022-2025 qui combinaient souvent algèbre linéaire et probabilités, ce sujet est entièrement dédié aux probabilités continues et à la théorie des copules. Cela avantage les candidats très solides en probabilités mais peut déstabiliser ceux qui comptaient sur l’algèbre pour compenser.
- Longueur : 36 questions sur 8 pages, c’est un sujet dense. Terminer l’épreuve dans les temps est un défi en soi.
- Progression technique : les questions 1 à 8 sont abordables pour un candidat bien préparé. La difficulté monte nettement à partir de la question 21 (caractérisation par les dérivées partielles) et les questions 32 à 36 sur les copules de Gumbel-Barnett sont très exigeantes.
- Conceptualisation : la notion de fonction 2-croissante et de copule est hors programme au sens strict. Le sujet la construit de manière guidée, mais il faut être capable de s’approprier rapidement des définitions nouvelles.
En comparaison, le sujet 2025 était plus équilibré entre algèbre et probabilités, et le sujet 2024 contenait davantage de questions purement calculatoires. Ce sujet 2026 valorise la compréhension structurelle et la rigueur de démonstration.
Pièges et points techniques délicats
Q1 — Oublier la surjectivité. Beaucoup de candidats montreront l’injectivité (via la stricte croissance) mais oublieront de justifier proprement la surjectivité sur \(]0,1[\). C’est le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à \(g\) continue sur \(]a,b[\) avec les limites 0 et 1 qui donne le résultat.
Q7 — Interpréter la 2-croissance. La clé est de remarquer que \(F_{(X,Y)}(b_1,b_2) – F_{(X,Y)}(a_1,b_2) – F_{(X,Y)}(b_1,a_2) + F_{(X,Y)}(a_1,a_2) = \mathbb{P}(a_1 < X \leq b_1 \cap a_2 < Y \leq b_2) \geq 0\). Si tu ne fais pas ce lien probabiliste, le calcul devient laborieux.
Q10(d)-(e) — Le passage de \(\leq\) à \(=\) p.s. Montrer \(\mathbb{P}(U \leq V) = 1\) ne suffit pas directement pour conclure \(U = V\) p.s. Il faut aussi montrer \(\mathbb{P}(V \leq U) = 1\) (par symétrie de l’argument ou en utilisant la borne \(\mathbb{P}(U – V > \displaystyle\frac{1}{n}) = 0\) puis le passage à la limite via la continuité de \(\mathbb{P}\)).
Q18(b) — Trouver le bon contre-exemple. Pour montrer que \(\max(x,y)\) n’est pas 2-croissante, il faut exhiber un rectangle explicite. Prends par exemple \((a_1,a_2) = (0,0)\) et \((b_1,b_2) = (1,1)\) : on obtient \(1 – 1 – 1 + 0 = -1 < 0\).
Q32 — L’étude de signe de \(g(\theta)\). La fonction \(g(\theta) = \theta^2 \ln(u_1)\ln(v_1) – \theta(1 + \ln(u_1) + \ln(v_1)) + 1\) est un trinôme en \(\theta\). Il faut analyser soigneusement la position de \(\theta_*\) par rapport à \([0,1]\) et montrer que le minimum de \(g\) reste positif. C’est l’étape cruciale pour prouver que \(C_\theta\) est 2-croissante.
Méthodes attendues et stratégies de résolution
Préliminaires et Partie I (Q1-17)
- Q1 : utilise la stricte croissance pour l’injectivité, le TVI + les conditions de limites pour la surjectivité sur \(]0,1[\).
- Q2 : vérifie chaque propriété de \(\mathcal{F}_{(a,b)}\) pour \(F_X\) : continuité (intégrale d’une fonction continue), croissance, classe \(C^1\) sur \(]a,b[\) avec \(F_X^\prime = f > 0\), et les limites.
- Q3-6 : ce sont des manipulations standard de limites d’événements emboîtés et de continuité monotone de \(\mathbb{P}\).
- Q8 : pour la borne supérieure, utilise \(\{X \leq x\} \cap \{Y \leq y\} \subset \{X \leq x\}\). Pour la borne inférieure, utilise la formule \(\mathbb{P}(A \cap B) \geq \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) – 1\).
- Q9 : fais tendre \(y \to +\infty\) dans \(\min(F_1(x), F_2(y))\) pour retrouver \(F_X = F_1\).
- Q10 : les transformées \(U = F_1(X)\) et \(V = F_2(Y)\) suivent la loi uniforme sur \([0,1]\) (résultat classique). La fonction de répartition de \((U,V)\) est \(\min(u,v)\), ce qui mène à \(U = V\) p.s.
- Q12 (Python) : génère un vecteur \(U\) uniforme, puis calcule \(X = \Phi^{-1}(U)\) via
sp.ndtriet \(Y = -\ln(1 – U)\).
Partie II (Q18-26)
- Q18-19 : calcul direct de la quantité \(F(b_1,b_2) – F(a_1,b_2) – F(b_1,a_2) + F(a_1,a_2)\). Pour \(xy\), on obtient \((b_1 – a_1)(b_2 – a_2) \geq 0\).
- Q21 : écris la quantité 2-croissante comme un quotient différentiel itéré, puis passe à la limite pour retrouver \(\partial_{1,2}^2 F\).
- Q22 : applique le théorème fondamental de l’analyse (deux fois) pour exprimer la condition 2-croissante comme une intégrale double de \(\partial_{1,2}^2 F\).
- Q25 : pour montrer que \(C^*(u,v) = u + v – 1 + C(1-u, 1-v)\) est une copule, vérifie la 2-croissance (qui se ramène à celle de \(C\) par changement de variable) et les conditions aux bords.
- Q26 : utilise la 2-croissance avec des rectangles dégénérés pour obtenir des inégalités de type Lipschitz sur chaque variable, puis combine.
Partie III (Q27-36)
- Q27 : la formule clé est \(C(x,y) = \mathbb{P}(F_X(X) \leq x \cap F_Y(Y) \leq y)\). Utilise le fait que \(\{F_X(X) \leq x\} = \{X \leq F_X^{-1}(x)\}\) grâce à la stricte croissance.
- Q30 : pour trouver les marginales de \(\displaystyle\frac{1}{1 + e^{-x} + e^{-y}}\), fais tendre l’autre variable vers \(+\infty\). La densité s’obtient par dérivation.
- Q32-35 : le cœur technique est l’étude du signe du trinôme \(g(\theta)\). Montre que son discriminant est négatif (ou que son minimum est positif) pour conclure que \(\partial_{1,2}^2 C_\theta \geq 0\) sur \(]0,1[^2\), puis étends à \([0,1]^2\) par continuité.
- Q36 : identifie la structure \(C_1(F_X(x), F_Y(y))\) dans l’expression donnée avec \(F_X(x) = 1 – e^{-x}\) et \(F_Y(y) = 1 – e^{-2y}\), soit \(X \sim \mathcal{E}(1)\) et \(Y \sim \mathcal{E}(2)\).
Conseils pour les futurs candidats
Priorise les probabilités continues. Ce sujet confirme la tendance des épreuves ESCP/HEC à placer les probabilités au cœur de l’épreuve de Maths 2. Maîtrise parfaitement la fonction de répartition, les changements de variable probabilistes (notamment \(U = F_X(X) \sim \mathcal{U}([0,1])\)) et les densités de transformées.
- Apprends à t’approprier des définitions nouvelles. La notion de copule n’est pas au programme, mais le sujet la construit pas à pas. En concours, tu rencontreras régulièrement des objets hors programme introduits dans l’énoncé. Entraîne-toi à lire des définitions formelles et à les manipuler immédiatement.
- Révise les résultats fondamentaux sur les limites de probabilités. La continuité monotone (\(\mathbb{P}(\bigcup A_n) = \lim \mathbb{P}(A_n)\) pour une suite croissante) est utilisée plusieurs fois. Ce type de résultat est souvent mal maîtrisé.
- Travaille l’analyse à deux variables. Les dérivées partielles croisées, le théorème de Schwarz, les intégrales doubles itérées (Fubini) sont mobilisés dans toute la partie II. Ce chapitre est souvent négligé au profit de l’algèbre linéaire.
- Python : prépare les simulations de couples aléatoires. Les questions 12 et 16 sont des points gratuits si tu maîtrises
numpy.random,scipy.special.ndtrietmatplotlib. Entraîne-toi à simuler des couples à partir de la méthode de la fonction réciproque. - Gère ton temps. Avec 36 questions en 4 heures, tu disposes d’environ 6 à 7 minutes par question en moyenne. Les préliminaires et les questions 3 à 8 doivent être traitées rapidement (ce sont des résultats classiques). Investis le temps gagné dans les parties II et III qui rapportent davantage.
