En mathématiques, les notions d’injection, de surjection et de bijection permettent de caractériser la manière dont une application relie un ensemble de départ à un ensemble d’arrivée. Que vous soyez en Terminale spécialité maths ou en CPGE (MPSI, PCSI, MP…), ces trois propriétés constituent un socle fondamental pour l’étude des fonctions en mathématiques.
Cette page vous propose un cours progressif avec des définitions rigoureuses, des méthodes de preuve détaillées et des exercices corrigés pour maîtriser chacune de ces notions — de l’initiation à la rigueur attendue en concours.
Qu’est-ce qu’une injection, une surjection et une bijection ?
Soit \(E\) et \(F\) deux ensembles et \(f : E \to F\) une application. La question centrale est la suivante : combien d’antécédents chaque élément de \(F\) possède-t-il par \(f\) ? La réponse à cette question distingue précisément injection, surjection et bijection. Si vous avez besoin de revoir la notion d’image et d’antécédent d’une fonction, consultez notre page dédiée.
Injection (fonction injective) : définition et interprétation
Définition — Injection. Soit \(f : E \to F\) une application. On dit que \(f\) est injective si tout élément de \(F\) possède au plus un antécédent dans \(E\).
De manière équivalente, avec des quantificateurs :
\(\forall (a, b) \in E^2, \quad f(a) = f(b) \Rightarrow a = b\)
Exemple concret. Pensez au numéro de sécurité sociale : deux personnes distinctes ont toujours un numéro différent. La règle qui associe à chaque personne son numéro de sécurité sociale est donc injective.
En revanche, la correspondance qui associe à chaque personne sa date de naissance n’est pas injective, car plusieurs personnes partagent la même date de naissance.
Interprétation graphique. Sur le graphe de \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), l’injectivité se lit grâce au test de la droite horizontale : \(f\) est injective si et seulement si toute droite horizontale coupe la courbe en au plus un point.
Surjection (fonction surjective) : définition et interprétation
Définition — Surjection. Soit \(f : E \to F\) une application. On dit que \(f\) est surjective si tout élément de \(F\) possède au moins un antécédent dans \(E\).
Formellement :
\(\forall y \in F, \quad \exists x \in E, \quad f(x) = y\)
Autrement dit, si \(f\) est surjective, elle « atteint » toute valeur de l’ensemble d’arrivée \(F\). Son image coïncide alors avec \(F\) tout entier.
Exemple. Considérons \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \(f(x) = 2x + 1\). Pour tout \(y \in \mathbb{R}\), l’équation \(2x + 1 = y\) admet la solution \(x = \frac{y – 1}{2}\), qui appartient bien à \(\mathbb{R}\). L’application \(f\) est donc surjective.
Interprétation graphique. La surjectivité se lit ainsi : toute droite horizontale \(y = k\) avec \(k \in F\) coupe la courbe de \(f\) en au moins un point.
Bijection (fonction bijective) : définition et interprétation
Définition — Bijection. Soit \(f : E \to F\) une application. On dit que \(f\) est bijective si tout élément de \(F\) possède exactement un antécédent dans \(E\).
Cela revient à dire que \(f\) est à la fois injective et surjective.
Cette propriété établit donc une correspondance parfaite entre les éléments de \(E\) et ceux de \(F\) : chaque élément de \(F\) est « touché » exactement une fois. Elle garantit l’existence d’une application inverse \(f^{-1} : F \to E\).
À retenir. La clé pour distinguer ces trois notions tient en une phrase : l’injection c’est « au plus un » antécédent, la surjection c’est « au moins un », et la bijection c’est « exactement un ».
Tableau récapitulatif : injection vs surjection vs bijection
| Propriété | Définition (à connaître) | Traduction « antécédents » | Ce que tu fais en exercice | Cas d’un ensemble fini |
|---|---|---|---|---|
| Injective | \(\forall x,x’ \in E,\ f(x)=f(x’) \Rightarrow x=x’\) | Chaque \(y \in F\) a au plus un antécédent dans \(E\). | Partir de \(f(x)=f(x’)\) et conclure \(x=x’\). | \(|E| \leq |F|\) (nécessaire). |
| Surjective | \(\forall y \in F,\ \exists x \in E,\ f(x)=y\) | Chaque \(y \in F\) a au moins un antécédent dans \(E\). | Prendre un \(y\) quelconque dans \(F\) et résoudre \(f(x)=y\). | \(|E| \geq |F|\) (nécessaire). |
| Bijective | \(\forall y \in F,\ \exists! x \in E,\ f(x)=y\) | Chaque \(y \in F\) a exactement un antécédent dans \(E\). | Montrer injective + surjective (ou exhiber l’inverse). | \(|E| = |F|\), et inj. \(\Leftrightarrow\) surj. \(\Leftrightarrow\) bij. |
Le résultat clé en ensembles finis. Si \(E\) et \(F\) sont deux ensembles finis de même cardinal et \(f : E \to F\) est une application, alors les trois propriétés sont équivalentes : \(f\) injective \(\Leftrightarrow\) \(f\) surjective \(\Leftrightarrow\) \(f\) bijective. Ce résultat est extrêmement puissant en algèbre finie et en combinatoire.
Interprétation graphique : le test de la droite horizontale
Le test de la droite horizontale est un outil visuel simple pour diagnostiquer l’injectivité, la surjectivité et la bijectivité de \(f : A \to B\) à partir de sa courbe. Le principe : on trace des droites horizontales \(y = k\) pour chaque \(k \in B\) et on compte le nombre d’intersections avec la courbe.
Exemple 1 — Injective mais pas surjective : l’exponentielle
L’exponentielle \(f(x) = e^x\) est strictement croissante, donc chaque droite horizontale coupe la courbe en au plus un point : elle est injective. En revanche, les valeurs négatives de \(y\) (comme \(y = -1\)) ne sont jamais atteintes : \(f\) n’est pas surjective de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\).
Exemple 2 — Surjective mais pas injective
\(f(x) = x^3 – 3x\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) atteint toute valeur réelle : elle est surjective. Cependant, certaines droites horizontales (comme \(y = 1\)) coupent la courbe en trois points : elle n’est pas injective.
Exemple 3 — Bijective : la fonction cube
\(f(x) = x^3\) est continue et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). Toute droite horizontale coupe la courbe en exactement un point : \(f\) est à la fois injective et surjective, donc bijective de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\).
Comment montrer qu’une fonction est injective ?
La question « comment vérifier l’injectivité ? » revient très fréquemment en devoir surveillé et en concours. Voici les deux principales méthodes.
Méthode 1 — Par la définition
C’est la méthode la plus directe. On suppose \(f(a) = f(b)\) avec \(a, b \in E\), puis on montre que \(a = b\).
Rédaction type. « Soient \(a, b \in E\) tels que \(f(a) = f(b)\). Alors… [calcul]… donc \(a = b\). Ainsi, \(f\) est injective. »
Exemple. Montrons que \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \(f(x) = x^3\) est injective.
Soient \(a, b \in \mathbb{R}\) tels que \(f(a) = f(b)\), c’est-à-dire \(a^3 = b^3\). On a alors \(a^3 – b^3 = 0\), soit \((a – b)(a^2 + ab + b^2) = 0\).
Or, pour \(a, b \in \mathbb{R}\), le trinôme \(a^2 + ab + b^2\) s’écrit \(\frac{1}{2}(a^2 + (a+b)^2 + b^2)\), qui est toujours positif ou nul, et ne s’annule que si \(a = b = 0\). Donc \(a – b = 0\), c’est-à-dire \(a = b\). Conclusion : \(f\) est injective.
Méthode 2 — Par stricte monotonie
Sur une partie de \(\mathbb{R}\), toute application strictement monotone (strictement croissante ou strictement décroissante) est injective. C’est souvent le raccourci le plus rapide en analyse réelle.
Exemple. La fonction exponentielle \(\exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). Elle est donc injective sur \(\mathbb{R}\).
Attention. L’implication inverse est fausse : une fonction injective n’est pas forcément monotone. Par exemple, \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) qui vaut \(f(x) = x\) si \(x \in \mathbb{Q}\) et \(f(x) = -x\) sinon est injective mais pas monotone.
Cas d’étude : f(x) = x² est-elle injective ?
C’est l’exemple le plus classique, et il illustre un point essentiel : le résultat dépend de l’ensemble de départ.
Considérons \(f(x) = x^2\) :
- Sur \(\mathbb{R}\) : \(f\) n’est pas injective. En effet, \(f(-3) = f(3) = 9\), mais \(-3 \neq 3\).
- Sur \(\mathbb{R}^+\) (les réels positifs) : \(f\) est injective car elle est strictement croissante sur cet intervalle.
Erreur classique. Oublier de préciser l’ensemble de départ et l’ensemble d’arrivée est l’une des fautes les plus courantes en DS. L’injectivité, la surjectivité et la bijectivité dépendent fondamentalement du choix de ces ensembles.
Comment montrer qu’une fonction est surjective ?
Méthode — Résoudre l’équation f(x) = y
Pour prouver la surjectivité de \(f : E \to F\), on prend un élément quelconque \(y \in F\) et l’on montre que l’équation \(f(x) = y\) possède au moins une solution \(x \in E\).
Rédaction type. « Soit \(y \in F\). Cherchons \(x \in E\) tel que \(f(x) = y\). On résout… [calcul]… On trouve \(x = \ldots\) qui appartient bien à \(E\). Donc \(f\) est surjective. »
Exemple 1. \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \(f(x) = 2x + 1\). Soit \(y \in \mathbb{R}\). On résout \(2x + 1 = y\), d’où \(x = \frac{y-1}{2} \in \mathbb{R}\). L’application \(f\) est surjective.
Exemple 2. \(g : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) définie par \(g(n) = n + 1\). L’équation \(n + 1 = 0\) n’a pas de solution dans \(\mathbb{N}\), donc \(0\) n’a pas d’antécédent. L’application \(g\) n’est pas surjective.
L’importance de l’ensemble d’arrivée
Comme pour l’injectivité, la surjectivité dépend du choix des ensembles. Reprenons \(f(x) = x^2\) :
- \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) n’est pas surjective car les réels strictement négatifs n’ont pas d’antécédent.
- \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+\) est surjective car tout \(y \geq 0\) admet \(\sqrt{y}\) comme antécédent.
Erreur fréquente. Ne confondez pas l’image de \(f\) (notée \(\text{Im}(f)\) ou \(f(E)\)) et l’ensemble d’arrivée \(F\). La surjectivité signifie précisément que \(f(E) = F\). Si l’on restreint l’ensemble d’arrivée à l’image, toute application devient automatiquement surjective — ce n’est donc pas un apport d’information. Pour approfondir cette distinction, consultez notre page sur l’ensemble de définition.
Comment montrer qu’une fonction est bijective ?
Trois méthodes permettent d’établir la bijectivité. La meilleure à choisir dépend du contexte.
Méthode 1 — Montrer injectivité + surjectivité
On combine les deux méthodes précédentes : on prouve d’abord l’injectivité de \(f\), puis sa surjectivité.
Exemple complet. Montrons que \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^3\), est bijective.
Injectivité : on l’a démontrée plus haut (par la définition).
Surjectivité : soit \(y \in \mathbb{R}\). On cherche \(x \in \mathbb{R}\) tel que \(x^3 = y\). On pose \(x = \sqrt[3]{y}\) (la racine cubique existe pour tout réel). On vérifie : \(f(\sqrt[3]{y}) = (\sqrt[3]{y})^3 = y\). Donc \(f\) est surjective.
Conclusion : \(f\) est bijective de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\).
Méthode 2 — Exhiber l’inverse
Si l’on parvient à trouver \(g : F \to E\) telle que \(g \circ f = \text{id}_E\) et \(f \circ g = \text{id}_F\), alors \(f\) est bijective et \(g = f^{-1}\).
Quand c’est possible, c’est souvent la méthode la plus rapide et la plus élégante. Elle prouve la bijectivité et fournit directement \(f^{-1}\).
Exemple. Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \(f(x) = 2x + 1\). Posons \(g(y) = \frac{y – 1}{2}\).
Vérifions : \(g \circ f(x) = g(2x+1) = \frac{(2x+1) – 1}{2} = x\) et \(f \circ g(y) = f\!\left(\frac{y-1}{2}\right) = 2 \cdot \frac{y-1}{2} + 1 = y\).
Donc \(f\) est bijective et \(f^{-1}(y) = \frac{y-1}{2}\).
Méthode 3 — Utiliser le théorème de la bijection
Lorsqu’elle est continue et strictement monotone sur un intervalle, le théorème de la bijection offre un raccourci puissant. Nous le détaillons dans la section suivante.
Théorème de la bijection (fonction continue et monotone)
Le théorème de la bijection est un outil central de l’analyse, au programme de Terminale et de CPGE. Il lie continuité, monotonie stricte et bijectivité.
Énoncé du théorème de la bijection
Théorème de la bijection. Soit \(f\) une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle \(I\). Alors \(f\) réalise une bijection de \(I\) sur l’intervalle image \(f(I)\).
De plus, la fonction réciproque \(f^{-1} : f(I) \to I\) est elle aussi continue et strictement monotone (de même sens que \(f\)).
Ce résultat est extrêmement puissant : il dispense de vérifier séparément l’injectivité et la surjectivité. Il suffit de vérifier la continuité et la stricte monotonie pour conclure. En pratique, on utilise souvent le tableau de variation pour établir la monotonie stricte.
Exemples d’application du théorème
Exemple 1 — Exponentielle. La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). D’après le théorème de la bijection, \(\exp\) réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(]0, +\infty[\). Son inverse est la fonction logarithme népérien \(\ln\).
Exemple 2 — Fonction carrée. \(x \mapsto x^2\) est continue et strictement croissante sur \([0, +\infty[\). Elle réalise donc une bijection de \([0, +\infty[\) sur \([0, +\infty[\). Sa réciproque est \(x \mapsto \sqrt{x}\).
Erreurs classiques sur le théorème de la bijection
Piège 1. L’implication réciproque est fausse : une bijection n’est pas forcément monotone. Par exemple, une permutation de \(\{1, 2, 3\}\) dans \(\{1, 2, 3\}\) peut ne respecter aucun ordre.
Piège 2. Ne confondez pas le théorème de la bijection et le théorème des valeurs intermédiaires (TVI). Le TVI garantit l’existence d’au moins une solution — c’est un résultat de surjectivité. Le second garantit l’unicité en plus de l’existence — c’est un résultat de bijectivité.
Injection, surjection, bijection et composition d’applications
En CPGE, on étudie le comportement de l’injectivité et de la surjectivité vis-à-vis de la composition. Ces résultats sont des classiques de concours.
Résultats fondamentaux
Soient \(f : E \to F\) et \(g : F \to G\) deux applications.
Propriétés :
- Si \(f\) et \(g\) sont injectives, alors \(g \circ f\) est injective.
- Si \(f\) et \(g\) sont surjectives, alors \(g \circ f\) est surjective.
- Si \(g \circ f\) est injective, alors \(f\) est injective.
- Si \(g \circ f\) est surjective, alors \(g\) est surjective.
- Si \(f\) et \(g\) sont bijectives, alors \(g \circ f\) est bijective et \((g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}\).
Attention aux fausses réciproques. Si \(g \circ f\) est injective, on ne peut rien conclure sur \(g\). De même, si \(g \circ f\) est surjective, on ne peut rien conclure sur \(f\).
Exemple de démonstration
Démontrons que si \(g \circ f\) est injective, alors \(f\) est injective.
Démonstration. Soient \(a, b \in E\) tels que \(f(a) = f(b)\). En appliquant \(g\) aux deux membres, on obtient \(g(f(a)) = g(f(b))\), c’est-à-dire \((g \circ f)(a) = (g \circ f)(b)\).
Comme \(g \circ f\) est injective, on en déduit \(a = b\). Donc \(f\) est injective. ∎
Ce type de démonstration est un classique absolu en CPGE. Notez l’importance de bien identifier « ce qui est hypothèse » et « ce que l’on veut montrer ».
Bijection réciproque : définition et lien avec la bijection
Lorsque \(f : E \to F\) est bijective, on peut définir son inverse \(f^{-1} : F \to E\) telle que, pour tout \(y \in F\), \(f^{-1}(y)\) est l’unique \(x \in E\) vérifiant \(f(x) = y\).
Propriétés de la bijection réciproque.
- \(f \circ f^{-1} = \text{id}_F\) et \(f^{-1} \circ f = \text{id}_E\).
- \((f^{-1})^{-1} = f\).
- Si \(f\) et \(g\) sont bijectives, alors \((g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}\).
Interprétation graphique. Pour les courbes réelles, le graphe de \(f^{-1}\) est le symétrique du graphe de \(f\) par rapport à la droite \(y = x\).
Pour aller plus loin. Ce sujet est riche : domaine de définition de \(f^{-1}\), dérivée de l’inverse, exemples fondamentaux (ln inverse de exp, arcsin inverse de sin, etc.). Retrouvez le traitement complet sur notre page dédiée aux fonctions réciproques.
Exercices corrigés — Injection, surjection, bijection (niveau CPGE)
Les exercices suivants sont de niveau CPGE (MPSI, PCSI, MP). Ils couvrent les techniques de preuve fondamentales attendues en concours : raisonnement par définition, composition, involution, dimension supérieure, argument de cardinalité et caractérisation par les inverses.
Exercice 1 — Surjectivité et composition
Énoncé. Soient \(f : E \to F\) et \(g : F \to G\) deux applications. Montrer que si \(g \circ f\) est surjective, alors \(g\) est surjective.
Thèmes : composition d’applications, transfert de surjectivité. Difficulté : ★★☆
Voir la correction
Soit \(z \in G\). Comme \(g \circ f\) est surjective, il existe \(x \in E\) tel que \((g \circ f)(x) = z\), c’est-à-dire \(g(f(x)) = z\).
Posons \(y = f(x) \in F\). On a alors \(g(y) = z\).
Ainsi, tout élément \(z \in G\) admet un antécédent par \(g\). Donc \(g\) est surjective. ∎
Exercice 2 — Involution et bijectivité (fonction homographique)
Énoncé. Soit \(f : \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R}\) définie par \(f(x) = \frac{x + 1}{x – 1}\).
- Montrer que \(f\) est injective.
- Déterminer \(f(\mathbb{R} \setminus \{1\})\) et en déduire si \(f\) est surjective de \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\) dans \(\mathbb{R}\).
- Montrer que \(f \circ f = \text{id}\) sur \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\). Qu’en déduit-on ?
Thèmes : injectivité par calcul, détermination d’image, involution. Difficulté : ★★★
Voir la correction
a) Injectivité. Soient \(a, b \in \mathbb{R} \setminus \{1\}\) tels que \(f(a) = f(b)\). Alors \(\frac{a+1}{a-1} = \frac{b+1}{b-1}\).
En multipliant en croix : \((a+1)(b-1) = (b+1)(a-1)\). En développant : \(ab – a + b – 1 = ab – b + a – 1\), d’où \(-a + b = -b + a\), soit \(2b = 2a\), donc \(a = b\). Conclusion : \(f\) est injective.
b) Image de f. Soit \(y \in \mathbb{R}\). L’équation \(\frac{x+1}{x-1} = y\) donne \(x + 1 = y(x – 1)\), soit \(x(1 – y) = -y – 1\).
Si \(y \neq 1\), on trouve \(x = \frac{y + 1}{y – 1}\), qui appartient à \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\) (car \(x = 1\) impliquerait \(\frac{y+1}{y-1} = 1\), soit \(y+1 = y-1\) : absurde).
Si \(y = 1\), l’équation \(x + 1 = x – 1\) n’a pas de solution.
Conclusion : \(f(\mathbb{R} \setminus \{1\}) = \mathbb{R} \setminus \{1\}\). Ainsi, \(f\) n’est pas surjective de \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\) dans \(\mathbb{R}\), mais elle est bijective de \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\) dans \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\).
c) Involution. Pour \(x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}\), calculons \(f(f(x))\) :
\(f(f(x)) = f\!\left(\frac{x+1}{x-1}\right) = \frac{\frac{x+1}{x-1} + 1}{\frac{x+1}{x-1} – 1} = \frac{\frac{x+1+x-1}{x-1}}{\frac{x+1-x+1}{x-1}} = \frac{2x}{2} = x\)Donc \(f \circ f = \text{id}_{\mathbb{R} \setminus \{1\}}\). Autrement dit, \(f\) est sa propre réciproque : \(f^{-1} = f\). On dit que \(f\) est une involution. ∎
Exercice 3 — Bijection de ℝ² dans ℝ² (application linéaire)
Énoncé. Soit \(h : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) définie par \(h(x, y) = (x + y,\; x – y)\). Montrer que \(h\) est bijective et déterminer sa réciproque.
Thèmes : bijection en dimension 2, résolution de système linéaire. Difficulté : ★★☆
Voir la correction
Injectivité. Soient \((x, y)\) et \((x’, y’) \in \mathbb{R}^2\) tels que \(h(x, y) = h(x’, y’)\). Alors le système :
\(x + y = x’ + y’ \quad \text{et} \quad x – y = x’ – y’\)En additionnant : \(2x = 2x’\), d’où \(x = x’\). Par soustraction : \(2y = 2y’\), d’où \(y = y’\). Donc \(h\) est injective.
Surjectivité. Soit \((X, Y) \in \mathbb{R}^2\). On cherche \((x, y)\) tel que \(x + y = X\) et \(x – y = Y\). On résout ce système linéaire :
\(x = \frac{X + Y}{2}, \quad y = \frac{X – Y}{2}\)Ces valeurs appartiennent bien à \(\mathbb{R}\), donc \(h\) est surjective.
Conclusion. \(h\) est bijective, de réciproque \(h^{-1}(X, Y) = \left(\frac{X+Y}{2},\; \frac{X-Y}{2}\right)\). ∎
Remarque. En termes matriciels, \(h\) correspond à la matrice \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\) de déterminant \(-2 \neq 0\). La bijectivité découle donc aussi de l’inversibilité de \(A\).
Exercice 4 — Image et bijectivité par le théorème de la bijection
Énoncé. Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \(f(x) = \frac{2x}{1 + x^2}\).
- Montrer que \(f(\mathbb{R}) = [-1, 1]\).
- En déduire que la restriction \(g : [-1, 1] \to [-1, 1]\) définie par \(g(x) = f(x)\) est bijective.
Thèmes : détermination d’image par discriminant, application du théorème de la bijection. Difficulté : ★★★
Voir la correction
a) Détermination de l’image. Soit \(y \in \mathbb{R}\). L’équation \(\frac{2x}{1+x^2} = y\) équivaut à \(yx^2 – 2x + y = 0\).
Si \(y = 0\) : \(x = 0\) est solution.
Si \(y \neq 0\) : c’est une équation du second degré en \(x\). Son discriminant vaut \(\Delta = 4 – 4y^2 = 4(1 – y^2)\). L’équation admet au moins une solution réelle si et seulement si \(\Delta \geq 0\), c’est-à-dire \(-1 \leq y \leq 1\).
On vérifie que \(f(1) = 1\) et \(f(-1) = -1\), donc les bornes sont atteintes. Ainsi \(f(\mathbb{R}) = [-1, 1]\).
b) Bijectivité de la restriction. On étudie la dérivée :
\(f'(x) = \frac{2(1+x^2) – 2x \cdot 2x}{(1+x^2)^2} = \frac{2(1 – x^2)}{(1+x^2)^2}\)Sur \([-1, 1]\), on a \(1 – x^2 \geq 0\), donc \(f'(x) \geq 0\), avec égalité uniquement aux bornes \(x = \pm 1\). Ainsi, \(g\) est strictement croissante sur \(]-1, 1[\) (et croissante au sens large sur \([-1, 1]\)).
Par le théorème de la bijection, \(g\) réalise une bijection de \([-1, 1]\) sur \([g(-1), g(1)] = [-1, 1]\). ∎
Exercice 5 — Injection et cardinalité en ensemble fini
Énoncé. Soit \(E\) un ensemble fini de cardinal \(n\) et \(f : E \to E\) une application.
- Montrer que \(f\) est injective si et seulement si \(f\) est surjective.
- En déduire que si \(f \circ f\) est injective, alors \(f\) est bijective.
Thèmes : cardinalité, équivalence injection/surjection en dimension finie. Difficulté : ★★★
Voir la correction
a) Équivalence injection ⇔ surjection pour un endomorphisme d’ensemble fini.
Sens ⇒ : Supposons \(f\) injective. Alors \(f\) envoie \(n\) éléments distincts de \(E\) sur \(n\) éléments distincts de \(E\). Donc \(|f(E)| = n = |E|\). Comme \(f(E) \subseteq E\) et que \(E\) est fini, on a \(f(E) = E\) : \(f\) est surjective.
Sens ⇐ : Supposons \(f\) surjective, c’est-à-dire \(f(E) = E\), soit \(|f(E)| = n\). Si \(f\) n’était pas injective, il existerait \(a \neq b\) avec \(f(a) = f(b)\), ce qui donnerait \(|f(E)| \leq n – 1\) : contradiction. Donc \(f\) est injective.
b) Supposons \(f \circ f\) injective. D’après la propriété de composition, cela entraîne que \(f\) est injective. Or, d’après la question a), sur un ensemble fini, \(f\) injective implique \(f\) surjective. Donc \(f\) est bijective. ∎
Attention. Ce résultat est faux en dimension infinie. Par exemple, le décalage \(\sigma : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) défini par \(\sigma(n) = n + 1\) est injectif mais pas surjectif (0 n’a pas d’antécédent).
Exercice 6 — Caractérisation de la bijectivité par les inverses à gauche et à droite
Énoncé. Soient \(E\), \(F\) des ensembles non vides et \(f : E \to F\) une application.
- Montrer que \(f\) est injective si et seulement s’il existe \(g : F \to E\) telle que \(g \circ f = \text{id}_E\) (inverse à gauche).
- Montrer que \(f\) est surjective si et seulement s’il existe \(h : F \to E\) telle que \(f \circ h = \text{id}_F\) (inverse à droite).
- En déduire que \(f\) est bijective si et seulement si elle admet un inverse à gauche et un inverse à droite, et que dans ce cas ces inverses coïncident.
Thèmes : inverse à gauche/droite, axiome du choix, caractérisation abstraite de la bijectivité. Difficulté : ★★★★
Voir la correction
a) Inverse à gauche ⇔ injection.
Sens ⇐ : Supposons qu’il existe \(g : F \to E\) telle que \(g \circ f = \text{id}_E\). Soient \(a, b \in E\) tels que \(f(a) = f(b)\). Alors \(g(f(a)) = g(f(b))\), soit \(a = b\). Donc \(f\) est injective.
Sens ⇒ : Supposons \(f\) injective. On fixe un élément \(e_0 \in E\). Pour tout \(y \in F\), on pose : \(g(y) = x\) si \(y = f(x)\) pour un (unique, par injectivité) \(x \in E\), et \(g(y) = e_0\) sinon. Alors \(g \circ f = \text{id}_E\) par construction.
b) Inverse à droite ⇔ surjection.
Sens ⇐ : Supposons qu’il existe \(h : F \to E\) telle que \(f \circ h = \text{id}_F\). Soit \(y \in F\). Alors \(f(h(y)) = y\), donc \(h(y)\) est un antécédent de \(y\). Donc \(f\) est surjective.
Sens ⇒ : Supposons \(f\) surjective. Pour tout \(y \in F\), l’ensemble \(f^{-1}(\{y\})\) est non vide. On choisit (axiome du choix) un élément \(h(y) \in f^{-1}(\{y\})\). L’application \(h : F \to E\) ainsi définie vérifie \(f \circ h = \text{id}_F\).
c) Coïncidence des inverses. Supposons que \(f\) admet un inverse à gauche \(g\) et un inverse à droite \(h\). Alors :
\(g = g \circ \text{id}_F = g \circ (f \circ h) = (g \circ f) \circ h = \text{id}_E \circ h = h\)Donc \(g = h\), et cette application commune est l’inverse \(f^{-1}\). ∎
FAQ — Injection, surjection, bijection
Qu'est-ce qu'une injection, une surjection et une bijection ?
Ce sont trois propriétés d’une application \(f : E \to F\). La première signifie que chaque élément de \(F\) a au plus un antécédent dans \(E\). La deuxième signifie que chaque élément de \(F\) a au moins un antécédent. La troisième combine les deux : chaque élément de \(F\) a exactement un antécédent.
Comment montrer qu'une fonction est injective, surjective et bijective ?
Pour l’injectivité, montrez que \(f(a) = f(b)\) entraîne \(a = b\), ou utilisez la stricte monotonie. Pour la surjectivité, résolvez \(f(x) = y\) et montrez qu’il existe une solution dans \(E\) pour tout \(y \in F\). Pour la bijectivité, combinez les deux ou exhibez \(f^{-1}\).
Quelle est la différence entre injection et surjection ?
La première concerne l’unicité de l’antécédent : deux éléments distincts de \(E\) ont des images distinctes. La seconde concerne l’existence : tout élément de \(F\) est atteint. Ce sont deux propriétés indépendantes — on peut vérifier l’une sans l’autre.
Qu'est-ce que le théorème de la bijection ?
Ce résultat affirme qu’une application continue et strictement monotone sur un intervalle \(I\) réalise une bijection de \(I\) sur l’intervalle image \(f(I)\). C’est l’outil le plus courant pour établir la bijectivité en Terminale et en prépa.
Est-ce que f(x) = x² est injective ?
Cela dépend de l’ensemble de départ. Sur \(\mathbb{R}\), la réponse est non (car \(f(-2) = f(2) = 4\)). Mais sur \(\mathbb{R}^+\), la fonction est injective (et même bijective de \(\mathbb{R}^+\) dans \(\mathbb{R}^+\)).
Comment prouver qu'une application est une bijection ?
Trois méthodes principales : (1) montrer qu’elle est à la fois injective et surjective, (2) exhiber explicitement son inverse, ou (3) appliquer le résultat de bijection monotone si elle est continue et strictement monotone sur un intervalle.
Qu'est-ce qu'une bijection réciproque ?
Si \(f : E \to F\) est bijective, sa réciproque est l’unique \(f^{-1} : F \to E\) telle que \(f \circ f^{-1} = \text{id}_F\) et \(f^{-1} \circ f = \text{id}_E\). Graphiquement, la courbe de \(f^{-1}\) est le symétrique de celle de \(f\) par rapport à la droite \(y = x\). Pour un traitement complet, consultez notre page sur les fonctions réciproques.
Pourquoi l'ensemble de départ et d'arrivée changent-ils tout ?
Ces trois propriétés ne sont pas intrinsèques à une formule : elles dépendent des ensembles choisis. Par exemple, \(f(x) = x^2\) est bijective de \(\mathbb{R}^+\) dans \(\mathbb{R}^+\), mais ni injective ni surjective de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\). Toujours préciser les ensembles de départ et d’arrivée.
Besoin d’un accompagnement personnalisé en maths ?
Ces trois notions deviennent claires avec de la pratique encadrée. Chez Excellence Maths, nos cours particuliers sont animés par des professeurs issus de l’École Polytechnique, avec un suivi personnalisé du collège à la prépa.
Consultez aussi nos autres ressources sur les fonctions en mathématiques pour approfondir l’étude des fonctions usuelles, de la continuité ou de la fonction réciproque.
