Fonction de Répartition et Densité de Probabilité

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Comment décrire entièrement le comportement probabiliste d’une variable aléatoire ? La fonction de répartition répond à cette question : c’est la seule fonction qui caractérise complètement la loi d’une variable aléatoire, qu’elle soit discrète, continue ou mixte. Associée à la notion de densité de probabilité dans le cas continu, elle constitue un outil incontournable du programme de CPGE. Ce cours couvre les définitions formelles, les propriétés fondamentales (avec démonstrations exigibles), les lois classiques et 8 exercices corrigés.

I. Définition et propriétés fondamentales de la fonction de répartition

A. Définition formelle

La fonction de répartition encode, en une seule fonction réelle, toute l’information probabiliste d’une variable aléatoire.

Cette définition est universelle : elle s’applique indifféremment aux variables aléatoires discrètes, à densité ou mixtes. Lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté sur la variable, on note simplement \(F\) au lieu de \(F_X\).

B. Propriétés fondamentales

La fonction de répartition possède quatre propriétés caractéristiques. Les trois premières sont intuitives ; la quatrième (continuité à droite) est plus subtile et souvent mal comprise.

De ces propriétés découlent les formules de calcul essentielles :

La dernière formule est fondamentale : la probabilité qu’une variable aléatoire prenne exactement la valeur \(a\) se lit comme la taille du saut de \(F\) en \(a\). Si \(F\) est continue en \(a\), alors \(P(X = a) = 0\).

C. Démonstrations des propriétés ⋆

Ces trois démonstrations sont exigibles dans la plupart des filières CPGE. Elles reposent sur des propriétés fondamentales de la mesure de probabilité.

Démonstration ⋆ — Croissance

Soient \(a \leq b\) deux réels. L’inclusion \(\{X \leq a\} \subset \{X \leq b\}\) est immédiate. Par croissance de la probabilité :

\(\displaystyle P(X \leq a) \leq P(X \leq b)\)

soit \(F(a) \leq F(b)\). \(\square\)

Démonstration ⋆ — Limites aux bornes

Limite en \(+\infty\) : Considérons la suite d’événements \(A_n = \{X \leq n\}\). C’est une suite croissante (au sens de l’inclusion) et \(\displaystyle \bigcup_{n \geq 1} A_n = \Omega\) (car \(X\) est à valeurs réelles). Par continuité croissante de la probabilité :

\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} F(n) = \lim_{n \to +\infty} P(A_n) = P(\Omega) = 1\)

Comme \(F\) est croissante, on en déduit \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} F(x) = 1\).

Limite en \(-\infty\) : De même, \(B_n = \{X \leq -n\}\) est une suite décroissante avec \(\displaystyle \bigcap_{n \geq 1} B_n = \emptyset\). Par continuité décroissante :

\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} F(-n) = P(\emptyset) = 0\)

d’où \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0\). \(\square\)

Démonstration ⋆ — Continuité à droite

Soit \(a \in \mathbb{R}\) et \((x_n)_{n \geq 1}\) une suite décroissante convergeant vers \(a\). Posons \(C_n = \{X \leq x_n\}\). C’est une suite décroissante d’événements et :

\(\displaystyle \bigcap_{n \geq 1} C_n = \{X \leq a\}\)

En effet, si \(\omega \in \bigcap C_n\) alors \(X(\omega) \leq x_n\) pour tout \(n\), donc par passage à la limite \(X(\omega) \leq a\). La réciproque est immédiate car \(a \leq x_n\).

Par continuité décroissante de la probabilité :

\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} F(x_n) = \lim_{n \to +\infty} P(C_n) = P\!\left(\bigcap_{n \geq 1} C_n\right) = P(X \leq a) = F(a)\)

Ceci étant vrai pour toute suite décroissante convergeant vers \(a\), on a bien \(\displaystyle \lim_{x \to a^+} F(x) = F(a)\). \(\square\)

Les propriétés fondamentales établies, examinons comment la fonction de répartition se concrétise pour les variables aléatoires discrètes.

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II. Fonction de répartition dans le cas discret

A. Expression et allure graphique

Soit \(X\) une variable aléatoire discrète prenant les valeurs \(x_1\) < \(x_2\) < \(x_3\) < \(\cdots\) (suite finie ou dénombrable). La fonction de répartition se calcule comme une somme cumulée :

Géométriquement, \(F\) est une fonction en escalier : elle est constante sur chaque intervalle \([x_i, x_{i+1}[\) et présente un saut de hauteur \(P(X = x_i)\) en chaque point \(x_i\).

Les sauts de \(F\) codent la loi de \(X\) : il suffit de lire la hauteur de chaque saut pour retrouver \(P(X = x_i)\). Réciproquement, la connaissance de tous les sauts détermine entièrement la loi de \(X\).

B. FdR des lois discrètes classiques

Le tableau suivant récapitule les fonctions de répartition des lois discrètes les plus courantes. Pour chacune, la FdR s’obtient en sommant les probabilités ponctuelles.

Le cas discret maîtrisé, intéressons-nous au cas continu, où la notion de densité de probabilité entre en jeu.

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III. Densité de probabilité et variables aléatoires continues

A. Définition d’une densité de probabilité

Pour les variables aléatoires continues, la loi ne se décrit plus par des probabilités ponctuelles (elles sont toutes nulles) mais par une fonction de densité.

Deux conditions sont nécessaires et suffisantes pour qu’une fonction \(f\) soit une densité :

1. Positivité : \(f(t) \geq 0\) pour tout \(t \in \mathbb{R}\).
2. Normalisation : \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\, \mathrm{d}t = 1\).

Conséquence immédiate : pour une variable à densité, les inégalités larges et strictes donnent la même probabilité :

\(\displaystyle P(a \leq X \leq b) = P(a\) < \(X\) < \(b) = \int_a^b f(t)\, \mathrm{d}t\)

B. De la densité à la fonction de répartition

Le lien entre densité et fonction de répartition est un des résultats les plus importants du cours. Il fait intervenir l’intégrale et la dérivation.

En d’autres termes : la densité est la dérivée de la FdR, et la FdR est une primitive de la densité. Ce lien permet de passer librement d’une représentation à l’autre.

C. Lois continues classiques

Le tableau ci-dessous récapitule les densités et fonctions de répartition des trois lois continues fondamentales du programme.

Pour la loi normale, la FdR \(\Phi\) de la loi centrée réduite \(\mathcal{N}(0,1)\) n’admet pas d’expression analytique en termes de fonctions élémentaires. Ses valeurs se lisent dans la table de la loi normale centrée réduite. Pour une loi \(\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\) quelconque, on se ramène à la loi centrée réduite par la formule :

\(\displaystyle F_X(x) = \Phi\!\left(\displaystyle\frac{x – \mu}{\sigma}\right)\)

Avec ces outils en main, voyons les techniques concrètes d’utilisation de la fonction de répartition.

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IV. Méthode : exploiter la fonction de répartition

A. Déterminer la loi d’une variable aléatoire à partir de sa FdR

Il y a deux cas fondamentaux.

Cas discret : si \(F\) est une fonction en escalier, la variable aléatoire est discrète. Les valeurs prises sont les abscisses des sauts, et la probabilité de chaque valeur est la hauteur du saut correspondant :

\(\displaystyle P(X = x_i) = F(x_i) – F(x_i^-)\)

Cas continu : si \(F\) est continue et dérivable (sauf éventuellement en un nombre fini de points), la variable est à densité et :

\(\displaystyle f(x) = F^\prime(x)\)

en tout point où \(F\) est dérivable.

B. Calculer la FdR d’une fonction de variable aléatoire

La méthode de la fonction de répartition est la technique universelle pour trouver la loi de \(Y = g(X)\) lorsque \(g\) est une fonction mesurable. Le principe est toujours le même :

1. Écrire \(F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(g(X) \leq y)\).
2. Traduire \(\{g(X) \leq y\}\) en une condition sur \(X\) (en inversant \(g\)).
3. Exprimer la probabilité obtenue à l’aide de \(F_X\) ou de \(f_X\).
4. Si \(F_Y\) est dérivable, en déduire \(f_Y = F_Y^\prime\).

Un cas particulier fondamental mérite un encadré propre.

Démonstration ⋆

Pour le maximum : \(\max(X_1, \ldots, X_n) \leq x \iff \forall i,\, X_i \leq x\). Par indépendance :

\(\displaystyle P(\max(X_1, \ldots, X_n) \leq x) = P\!\left(\bigcap_{i=1}^{n} \{X_i \leq x\}\right) = \prod_{i=1}^{n} P(X_i \leq x) = \prod_{i=1}^{n} F_i(x)\)

Pour le minimum : \(\min(X_1, \ldots, X_n) \leq x \iff \exists\, i,\, X_i \leq x\), donc en passant au complémentaire \(\min(X_1, \ldots, X_n)\) > \(x \iff \forall i,\, X_i\) > \(x\). Par indépendance :

\(\displaystyle 1 – F_{\min}(x) = \prod_{i=1}^{n} (1 – F_i(x))\) \(\square\)

Ce résultat est un classique d’oral de concours (X, Mines-Ponts, Centrale). On l’utilisera dans les exercices ci-dessous.

La fonction de répartition joue également un rôle central dans la définition de la convergence en loi.

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V. Convergence en loi 🔴

A. Définition via la fonction de répartition

La convergence en loi est la forme de convergence la plus faible pour les variables aléatoires, mais c’est aussi la plus fréquemment utilisée en pratique (approximations, résultats asymptotiques).

La condition « \(F\) continue en \(x\) » est essentielle : aux points de discontinuité de \(F\), la convergence ponctuelle peut échouer (cf. section pièges).

B. Théorème central limite

Le théorème central limite (TCL) est l’application la plus spectaculaire de la convergence en loi. Il justifie l’omniprésence de la loi normale dans les sciences.

Le TCL montre que la FdR de \(\Phi\) joue un rôle d’attracteur universel : quelle que soit la loi de départ (pourvu qu’elle ait une variance finie), la somme normalisée converge vers la loi normale.

Il est temps de mettre en pratique toutes ces notions avec des exercices classiques.

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VI. Exercices corrigés

Voici 8 exercices classés par difficulté croissante, de l’application directe au problème type concours. Chaque correction est détaillée pas à pas.

Exercice 1 ★ (I) 🟡 — FdR d’une loi discrète

Soit \(X\) une variable aléatoire prenant les valeurs \(1\), \(2\) et \(4\) avec \(P(X = 1) = \displaystyle\frac{1}{2}\), \(P(X = 2) = \displaystyle\frac{1}{3}\) et \(P(X = 4) = \displaystyle\frac{1}{6}\).

1. Déterminer l’expression de \(F_X\) sur \(\mathbb{R}\).
2. Calculer \(P(1\) < \(X \leq 3)\) et \(P(X \geq 2)\).

Voir la correction

1. On somme les probabilités ponctuelles de proche en proche :

\(\displaystyle F_X(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x \lt 1 \\ \displaystyle\frac{1}{2} & \text{si } 1 \leq x \lt 2 \\ \displaystyle\frac{5}{6} & \text{si } 2 \leq x \lt 4 \\ 1 & \text{si } x \geq 4 \end{cases}\)

2. Par la formule \(P(a\) < \(X \leq b) = F(b) – F(a)\) :

\(\displaystyle P(1\) < \(X \leq 3) = F(3) – F(1) = \displaystyle\frac{5}{6} – \displaystyle\frac{1}{2} = \displaystyle\frac{1}{3}\)

\(\displaystyle P(X \geq 2) = 1 – P(X\) < \(2) = 1 – F(2^-) = 1 – \displaystyle\frac{1}{2} = \displaystyle\frac{1}{2}\)

On retrouve \(P(X = 2) + P(X = 4) = \displaystyle\frac{1}{3} + \displaystyle\frac{1}{6} = \displaystyle\frac{1}{2}\). ✓

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Exercice 2 ★★ 🟡 — Identifier une loi à partir de sa FdR

On considère la fonction \(F\) définie par \(F(x) = 0\) si \(x\) < \(0\) et \(F(x) = 1 – e^{-2x}\) si \(x \geq 0\).

1. Vérifier que \(F\) est une fonction de répartition.
2. Déterminer la densité de la variable aléatoire correspondante et identifier la loi.
3. Calculer \(P(1 \leq X \leq 3)\).

Voir la correction

1. Vérifions les trois propriétés :

• Croissance : pour \(x \geq 0\), \(F^\prime(x) = 2e^{-2x}\) > \(0\), donc \(F\) est strictement croissante. Sur \(]-\infty, 0[\), \(F = 0\) est constante. ✓
• Limites : \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0\) et \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} F(x) = 1 – 0 = 1\). ✓
• Continuité à droite : \(F\) est continue sur \(\mathbb{R}\) (en particulier en \(0\) : \(F(0) = 1 – 1 = 0 = F(0^-)\)). ✓

2. On dérive : pour \(x\) > \(0\), \(f(x) = F^\prime(x) = 2e^{-2x}\), et \(f(x) = 0\) pour \(x\) < \(0\). On reconnaît la densité de la loi exponentielle de paramètre \(\lambda = 2\) : \(X \sim \mathcal{E}(2)\).

3. \(P(1 \leq X \leq 3) = F(3) – F(1) = (1 – e^{-6}) – (1 – e^{-2}) = e^{-2} – e^{-6} \approx 0{,}133\).

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Exercice 3 ★★ 🟡 — Normalisation d’une densité

Soit \(f(x) = c\, x(1 – x)\) si \(x \in [0, 1]\) et \(f(x) = 0\) sinon, où \(c\) est une constante réelle.

1. Déterminer \(c\) pour que \(f\) soit une densité de probabilité.
2. Calculer la FdR \(F\) de la variable aléatoire correspondante.
3. Calculer \(P\!\left(X \leq \displaystyle\frac{1}{2}\right)\).

Voir la correction

1. Sur \([0,1]\), \(x(1-x) \geq 0\), donc la positivité impose \(c \geq 0\). La condition de normalisation donne :

\(\displaystyle \int_0^1 c\, x(1-x)\, \mathrm{d}x = c \int_0^1 (x – x^2)\, \mathrm{d}x = c\left[\displaystyle\frac{x^2}{2} – \displaystyle\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = c \cdot \displaystyle\frac{1}{6} = 1\)

d’où \(c = 6\).

2. Pour \(x \in [0,1]\) :

\(\displaystyle F(x) = \int_0^x 6t(1-t)\, \mathrm{d}t = 6\left[\displaystyle\frac{t^2}{2} – \displaystyle\frac{t^3}{3}\right]_0^x = 3x^2 – 2x^3\)

Avec \(F(x) = 0\) pour \(x\) < \(0\) et \(F(x) = 1\) pour \(x\) > \(1\).

3. \(P\!\left(X \leq \displaystyle\frac{1}{2}\right) = F\!\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right) = 3 \cdot \displaystyle\frac{1}{4} – 2 \cdot \displaystyle\frac{1}{8} = \displaystyle\frac{3}{4} – \displaystyle\frac{1}{4} = \displaystyle\frac{1}{2}\).

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Exercice 4 ★★★ 🟡 — Loi d’une fonction de VA par la FdR

Soit \(X \sim \mathcal{U}([0, 1])\) et \(Y = -\ln(X)\). Déterminer la FdR puis la densité de \(Y\), et identifier la loi obtenue.

Voir la correction

On applique la méthode de la FdR. Pour \(y \in \mathbb{R}\) :

\(\displaystyle F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(-\ln(X) \leq y) = P(\ln(X) \geq -y) = P(X \geq e^{-y})\)

car la fonction exponentielle est croissante.

Cas \(y\) < \(0\) : alors \(e^{-y}\) > \(1\), donc \(P(X \geq e^{-y}) = 0\) puisque \(X \in [0,1]\). D’où \(F_Y(y) = 0\).

Cas \(y \geq 0\) : alors \(0\) < \(e^{-y} \leq 1\). Comme \(X \sim \mathcal{U}([0,1])\), on a \(F_X(x) = x\) pour \(x \in [0,1]\), donc :

\(\displaystyle F_Y(y) = P(X \geq e^{-y}) = 1 – P(X\) < \(e^{-y}) = 1 – e^{-y}\)

En dérivant : \(f_Y(y) = e^{-y}\) pour \(y \geq 0\). On reconnaît la loi \(\mathcal{E}(1)\).

Conclusion : si \(U \sim \mathcal{U}([0,1])\), alors \(-\ln(U) \sim \mathcal{E}(1)\). Ce résultat est à la base de la simulation de lois exponentielles.

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Exercice 5 ★★★ 🟡 — FdR du maximum de VA i.i.d. uniformes

Soient \(X_1, \ldots, X_n\) des variables indépendantes de loi \(\mathcal{U}([0, 1])\). On pose \(M_n = \max(X_1, \ldots, X_n)\).

1. Déterminer la FdR de \(M_n\).
2. En déduire la densité de \(M_n\).
3. Calculer \(E(M_n)\).

Voir la correction

1. Les \(X_i\) sont indépendantes et de même FdR \(F(x) = x\) sur \([0,1]\). Par la formule du maximum :

\(\displaystyle F_{M_n}(x) = \prod_{i=1}^{n} F_{X_i}(x) = x^n \quad \text{pour } x \in [0, 1]\)

avec \(F_{M_n}(x) = 0\) pour \(x\) < \(0\) et \(F_{M_n}(x) = 1\) pour \(x\) > \(1\).

2. Par dérivation : \(f_{M_n}(x) = nx^{n-1}\) sur \([0, 1]\) et \(0\) ailleurs. C’est une loi bêta \(\mathrm{Beta}(n, 1)\).

3.

\(\displaystyle E(M_n) = \int_0^1 x \cdot nx^{n-1}\, \mathrm{d}x = n \int_0^1 x^n\, \mathrm{d}x = \displaystyle\frac{n}{n+1}\)

Quand \(n \to +\infty\), \(E(M_n) \to 1\) : le maximum de \(n\) uniformes sur \([0,1]\) se rapproche de \(1\) avec l’augmentation de \(n\).

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Exercice 6 ★★★ 🟡 — Retrouver la densité par dérivation de la FdR

On considère la FdR \(F(x) = 0\) si \(x\) < \(0\) et \(F(x) = 1 – (1 + x)\, e^{-x}\) si \(x \geq 0\).

1. Vérifier que \(F\) est bien une fonction de répartition.
2. Déterminer la densité \(f\).
3. Calculer l’espérance \(E(X)\).

Voir la correction

1. Limites : \(F(0) = 1 – 1 = 0\) ✓ et \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} F(x) = 1 – 0 = 1\) ✓. Continuité en \(0\) : \(F(0^-) = 0 = F(0)\) ✓. Croissance : on vérifie que \(F^\prime(x) \geq 0\) (voir question 2).

2. Pour \(x\) > \(0\) :

\(\displaystyle f(x) = F^\prime(x) = -e^{-x} + (1 + x)\, e^{-x} = x\, e^{-x}\)

On a bien \(f(x) \geq 0\) pour \(x \geq 0\) et \(f(x) = 0\) pour \(x\) < \(0\). C’est une densité gamma \(\Gamma(2, 1)\).

3. Par intégration par parties (deux fois) :

\(\displaystyle E(X) = \int_0^{+\infty} x \cdot x\, e^{-x}\, \mathrm{d}x = \int_0^{+\infty} x^2\, e^{-x}\, \mathrm{d}x = 2! = 2\)

(On reconnaît \(\Gamma(3) = 2! = 2\).)

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Exercice 7 ★★★★ 🟡 — Loi du minimum d’exponentielles indépendantes (type colle)

Soient \(X_1, \ldots, X_n\) des variables aléatoires indépendantes avec \(X_i \sim \mathcal{E}(\lambda_i)\) pour \(i \in \{1, \ldots, n\}\). On pose \(m = \min(X_1, \ldots, X_n)\).

1. Déterminer la FdR de \(m\) et en déduire la loi de \(m\).
2. Application : si \(\lambda_1 = \cdots = \lambda_n = \lambda\), donner la loi de \(m\) et calculer \(E(m)\).

Voir la correction

1. Pour \(x \geq 0\), la FdR de \(X_i \sim \mathcal{E}(\lambda_i)\) est \(F_i(x) = 1 – e^{-\lambda_i x}\). Par la formule du minimum de variables indépendantes :

\(\displaystyle 1 – F_m(x) = \prod_{i=1}^{n} (1 – F_i(x)) = \prod_{i=1}^{n} e^{-\lambda_i x} = e^{-(\lambda_1 + \cdots + \lambda_n)\, x}\)

donc \(F_m(x) = 1 – e^{-\Lambda x}\) avec \(\Lambda = \lambda_1 + \cdots + \lambda_n\).

On reconnaît la FdR de la loi exponentielle de paramètre \(\Lambda\) :

\(\displaystyle m \sim \mathcal{E}(\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n)\)

2. Si \(\lambda_i = \lambda\) pour tout \(i\), alors \(\Lambda = n\lambda\), donc \(m \sim \mathcal{E}(n\lambda)\) et :

\(\displaystyle E(m) = \displaystyle\frac{1}{n\lambda}\)

Interprétation : avec \(n\) processus indépendants de temps d’attente exponentiel, le premier événement arrive \(n\) fois plus vite en moyenne.

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Exercice 8 ★★★★ 🔴 — Théorème d’inversion et simulation (type concours)

Soit \(F\) une FdR continue et strictement croissante sur son support. On note \(F^{-1}\) sa bijection réciproque (fonction quantile). Soit \(U \sim \mathcal{U}([0,1])\).

1. Montrer que la variable aléatoire \(Y = F^{-1}(U)\) a pour fonction de répartition \(F\).
2. En déduire une méthode de simulation d’une variable de FdR \(F\) à partir d’une loi uniforme.
3. Application : simuler une variable de loi exponentielle \(\mathcal{E}(\lambda)\).

Voir la correction

1. \(F\) est continue strictement croissante, donc bijective de son support dans \(]0, 1[\). Pour tout \(y \in \mathbb{R}\) :

\(\displaystyle P(Y \leq y) = P(F^{-1}(U) \leq y) = P(U \leq F(y))\)

car \(F\) est croissante (l’inversion préserve le sens de l’inégalité). Or \(U \sim \mathcal{U}([0,1])\), donc \(P(U \leq t) = t\) pour \(t \in [0,1]\). D’où :

\(\displaystyle P(Y \leq y) = F(y)\)

La variable \(Y = F^{-1}(U)\) a bien pour FdR \(F\). \(\square\)

2. Méthode de simulation par inversion :

1. Générer \(u\) selon la loi \(\mathcal{U}([0,1])\).
2. Calculer \(y = F^{-1}(u)\).
3. Alors \(y\) est une réalisation de la loi de FdR \(F\).

3. Pour \(X \sim \mathcal{E}(\lambda)\) : \(F(x) = 1 – e^{-\lambda x}\). On résout \(u = 1 – e^{-\lambda x}\), soit \(e^{-\lambda x} = 1 – u\), d’où :

\(\displaystyle x = -\displaystyle\frac{1}{\lambda} \ln(1 – u) = -\displaystyle\frac{\ln(1 – U)}{\lambda}\)

Comme \(1 – U \sim \mathcal{U}([0,1])\), on peut aussi écrire \(X = -\displaystyle\frac{\ln U}{\lambda}\), ce qui retrouve le résultat de l’exercice 4 pour \(\lambda = 1\).

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VII. Erreurs fréquentes et pièges classiques

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VIII. Questions fréquentes

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Pour aller plus loin

Tu maîtrises maintenant la fonction de répartition et la densité de probabilité. Pour approfondir chaque loi classique et t’entraîner sur des exercices supplémentaires, consulte :

• Variables aléatoires : cours complet — le pilier du cocon pour une vue d’ensemble
• Loi binomiale : cours et propriétés
• Loi normale : cours et propriétés
• Loi exponentielle : cours et propriétés
• Loi de Poisson : cours et propriétés
• Espérance : formule, calcul et définition
• Variance : formule, calcul et définition
• Exercices variables aléatoires corrigés