Séries de Fourier : Cours Complet, Théorèmes et Exercices Corrigés

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Toute fonction périodique suffisamment régulière se décompose en somme de sinusoïdes : c’est le principe des séries de Fourier (Fourier series en anglais). Outil fondamental de l’analyse harmonique, elles interviennent en physique mathématique, traitement du signal et résolution d’EDP. Ce cours couvre définitions, théorèmes de convergence (Dirichlet, Parseval), six exemples calculés pas à pas et exercices corrigés — conforme au programme MP/PC/PSI 2025-2026.

I. Définitions et Coefficients de Fourier

L’idée centrale est de projeter une fonction périodique sur une base orthogonale de fonctions trigonométriques. Cette projection produit les coefficients de Fourier, qui mesurent la « quantité » de chaque harmonique présente dans le signal.

A. Fonctions périodiques et système trigonométrique

On travaille dans l’espace \(L^2_{2\pi}\) des fonctions \(2\pi\)-périodiques de carré intégrable, muni du produit scalaire :

\(\langle f, g \rangle = \displaystyle\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,\overline{g(t)}\,\mathrm{d}t\)

et de la norme associée \(\|f\| = \sqrt{\langle f, f \rangle}\).

Cette orthogonalité se vérifie par calcul direct des intégrales, en linéarisant les produits trigonométriques. Géométriquement, on dispose d’une base orthogonale de l’espace de Hilbert \(L^2_{2\pi}\), et décomposer une fonction en série de Fourier revient à la projeter orthogonalement sur chacun des vecteurs de cette base.

B. Coefficients de Fourier réels \((a_0, a_n, b_n)\)

Les sommes partielles (ou sommes de Fourier d’ordre \(N\)) sont notées :

\(S_N(f)(t) = \displaystyle\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{N} \bigl[a_n \cos(nt) + b_n \sin(nt)\bigr]\)

La question fondamentale est : la suite \((S_N(f))_{N \geq 0}\) converge-t-elle vers \(f\), et en quel sens ?

C. Coefficients de Fourier complexes \((c_n)\)

La forme exponentielle complexe est souvent plus commode pour les calculs et pour la théorie.

Relations entre coefficients réels et complexes. Pour \(f\) à valeurs réelles :

• \(c_0 = \displaystyle\frac{a_0}{2}\)
• \(\forall\, n \geq 1, \quad c_n = \displaystyle\frac{a_n – i\,b_n}{2}, \qquad c_{-n} = \displaystyle\frac{a_n + i\,b_n}{2} = \overline{c_n}\)

En particulier, pour \(f\) réelle : \(c_{-n} = \overline{c_n}\), ce qui signifie que le spectre est symétrique.

D. Harmoniques et spectre de Fourier

L’harmonique de rang \(n\) est la composante \(a_n \cos(nt) + b_n \sin(nt)\) (ou \(c_n e^{int} + c_{-n} e^{-int}\)). Elle oscille à la fréquence \(n\) (en multiples de la fréquence fondamentale). Le spectre d’amplitude est la suite \((|c_n|)_{n \in \mathbb{Z}}\) : il visualise la répartition de l’énergie entre les différentes fréquences.

Le spectre du créneau (que l’on calculera en section V) décroît en \(\displaystyle\frac{1}{|n|}\) : le signal carré est riche en harmoniques, ce qui explique le phénomène de Gibbs aux discontinuités.

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II. Propriétés des Coefficients de Fourier

Plusieurs propriétés permettent de simplifier considérablement le calcul des coefficients et de contrôler le comportement de la série. Maîtrise-les avant de te lancer dans les exemples.

A. Parité et simplification des coefficients

B. Changement de période

Si \(f\) est \(2T\)-périodique (au lieu de \(2\pi\)-périodique), on pose \(\omega = \displaystyle\frac{\pi}{T}\) et les formules deviennent :

\(a_n = \displaystyle\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(t)\cos(n\omega t)\,\mathrm{d}t, \qquad b_n = \displaystyle\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(t)\sin(n\omega t)\,\mathrm{d}t\) \(S(f)(t) = \displaystyle\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty}\bigl[a_n\cos(n\omega t) + b_n\sin(n\omega t)\bigr]\)

En pratique, tu peux aussi effectuer le changement de variable \(u = \displaystyle\frac{\pi t}{T}\) pour te ramener au cas \(2\pi\)-périodique.

C. Lemme de Riemann-Lebesgue ⋆

Démonstration (cas \(f\) de classe \(\mathcal{C}^1\) par morceaux) ⋆. Une intégration par parties donne, pour \(n \neq 0\) :

\(a_n(f) = \displaystyle\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos(nt)\,\mathrm{d}t = \displaystyle\frac{1}{n\pi}\Bigl[f(t)\sin(nt)\Bigr]_{-\pi}^{\pi} – \displaystyle\frac{1}{n\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f^\prime(t)\sin(nt)\,\mathrm{d}t\)

Le crochet s’annule par \(2\pi\)-périodicité, d’où \(a_n(f) = -\displaystyle\frac{b_n(f^\prime)}{n}\). L’inégalité de Bessel appliquée à \(f^\prime\) garantit que \(\sum b_n(f^\prime)^2\) converge, donc \(b_n(f^\prime) \to 0\), et \(a_n(f) = O\!\left(\displaystyle\frac{1}{n}\right) \to 0\). Même raisonnement pour \(b_n(f)\). ■

D. Inégalité de Bessel et égalité de Parseval ⋆

Démonstration ⋆. Pour tout \(N \in \mathbb{N}\), la somme partielle \(S_N(f)\) est la projection orthogonale de \(f\) sur l’espace engendré par \(\{1, \cos(t), \sin(t), \ldots, \cos(Nt), \sin(Nt)\}\). Par le théorème de Pythagore dans \(L^2_{2\pi}\) :

\(\|f – S_N(f)\|^2 = \|f\|^2 – \|S_N(f)\|^2 \geq 0\)

Or, par orthogonalité :

\(\|S_N(f)\|^2 = \displaystyle\frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{N}(a_n^2 + b_n^2)\)

D’où \(\displaystyle\frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{N}(a_n^2 + b_n^2) \leq \|f\|^2\) pour tout \(N\). Le passage à la limite \(N \to +\infty\) donne l’inégalité de Bessel. ■

Idée de la démonstration ⋆. L’inégalité de Bessel donne le sens \(\leq\). Pour le sens \(\geq\), il suffit de montrer que le système trigonométrique est total dans \(L^2_{2\pi}\) : tout élément de \(L^2_{2\pi}\) est limite (en norme \(L^2\)) de polynômes trigonométriques. Cela résulte du théorème de Fejér (les moyennes de Cesàro des sommes partielles convergent uniformément vers \(f\) continue) ou du théorème d’approximation de Weierstrass trigonométrique. La totalité entraîne \(\|f – S_N(f)\| \to 0\), d’où \(\|S_N(f)\| \to \|f\|\), ce qui donne l’égalité. ■

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III. Théorèmes de Convergence

Calculer les coefficients de Fourier ne suffit pas : il faut savoir en quel sens la série converge vers \(f\). Trois modes de convergence interviennent en CPGE, chacun avec ses hypothèses propres. La convergence des séries de Fourier est un cas particulier de la théorie générale de la convergence des séries de fonctions.

A. Théorème de Dirichlet — Convergence ponctuelle ⋆

La preuve complète repose sur l’étude du noyau de Dirichlet \(D_N(t) = \displaystyle\frac{\sin\!\left((N+\displaystyle\frac{1}{2})t\right)}{2\pi\sin(t/2)}\) et sur le lemme de Riemann-Lebesgue. Elle est généralement admise en CPGE, mais l’énoncé précis est exigible.

B. Convergence uniforme et convergence normale

Critère pratique de convergence normale. Si \(\sum_{n \geq 1}(|a_n| + |b_n|)\) converge (ou si \(\sum_{n \in \mathbb{Z}}|c_n|\) converge), alors la série de Fourier converge normalement — donc uniformément — sur \(\mathbb{R}\). En pratique, on utilise la décroissance des coefficients : si \(f \in \mathcal{C}^2\) et \(2\pi\)-périodique, alors \(c_n = O(1/n^2)\) et la série \(\sum |c_n|\) converge (comparaison à une série de Riemann d’exposant 2). Plus généralement, pour la convergence des séries de fonctions en convergence normale, voir le cours sur les séries de fonctions.

C. Convergence en moyenne quadratique

L’égalité de Parseval se reformule comme un résultat de convergence \(L^2\) :

\(\|f – S_N(f)\|^2 = \|f\|^2 – \left(\displaystyle\frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{N}(a_n^2 + b_n^2)\right) \underset{N \to +\infty}{\longrightarrow} 0\)

Autrement dit : \(S_N(f) \to f\) en norme \(L^2\), pour toute \(f \in L^2_{2\pi}\) — sans aucune hypothèse de régularité supplémentaire. C’est le mode de convergence le plus faible mais le plus général.

D. Phénomène de Gibbs

Au voisinage d’un point de discontinuité, les sommes partielles \(S_N(f)\) présentent un dépassement (« overshoot ») qui ne disparaît pas quand \(N \to +\infty\) : il se concentre sur un intervalle de plus en plus étroit, mais son amplitude tend vers une constante universelle.

Pour le signal créneau par exemple, le dépassement maximal vaut environ \(9\%\) de l’amplitude du saut, quelle que soit la valeur de \(N\). Plus précisément :

\(\sup_{t} S_N(f)(t) \underset{N \to +\infty}{\longrightarrow} \displaystyle\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}\displaystyle\frac{\sin u}{u}\,\mathrm{d}u \approx 1{,}179\)

alors que \(f(t) = 1\) pour \(t\) > \(0\). Ce phénomène est intrinsèque à la convergence ponctuelle des séries de Fourier au voisinage des discontinuités.

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IV. Méthode — Décomposer une Fonction en Série de Fourier

Voici la démarche systématique à suivre pour tout exercice de décomposition en série de Fourier.

A. Les 6 étapes

B. Astuces de calcul

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V. Exemples Calculés et Applications

Appliquons la méthode à six fonctions classiques. Chaque exemple débouche sur un résultat remarquable — somme de série ou identité analytique — fréquemment exploité en concours.

A. Signal créneau (fonction signe)

Soit \(f\) la fonction \(2\pi\)-périodique définie par :

\(f(t) = \begin{cases} 1 & \text{si } t \in \;]0, \pi[ \\ -1 & \text{si } t \in \;]{-\pi}, 0[ \\ 0 & \text{si } t \in \{0, \pi\} \end{cases}\)

Étape 1–2. La période est \(2\pi\). La fonction \(f\) est impaire, donc \(a_n = 0\) pour tout \(n \geq 0\).

Étape 3–4. Calcul de \(b_n\) :

\(b_n = \displaystyle\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\sin(nt)\,\mathrm{d}t = \displaystyle\frac{2}{n\pi}\bigl[1 – \cos(n\pi)\bigr] = \displaystyle\frac{2}{n\pi}\bigl(1 – (-1)^n\bigr)\)

D’où : \(b_n = 0\) si \(n\) pair, et \(b_n = \displaystyle\frac{4}{n\pi}\) si \(n\) impair.

Étape 5. Série de Fourier :

\(S(f)(t) = \displaystyle\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{+\infty}\displaystyle\frac{\sin\bigl((2k+1)t\bigr)}{2k+1}\)

Étape 6. Par Dirichlet (en tout point de continuité), \(S(f)(t) = f(t)\). En \(t = \displaystyle\frac{\pi}{2}\) :

\(1 = \displaystyle\frac{4}{\pi}\left(1 – \displaystyle\frac{1}{3} + \displaystyle\frac{1}{5} – \displaystyle\frac{1}{7} + \cdots\right)\)

B. Fonction \(x^2\) sur \([-\pi, \pi]\)

Soit \(f(t) = t^2\), prolongée par \(2\pi\)-périodicité. La fonction est paire, donc \(b_n = 0\).

\(a_0 = \displaystyle\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}t^2\,\mathrm{d}t = \displaystyle\frac{2\pi^2}{3}\)

Pour \(n \geq 1\), deux intégrations par parties successives donnent :

\(\int_0^{\pi}t^2\cos(nt)\,\mathrm{d}t = \displaystyle\frac{2\pi(-1)^n}{n^2}\)

D’où \(a_n = \displaystyle\frac{4(-1)^n}{n^2}\). La série de Fourier est :

\(t^2 = \displaystyle\frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{+\infty}\displaystyle\frac{(-1)^n\cos(nt)}{n^2} \qquad \forall\, t \in [-\pi, \pi]\)

(Convergence uniforme car \(f\) est continue et \(\mathcal{C}^1\) par morceaux.)

Applications. En évaluant en \(t = \pi\) :

\(\pi^2 = \displaystyle\frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{+\infty}\displaystyle\frac{1}{n^2} \quad \Longrightarrow \quad \sum_{n=1}^{+\infty}\displaystyle\frac{1}{n^2} = \displaystyle\frac{\pi^2}{6}\)

En évaluant en \(t = 0\) :

\(0 = \displaystyle\frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{+\infty}\displaystyle\frac{(-1)^n}{n^2} \quad \Longrightarrow \quad \sum_{n=1}^{+\infty}\displaystyle\frac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \displaystyle\frac{\pi^2}{12}\)

C. Fonction \(|x|\) sur \([-\pi, \pi]\)

Soit \(f(t) = |t|\) prolongée par \(2\pi\)-périodicité. La fonction est paire, donc \(b_n = 0\).

\(a_0 = \displaystyle\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}t\,\mathrm{d}t = \pi\)

Pour \(n \geq 1\), une intégration par parties donne :

\(a_n = \displaystyle\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}t\cos(nt)\,\mathrm{d}t = \displaystyle\frac{2}{\pi n^2}\bigl((-1)^n – 1\bigr)\)

Donc \(a_n = 0\) si \(n\) pair, et \(a_n = -\displaystyle\frac{4}{\pi n^2}\) si \(n\) impair. La série de Fourier est :

\(|t| = \displaystyle\frac{\pi}{2} – \displaystyle\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{+\infty}\displaystyle\frac{\cos\bigl((2k+1)t\bigr)}{(2k+1)^2} \qquad \forall\, t \in [-\pi, \pi]\)

En \(t = 0\) : \(0 = \displaystyle\frac{\pi}{2} – \displaystyle\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{+\infty}\displaystyle\frac{1}{(2k+1)^2}\), d’où \(\sum_{k=0}^{+\infty}\displaystyle\frac{1}{(2k+1)^2} = \displaystyle\frac{\pi^2}{8}\), et l’on retrouve \(\zeta(2) = \displaystyle\frac{\pi^2}{6}\).

D. Dent de scie et fonction exponentielle

Dent de scie. Soit \(f(t) = t\) sur \(]-\pi, \pi[\), prolongée par \(2\pi\)-périodicité. La fonction est impaire, donc \(a_n = 0\).

\(b_n = \displaystyle\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}t\sin(nt)\,\mathrm{d}t = \displaystyle\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\) \(t = 2\sum_{n=1}^{+\infty}\displaystyle\frac{(-1)^{n+1}\sin(nt)}{n} \qquad \forall\, t \in \;]{-\pi}, \pi[\)

En \(t = \displaystyle\frac{\pi}{2}\), on retrouve \(\sum_{k=0}^{+\infty}\displaystyle\frac{(-1)^k}{2k+1} = \displaystyle\frac{\pi}{4}\).

Fonction exponentielle \(e^t\). Ici, \(f\) n’est ni paire ni impaire. Les coefficients complexes sont plus commodes :

\(c_n = \displaystyle\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^t\,e^{-int}\,\mathrm{d}t = \displaystyle\frac{1}{2\pi}\cdot\displaystyle\frac{e^{(1-in)\pi} – e^{-(1-in)\pi}}{1-in}\)

En factorisant \((-1)^n = e^{\pm in\pi}\) :

\(c_n = \displaystyle\frac{(-1)^n\,\mathrm{sh}(\pi)}{\pi(1-in)}\)

Les coefficients réels s’en déduisent : \(a_n = \displaystyle\frac{2(-1)^n\,\mathrm{sh}(\pi)}{\pi(1+n^2)}\) et \(b_n = -\displaystyle\frac{2n(-1)^n\,\mathrm{sh}(\pi)}{\pi(1+n^2)}\).

E. Sommes de séries classiques via Parseval

L’application la plus spectaculaire de la théorie de Fourier est le calcul de sommes de séries numériques. La stratégie : décomposer une fonction bien choisie, puis appliquer Parseval.

Calcul de \(\zeta(4) = \displaystyle\frac{\pi^4}{90}\). On applique Parseval à \(f(t) = t^2\) :

\(\displaystyle\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}t^4\,\mathrm{d}t = \displaystyle\frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty}a_n^2\) \(\displaystyle\frac{2\pi^4}{5} = \displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{2\pi^2}{3}\right)^2 + 16\sum_{n=1}^{+\infty}\displaystyle\frac{1}{n^4} = \displaystyle\frac{2\pi^4}{9} + 16\,\zeta(4)\)

Calcul de \(\sum \displaystyle\frac{1}{1+n^2}\). On applique Parseval à \(f(t) = e^t\) :

\(\displaystyle\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{2t}\,\mathrm{d}t = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}|c_n|^2 = \displaystyle\frac{\mathrm{sh}^2(\pi)}{\pi^2}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\displaystyle\frac{1}{1+n^2}\)

Le membre de gauche vaut \(\displaystyle\frac{\mathrm{sh}(2\pi)}{2\pi} = \displaystyle\frac{\mathrm{sh}(\pi)\,\mathrm{ch}(\pi)}{\pi}\). Après simplification :

Le tableau suivant récapitule les coefficients et les résultats obtenus :

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VI. Exercices Corrigés

Voici cinq exercices classés par difficulté croissante, représentatifs des questions de DS et de concours. Pour un entraînement intensif, consulte notre banque de exercices corrigés sur les séries de Fourier.

Exercice 1 ★★ — Série de Fourier de \(\cos^2(t)\)

Décomposer \(f(t) = \cos^2(t)\) en série de Fourier. Commenter le résultat.

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La formule de linéarisation donne immédiatement :

\(\cos^2(t) = \displaystyle\frac{1 + \cos(2t)}{2}\)

C’est déjà un polynôme trigonométrique ! La série de Fourier est « finie » : \(a_0 = 1\), \(a_2 = \displaystyle\frac{1}{2}\), tous les autres coefficients sont nuls.

Commentaire : Cet exercice rappelle que les formules de trigonométrie sont des cas particuliers de décomposition de Fourier. C’est un contrôle de cohérence utile.

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Exercice 2 ★★★ — Série de Fourier de \(|\sin(t)|\)

Calculer les coefficients de Fourier de \(f(t) = |\sin(t)|\) et en déduire la valeur de \(\sum_{n=1}^{+\infty}\displaystyle\frac{1}{4n^2-1}\).

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La fonction \(|\sin(t)|\) est paire et \(\pi\)–périodique (donc aussi \(2\pi\)-périodique). Puisqu’elle est paire : \(b_n = 0\).

\(a_0 = \displaystyle\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\sin(t)\,\mathrm{d}t = \displaystyle\frac{4}{\pi}\)

Pour \(n \geq 1\) :

\(a_n = \displaystyle\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\sin(t)\cos(nt)\,\mathrm{d}t\)

En linéarisant : \(\sin(t)\cos(nt) = \displaystyle\frac{1}{2}\bigl[\sin((n+1)t) – \sin((n-1)t)\bigr]\) (pour \(n \neq 1\)).

Après calcul : \(a_n = -\displaystyle\frac{2}{\pi}\cdot\displaystyle\frac{1+(-1)^n}{n^2 – 1}\) pour \(n \geq 2\), et \(a_1 = 0\).

Pour \(n\) impair (\(n \geq 3\)) : \(a_n = 0\). Pour \(n = 2p\) pair : \(a_{2p} = -\displaystyle\frac{4}{\pi(4p^2 – 1)}\).

\(|\sin(t)| = \displaystyle\frac{2}{\pi} – \displaystyle\frac{4}{\pi}\sum_{p=1}^{+\infty}\displaystyle\frac{\cos(2pt)}{4p^2-1}\)

En \(t = 0\) : \(0 = \displaystyle\frac{2}{\pi} – \displaystyle\frac{4}{\pi}\sum_{p=1}^{+\infty}\displaystyle\frac{1}{4p^2-1}\), d’où :

\(\sum_{n=1}^{+\infty}\displaystyle\frac{1}{4n^2-1} = \displaystyle\frac{1}{2}\)

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Exercice 3 ★★★ — Parseval et \(\zeta(4)\)

En appliquant l’égalité de Parseval à la fonction \(f(t) = t^2\) sur \([-\pi, \pi]\), retrouver \(\zeta(4) = \displaystyle\frac{\pi^4}{90}\).

Voir la correction

D’après la section V.B, les coefficients de \(f(t)=t^2\) sont \(a_0 = \displaystyle\frac{2\pi^2}{3}\) et \(a_n = \displaystyle\frac{4(-1)^n}{n^2}\). Parseval donne :

\(\displaystyle\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}t^4\,\mathrm{d}t = \displaystyle\frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty}a_n^2\)

Membre de gauche : \(\displaystyle\frac{2\pi^4}{5}\). Membre de droite : \(\displaystyle\frac{2\pi^4}{9} + 16\,\zeta(4)\).

Résolution : \(16\,\zeta(4) = \displaystyle\frac{2\pi^4}{5} – \displaystyle\frac{2\pi^4}{9} = \displaystyle\frac{8\pi^4}{45}\), d’où \(\zeta(4) = \displaystyle\frac{\pi^4}{90}\). ■

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Exercice 4 ★★★★ — Décomposition de \(\cos(\alpha t)\) et cotangente

Soit \(\alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}\). On considère \(f(t) = \cos(\alpha t)\) sur \([-\pi, \pi]\), prolongée par \(2\pi\)-périodicité.

1. Calculer les coefficients de Fourier de \(f\).
2. En déduire le développement en éléments simples de la cotangente : \(\pi\,\mathrm{cotan}(\pi\alpha) = \displaystyle\frac{1}{\alpha} + \sum_{n=1}^{+\infty}\displaystyle\frac{2\alpha}{\alpha^2 – n^2}\).

Voir la correction

1. La fonction \(f(t) = \cos(\alpha t)\) est paire, donc \(b_n = 0\). Pour \(n \geq 0\) :

\(a_n = \displaystyle\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\cos(\alpha t)\cos(nt)\,\mathrm{d}t\)

Linéarisation : \(\cos(\alpha t)\cos(nt) = \displaystyle\frac{1}{2}\bigl[\cos((\alpha+n)t) + \cos((\alpha-n)t)\bigr]\).

Après intégration (valide car \(\alpha \notin \mathbb{Z}\)) :

\(a_n = \displaystyle\frac{1}{\pi}\left[\displaystyle\frac{\sin((\alpha+n)\pi)}{\alpha+n} + \displaystyle\frac{\sin((\alpha-n)\pi)}{\alpha-n}\right] = \displaystyle\frac{2\alpha(-1)^n\sin(\alpha\pi)}{\pi(\alpha^2-n^2)}\)

2. Par Dirichlet, la série converge vers \(f(t)\) en tout point de continuité. En \(t = \pi\) (point de continuité du prolongement périodique, attention aux hypothèses) :

\(\cos(\alpha\pi) = \displaystyle\frac{\sin(\alpha\pi)}{\pi\alpha} + \displaystyle\frac{2\alpha\sin(\alpha\pi)}{\pi}\sum_{n=1}^{+\infty}\displaystyle\frac{1}{\alpha^2-n^2}\)

En divisant par \(\sin(\alpha\pi)\) (non nul car \(\alpha \notin \mathbb{Z}\)) :

\(\pi\,\mathrm{cotan}(\pi\alpha) = \displaystyle\frac{1}{\alpha} + \sum_{n=1}^{+\infty}\displaystyle\frac{2\alpha}{\alpha^2-n^2}\)

C’est le développement en éléments simples de \(\pi\,\mathrm{cotan}(\pi\alpha)\), un résultat classique d’analyse complexe retrouvé ici par Fourier. ■

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Exercice 5 ★★★★ — Convergence normale et Parseval (type concours)

Soit \(f\) la fonction \(2\pi\)-périodique définie par \(f(t) = e^{-|t|}\) pour \(t \in [-\pi, \pi]\).

1. Calculer les coefficients de Fourier de \(f\).
2. Montrer que la série de Fourier de \(f\) converge normalement sur \(\mathbb{R}\).
3. En déduire la valeur de \(\sum_{n=1}^{+\infty}\displaystyle\frac{1}{(1+n^2)^2}\).

Voir la correction

1. La fonction \(f(t) = e^{-|t|}\) est paire, donc \(b_n = 0\).

\(a_0 = \displaystyle\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}e^{-t}\,\mathrm{d}t = \displaystyle\frac{2(1 – e^{-\pi})}{\pi}\)

Pour \(n \geq 1\) :

\(a_n = \displaystyle\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}e^{-t}\cos(nt)\,\mathrm{d}t = \displaystyle\frac{2}{\pi}\cdot\displaystyle\frac{1-(-1)^n e^{-\pi}}{1+n^2}\)

(par la formule \(\int e^{-t}\cos(nt)\,\mathrm{d}t = \displaystyle\frac{e^{-t}(-\cos(nt)+n\sin(nt))}{1+n^2}\)).

2. Pour \(n \geq 1\) : \(|a_n| \leq \displaystyle\frac{2}{\pi}\cdot\displaystyle\frac{1+e^{-\pi}}{1+n^2} \leq \displaystyle\frac{C}{n^2}\). La série \(\sum |a_n|\) converge par comparaison à la série de Riemann d’exposant 2. La série de Fourier converge donc normalement sur \(\mathbb{R}\).

3. Parseval appliqué à \(f\) :

\(\displaystyle\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-2|t|}\,\mathrm{d}t = \displaystyle\frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty}a_n^2\)

Membre de gauche : \(\displaystyle\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}e^{-2t}\,\mathrm{d}t = \displaystyle\frac{1-e^{-2\pi}}{\pi}\).

Membre de droite : \(\displaystyle\frac{2(1-e^{-\pi})^2}{\pi^2} + \displaystyle\frac{4}{\pi^2}\sum_{n=1}^{+\infty}\displaystyle\frac{(1-(-1)^n e^{-\pi})^2}{(1+n^2)^2}\).

En développant et en séparant les termes, on peut isoler \(\sum \displaystyle\frac{1}{(1+n^2)^2}\) (exercice de calcul que le correcteur attend mené jusqu’au bout). Le résultat final s’exprime en fonction de \(\pi\), \(e^{-\pi}\) et \(\mathrm{coth}(\pi)\). ■

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VII. Erreurs Fréquentes et Pièges Concours

Les copies de concours en séries de Fourier contiennent des erreurs récurrentes. En voici les plus coûteuses, avec le diagnostic et la correction.

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VIII. Questions Fréquentes

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Pour Aller Plus Loin

Tu maîtrises maintenant les définitions, propriétés et techniques de calcul des séries de Fourier. Pour consolider et approfondir :

• Exercices corrigés : séries de Fourier — 15 exercices classés par difficulté, du DS au concours X-ENS
• Séries de fonctions : convergence simple, uniforme, normale — le cadre général dont les séries de Fourier sont un cas particulier
• Séries entières — l’autre grande famille de séries de fonctions au programme
• Séries de Riemann — critère de comparaison essentiel pour la convergence des coefficients
• Vue d’ensemble : toutes les séries en mathématiques — pilier du cocon, vue synthétique

Références bibliographiques :

• X. Gourdon, Les maths en tête — Analyse, Ellipses
• Ramis, Deschamps, Odoux, Cours de mathématiques spéciales — Analyse, Dunod
• Francinou, Gianella, Nicolas, Oraux X-ENS — Analyse 3, Cassini

Conforme au programme officiel MP/PC/PSI 2025-2026.

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