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En concours comme en DS, l’étude de la nature d’une série numérique revient à chaque épreuve. Le vrai défi : choisir le bon critère de convergence au bon moment. Tu trouveras ici les sept critères essentiels en un tableau synthétique, un arbre de décision systématique, des exemples résolus et des exercices d’application au niveau concours.
I. Les 7 critères de convergence — Tableau comparatif
Avant d’entrer dans le détail de chaque critère, voici une vue d’ensemble. Ce tableau résume les hypothèses, les conclusions et — surtout — les situations où chaque critère est pertinent. C’est ton outil de référence pour l’étude de la convergence d’une série numérique.
| Critère | Hypothèses | Conclusion | Quand l’utiliser | Piège principal |
|---|---|---|---|---|
| D’Alembert | \(u_n\) > \(0\), \(\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n} \to \ell\) | \(\ell\) < \(1\) : CV\(\ell\) > \(1\) : DV | Factorielles \(n!\), exponentielles \(a^n\) | \(\ell = 1\) : aucune conclusion |
| Cauchy (racine) | \(u_n \geq 0\), \(u_n^{1/n} \to \ell\) | Idem d’Alembert | Termes de la forme \(v_n^{\,n}\) | Souvent même résultat que d’Alembert |
| Comparaison | \(0 \leq u_n \leq v_n\) à partir d’un certain rang | \(\sum v_n\) CV \(\Rightarrow \sum u_n\) CV | Majoration par une série connue | Le sens de l’inégalité est capital |
| Équivalence | \(u_n\) > \(0\), \(u_n \sim v_n\) | Même nature que \(\sum v_n\) | DL, fractions rationnelles | Termes positifs seulement |
| Riemann | \(\displaystyle\sum \displaystyle\frac{1}{n^\alpha}\) | CV \(\Leftrightarrow \alpha\) > \(1\) | Série de référence universelle | \(\alpha = 1\) : harmonique, diverge |
| Intégral | \(f\) continue, décroissante, \(\geq 0\) | Série et intégrale impropre de même nature | Présence de \(\ln n\), termes composés | \(f\) doit être décroissante |
| CSSA (Leibniz) | \((-1)^n a_n\), \((a_n)\) décroissante, \(a_n \to 0\) | La série converge | Séries à signe alternant | Ne prouve pas la CV absolue |
La fiche recto-verso des critères de convergence
Tableau comparatif + arbre de décision + modèles de rédaction concours — tout sur une page.
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Réflexe d’examen : ne teste pas les critères à l’aveugle. Repère la forme du terme général — factorielle, exponentielle, fraction rationnelle, signe alternant — et le bon critère s’impose d’office. La section suivante traduit cette logique en un arbre de décision.
II. Méthode pas à pas — Quel critère choisir ?
Face à une série \(\sum u_n\), applique systématiquement les cinq étapes suivantes.
A. Étape 1 — Condition nécessaire
Condition nécessaire de convergence
Si la série \(\sum u_n\) converge, alors \(u_n \to 0\).
Contraposée : si \(u_n \not\to 0\), la série diverge grossièrement.
C’est le premier réflexe. Si \(u_n\) ne tend pas vers \(0\), inutile de chercher plus loin : la série diverge. En concours, commence toujours par vérifier ce point — même si c’est « évident ».
B. Étape 2 — Identifier la forme du terme général
- Présence de factorielles \(n!\), d’exponentielles \(a^n\), ou de \(n^n\) → pense à d’Alembert ou Cauchy.
- Fraction rationnelle en \(n\) ou développement limité possible → pense aux équivalents et à la comparaison avec une série de Riemann.
- Termes avec \(\ln n\) ou fonctions composées de \(n\) → pense au critère intégral.
- Signe alternant \((-1)^n\) → pense au CSSA.
- Somme télescopique visible → calcule la somme partielle directement.
C. Étape 3 — Convergence absolue ou étude directe ?
Si les termes changent de signe, essaie d’abord de montrer la convergence absolue en étudiant \(\sum |u_n|\). Si \(\sum |u_n|\) converge, alors \(\sum u_n\) converge aussi (absolument). Si \(\sum |u_n|\) diverge, tente le CSSA ou la transformation d’Abel.
D. Étape 4 — Appliquer le critère adapté
L’arbre de décision ci-dessous synthétise toute la logique des étapes 1 à 4.
E. Étape 5 — Rédiger la conclusion
À écrire sur la copie : nomme le critère utilisé, cite explicitement les hypothèses vérifiées, puis écris la conclusion. Un résultat sans justification est un résultat non compté.
Exemple de rédaction : « La suite \(\left(\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}\right)\) converge vers \(\displaystyle\frac{1}{3}\) < \(1\). Par le critère de d’Alembert, la série \(\sum u_n\) converge. »
III. Critère de d’Alembert et règle de Cauchy
Ce sont les deux critères « automatiques » : ils s’appliquent dès que le terme général contient des factorielles, des exponentielles ou des puissances \(n\)-ièmes. Ils donnent souvent le même résultat — mais pas toujours.
A. Critère de d’Alembert (règle du quotient)
Théorème (d’Alembert)
Soit \(\sum u_n\) une série à termes strictement positifs à partir d’un certain rang. Si \(\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n} \to \ell \in \mathbb{R}^+ \cup \{+\infty\}\), alors :
- si \(\ell\) < \(1\), la série \(\sum u_n\) converge ;
- si \(\ell\) > \(1\) (ou \(\ell = +\infty\)), la série \(\sum u_n\) diverge grossièrement.
Cas \(\ell = 1\) : le critère de d’Alembert ne conclut pas. C’est le piège le plus fréquent en DS. Les séries \(\sum \displaystyle\frac{1}{n}\) (divergente) et \(\sum \displaystyle\frac{1}{n^2}\) (convergente) donnent toutes les deux \(\ell = 1\). Il faut alors changer de stratégie : équivalents, Riemann, critère intégral…
Exemple : Nature de \(\sum_{n \geq 1} \displaystyle\frac{n!}{n^n}\).
On calcule \(\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n} = \displaystyle\frac{(n+1)! \cdot n^n}{(n+1)^{n+1} \cdot n!} = \displaystyle\frac{n^n}{(n+1)^n} = \left(\displaystyle\frac{n}{n+1}\right)^n \to e^{-1}\).
Comme \(e^{-1}\) < \(1\), la série converge par le critère de d’Alembert.
B. Règle de Cauchy (racine \(n\)-ième)
Théorème (Cauchy)
Soit \(\sum u_n\) une série à termes positifs à partir d’un certain rang. Si \(u_n^{1/n} \to \ell\), alors :
- si \(\ell\) < \(1\), la série converge ;
- si \(\ell\) > \(1\), la série diverge grossièrement.
La règle de Cauchy est particulièrement adaptée quand le terme général est de la forme \(v_n^{\,n}\), car la racine \(n\)-ième simplifie immédiatement la puissance.
Exemple : Nature de \(\sum_{n \geq 1} \left(\displaystyle\frac{n}{2n+1}\right)^n\).
On a \(u_n^{1/n} = \displaystyle\frac{n}{2n+1} \to \displaystyle\frac{1}{2}\) < \(1\).
Par la règle de Cauchy, la série converge.
C. D’Alembert vs Cauchy — Lequel est le plus puissant ?
La réponse est tranchée : Cauchy est au moins aussi puissant que d’Alembert. Plus précisément, pour toute suite \((u_n)\) à termes strictement positifs :
\(\liminf \displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n} \leq \liminf\, u_n^{1/n} \leq \limsup\, u_n^{1/n} \leq \limsup \displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}\)
Cette chaîne d’inégalités signifie que dès que d’Alembert conclut, Cauchy conclut aussi — mais il existe des séries où Cauchy conclut et d’Alembert ne conclut pas (le rapport \(u_{n+1}/u_n\) n’admet pas de limite).
En pratique : les deux critères donnent presque toujours le même résultat. Utilise d’Alembert quand \(u_n\) contient des factorielles (le rapport simplifie \(n!\)). Utilise Cauchy quand \(u_n\) contient des puissances \(n\)-ièmes (la racine les élimine). Si les deux donnent \(\ell = 1\), change de stratégie.
IV. Critères de comparaison, d’équivalence et séries de référence
Quand d’Alembert et Cauchy donnent \(\ell = 1\) — ce qui arrive dès que le terme général est une fraction rationnelle en \(n\) —, il faut changer d’approche. Les critères de cette section reposent sur un principe simple : comparer la série inconnue à une série de nature connue.
A. Comparaison directe
Théorème (comparaison des séries à termes positifs)
Soient \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) deux séries à termes positifs telles que \(0 \leq u_n \leq v_n\) à partir d’un certain rang.
- Si \(\sum v_n\) converge, alors \(\sum u_n\) converge (majoration).
- Si \(\sum u_n\) diverge, alors \(\sum v_n\) diverge (minoration).
Attention au sens de l’inégalité : majorer par une série divergente ou minorer par une série convergente ne donne aucune information. C’est l’erreur la plus fréquente avec ce critère.
B. Critère d’équivalence
Théorème (équivalence)
Soient \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) deux séries à termes strictement positifs à partir d’un certain rang. Si \(u_n \sim v_n\), alors \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) sont de même nature.
C’est le critère le plus utilisé en pratique, car il se combine naturellement avec les développements limités et les équivalents classiques. Pour une fraction rationnelle \(u_n = \displaystyle\frac{P(n)}{Q(n)}\), il suffit d’extraire le terme dominant au numérateur et au dénominateur.
Hypothèse critique : le critère d’équivalence s’applique uniquement aux séries à termes positifs. Pour une série à termes de signe quelconque, un équivalent du terme général ne suffit pas à conclure — la série des termes négatifs peut compenser les termes positifs de manière décisive.
C. Séries de Riemann comme critère de référence
En pratique, la série de comparaison est presque toujours une série de Riemann \(\sum \displaystyle\frac{1}{n^\alpha}\). Rappelons le résultat fondamental :
Convergence des séries de Riemann
La série \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} \displaystyle\frac{1}{n^\alpha}\) converge si et seulement si \(\alpha\) > \(1\).
En particulier, la série harmonique \(\sum \displaystyle\frac{1}{n}\) diverge (\(\alpha = 1\)).
La stratégie est alors limpide : trouver un équivalent de \(u_n\) de la forme \(\displaystyle\frac{C}{n^\alpha}\) (avec \(C\) > \(0\)) grâce à un développement limité ou un calcul d’équivalent, puis conclure avec Riemann. Pour les séries de Bertrand \(\sum \displaystyle\frac{1}{n^\alpha (\ln n)^\beta}\), le traitement complet est détaillé dans la page dédiée.
Exemple : Nature de \(\sum_{n \geq 1} \left(1 – \cos \displaystyle\frac{1}{n}\right)\).
Par développement limité : \(1 – \cos \displaystyle\frac{1}{n} \sim \displaystyle\frac{1}{2n^2}\) quand \(n \to +\infty\).
Le terme général est positif et équivalent à \(\displaystyle\frac{1}{2n^2}\). Comme la série de Riemann \(\sum \displaystyle\frac{1}{n^2}\) converge (\(\alpha = 2\) > \(1\)), la série \(\sum \left(1 – \cos \displaystyle\frac{1}{n}\right)\) converge par critère d’équivalence.
D. Critère intégral (comparaison série-intégrale)
Théorème (critère intégral)
Soit \(f : [1, +\infty[ \to \mathbb{R}^+\) une fonction continue, positive et décroissante. Alors la série \(\sum f(n)\) et l’intégrale impropre \(\displaystyle\int_1^{+\infty} f(t)\,dt\) sont de même nature.
Ce critère est indispensable quand le terme général fait intervenir \(\ln n\), \(\ln(\ln n)\), ou des fonctions composées pour lesquelles les équivalents ne ramènent pas directement à une série de Riemann.
Exemple : Nature de \(\displaystyle\sum_{n \geq 2} \displaystyle\frac{1}{n \ln n}\).
La fonction \(f(t) = \displaystyle\frac{1}{t \ln t}\) est continue, positive et décroissante sur \([2, +\infty[\).
On calcule : \(\displaystyle\int_2^{+\infty} \displaystyle\frac{dt}{t \ln t} = \Big[\ln(\ln t)\Big]_2^{+\infty} = +\infty\).
L’intégrale diverge, donc la série \(\sum \displaystyle\frac{1}{n \ln n}\) diverge par le critère intégral.
V. Séries alternées — CSSA et transformation d’Abel
Quand les termes de la série changent de signe, les critères précédents (tous réservés aux séries à termes positifs) ne s’appliquent plus directement. Deux outils prennent le relais.
A. Critère spécial des séries alternées (CSSA — théorème de Leibniz)
Théorème (Leibniz — CSSA)
Soit \((a_n)_{n \geq 0}\) une suite de réels positifs, décroissante, tendant vers \(0\). Alors la série alternée \(\sum (-1)^n a_n\) converge.
De plus, le reste vérifie : \(\left|R_n\right| = \left|\displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty} (-1)^k a_k\right| \leq a_{n+1}\).
La majoration du reste est un bonus précieux : elle donne directement une borne d’erreur si tu dois approcher la somme par une somme partielle.
Trois hypothèses, trois pièges :
- Positivité : les \(a_n\) doivent être positifs (pas seulement de signe alternant).
- Décroissance : il ne suffit pas que \(a_n \to 0\), il faut \(a_{n+1} \leq a_n\) à partir d’un certain rang. Pense à le prouver (calcul de \(a_{n+1} – a_n\) ou étude de la fonction associée).
- Le CSSA ne dit rien sur la convergence absolue : la série \(\sum (-1)^n a_n\) peut converger par le CSSA alors que \(\sum a_n\) diverge — c’est le cas des séries semi-convergentes.
B. Transformation d’Abel et cas non alternés
Quand la série n’est pas purement alternée mais fait intervenir un produit \(a_n b_n\) avec \((a_n)\) monotone tendant vers \(0\) et \(\sum b_n\) à sommes partielles bornées, le théorème d’Abel (ou critère d’Abel) permet de conclure à la convergence. Ce résultat, qui généralise le CSSA, est détaillé dans le cours sur les séries numériques.
Estimation du reste d’une série convergente : pour une série alternée satisfaisant le CSSA, le reste est majoré par le premier terme omis : \(|R_n| \leq a_{n+1}\). Pour une série à termes positifs convergente, on obtient souvent un encadrement du reste par comparaison à une intégrale : \(\displaystyle\int_{n+1}^{+\infty} f(t)\,dt \leq R_n \leq \displaystyle\int_n^{+\infty} f(t)\,dt\).
VI. Techniques complémentaires
A. Séries télescopiques
Une série \(\sum (a_{n+1} – a_n)\) est dite télescopique. La somme partielle se simplifie par différences successives :
\(S_N = \displaystyle\sum_{n=0}^{N} (a_{n+1} – a_n) = a_{N+1} – a_0\)
La série converge si et seulement si \((a_n)\) admet une limite finie. Ce cas ne nécessite aucun critère de convergence : le calcul direct de \(S_N\) suffit.
Exemple : \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} \displaystyle\frac{1}{n(n+1)} = \displaystyle\sum_{n \geq 1} \left(\displaystyle\frac{1}{n} – \displaystyle\frac{1}{n+1}\right)\). C’est une série télescopique avec \(a_n = \displaystyle\frac{1}{n}\).
\(S_N = 1 – \displaystyle\frac{1}{N+1} \to 1\). La série converge et sa somme vaut \(1\).
B. Convergence absolue vs semi-convergence
Définitions
- La série \(\sum u_n\) est absolument convergente si \(\sum |u_n|\) converge.
- La série \(\sum u_n\) est semi-convergente si elle converge mais \(\sum |u_n|\) diverge.
Propriété fondamentale : toute série absolument convergente est convergente. La réciproque est fausse.
En résumé, pour une série à termes de signe variable, la stratégie est toujours la même : (1) tester la convergence absolue en étudiant \(\sum |u_n|\) avec les critères pour séries à termes positifs, (2) si \(\sum |u_n|\) diverge, essayer le CSSA ou Abel pour montrer une convergence non absolue.
VII. Exemples résolus
Voici cinq exemples de difficulté croissante, chacun illustrant un critère différent. Pour chaque exemple, la rédaction est celle attendue sur une copie de concours.
Exemple 1 ★ — Critère de d’Alembert
Déterminer la nature de \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} \displaystyle\frac{n!}{n^n}\).
Solution. Posons \(u_n = \displaystyle\frac{n!}{n^n}\). On a \(u_n\) > \(0\) pour tout \(n \geq 1\).
\(\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n} = \displaystyle\frac{(n+1)! \cdot n^n}{(n+1)^{n+1} \cdot n!} = \displaystyle\frac{(n+1) \cdot n^n}{(n+1)^{n+1}} = \left(\displaystyle\frac{n}{n+1}\right)^n = \left(1 – \displaystyle\frac{1}{n+1}\right)^n\)
Quand \(n \to +\infty\), on a \(\left(1 – \displaystyle\frac{1}{n+1}\right)^n \to e^{-1}\).
Comme \(e^{-1} \approx 0{,}368\) < \(1\), la série \(\sum u_n\) converge par le critère de d’Alembert.
Exemple 2 ★★ — Équivalents et Riemann
Déterminer la nature de \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} \left(1 – \cos \displaystyle\frac{1}{n}\right)\).
Solution. Par développement limité au voisinage de \(0\) : \(\cos u = 1 – \displaystyle\frac{u^2}{2} + o(u^2)\).
Avec \(u = \displaystyle\frac{1}{n}\) : \(1 – \cos \displaystyle\frac{1}{n} = \displaystyle\frac{1}{2n^2} + o\!\left(\displaystyle\frac{1}{n^2}\right) \sim \displaystyle\frac{1}{2n^2}\).
Le terme général est positif et équivalent à \(\displaystyle\frac{1}{2n^2}\). La série de Riemann \(\sum \displaystyle\frac{1}{n^2}\) converge car \(\alpha = 2\) > \(1\).
Par le critère d’équivalence, la série converge.
Exemple 3 ★★★ — Critère intégral
Déterminer la nature de \(\displaystyle\sum_{n \geq 2} \displaystyle\frac{1}{n (\ln n)^2}\).
Solution. Posons \(f(t) = \displaystyle\frac{1}{t (\ln t)^2}\) pour \(t \geq 2\). La fonction \(f\) est continue, positive et décroissante sur \([2, +\infty[\).
On calcule l’intégrale impropre :
\(\displaystyle\int_2^{+\infty} \displaystyle\frac{dt}{t (\ln t)^2} = \left[-\displaystyle\frac{1}{\ln t}\right]_2^{+\infty} = 0 – \left(-\displaystyle\frac{1}{\ln 2}\right) = \displaystyle\frac{1}{\ln 2}\)
L’intégrale converge, donc la série \(\sum \displaystyle\frac{1}{n(\ln n)^2}\) converge par le critère intégral.
Exemple 4 ★★★ — Série alternée (semi-convergence)
Déterminer la nature de \(\displaystyle\sum_{n \geq 2} (-1)^n \displaystyle\frac{\ln n}{n}\). La série est-elle absolument convergente ?
Solution. Posons \(a_n = \displaystyle\frac{\ln n}{n}\) pour \(n \geq 2\).
Convergence (CSSA) : La fonction \(g(t) = \displaystyle\frac{\ln t}{t}\) a pour dérivée \(g^\prime(t) = \displaystyle\frac{1 – \ln t}{t^2}\) < \(0\) pour \(t\) > \(e\). Donc \((a_n)\) est décroissante à partir du rang \(3\). De plus, \(a_n \to 0\). Par le CSSA, la série \(\sum (-1)^n a_n\) converge.
Convergence absolue : Pour \(n \geq 3\), on a \(\displaystyle\frac{\ln n}{n} \geq \displaystyle\frac{1}{n}\). Par minoration, \(\sum \displaystyle\frac{\ln n}{n}\) diverge (car la série harmonique diverge).
Conclusion : la série est semi-convergente.
Exemple 5 ★★★★ — Développement limité et Riemann (classique de concours)
Déterminer la nature de \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} \left(\displaystyle\frac{1}{n} – \ln\!\left(1 + \displaystyle\frac{1}{n}\right)\right)\).
Solution. On développe \(\ln\!\left(1 + \displaystyle\frac{1}{n}\right)\) au voisinage de \(+\infty\) :
\(\ln\!\left(1 + \displaystyle\frac{1}{n}\right) = \displaystyle\frac{1}{n} – \displaystyle\frac{1}{2n^2} + O\!\left(\displaystyle\frac{1}{n^3}\right)\)
Donc :
\(u_n = \displaystyle\frac{1}{n} – \ln\!\left(1 + \displaystyle\frac{1}{n}\right) = \displaystyle\frac{1}{2n^2} + O\!\left(\displaystyle\frac{1}{n^3}\right) \sim \displaystyle\frac{1}{2n^2}\)
Le terme général est positif (car \(\ln(1 + x) \leq x\) pour \(x \geq 0\)) et équivalent à \(\displaystyle\frac{1}{2n^2}\). Riemann avec \(\alpha = 2\) > \(1\) : la série converge.
Remarque : la somme de cette série est liée à la constante d’Euler-Mascheroni \(\gamma \approx 0{,}577\).
VIII. Erreurs fréquentes et copie fautive commentée
Voici les cinq erreurs les plus observées dans les copies de DS et de concours sur la convergence des séries numériques.
Erreur 1 — Conclure quand d’Alembert donne \(\ell = 1\)
❌ Copie fautive : « \(\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n} = \displaystyle\frac{n^2}{(n+1)^2} \to 1\). Par le critère de d’Alembert, la série converge. »
Diagnostic : Quand \(\ell = 1\), le critère de d’Alembert ne conclut pas. Ce résultat est compatible avec convergence et divergence.
✅ Correction : « Le critère de d’Alembert ne conclut pas (\(\ell = 1\)). On cherche un équivalent du terme général… » puis enchaîner avec comparaison ou Riemann.
Erreur 2 — Appliquer le critère d’équivalence à une série non positive
❌ Copie fautive : « On a \((-1)^n \displaystyle\frac{1}{n} \sim \displaystyle\frac{1}{n}\) donc la série \(\sum (-1)^n \displaystyle\frac{1}{n}\) diverge comme la série harmonique. »
Diagnostic : L’équivalence est fausse (\((-1)^n/n\) n’est pas équivalent à \(1/n\)), et surtout le critère d’équivalence ne s’applique qu’aux séries à termes positifs. La série \(\sum (-1)^n/n\) converge par le CSSA.
✅ Correction : Utiliser le CSSA (la suite \((1/n)\) est décroissante et tend vers \(0\)).
Erreur 3 — Confondre convergence et convergence absolue
❌ Copie fautive : « Par le CSSA, la série \(\sum (-1)^n a_n\) converge, donc \(\sum a_n\) converge aussi. »
Diagnostic : Le CSSA prouve la convergence de \(\sum (-1)^n a_n\), pas celle de \(\sum a_n\). La série peut être semi-convergente.
✅ Correction : « La série \(\sum (-1)^n a_n\) converge par le CSSA. Étudions la convergence absolue : \(\sum a_n = \sum 1/n\) diverge. La série est donc semi-convergente. »
Erreur 4 — Oublier de vérifier la décroissance dans le CSSA
❌ Copie fautive : « \(a_n = \displaystyle\frac{\ln n}{n} \to 0\). Par le CSSA, la série \(\sum (-1)^n \displaystyle\frac{\ln n}{n}\) converge. »
Diagnostic : L’étudiant vérifie \(a_n \to 0\) mais oublie de prouver la décroissance de \((a_n)\). Le CSSA exige les deux.
✅ Correction : « La fonction \(g(t) = \displaystyle\frac{\ln t}{t}\) vérifie \(g^\prime(t) = \displaystyle\frac{1 – \ln t}{t^2}\) < \(0\) pour \(t\) > \(e\). Donc \((a_n)\) est décroissante à partir du rang \(3\). De plus \(a_n \to 0\). Par le CSSA, la série converge. »
Erreur 5 — Mauvaise rédaction du critère de comparaison
❌ Copie fautive : « \(u_n \leq \displaystyle\frac{1}{n}\) donc la série converge. »
Diagnostic : Majorer par une série divergente ne prouve rien. De plus, la citation est incomplète : aucune mention de la série de comparaison ni de sa nature.
✅ Correction : « Pour tout \(n \geq 1\), on a \(0 \leq u_n \leq \displaystyle\frac{1}{n^2}\). La série \(\sum \displaystyle\frac{1}{n^2}\) converge (série de Riemann, \(\alpha = 2\) > \(1\)). Par comparaison de séries à termes positifs, \(\sum u_n\) converge. »
IX. Exercices d’application
Voici cinq exercices classés par difficulté croissante. Essaie de résoudre chacun d’eux avant de consulter la correction.
Exercice 1 ★ — Déterminer la nature de \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} \displaystyle\frac{3^n}{n!}\).
Voir la correction
Posons \(u_n = \displaystyle\frac{3^n}{n!}\) pour \(n \geq 0\). On a \(u_n\) > \(0\).
\(\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n} = \displaystyle\frac{3^{n+1} \cdot n!}{(n+1)! \cdot 3^n} = \displaystyle\frac{3}{n+1} \to 0\)Comme \(0\) < \(1\), la série converge par le critère de d’Alembert.
Remarque : on reconnaît la série exponentielle \(\sum \displaystyle\frac{3^n}{n!} = e^3\).
Exercice 2 ★★ — Déterminer la nature de \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} \displaystyle\frac{n^3 + 2n}{n^5 – n^2 + 1}\).
Voir la correction
Le terme général est positif pour \(n\) assez grand. On extrait le terme dominant :
\(u_n = \displaystyle\frac{n^3 + 2n}{n^5 – n^2 + 1} \sim \displaystyle\frac{n^3}{n^5} = \displaystyle\frac{1}{n^2}\)La série de Riemann \(\sum \displaystyle\frac{1}{n^2}\) converge (\(\alpha = 2\) > \(1\)). Par le critère d’équivalence (séries à termes positifs), la série converge.
Exercice 3 ★★★ — Déterminer la nature de \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} \displaystyle\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\). La série est-elle absolument convergente ?
Voir la correction
Convergence : Posons \(a_n = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}\). La suite \((a_n)\) est strictement décroissante (car \(n \mapsto \displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}\) est décroissante) et \(a_n \to 0\). Par le CSSA, la série \(\sum \displaystyle\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\) converge.
Convergence absolue : On a \(\left|\displaystyle\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\right| = \displaystyle\frac{1}{n^{1/2}}\). La série de Riemann \(\sum \displaystyle\frac{1}{n^{1/2}}\) diverge car \(\alpha = \displaystyle\frac{1}{2} \leq 1\).
Conclusion : la série est semi-convergente.
Exercice 4 ★★★ — Déterminer la nature de \(\displaystyle\sum_{n \geq 2} \displaystyle\frac{1}{n^\alpha (\ln n)^\beta}\) selon les valeurs de \(\alpha\) et \(\beta\) réels.
Voir la correction
C’est une série de Bertrand. Le résultat est le suivant :
- Si \(\alpha\) > \(1\) : la série converge quel que soit \(\beta\) (par comparaison avec Riemann).
- Si \(\alpha\) < \(1\) : la série diverge quel que soit \(\beta\) (par minoration avec Riemann).
- Si \(\alpha = 1\) : on utilise le critère intégral. La fonction \(f(t) = \displaystyle\frac{1}{t(\ln t)^\beta}\) est continue, positive et décroissante sur \([2, +\infty[\).
- Si \(\beta\) > \(1\) : \(\displaystyle\int_2^{+\infty} \displaystyle\frac{dt}{t(\ln t)^\beta} = \left[\displaystyle\frac{(\ln t)^{1-\beta}}{1-\beta}\right]_2^{+\infty}\) converge. La série converge.
- Si \(\beta \leq 1\) : l’intégrale diverge (pour \(\beta = 1\), on obtient \(\ln(\ln t) \to +\infty\)). La série diverge.
Résumé : la série converge si et seulement si \(\alpha\) > \(1\), ou \(\alpha = 1\) et \(\beta\) > \(1\).
Exercice 5 ★★★★ — Déterminer la nature de \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} \left(\displaystyle\frac{n}{n+1}\right)^{n^2}\).
Voir la correction
Posons \(u_n = \left(\displaystyle\frac{n}{n+1}\right)^{n^2}\). On a \(u_n\) > \(0\).
Appliquons la règle de Cauchy : \(u_n^{1/n} = \left(\displaystyle\frac{n}{n+1}\right)^n = \left(1 – \displaystyle\frac{1}{n+1}\right)^n\).
On calcule : \(\ln\left(1 – \displaystyle\frac{1}{n+1}\right)^n = n \ln\left(1 – \displaystyle\frac{1}{n+1}\right) = n \left(-\displaystyle\frac{1}{n+1} + O\!\left(\displaystyle\frac{1}{n^2}\right)\right) = -\displaystyle\frac{n}{n+1} + O\!\left(\displaystyle\frac{1}{n}\right) \to -1\).
Donc \(u_n^{1/n} \to e^{-1}\) < \(1\). Par la règle de Cauchy, la série converge.
Alternative : par d’Alembert, le calcul est plus lourd mais donne le même résultat.
X. Rédaction concours — Ce que le correcteur attend
Aux concours (CCP, Centrale, Mines-Ponts, X-ENS), la rédaction de l’étude de convergence est codifiée. Voici ce que le correcteur attend à chaque étape.
Modèle de rédaction en 4 temps :
- Nommer le critère : « Par le critère de d’Alembert… », « Par comparaison avec la série de Riemann… »
- Vérifier les hypothèses : « Le terme général est positif pour \(n \geq n_0\). » Pour le CSSA : prouver explicitement la décroissance et la limite nulle.
- Effectuer le calcul : quotient, équivalent, intégrale… avec toutes les étapes intermédiaires.
- Conclure : « La série \(\sum u_n\) converge. » (ou « diverge », ou « converge absolument / est semi-convergente »).
Points de forme souvent sanctionnés :
- Écrire « la série \(u_n\) converge » au lieu de « la série \(\sum u_n\) converge ». La série est la somme, pas le terme général.
- Ne pas préciser le rang à partir duquel les hypothèses sont vérifiées (« pour \(n \geq 2\) » par exemple).
- Utiliser le critère de d’Alembert « à l’envers » : si \(u_{n+1}/u_n \to \ell\) < \(1\), on conclut à la convergence, pas à la divergence.
- Omettre la vérification de la positivité des termes pour les critères qui l’exigent (comparaison, équivalence).
XI. Questions fréquentes
Quelle est la différence entre le critère de d'Alembert et la règle de Cauchy ?
Les deux critères testent le même type de condition (une limite strictement inférieure à 1 implique la convergence). La différence est technique : d’Alembert utilise le rapport \(u_{n+1}/u_n\), Cauchy utilise la racine \(u_n^{1/n}\). Cauchy est théoriquement plus puissant (il conclut dans tous les cas où d’Alembert conclut, plus certains cas supplémentaires). En pratique, d’Alembert est plus commode quand le terme général contient des factorielles, Cauchy quand il contient des puissances \(n\)-ièmes.
Que faire quand le critère de d'Alembert donne une limite égale à 1 ?
Le critère de d’Alembert (et celui de Cauchy) ne concluent pas quand la limite vaut \(1\). Il faut changer de stratégie : chercher un équivalent du terme général pour se ramener à une série de Riemann, utiliser le critère intégral, ou — si la série est alternée — appliquer le CSSA. C’est la situation la plus fréquente avec les fractions rationnelles en \(n\).
Peut-on utiliser le critère d'équivalence pour des séries à termes négatifs ?
Non. Le critère d’équivalence est réservé aux séries à termes strictement positifs. Pour une série à termes de signe quelconque, un équivalent du terme général ne détermine pas la nature de la série. La série \(\sum (-1)^n / n\) converge (CSSA) alors que \(\sum 1/n\) diverge, bien que \(|(-1)^n/n| = 1/n\).
Quelle différence entre convergence absolue et semi-convergence ?
Une série \(\sum u_n\) est absolument convergente si \(\sum |u_n|\) converge. Elle est semi-convergente si elle converge mais \(\sum |u_n|\) diverge. La convergence absolue est plus forte : elle implique la convergence. La semi-convergence est un phénomène de compensation — les termes positifs et négatifs se compensent « juste assez » pour que la série converge, mais sans marge.
Comment choisir entre comparaison directe et critère d'équivalence ?
Les deux critères servent le même objectif (comparer à une série connue), mais le critère d’équivalence est plus rapide quand tu disposes d’un équivalent simple du terme général. La comparaison directe est nécessaire quand tu n’as qu’une inégalité (majoration ou minoration) sans équivalent exact. Règle pratique : commence par chercher un équivalent ; si tu n’y arrives pas, cherche une majoration ou une minoration.
XII. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant les sept critères de convergence des séries numériques et la stratégie pour choisir le bon. Pour approfondir :
- Séries numériques : cours complet — définitions, sommes partielles, convergence (les fondations théoriques).
- Séries de Riemann et de Bertrand — triple démonstration, applications et pièges concours.
- Exercices corrigés : séries numériques — 20+ exercices étiquetés par concours.
- Séries entières — un cas particulier fondamental de séries de fonctions.
- Rayon de convergence d’une série entière — application directe de d’Alembert et Cauchy.
- Séries de fonctions — convergence simple, uniforme, normale.
Conforme au programme CPGE 2025-2026.
