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Une série est la donnée d’une suite et de la suite de ses sommes partielles : c’est l’outil central de l’analyse pour passer du discret au continu, sommer des fonctions et approximer des solutions. Au programme de MPSI, MP, PC et PSI, ce chapitre irrigue l’algèbre (espaces de fonctions), les probabilités (fonctions génératrices) et la physique (signaux périodiques). Tu trouveras ici les définitions, les théorèmes fondamentaux, les critères de convergence et des exercices corrigés couvrant les cinq familles de séries.
I. Définitions fondamentales — séries, convergence et divergence
A. Définition d’une série et sommes partielles
Définition — Série
Soit \((u_n)_{n \geq 0}\) une suite à valeurs dans \(\mathbb{R}\) (ou \(\mathbb{C}\)). On appelle série de terme général \(u_n\), notée \(\sum u_n\), la suite \((S_N)_{N \geq 0}\) des sommes partielles :
\(\displaystyle S_N = \displaystyle\sum_{n=0}^{N} u_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_N\)
L’objet « série » n’est donc pas un nombre : c’est une suite. Étudier la série \(\sum u_n\), c’est étudier la suite \((S_N)\). Cette distinction est capitale : on ne confond jamais le terme général \(u_n\) avec la somme partielle \(S_N\).
Exemple fondamental — Série géométrique.
Soit \(q \in \mathbb{R}\). La série \(\sum_{n \geq 0} q^n\) a pour somme partielle :
\(\displaystyle S_N = \displaystyle\sum_{n=0}^{N} q^n = \begin{cases} \displaystyle\frac{1 – q^{N+1}}{1 – q} & \text{si } q \neq 1 \\[6pt] N + 1 & \text{si } q = 1 \end{cases}\)
Si \(|q|\) < \(1\), alors \(q^{N+1} \to 0\) et \(S_N \to \displaystyle\frac{1}{1 – q}\). La série converge.
Si \(|q| \geq 1\), la suite \((S_N)\) diverge.
La relation fondamentale entre terme général et somme partielle est :
\(\displaystyle \forall\, n \geq 1, \quad u_n = S_n – S_{n-1}\)Cette relation permet de passer de l’une à l’autre, et sera utilisée systématiquement dans l’étude des séries télescopiques.
B. Convergence, divergence et somme d’une série
Définition — Convergence
La série \(\sum u_n\) converge si la suite \((S_N)\) admet une limite finie dans \(\mathbb{R}\) (ou \(\mathbb{C}\)). Cette limite est appelée somme de la série et notée :
\(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} u_n = \lim_{N \to +\infty} S_N\)
Sinon, la série diverge.
Lorsque la série converge, le reste d’ordre \(N\) est défini par :
\(\displaystyle R_N = \displaystyle\sum_{n=N+1}^{+\infty} u_n = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} u_n – S_N\)Par définition, \(R_N \to 0\) quand \(N \to +\infty\). Majorer \(|R_N|\) fournit une estimation de la vitesse de convergence — question récurrente aux concours.
Théorème — Condition nécessaire de convergence ⋆
Si la série \(\sum u_n\) converge, alors \(u_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0\).
Démonstration. Si \(\sum u_n\) converge de somme \(S\), alors \(S_n \to S\) et \(S_{n-1} \to S\). Or \(u_n = S_n – S_{n-1} \to S – S = 0\). \(\blacksquare\)
Piège classique — La réciproque est fausse.
La série harmonique \(\sum \displaystyle\frac{1}{n}\) a un terme général qui tend vers \(0\), mais diverge. Écrire « \(u_n \to 0\) donc \(\sum u_n\) converge » est une erreur sanctionnée dès les premières copies de MPSI.
C. Convergence absolue et semi-convergence
Définition — Convergence absolue
La série \(\sum u_n\) converge absolument si la série à termes positifs \(\sum |u_n|\) converge.
Théorème ⋆ — Convergence absolue ⟹ convergence
Toute série absolument convergente est convergente. De plus :
\(\displaystyle \left| \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} u_n \right| \leq \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} |u_n|\)
Démonstration (dans \(\mathbb{R}\)). On pose \(u_n^+ = \max(u_n, 0)\) et \(u_n^- = \max(-u_n, 0)\). Alors \(0 \leq u_n^+ \leq |u_n|\) et \(0 \leq u_n^- \leq |u_n|\). Par comparaison de séries à termes positifs, \(\sum u_n^+\) et \(\sum u_n^-\) convergent. Comme \(u_n = u_n^+ – u_n^-\), la série \(\sum u_n\) converge par linéarité. \(\blacksquare\)
Une série qui converge sans converger absolument est dite semi-convergente. L’exemple canonique est la série harmonique alternée \(\sum_{n \geq 1} \displaystyle\frac{(-1)^{n+1}}{n}\) qui converge (vers \(\ln 2\)) mais dont la série des valeurs absolues diverge.
Stratégie en exercice. Toujours commencer par tester la convergence absolue. Si elle échoue, chercher un argument de semi-convergence (typiquement Leibniz ou sommation d’Abel). Si le terme général ne tend pas vers \(0\), la série diverge grossièrement.
Le tableau suivant résume les cinq familles de séries étudiées en CPGE et en licence, avec leurs spécificités :
| Famille | Forme générale | Variable | Théorème clé | Programme |
|---|---|---|---|---|
| Numérique | \(\sum u_n\) avec \(u_n \in \mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\) | Aucune | Critères (d’Alembert, Cauchy, comparaison) | MPSI / L1 |
| Riemann | \(\sum \displaystyle\frac{1}{n^\alpha}\) | Paramètre \(\alpha\) | Converge ssi \(\alpha\) > \(1\) | MPSI / L1 |
| Entière | \(\sum a_n x^n\) ou \(\sum a_n z^n\) | \(x \in \mathbb{R}\) ou \(z \in \mathbb{C}\) | Cauchy-Hadamard (rayon \(R\)) | MP / PC / L2 |
| De fonctions | \(\sum f_n(x)\) | \(x \in D\) | CVN \(\Rightarrow\) CVU \(\Rightarrow\) CVS | MP / PC / L2 |
| Fourier | \(\displaystyle\frac{a_0}{2} + \sum (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx))\) | \(x \in \mathbb{R}\), \(f\) périodique | Dirichlet, Parseval | MP / PC / L2 |
Les séries entières et les séries de Fourier sont des cas particuliers de séries de fonctions — une connexion rarement exploitée dans les polycopiés, mais fréquemment testée aux oraux de concours.
II. Séries numériques — critères de convergence et série de Riemann
L’étude de la convergence des séries numériques repose sur un arsenal de critères, chacun adapté à une forme particulière de terme général. Cette section en dresse le panorama ; les démonstrations complètes et exercices concours sont développés dans les pages dédiées du cocon.
A. Séries à termes positifs — panorama des critères
Pour une série à termes positifs \(\sum u_n\) (avec \(u_n \geq 0\)), la suite \((S_N)\) est croissante. Elle converge si et seulement si elle est majorée. C’est cette monotonie qui rend les critères de comparaison particulièrement puissants.
Critère de comparaison
Soient \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) deux séries à termes positifs. Si \(u_n \leq v_n\) à partir d’un certain rang :
- \(\sum v_n\) converge \(\Rightarrow\) \(\sum u_n\) converge.
- \(\sum u_n\) diverge \(\Rightarrow\) \(\sum v_n\) diverge.
Critère de d’Alembert ⋆
Soit \(\sum u_n\) une série à termes strictement positifs. Si \(\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n} \to \ell\) :
- Si \(\ell\) < \(1\) : la série converge.
- Si \(\ell\) > \(1\) : la série diverge.
- Si \(\ell = 1\) : le critère ne conclut pas.
Critère de Cauchy (règle de la racine) ⋆
Soit \(\sum u_n\) une série à termes positifs. Si \(u_n^{1/n} \to \ell\) :
- Si \(\ell\) < \(1\) : la série converge.
- Si \(\ell\) > \(1\) : la série diverge.
- Si \(\ell = 1\) : le critère ne conclut pas.
D’autres critères complètent ce tableau : comparaison par équivalents (si \(u_n \sim v_n\) avec \(u_n, v_n\) > \(0\), les deux séries ont même nature), critère intégral et critère d’Abel pour les séries alternées. La page dédiée aux critères de convergence détaille chaque critère avec démonstration et arbre de décision.
Quel critère choisir ? Face à un terme général contenant des factorielles ou des puissances de \(n\) en exposant : d’Alembert. Face à \(u_n = v_n^n\) : Cauchy. Face à \(\displaystyle\frac{1}{n^\alpha}\) ou des fractions polynomiales : équivalent + Riemann. Face à \((-1)^n \cdot(\ldots)\) : Leibniz après vérification de la décroissance.
B. Série de Riemann et séries de Bertrand
La série de Riemann est la série de référence en CPGE : toute étude de convergence par comparaison ramène, en dernière instance, à une série de Riemann.
Théorème — Série de Riemann ⋆
Soit \(\alpha \in \mathbb{R}\). La série \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} \displaystyle\frac{1}{n^\alpha}\) converge si et seulement si \(\alpha\) > \(1\).
La démonstration peut se mener de trois façons : comparaison série-intégrale, condensation de Cauchy et regroupement dyadique. La page dédiée aux séries de Riemann présente ces trois approches avec une analyse concours détaillée.
Cas particuliers essentiels :
- \(\alpha = 1\) : la série harmonique \(\sum \displaystyle\frac{1}{n}\) diverge (le contre-exemple fondamental).
- \(\alpha = 2\) : \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{1}{n^2} = \displaystyle\frac{\pi^2}{6}\) (problème de Bâle, résolu par Euler en 1735).
Les séries de Bertrand généralisent Riemann en introduisant un facteur logarithmique :
Théorème — Séries de Bertrand
La série \(\displaystyle\sum_{n \geq 2} \displaystyle\frac{1}{n^\alpha (\ln n)^\beta}\) converge si et seulement si \(\alpha\) > \(1\), ou \(\alpha = 1\) et \(\beta\) > \(1\).
Les séries de Bertrand interviennent fréquemment dans les développements asymptotiques et les études fines de convergence (CCP, Centrale).
C. Séries alternées et critère de Leibniz
Théorème — Critère spécial des séries alternées (Leibniz) ⋆
Si \((a_n)\) est une suite positive, décroissante, de limite nulle, alors la série \(\sum (-1)^n a_n\) converge. De plus, le reste vérifie :
\(\displaystyle |R_N| \leq a_{N+1}\)
L’encadrement du reste est un résultat très utile en pratique : il donne une borne explicite de l’erreur d’approximation. L’estimation \(|R_N| \leq a_{N+1}\) est optimale au sens où elle est atteinte pour la série alternée elle-même.
Erreur concours fréquente. Appliquer Leibniz sans avoir vérifié la décroissance de \((a_n)\). Le fait que \(a_n \to 0\) ne suffit pas. L’étude de la monotonie (signe de \(a_{n+1} – a_n\) ou de \(\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}\)) est obligatoire dans la rédaction.
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III. Séries entières et développements en série entière
Les séries entières introduisent une variable dans la série : elles permettent de représenter des fonctions comme sommes de puissances, d’effectuer des calculs différentiels et intégraux terme à terme, et de résoudre certaines équations différentielles.
A. Rayon de convergence et théorème de Cauchy-Hadamard
Définition — Série entière
Soit \((a_n)_{n \geq 0}\) une suite de réels (ou complexes). On appelle série entière de coefficients \((a_n)\) la série de fonctions \(\sum a_n x^n\) (ou \(\sum a_n z^n\) dans \(\mathbb{C}\)).
La convergence d’une série entière dépend de la valeur de \(x\). Le théorème fondamental de Cauchy-Hadamard précise exactement le domaine de convergence :
Théorème — Cauchy-Hadamard ⋆
Soit \(\sum a_n z^n\) une série entière. Il existe un unique \(R \in [0, +\infty]\), appelé rayon de convergence, tel que :
- Si \(|z|\) < \(R\) : la série converge absolument.
- Si \(|z|\) > \(R\) : la série diverge grossièrement.
Ce rayon est donné par la formule :
\(\displaystyle\frac{1}{R} = \limsup_{n \to +\infty} |a_n|^{1/n}\)
En pratique, on utilise souvent la règle de d’Alembert : si la limite \(\lim_{n \to +\infty} \left| \displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n} \right|\) existe (finie ou infinie), alors \(R = \displaystyle\frac{1}{\ell}\) avec la convention \(\displaystyle\frac{1}{0} = +\infty\) et \(\displaystyle\frac{1}{+\infty} = 0\).
![Axe réel illustrant les zones de convergence d'une série entière : convergence absolue sur l'intervalle ouvert ]-R, R[, divergence grossière au-delà, étude séparée aux bornes](https://www.excellence-maths.fr/wp-content/uploads/2026/05/graph2_rayon_convergence.png)
Aux bornes, tout est possible. En \(x = R\) et \(x = -R\), la série peut converger, diverger, ou converger conditionnellement. Il faut étudier chaque borne séparément. C’est une source classique de questions d’oral.
B. Propriétés de la somme d’une série entière
La somme d’une série entière hérite de propriétés remarquables de régularité à l’intérieur du disque ouvert de convergence.
Théorème — Régularité de la somme ⋆
Soit \(f(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n\) de rayon \(R\) > \(0\). Alors :
- \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(]-R, R[\).
- On peut dériver et intégrer terme à terme sur \(]-R, R[\) :
\(\displaystyle f^\prime(x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} n\, a_n\, x^{n-1} \quad \text{et} \quad \int_0^x f(t)\,dt = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{a_n}{n+1}\, x^{n+1}\)
Les séries dérivées et primitives ont le même rayon de convergence \(R\).
Ce théorème est l’un des plus puissants de l’analyse : il permet de calculer des sommes de séries entières par identification avec des fonctions connues, en résolvant une équation différentielle vérifiée par la somme.
C. DSE des fonctions usuelles
Un développement en série entière (DSE) d’une fonction \(f\) est l’écriture de \(f(x)\) comme somme d’une série entière au voisinage de \(0\). Le tableau suivant rassemble les DSE à connaître par cœur en prépa :
| Fonction \(f(x)\) | DSE | Rayon \(R\) |
|---|---|---|
| \(e^x\) | \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{x^n}{n!}\) | \(+\infty\) |
| \(\sin x\) | \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \displaystyle\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\) | \(+\infty\) |
| \(\cos x\) | \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \displaystyle\frac{x^{2n}}{(2n)!}\) | \(+\infty\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{1-x}\) | \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} x^n\) | \(1\) |
| \(\ln(1+x)\) | \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n+1} \displaystyle\frac{x^n}{n}\) | \(1\) |
| \((1+x)^\alpha\) | \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} {\alpha \choose n}\, x^n\) | \(1\) |
| \(\arctan x\) | \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \displaystyle\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\) | \(1\) |
Dans ce tableau, \({\alpha \choose n} = \displaystyle\frac{\alpha(\alpha – 1) \cdots (\alpha – n + 1)}{n!}\) désigne le coefficient binomial généralisé. La page formulaire des DSE usuels fournit les démonstrations dépliables de chacun de ces développements.
IV. Séries de fonctions et séries de Fourier
Les séries de fonctions généralisent toutes les constructions précédentes : une série entière n’est rien d’autre qu’une série de fonctions \(f_n(x) = a_n x^n\), et une série de Fourier est une série de fonctions trigonométriques. L’enjeu central est de comprendre comment les propriétés de chaque terme \(f_n\) se transmettent à la somme \(S = \sum f_n\).
A. Modes de convergence — simple, uniforme, normale
Définitions — Trois modes de convergence
Soit \(\sum f_n\) une série de fonctions définies sur un ensemble \(D\).
- Convergence simple (CVS) : pour tout \(x \in D\), la série numérique \(\sum f_n(x)\) converge.
- Convergence uniforme (CVU) : la suite des restes \(R_N(x) = \displaystyle\sum_{n=N+1}^{+\infty} f_n(x)\) converge vers \(0\) uniformément sur \(D\), c’est-à-dire \(\sup_{x \in D} |R_N(x)| \underset{N \to +\infty}{\longrightarrow} 0\).
- Convergence normale (CVN) : la série numérique \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} \sup_{x \in D} |f_n(x)|\) converge.
Les implications entre ces trois modes forment une chaîne stricte :
\(\displaystyle \text{CVN} \Rightarrow \text{CVU} \Rightarrow \text{CVS}\)Aucune réciproque n’est vraie. La convergence uniforme est le mode « juste assez fort » pour transférer la continuité et l’intégrabilité de chaque \(f_n\) à la somme \(S\). La page dédiée aux séries de fonctions développe les contre-exemples et les théorèmes de régularité.
Théorème — Continuité sous CVU ⋆
Si chaque \(f_n\) est continue sur \(D\) et si \(\sum f_n\) converge uniformément sur \(D\), alors la somme \(S = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} f_n\) est continue sur \(D\).
Des théorèmes analogues existent pour la dérivation et l’intégration terme à terme, sous des hypothèses adaptées (convergence uniforme de la série des dérivées, par exemple).
B. Coefficients de Fourier et théorèmes fondamentaux
Les séries de Fourier décomposent une fonction périodique en somme de sinusoïdes élémentaires. Elles interviennent en physique (traitement du signal, équation de la chaleur) et en analyse harmonique.
Définition — Coefficients de Fourier
Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) une fonction \(2\pi\)-périodique et intégrable sur \([0, 2\pi]\). Les coefficients de Fourier de \(f\) sont :
\(\displaystyle a_0 = \displaystyle\frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(t)\,dt, \quad a_n = \displaystyle\frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(t) \cos(nt)\,dt, \quad b_n = \displaystyle\frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(t) \sin(nt)\,dt\)
En notation complexe : \(c_n = \displaystyle\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(t)\, e^{-int}\,dt\).
La série de Fourier de \(f\) est alors :
\(\displaystyle S_F(f)(x) = \displaystyle\frac{a_0}{2} + \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right)\)Deux théorèmes gouvernent son comportement :
Théorème de Dirichlet ⋆
Si \(f\) est \(\mathcal{C}^1\) par morceaux et \(2\pi\)-périodique, alors pour tout \(x \in \mathbb{R}\) :
\(\displaystyle S_F(f)(x) = \displaystyle\frac{f(x^+) + f(x^-)}{2}\)
En particulier, si \(f\) est continue en \(x\), la série de Fourier converge vers \(f(x)\).
Théorème de Parseval (égalité de Parseval) ⋆
Si \(f\) est \(\mathcal{C}^1\) par morceaux et \(2\pi\)-périodique :
\(\displaystyle\frac{a_0^2}{4} + \displaystyle\frac{1}{2} \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} (a_n^2 + b_n^2) = \displaystyle\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(t)^2\,dt\)
L’égalité de Parseval est un outil remarquable pour calculer des sommes de séries numériques : en choisissant judicieusement \(f\), on en déduit des identités comme \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{1}{n^2} = \displaystyle\frac{\pi^2}{6}\). La page dédiée aux séries de Fourier développe les calculs complets sur les signaux classiques (créneau, triangulaire, dent de scie).
Lien entre les familles. Une série entière \(\sum a_n x^n\) évaluée en \(x = e^{it}\) donne une série de Fourier. Réciproquement, les coefficients de Fourier complexes \(c_n\) contiennent toute l’information sur la fonction. Cette dualité entre le « domaine spatial » et le « domaine fréquentiel » est l’idée fondatrice de l’analyse harmonique.
V. Exercices corrigés
Les cinq exercices suivants couvrent les principales familles de séries et progressent de l’application directe (★) au problème de synthèse (★★★). Chaque correction est rédigée au niveau d’exigence concours.
Exercice 1 (★) — Série géométrique
Calculer la somme \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{(-1)^n}{3^n}\).
Voir la correction
Il s’agit de la série géométrique \(\sum q^n\) avec \(q = -\displaystyle\frac{1}{3}\).
Puisque \(|q| = \displaystyle\frac{1}{3}\) < \(1\), la série converge et :
\(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \left( -\displaystyle\frac{1}{3} \right)^n = \displaystyle\frac{1}{1 – \left( -\displaystyle\frac{1}{3} \right)} = \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{4}{3}} = \displaystyle\frac{3}{4}\)Exercice 2 (★★) — Critère de d’Alembert
Étudier la nature de la série \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} \displaystyle\frac{n^2}{2^n}\).
Voir la correction
On pose \(u_n = \displaystyle\frac{n^2}{2^n}\). Le terme général est strictement positif.
Critère de d’Alembert.
\(\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n} = \displaystyle\frac{(n+1)^2}{2^{n+1}} \cdot \displaystyle\frac{2^n}{n^2} = \displaystyle\frac{1}{2} \cdot \left( \displaystyle\frac{n+1}{n} \right)^2 = \displaystyle\frac{1}{2} \left( 1 + \displaystyle\frac{1}{n} \right)^2 \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} \displaystyle\frac{1}{2}\)Comme \(\displaystyle\frac{1}{2}\) < \(1\), la série \(\sum u_n\) converge par le critère de d’Alembert.
Remarque. La convergence est même absolue puisque les termes sont positifs.
Exercice 3 (★★) — Série de Riemann et comparaison
Déterminer la nature de la série \(\displaystyle\sum_{n \geq 2} \displaystyle\frac{1}{n^2 – 1}\).
Voir la correction
Méthode 1 — Équivalent.
Pour \(n \to +\infty\), \(n^2 – 1 \sim n^2\), donc \(\displaystyle\frac{1}{n^2 – 1} \sim \displaystyle\frac{1}{n^2}\).
Les deux termes sont positifs et la série de Riemann \(\sum \displaystyle\frac{1}{n^2}\) converge (\(\alpha = 2\) > \(1\)). Par comparaison par équivalents, \(\sum \displaystyle\frac{1}{n^2 – 1}\) converge.
Méthode 2 — Décomposition en éléments simples et série télescopique.
\(\displaystyle\frac{1}{n^2 – 1} = \displaystyle\frac{1}{(n-1)(n+1)} = \displaystyle\frac{1}{2} \left( \displaystyle\frac{1}{n-1} – \displaystyle\frac{1}{n+1} \right)\)La somme partielle se téléscope :
\(\displaystyle S_N = \displaystyle\frac{1}{2} \displaystyle\sum_{n=2}^{N} \left( \displaystyle\frac{1}{n-1} – \displaystyle\frac{1}{n+1} \right) = \displaystyle\frac{1}{2} \left( 1 + \displaystyle\frac{1}{2} – \displaystyle\frac{1}{N} – \displaystyle\frac{1}{N+1} \right) \underset{N \to +\infty}{\longrightarrow} \displaystyle\frac{3}{4}\)La série converge et \(\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty} \displaystyle\frac{1}{n^2 – 1} = \displaystyle\frac{3}{4}\).
Exercice 4 (★★★) — Rayon de convergence et somme
Déterminer le rayon de convergence et calculer la somme de la série entière \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} \displaystyle\frac{x^n}{n}\).
Voir la correction
Rayon de convergence. On pose \(a_n = \displaystyle\frac{1}{n}\) pour \(n \geq 1\). Par d’Alembert :
\(\displaystyle \left| \displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \displaystyle\frac{n}{n+1} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 1\)Donc \(R = 1\).
Étude aux bornes.
- En \(x = 1\) : \(\sum \displaystyle\frac{1}{n}\) diverge (série harmonique).
- En \(x = -1\) : \(\sum \displaystyle\frac{(-1)^n}{n}\) converge par Leibniz (série harmonique alternée).
Calcul de la somme. Pour \(x \in ]-1, 1[\), posons \(f(x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{x^n}{n}\). En dérivant terme à terme :
\(\displaystyle f^\prime(x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} x^{n-1} = \displaystyle\frac{1}{1 – x}\)En intégrant avec \(f(0) = 0\) :
\(\displaystyle f(x) = -\ln(1 – x)\)On retrouve le DSE de \(-\ln(1-x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{x^n}{n}\) sur \(]-1, 1[\).
Exercice 5 (★★★) — Coefficients de Fourier et Parseval
Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la fonction \(2\pi\)-périodique définie par \(f(x) = x\) sur \(]-\pi, \pi]\). Calculer les coefficients de Fourier de \(f\) et en déduire la valeur de \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{1}{n^2}\).
Voir la correction
Parité. La fonction \(f\) est impaire sur \(]-\pi, \pi]\), donc \(a_n = 0\) pour tout \(n \geq 0\).
Coefficients \(b_n\).
\(\displaystyle b_n = \displaystyle\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} t \sin(nt)\,dt = \displaystyle\frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} t \sin(nt)\,dt\)Par intégration par parties (\(u = t\), \(v^\prime = \sin(nt)\)) :
\(\displaystyle b_n = \displaystyle\frac{2}{\pi} \left[ -\displaystyle\frac{t \cos(nt)}{n} \right]_0^{\pi} + \displaystyle\frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} \displaystyle\frac{\cos(nt)}{n}\,dt = \displaystyle\frac{2}{\pi} \cdot \left( -\displaystyle\frac{\pi \cos(n\pi)}{n} \right) = \displaystyle\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\)Série de Fourier. Par Dirichlet, pour tout \(x \in ]-\pi, \pi[\) :
\(\displaystyle x = 2 \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx)\)Application de Parseval.
\(\displaystyle\frac{1}{2} \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} b_n^2 = \displaystyle\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} t^2\,dt = \displaystyle\frac{1}{2\pi} \cdot \displaystyle\frac{2\pi^3}{3} = \displaystyle\frac{\pi^2}{3}\)Or \(b_n^2 = \displaystyle\frac{4}{n^2}\), donc :
\(\displaystyle\frac{1}{2} \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{4}{n^2} = \displaystyle\frac{\pi^2}{3} \quad \Rightarrow \quad \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{1}{n^2} = \displaystyle\frac{\pi^2}{6}\)On retrouve le résultat classique du problème de Bâle, ici par une méthode de Fourier.
VI. Erreurs fréquentes et pièges concours
Les erreurs suivantes figurent parmi les plus sanctionnées dans les copies de concours (Centrale, Mines-Ponts, X). Les connaître permet de les éviter systématiquement.
| ❌ Ce que l’élève écrit | ✅ Ce qu’il faut écrire | Diagnostic |
|---|---|---|
| « \(u_n \to 0\) donc \(\sum u_n\) converge. » | « \(u_n \to 0\) est une condition nécessaire, pas suffisante. Contre-exemple : série harmonique. » | Confusion entre condition nécessaire et suffisante. L’erreur n°1 en MPSI. |
| « Par d’Alembert, \(\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n} \to 1\) donc la série diverge. » | « Le critère de d’Alembert ne conclut pas quand la limite vaut \(1\). Utiliser un autre critère. » | Le cas \(\ell = 1\) est indéterminé, pas « divergent ». |
| « La série entière converge pour \(|x| \leq R\). » | « La série converge absolument pour \(|x|\) < \(R\). Aux bornes, l’étude est à mener au cas par cas. » | Oubli de l’étude aux bornes du disque de convergence. |
| « Convergence normale \(\Leftrightarrow\) convergence uniforme. » | « CVN \(\Rightarrow\) CVU, mais la réciproque est fausse. » | Confusion d’implications. CVN est une condition suffisante de CVU, pas équivalente. |
| Application de Leibniz sans vérifier la décroissance. | Montrer que \((a_n)\) est décroissante (signe de \(a_{n+1} – a_n\) ou monotonie de \(f\)). | Hypothèse de décroissance souvent oubliée, toujours exigée par le correcteur. |
| « \(\sum a_n\) converge absolument donc \(\sum a_n\) converge absolument. » | Distinguer convergence absolue et semi-convergence : l’absolue implique la convergence, pas l’inverse. | Rédaction circulaire. Bien distinguer les deux notions dans l’analyse de convergence. |
Piège d’oral X-ENS. « Donner un exemple de série de fonctions qui converge uniformément sur \(\mathbb{R}\) mais pas normalement. » Beaucoup de candidats affirment à tort que CVU et CVN sont équivalentes. Un contre-exemple classique : \(f_n(x) = \displaystyle\frac{(-1)^n}{n} \cdot \mathbf{1}_{[n, n+1]}(x)\) sur \(\mathbb{R}^+\). La somme \(\sum f_n\) converge uniformément (Leibniz uniforme) mais \(\sup |f_n| = \displaystyle\frac{1}{n}\) et \(\sum \displaystyle\frac{1}{n}\) diverge.
VII. Questions fréquentes
Quelle est la différence entre une suite et une série ?
Une suite \((u_n)\) est une séquence de nombres. Une série \(\sum u_n\) est la suite des sommes partielles \(S_N = u_0 + u_1 + \cdots + u_N\). Étudier une série, c’est se demander si cette somme a un sens quand on ajoute une infinité de termes. Dire que la série converge, c’est dire que la suite \((S_N)\) admet une limite finie.
Série de Riemann et sommes de Riemann : est-ce la même chose ?
Non, ce sont deux objets distincts. Les sommes de Riemann servent à définir l’intégrale d’une fonction continue : \(\displaystyle\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\!\left(\displaystyle\frac{k}{n}\right) \to \int_0^1 f(t)\,dt\). La série de Riemann est la série numérique \(\sum \displaystyle\frac{1}{n^\alpha}\), qui converge si et seulement si \(\alpha\) > \(1\). Le lien entre les deux est le critère intégral, qui compare \(\sum f(n)\) à \(\int f(t)\,dt\).
Série entière et série de Taylor : est-ce pareil ?
Pas exactement. Une série entière est une série de la forme \(\sum a_n x^n\) : on part des coefficients \((a_n)\) et on étudie la somme. La série de Taylor de \(f\) en \(0\) est la série entière \(\sum \displaystyle\frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n\) : on part d’une fonction \(f\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) et on en extrait les coefficients. Toute série de Taylor est une série entière, mais une série entière peut ne correspondre à aucune fonction « connue ». De plus, la série de Taylor de \(f\) ne converge pas toujours vers \(f\) (exemple : \(f(x) = e^{-1/x^2}\) en \(0\)).
Série de Fourier ou transformée de Fourier : que choisir ?
Les deux outils s’appliquent à des fonctions différentes. La série de Fourier décompose une fonction périodique en somme discrète de sinusoïdes. La transformée de Fourier décompose une fonction non périodique (intégrable sur \(\mathbb{R}\)) en intégrale continue de sinusoïdes. En prépa, les séries de Fourier sont au programme de MP/PC/PSI ; la transformée de Fourier est au programme de certains cursus universitaires et d’écoles d’ingénieurs.
Comment savoir si une série converge ?
Suis cette stratégie en trois étapes. 1. Teste la condition nécessaire : si \(u_n \not\to 0\), la série diverge. 2. Teste la convergence absolue : compare \(|u_n|\) à une série de référence (Riemann, géométrique) ou applique d’Alembert / Cauchy. 3. Si la convergence absolue échoue et que la série change de signe, essaie Leibniz (série alternée) ou le théorème d’Abel (sommation par paquets). La page dédiée aux critères de convergence fournit un arbre de décision complet.
Quelles séries faut-il connaître par cœur en prépa ?
Les séries de référence incontournables sont : la série géométrique \(\sum q^n\) (converge ssi \(|q|\) < \(1\)), la série harmonique \(\sum \displaystyle\frac{1}{n}\) (diverge), la série de Riemann \(\sum \displaystyle\frac{1}{n^\alpha}\) (converge ssi \(\alpha\) > \(1\)), et les DSE usuels (exponentielle, sinus, cosinus, logarithme, \((1+x)^\alpha\), \(\arctan\)). En Fourier, les décompositions du créneau, du signal triangulaire et de la dent de scie sont des classiques de DS et de concours.
Convergence normale et convergence absolue : quelle différence ?
La convergence absolue est une notion de série numérique : \(\sum u_n\) converge absolument si \(\sum |u_n|\) converge. La convergence normale est une notion de série de fonctions : \(\sum f_n\) converge normalement sur \(D\) si \(\sum \sup_{x \in D} |f_n(x)|\) converge. La convergence normale implique la convergence absolue en chaque point, mais c’est une condition plus forte car elle demande un contrôle uniforme en \(x\).
Pour aller plus loin
Ce cours offre une vue d’ensemble des séries en mathématiques. Chaque famille fait l’objet d’une page approfondie avec démonstrations complètes, exercices classés par concours et pièges détaillés :
- Séries numériques — définitions, somme partielle, convergence et divergence, avec 10 méthodes numérotées.
- Critères de convergence — d’Alembert, Cauchy, comparaison, équivalents, intégral, Abel : arbre de décision et exercices corrigés.
- Séries de Riemann — triple démonstration de la convergence, section Bertrand, pièges concours CCP et Centrale.
- Séries entières — théorème de Cauchy-Hadamard, propriétés de la somme, lien avec Taylor.
- Rayon de convergence — méthodes de calcul (d’Alembert, Cauchy-Hadamard, lacunaires, substitution).
- Développement en série entière (DSE) — méthode pas à pas, applications aux EDO linéaires.
- DSE usuels : formulaire et démonstrations — chaque développement démontré avec encadré dépliable.
- Séries de fonctions — convergence simple, uniforme, normale ; théorèmes de régularité.
- Séries de Fourier — décomposition, coefficients, Dirichlet, Parseval, signaux classiques.
Les pages d’exercices dédiées proposent des banques de 10 à 15 exercices étiquetés par concours (CCP, Centrale-Mines, Mines-Ponts, X-ENS), avec corrections rédigées au format copie et lecture concours.
Références bibliographiques.
- X. Gourdon, Les maths en tête — Analyse, Ellipses.
- C. Deschamps, F. Moulin, A. Warusfel, Mathématiques tout-en-un MPSI / MP, Dunod.
- H. Ramis, C. Deschamps, J. Odoux, Cours de mathématiques spéciales — Analyse, Masson.
- S. Francinou, H. Gianella, S. Nicolas, Exercices de mathématiques — Oraux X-ENS, Analyse, Cassini.
Conforme au programme CPGE 2025-2026 (MPSI, MP, PC, PSI).
