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Le sujet de Mathématiques 1 Mines-Ponts PC 2026, intitulé « Sommes d’endomorphismes de carré nul », est un problème d’algèbre linéaire structuré en cinq parties largement indépendantes (A à E), pour une durée de 3 heures sans calculatrice. Le fil conducteur est l’étude des endomorphismes d’un espace vectoriel complexe de dimension finie qui se décomposent comme somme d’endomorphismes de carré nul. Le sujet progresse de la réduction canonique d’un endomorphisme nilpotent d’indice 2 jusqu’à la démonstration du résultat final : tout endomorphisme de trace nulle est somme de quatre endomorphismes de carré nul. Le niveau global est élevé, avec une montée en difficulté progressive et un final très exigeant en partie E.
| Partie du sujet | Thème | Niveau | Notions mobilisées |
|---|---|---|---|
| Partie A (Q1-5) | Réduction des endomorphismes de carré nul | Accessible | Valeurs propres, noyau-image, matrice par blocs |
| Partie B (Q6-8) | Somme arbitraire et caractérisation par la trace | Accessible | Trace, matrices élémentaires, combinaison linéaire |
| Partie C (Q9-13) | Somme de trois — contre-exemple | Élevé | Théorème de Wang-Wu, multiplicité des valeurs propres, rang |
| Partie D (Q14-18) | Matrices de Hessenberg régulières | Élevé | Déterminant par blocs, polynôme caractéristique, similitude |
| Partie E (Q19-25) | Somme de quatre endomorphismes de carré nul | Très élevé | Matrices presque triangulaires, plans stables, similitude, synthèse |
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Structure et thèmes du sujet
Partie A (Questions 1 à 5) — Réduction des endomorphismes de carré nul. On fixe un endomorphisme \(u\) non nul tel que \(u^2 = 0\) dans un espace de dimension \(n\). Les premières questions établissent que 0 est la seule valeur propre, que \(\mathrm{tr}(u) = 0\), puis que le noyau et l’image vérifient \(\mathrm{Im}(u) \subset \mathrm{Ker}(u)\), d’où \(r \leq \displaystyle\frac{n}{2}\). On construit ensuite une base adaptée dans laquelle \(u\) est représenté par une matrice par blocs canonique avec \(I_m\) en position sous-diagonale et des zéros partout ailleurs. C’est un travail classique de réduction.
Partie B (Questions 6 à 8) — Somme d’un nombre arbitraire. On montre que \(\Sigma_\infty \mathcal{C}(E) = \mathcal{H}(E)\), l’ensemble des endomorphismes de trace nulle. Les matrices élémentaires \(E_{i,j}\) et \(F_{i,n}\) servent de briques : on vérifie lesquelles sont de carré nul, puis on exprime toute matrice de trace nulle comme combinaison linéaire de ces briques. C’est la partie la plus abordable du sujet.
Partie C (Questions 9 à 13) — Le cas de trois endomorphismes : un contre-exemple. Le théorème de Wang et Wu (admis) caractérise \(\Sigma_2\mathcal{C}(E)\). On construit un endomorphisme \(u\) de trace nulle, dont 1 est valeur propre avec un sous-espace propre de grande dimension (\(d > \displaystyle\frac{3n}{4}\)), et on prouve qu’il n’appartient pas à \(\Sigma_3\mathcal{C}(E)\). L’argument repose sur l’étude du rang de \((w-v)^2\) et la multiplicité des valeurs propres de \(u – v\).
Partie D (Questions 14 à 18) — Matrices de Hessenberg. Cette partie technique introduit les matrices de Hessenberg régulières (coefficients sous-diagonaux tous non nuls). On étudie le polynôme caractéristique via les sous-matrices \(\widetilde{(xI_n – A)}^{(k,n)}\), on montre l’existence et l’unicité d’un vecteur \(C\) tel que \(J_n + E_C\) ait un polynôme caractéristique prescrit, et on établit qu’une matrice de Hessenberg régulière de polynôme caractéristique \(X^n\) est semblable à \(J_n\).
Partie E (Questions 19 à 25) — Somme de quatre endomorphismes de carré nul. C’est le point d’orgue du sujet. On introduit les matrices « presque triangulaires supérieures » et la matrice \(V\) (comme \(J_n\) sans la dernière ligne). On montre que \(J_n\) est somme de deux matrices de carré nul, puis on généralise à \(V + E_C\). Les questions 22 à 24 établissent que toute matrice qui n’est pas un multiple de \(I_n\) est semblable à une matrice presque triangulaire supérieure. La question 25 conclut : tout endomorphisme de trace nulle appartient à \(\Sigma_4\mathcal{C}(E)\).
Notions et chapitres testés
- Réduction des endomorphismes : valeurs propres, sous-espaces propres, polynôme caractéristique, formes canoniques (nilpotents d’indice 2), similitude de matrices. C’est le cœur du sujet.
- Algèbre linéaire fondamentale : noyau, image, théorème du rang, supplémentarité, familles libres, changement de base, matrices par blocs.
- Trace : propriétés de la trace (linéarité, invariance par similitude, lien avec les valeurs propres), caractérisation des endomorphismes de trace nulle.
- Calcul de déterminants : développement par rapport à une ligne/colonne, cofacteurs, déterminants de matrices par blocs, récurrence sur la taille.
- Polynôme caractéristique : construction, coefficient dominant, lien avec la trace, théorème de Cayley-Hamilton (en filigrane).
- Matrices de Hessenberg : notion hors programme explicitement introduite dans le sujet, mais les outils pour les étudier (déterminants, similitude) sont au programme.
Niveau de difficulté et comparaison aux années précédentes
Ce sujet se situe dans la tranche haute des sujets Mines-Ponts Maths 1 PC récents. Par rapport aux sessions 2023 à 2025, on note :
- Un sujet très algébrique : contrairement aux sessions qui mêlaient analyse et algèbre, ce problème est intégralement d’algèbre linéaire. Cela avantage les candidats solides en réduction mais peut déstabiliser ceux qui comptaient sur une partie d’analyse pour grappiller des points.
- Une progression de difficulté marquée : les parties A et B sont accessibles et permettent de sécuriser un socle de points. Les parties C et D demandent une vraie maîtrise technique. La partie E est redoutable et sera très discriminante.
- Un résultat final profond : la conclusion \(u \in \Sigma_4\mathcal{C}(E)\) est un résultat de recherche récent. Le sujet guide bien vers ce résultat mais la synthèse finale (Q25) exige d’articuler tous les résultats précédents.
- Difficulté comparable à Mines-Ponts Maths 1 PC 2024, qui était déjà jugé exigeant, mais avec un degré d’abstraction supérieur. On s’attend à une moyenne autour de 7-8/20.
Pièges et points techniques délicats
Question 1 : Ne pas oublier que 0 est la seule valeur propre possible (si \(\lambda\) est valeur propre, \(u(x) = \lambda x\) implique \(u^2(x) = \lambda^2 x = 0\), donc \(\lambda = 0\)). L’erreur classique est de ne pas justifier que \(\mathrm{tr}(u) = 0\) en déduisant cette information de la seule valeur propre et de la triangularisabilité sur \(\mathbb{C}\).
Question 3 : La justification de la liberté de \((u(e_1), \ldots, u(e_r))\) est subtile. Il faut utiliser le fait que \((e_1, \ldots, e_r)\) est choisie pour que \(\mathrm{Ker}(u) \oplus \mathrm{Vect}(e_1, \ldots, e_r) = E\), et que l’injectivité de \(u\) restreinte au supplémentaire du noyau donne la liberté voulue.
Question 5 : L’unicité de \(m\) est essentielle. La valeur \(m\) correspond au rang de \(u\), qui est un invariant. Ne pas confondre \(r\) (rang de \(u\) dans les questions précédentes, potentiellement avec des vecteurs « parasites ») et \(m\) (la taille du bloc \(I_m\) dans la forme canonique optimale).
Question 10 : Le développement de \((w – v)^2\) avec \(w = u – \mathrm{id}_E\) et \(v \in \mathcal{C}(E)\) nécessite d’utiliser \(v^2 = 0\) mais pas \(w^2 = 0\) (car \(w\) n’est pas de carré nul en général). L’inégalité sur le rang s’obtient via \(\mathrm{rg}(w^2 – wv – vw) \leq \mathrm{rg}(w^2) + \mathrm{rg}(wv) + \mathrm{rg}(vw)\) et les majorations de rang par le minimum des rangs des facteurs.
Question 14 : Le calcul du déterminant de \(\widetilde{(xI_n – A)}^{(k,n)}\) demande un développement soigneux par blocs. L’erreur fréquente est de se tromper dans les signes des cofacteurs ou d’oublier que les coefficients sous-diagonaux \(a_{i+1,i}\) interviennent de façon multiplicative. Le coefficient dominant de \(P_k\) est un produit de ces coefficients sous-diagonaux.
Question 22 : L’existence d’un plan stable contenant un vecteur non nul qui n’est pas vecteur propre est le point clé de la partie E. Il faut exploiter la triangularisation de \(v\) sur \(\mathbb{C}\) et trouver deux vecteurs de la base de triangularisation engendrant un plan avec les propriétés requises. Le piège est de ne considérer que les sous-espaces propres.
Méthodes attendues et stratégies de résolution
Questions 1-2 : Pour Q1, triangulariser \(u\) sur \(\mathbb{C}\) (possible car on travaille sur \(\mathbb{C}\)) et utiliser \(u^2 = 0\) pour montrer que toutes les valeurs propres sont nulles. La trace étant la somme des valeurs propres (avec multiplicité), elle est nulle. Pour Q2, partir de l’inclusion \(\mathrm{Im}(u) \subset \mathrm{Ker}(u)\) (conséquence immédiate de \(u^2 = 0\)) et appliquer le théorème du rang.
Questions 3-5 : Choisir un supplémentaire de \(\mathrm{Ker}(u)\) dans \(E\), engendré par \((e_1, \ldots, e_r)\). Par restriction, \(u\) est injectif sur ce supplémentaire, donc \((u(e_1), \ldots, u(e_r))\) est libre. Compléter en une base adaptée pour obtenir la matrice par blocs. Pour Q5, l’unicité de \(m = r = \mathrm{rg}(u)\) découle de l’invariance du rang par changement de base.
Questions 6-8 : Vérifier que \(E_{i,j}^2 = 0\) pour \(i \neq j\) (calcul direct). Pour Q7, décomposer toute matrice de trace nulle sur la base des \(E_{i,j}\) (\(i \neq j\)) et des \(E_{i,i} – E_{j,j}\). Les matrices \(F_{i,n}\) permettent de capturer les termes diagonaux sous forme de carrés nuls. Conclure par la stabilité de \(\Sigma_\infty\mathcal{C}(E)\) par combinaison linéaire (attention, par somme, pas par combinaison — utiliser que \(\lambda u = (\lambda u_1) + \cdots\) si \(u = u_1 + \cdots\)).
Questions 9-13 : Pour Q9, prendre \(n \geq 5\), \(u\) diagonalisable avec la valeur propre 1 de multiplicité \(d > \displaystyle\frac{3n}{4}\) et ajuster les autres valeurs propres pour que la trace soit nulle. Pour Q10-12, poser \(w = u – \mathrm{id}_E\), développer \((w-v)^2\) en utilisant \(v^2 = 0\), et majorer le rang. Montrer que 1 et \(-1\) sont valeurs propres de \(u – v\) de multiplicité trop grande pour être compatible avec le théorème de Wang-Wu.
Questions 14-18 : Pour Q14, développer le déterminant de la sous-matrice par récurrence descendante sur les lignes. Pour Q15-16, identifier \(C\) tel que le polynôme caractéristique de \(J_n + E_C\) soit \(X^n\) par identification des coefficients. Pour Q17, vérifier que \((u^k(e_1))_{0 \leq k \leq n-1}\) est une base en examinant la matrice de passage. Q18 combine Q16 et Q17 via la similitude.
Questions 19-25 : Pour Q19, utiliser Q15 pour trouver \(C_0\). Pour Q20, décomposer \(J_n\) en imposant la contrainte de support disjoint — c’est un argument combinatoire délicat. Pour Q21, adapter la construction à \(V + E_C\) quelconque. Q22-24 sont la clé : triangulariser \(v\), extraire un plan stable non trivial, et montrer la similitude avec une matrice presque triangulaire supérieure. Q25 assemble tout : écrire la matrice de \(u\) sous forme presque triangulaire via Q24, puis la décomposer en \((V + E_C) + (A – V – E_C)\) où chaque morceau est somme de deux carrés nuls via Q21.
Conseils pour les futurs candidats
Priorité n°1 : maîtrise absolue de la réduction. Ce sujet confirme une tendance forte aux Mines-Ponts PC : l’algèbre linéaire est testée en profondeur. Tu dois être parfaitement à l’aise avec la diagonalisation, la trigonalisation, les sous-espaces stables, et les formes canoniques des endomorphismes nilpotents. Travaille en particulier les endomorphismes nilpotents d’indice 2 et 3 — ils reviennent régulièrement.
- Matrices par blocs : savoir écrire, multiplier et calculer le déterminant de matrices par blocs est indispensable. Ce sujet l’utilise dans presque toutes les parties. Entraîne-toi sur des exercices de type « écrire un endomorphisme dans une base adaptée à une décomposition en somme directe ».
- Trace et propriétés spectrales : la trace comme somme des valeurs propres (en comptant les multiplicités, via la triangularisation sur \(\mathbb{C}\)) est un outil fondamental. Révise aussi l’invariance de la trace par similitude et les liens entre trace, déterminant et coefficients du polynôme caractéristique.
- Théorème du rang et inégalités de rang : les questions 2, 10 et 11 utilisent des majorations de rang (rang d’une somme, rang d’un produit). Ce sont des outils simples mais qu’il faut savoir mobiliser rapidement sous pression.
- Calcul de déterminants : la partie D demande des développements de déterminants par cofacteurs. C’est un exercice technique classique mais qui peut être chronophage si tu n’es pas rodé. Entraîne-toi sur les exercices d’algèbre linéaire impliquant des récurrences sur la taille des matrices.
- Plans stables et similitude : la question 22 (existence d’un plan stable avec un vecteur non propre) est un résultat fondamental en réduction. Ce type de raisonnement — triangulariser, puis extraire des sous-espaces stables de petite dimension — est très utile dans les problèmes d’algèbre des concours.
- Gestion du temps : avec 25 questions en 3 heures, tu disposes d’environ 7 minutes par question. Les parties A et B doivent être traitées en 40-45 minutes maximum. Consacre le temps restant aux parties C et D, et aborde la partie E si tu as une avance confortable. La question 25 de synthèse sera réussie par très peu de candidats — ne t’y accroche pas au détriment du reste.
Conseil stratégique le jour J : les parties sont « largement indépendantes » (sauf E qui utilise D). Tu peux donc sauter une partie bloquante et passer à la suivante. En particulier, si la partie C te résiste, passe directement à la partie D qui est un exercice de calcul plus mécanique.
