Matrice Identité : Définition et Propriétés

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Sans la matrice identité, impossible de définir l’inversibilité d’une matrice, impossible de calculer un polynôme caractéristique, impossible de parler de groupe linéaire. Elle joue en algèbre linéaire le rôle du nombre 1 dans l’arithmétique : c’est l’élément neutre de la multiplication matricielle. Tu trouveras ici sa définition formelle via le symbole de Kronecker, toutes ses propriétés fondamentales avec démonstrations, son rôle dans les grandes constructions de l’algèbre linéaire, et 6 exercices corrigés de difficulté croissante.

I. Définition de la matrice identité

A. Définition formelle et symbole de Kronecker

La définition de la matrice identité repose sur un outil simple mais fondamental : le symbole de Kronecker.

Ce symbole permet de donner une expression compacte de la matrice identité.

Sous forme explicite, la matrice identité s’écrit :

\(I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}\)

B. Notation et conventions en CPGE

La notation standard en classes préparatoires scientifiques est \(I_n\), où l’indice \(n\) désigne l’ordre de la matrice. Plusieurs conventions coexistent :

• \(I_n\) : notation la plus courante dans les manuels français (Gourdon, Monier, Deschamps) et les sujets de concours.
• \(I\) : notation abrégée lorsque l’ordre \(n\) est sans ambiguïté dans le contexte.
• \(\mathrm{Id}_n\) : parfois utilisée pour souligner le lien avec l’application linéaire identité.

Remarque : dans la littérature anglo-saxonne, on rencontre aussi \(E_n\) (Einheitsmatrix en allemand). Les sujets de concours français utilisent exclusivement \(I_n\) ou \(I\).

C. Exemples en petite dimension

Écrivons les premières matrices identité :

\(I_1 = (1), \quad I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)

Observe que \(I_n\) est à la fois une matrice triangulaire supérieure et inférieure, une matrice diagonale, et une matrice symétrique. Ces propriétés structurelles seront exploitées dans la suite.

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II. Propriétés fondamentales de \(I_n\)

La propriété essentielle de la matrice identité est son rôle d’élément neutre pour le produit matriciel. C’est cette propriété qui la rend omniprésente en algèbre linéaire.

A. Élément neutre de la multiplication matricielle

Démonstration ⋆

Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\). On calcule le coefficient en position \((i, j)\) du produit \(I_n A\) :

\((I_n A)_{ij} = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} (I_n)_{ik} \, a_{kj} = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \delta_{ik} \, a_{kj} = a_{ij}\)

car le seul terme non nul dans la somme correspond à \(k = i\), pour lequel \(\delta_{ii} = 1\). Donc \(I_n A = A\).

De même, pour le produit à droite :

\((A I_p)_{ij} = \displaystyle\sum_{k=1}^{p} a_{ik} \, (I_p)_{kj} = \displaystyle\sum_{k=1}^{p} a_{ik} \, \delta_{kj} = a_{ij}\)

car le seul terme non nul correspond à \(k = j\). Donc \(A I_p = A\). ∎

B. Unicité de l’élément neutre

Un point souvent admis mais rarement démontré : l’élément neutre de la multiplication dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) est unique.

Démonstration

Supposons que \(J\) est un élément neutre à gauche : \(\forall A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}), \, JA = A\).

En appliquant cette hypothèse à \(A = I_n\) :

\(J \, I_n = I_n\)

Or, d’après le théorème précédent, \(J \, I_n = J\) (puisque \(I_n\) est un élément neutre à droite). Donc :

\(J = J \, I_n = I_n\)

Le raisonnement est identique pour un élément neutre à droite. ∎

Ce résultat garantit qu’il n’existe pas de « deuxième matrice identité ». C’est un résultat structurel fondamental qui se généralise à tout monoïde.

C. Puissances et évaluation de polynômes en \(I_n\)

Démonstration (par récurrence)

Initialisation : \(I_n^1 = I_n\). ✓

Hérédité : Supposons \(I_n^k = I_n\) pour un certain \(k \geq 1\). Alors :

\(I_n^{k+1} = I_n^k \cdot I_n = I_n \cdot I_n = I_n\)

par hypothèse de récurrence et par la propriété d’élément neutre. ∎

Cette propriété, combinée à la linéarité de l’évaluation polynomiale, donne un résultat particulièrement utile en pratique :

Démonstration

Soit \(P = a_d X^d + a_{d-1} X^{d-1} + \cdots + a_1 X + a_0 \in \mathbb{K}[X]\). Par définition de l’évaluation d’un polynôme en une matrice :

\(P(I_n) = a_d I_n^d + a_{d-1} I_n^{d-1} + \cdots + a_1 I_n + a_0 I_n\)

Comme \(I_n^k = I_n\) pour tout \(k \geq 1\) :

\(P(I_n) = a_d I_n + a_{d-1} I_n + \cdots + a_1 I_n + a_0 I_n = (a_d + a_{d-1} + \cdots + a_1 + a_0) \, I_n = P(1) \, I_n\)

∎

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III. Propriétés spectrales et algébriques

Rassemblons maintenant les propriétés algébriques et spectrales de \(I_n\) dans un tableau synthétique, avant de les démontrer.

A. Déterminant et trace

Démonstration

\(I_n\) est une matrice triangulaire (à la fois supérieure et inférieure). Son déterminant est le produit de ses coefficients diagonaux :

\(\det(I_n) = \displaystyle\prod_{i=1}^{n} (I_n)_{ii} = \displaystyle\prod_{i=1}^{n} 1 = 1\)

∎

Démonstration

La trace est la somme des coefficients diagonaux :

\(\mathrm{tr}(I_n) = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} (I_n)_{ii} = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} 1 = n\)

∎

B. Valeurs propres et polynôme caractéristique

Démonstration

Polynôme caractéristique :

\(\chi_{I_n}(X) = \det(I_n – X I_n) = \det\bigl((1 – X) I_n\bigr) = (1 – X)^n \det(I_n) = (1 – X)^n\)

L’unique racine est \(\lambda = 1\), de multiplicité algébrique \(n\).

Espace propre :

\(E_1(I_n) = \ker(I_n – 1 \cdot I_n) = \ker(0_n) = \mathbb{K}^n\)

La multiplicité géométrique est \(\dim E_1(I_n) = n\), qui coïncide avec la multiplicité algébrique.

Polynôme minimal : on cherche le polynôme unitaire de plus petit degré annulant \(I_n\). Pour \(P(X) = X – 1\) : \(P(I_n) = I_n – I_n = 0_n\). C’est de degré 1, donc c’est bien le polynôme minimal. ∎

C. Symétrie, transposée et inversibilité

Démonstration

Le coefficient \((i,j)\) de \(I_n^\top\) est \((I_n^\top)_{ij} = (I_n)_{ji} = \delta_{ji} = \delta_{ij} = (I_n)_{ij}\).

L’égalité \(\delta_{ji} = \delta_{ij}\) découle de la symétrie de la relation \(i = j\). ∎

Démonstration

Par définition, \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) est inversible s’il existe \(B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) telle que \(AB = BA = I_n\). En prenant \(A = B = I_n\) :

\(I_n \cdot I_n = I_n\)

Donc \(I_n\) est inversible d’inverse \(I_n\) elle-même. ∎

On dit que \(I_n\) est une matrice involutive : \(I_n^2 = I_n\) et \(I_n^{-1} = I_n\). C’est aussi une matrice orthogonale, puisque \(I_n^\top I_n = I_n \cdot I_n = I_n\).

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IV. Rôle de la matrice identité en algèbre linéaire

Au-delà de ses propriétés intrinsèques, la matrice identité intervient dans les constructions fondamentales de l’algèbre linéaire.

A. Matrice de l’application identité

Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension \(n\) et \(\mathcal{B}\) une base de \(E\). L’application linéaire identité \(\mathrm{id}_E : E \to E\) définie par \(\mathrm{id}_E(x) = x\) pour tout \(x \in E\) a pour matrice dans la base \(\mathcal{B}\) :

\(\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(\mathrm{id}_E) = I_n\)

Ce résultat est immédiat : la \(j\)-ème colonne de \(\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(\mathrm{id}_E)\) est le vecteur des coordonnées de \(\mathrm{id}_E(e_j) = e_j\) dans \(\mathcal{B}\), qui vaut \(e_j\) lui-même — c’est le \(j\)-ème vecteur de la base canonique de \(\mathbb{K}^n\).

B. Caractérisation de l’inversibilité

La matrice identité apparaît dans la définition même de l’inversibilité :

C’est parce que \(I_n\) est l’élément neutre que l’inverse est unique (même argument que pour l’unicité de l’inverse dans un groupe). La condition \(AB = I_n\) exprime que \(B\) « annule l’effet de \(A\) » : composer \(A\) puis \(B\) revient à ne rien faire.

C. La construction \(A – \lambda I_n\)

L’une des utilisations les plus fréquentes de \(I_n\) en CPGE est la construction \(A – \lambda I_n\), qui intervient dans :

• le polynôme caractéristique : \(\chi_A(\lambda) = \det(A – \lambda I_n)\) ;
• la recherche des valeurs propres : résoudre \(\det(A – \lambda I_n) = 0\) ;
• la détermination des espaces propres : \(E_\lambda(A) = \ker(A – \lambda I_n)\) ;
• la diagonalisation et la trigonalisation.

D. Structures algébriques : anneau et groupe

La matrice identité joue un rôle structurel dans les ensembles suivants :

Le fait que \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) possède un élément unité \(I_n\) en fait un anneau unitaire. Attention : cet anneau n’est pas commutatif pour \(n \geq 2\) (le produit matriciel n’est pas commutatif en général).

Le groupe linéaire \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})\), formé des matrices inversibles, est un groupe dont l’élément neutre est \(I_n\). De même, le groupe orthogonal \(\mathrm{O}_n(\mathbb{R}) = \{M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) : M^\top M = I_n\}\) contient \(I_n\) (puisque \(I_n^\top I_n = I_n\)).

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V. Exercices corrigés

Voici 6 exercices progressifs sur la matrice identité, classés de ★ (application directe) à ★★★ (type concours). Essaie de résoudre chaque exercice avant de consulter la correction.

Exercice 1 ★ — Vérification directe

Soit \(A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 4 & 1 \\ -1 & 2 & 5 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})\). Vérifier que \(I_3 A = A I_3 = A\).

Voir la correction

Calculons \(I_3 A\) :

\(I_3 A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 4 & 1 \\ -1 & 2 & 5 \end{pmatrix}\)

La première ligne de \(I_3 A\) est \((1 \times 2 + 0 + 0, \; 1 \times (-1) + 0 + 0, \; 1 \times 3 + 0 + 0) = (2, -1, 3)\), qui est bien la première ligne de \(A\). Le même raisonnement s’applique aux deux autres lignes.

De même, pour \(A I_3\), la première colonne est \((2 \times 1 + (-1) \times 0 + 3 \times 0, \; 0 + 4 \times 0 + 1 \times 0, \; -1 + 0 + 0) = (2, 0, -1)^\top\), qui est bien la première colonne de \(A\).

On a bien \(I_3 A = A I_3 = A\), ce qui illustre la propriété d’élément neutre. ∎

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Exercice 2 ★ — Polynôme caractéristique

Soit \(A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\). Calculer \(\det(A – \lambda I_2)\) et en déduire les valeurs propres de \(A\).

Voir la correction

On forme \(A – \lambda I_2\) :

\(A – \lambda I_2 = \begin{pmatrix} 3 – \lambda & 1 \\ 0 & 2 – \lambda \end{pmatrix}\)

Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit des coefficients diagonaux :

\(\chi_A(\lambda) = \det(A – \lambda I_2) = (3 – \lambda)(2 – \lambda)\)

Les valeurs propres sont les racines de \(\chi_A\) : \(\lambda_1 = 2\) et \(\lambda_2 = 3\). ∎

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Exercice 3 ★★ — Unicité de l’élément neutre à gauche

Soit \(J \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) telle que \(\forall A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}), \; JA = A\). Démontrer que \(J = I_n\).

Voir la correction

On applique l’hypothèse \(JA = A\) à la matrice particulière \(A = I_n\) :

\(J \, I_n = I_n\)

Or, \(I_n\) étant l’élément neutre à droite, on a \(J \, I_n = J\). Par conséquent :

\(J = J \, I_n = I_n\)

∎

Remarque : la preuve repose sur le fait qu’il existe déjà un élément neutre à droite (\(I_n\)). On pourrait aussi démontrer le résultat directement en évaluant \(J\) sur les matrices élémentaires \(E_{ij}\), sans supposer l’existence préalable de \(I_n\) — mais c’est rarement demandé aux concours.

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Exercice 4 ★★ — Centre de l’algèbre des matrices (I)

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) telle que \(\forall M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}), \; AM = MA\). Démontrer que \(A\) est une matrice scalaire : il existe \(\lambda \in \mathbb{K}\) tel que \(A = \lambda I_n\).

Voir la correction

Soit \(A = (a_{k\ell})\). Fixons \(i, j \in \{1, \ldots, n\}\) et appliquons l’hypothèse à la matrice élémentaire \(E_{ij}\) (dont le seul coefficient non nul est un \(1\) en position \((i,j)\)).

Calcul de \(AE_{ij}\) : le coefficient \((k, \ell)\) de \(AE_{ij}\) est :

\((AE_{ij})_{k\ell} = \displaystyle\sum_{m=1}^{n} a_{km} \, \delta_{mi} \, \delta_{j\ell} = a_{ki} \, \delta_{j\ell}\)

Donc \(AE_{ij}\) est la matrice dont la colonne \(j\) est la \(i\)-ème colonne de \(A\), et toutes les autres colonnes sont nulles.

Calcul de \(E_{ij}A\) : le coefficient \((k, \ell)\) de \(E_{ij}A\) est :

\((E_{ij}A)_{k\ell} = \delta_{ki} \, a_{j\ell}\)

Donc \(E_{ij}A\) est la matrice dont la ligne \(i\) est la \(j\)-ème ligne de \(A\), et toutes les autres lignes sont nulles.

Identification : la condition \(AE_{ij} = E_{ij}A\) donne \(a_{ki} \, \delta_{j\ell} = \delta_{ki} \, a_{j\ell}\) pour tout \((k, \ell)\).

• Cas \(k \neq i\) et \(\ell = j\) : \(a_{ki} = 0\). Comme cela vaut pour tout \(i\) et tout \(k \neq i\), on a \(a_{ki} = 0\) dès que \(k \neq i\). La matrice \(A\) est donc diagonale.
• Cas \(k = i\) et \(\ell = j\) : \(a_{ii} = a_{jj}\) pour tout \((i, j)\). Tous les coefficients diagonaux sont donc égaux.

En posant \(\lambda = a_{11}\), on conclut que \(A = \lambda I_n\). ∎

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Exercice 5 ★★★ — Matrices involutives

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) telle que \(A^2 = I_n\).

1. Déterminer les valeurs propres possibles de \(A\).
2. Montrer que \(A\) est diagonalisable.
3. En déduire que \(\mathbb{R}^n = \ker(A – I_n) \oplus \ker(A + I_n)\).

Voir la correction

1. Valeurs propres.

Soit \(\lambda\) une valeur propre de \(A\) et \(X \neq 0\) un vecteur propre associé : \(AX = \lambda X\).

Alors \(A^2 X = A(\lambda X) = \lambda (AX) = \lambda^2 X\). Comme \(A^2 = I_n\), on a \(A^2 X = X\). Donc \(\lambda^2 X = X\), d’où \(\lambda^2 = 1\) (car \(X \neq 0\)).

Les seules valeurs propres possibles sont \(\lambda = 1\) et \(\lambda = -1\).

2. Diagonalisabilité.

La relation \(A^2 = I_n\) se réécrit \(A^2 – I_n = 0_n\), soit :

\((A – I_n)(A + I_n) = 0_n\)

Le polynôme \(P(X) = X^2 – 1 = (X – 1)(X + 1)\) annule \(A\). Comme \(P\) est scindé à racines simples dans \(\mathbb{R}[X]\), le polynôme minimal \(\mu_A\) divise \(P\) et est donc lui aussi scindé à racines simples. Par le critère de diagonalisabilité, \(A\) est diagonalisable.

3. Décomposition en somme directe.

Puisque \(\mu_A\) divise \((X – 1)(X + 1)\) et que ses racines sont dans \(\{1, -1\}\), le lemme des noyaux (appliqué aux polynômes premiers entre eux \(X – 1\) et \(X + 1\)) donne :

\(\mathbb{R}^n = \ker(A – I_n) \oplus \ker(A + I_n)\)

∎

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Exercice 6 ★★★ — Inverse à gauche et inverse à droite (type concours)

Soient \(A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) telles que \(AB = I_n\). Démontrer que \(BA = I_n\).

Voir la correction

L’objectif est de montrer qu’en dimension finie, un inverse à gauche est aussi un inverse à droite.

Méthode par le déterminant :

On a \(\det(AB) = \det(A) \det(B) = \det(I_n) = 1\).

Donc \(\det(A) \neq 0\) et \(\det(B) \neq 0\). Les matrices \(A\) et \(B\) sont toutes deux inversibles.

Puisque \(A\) est inversible, multiplions \(AB = I_n\) à gauche par \(A^{-1}\) :

\(A^{-1}(AB) = A^{-1} I_n \Rightarrow B = A^{-1}\)

Donc \(BA = A^{-1} A = I_n\). ∎

Remarque : ce résultat est faux en dimension infinie. Par exemple, l’opérateur de décalage à droite sur \(\ell^2(\mathbb{N})\) admet un inverse à gauche mais pas d’inverse à droite. C’est la finitude de la dimension (qui garantit que \(\det\) est bien défini et caractérise l’inversibilité) qui rend le résultat vrai.

Tu veux t’entraîner davantage ? Découvre nos exercices corrigés sur les matrices, avec des problèmes de niveau concours (X, Mines-Ponts, Centrale).

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VI. Erreurs fréquentes et pièges classiques

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VII. Questions fréquentes

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VIII. Pour aller plus loin

Tu maîtrises maintenant les propriétés fondamentales de la matrice identité. Pour approfondir les concepts liés :

• Matrice inversible : définition, critères et déterminant — la matrice identité est le « test » de l’inversibilité
• Inverse d’une matrice : méthode de calcul et propriétés — comment calculer \(A^{-1}\) tel que \(A A^{-1} = I_n\)
• Déterminant d’une matrice : calcul, propriétés et applications — le déterminant de \(I_n\) vaut \(1\), et ce n’est pas un hasard
• Valeurs propres et vecteurs propres — la construction \(A – \lambda I_n\) est au cœur de la théorie spectrale
• Diagonalisation d’une matrice — \(P^{-1}AP = D\) repose sur l’inversibilité de la matrice de passage
• Matrice orthogonale : définition, propriétés et exemples — les matrices \(M\) telles que \(M^\top M = I_n\)
• Matrice d’une application linéaire — la matrice de \(\mathrm{id}_E\) dans toute base est \(I_n\)

Conforme au programme officiel des classes préparatoires scientifiques (MPSI, PCSI, MP, PC, PSI) 2025-2026.

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