Matrice Triangulaire : Cours, Propriétés et Exercices

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Les matrices triangulaires comptent parmi les familles les plus exploitées en algèbre linéaire : leur déterminant se lit sur la diagonale, leurs valeurs propres sont explicites, et toute matrice — sur un corps algébriquement clos — peut s’y ramener par trigonalisation. Ce cours couvre les définitions, propriétés fondamentales, méthodes de réduction et exercices corrigés. Conforme au programme officiel CPGE 2025-2026.

I. Définition et types de matrices triangulaires

A. Matrice triangulaire supérieure

Concrètement, une matrice triangulaire supérieure n’a de coefficients éventuellement non nuls que sur et au-dessus de la diagonale :

\(A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & a_{nn} \end{pmatrix}\)

B. Matrice triangulaire inférieure

Les deux notions sont reliées par la transposition :

\(A \in \mathcal{T}_n^+(\mathbb{K}) \Leftrightarrow A^\top \in \mathcal{T}_n^-(\mathbb{K})\)

Par conséquent, toute propriété démontrée pour les matrices triangulaires supérieures admet un analogue immédiat pour les triangulaires inférieures, par transposition. Dans la suite, on énonce les résultats pour \(\mathcal{T}_n^+(\mathbb{K})\) ; ils se transposent sans difficulté.

C. Matrices strictement triangulaires et nilpotence

Le résultat fondamental est le lien avec la nilpotence :

Démonstration. Montrons par récurrence sur \(p \geq 1\) que \((A^p)_{ij} = 0\) dès que \(j – i\) < \(p\).

Initialisation (\(p = 1\)) : \(A\) est strictement triangulaire supérieure, donc \(a_{ij} = 0\) si \(j \leq i\), c’est-à-dire si \(j – i\) < \(1\).

Hérédité : supposons le résultat vrai au rang \(p\). On a :

\((A^{p+1})_{ij} = \sum_{k=1}^{n} (A^p)_{ik} \, a_{kj}\)

Un terme \((A^p)_{ik} \cdot a_{kj}\) est non nul seulement si \(k – i \geq p\) (par hypothèse de récurrence) et \(j – k \geq 1\) (car \(A\) est strictement triangulaire). On obtient \(j – i \geq p + 1\). Contraposée : si \(j – i\) < \(p + 1\), alors \((A^{p+1})_{ij} = 0\).

Conclusion : pour \(p = n\), on a \((A^n)_{ij} = 0\) dès que \(j – i\) < \(n\). Or \(1 \leq i, j \leq n\) impose \(j – i \leq n – 1\) < \(n\). Donc \(A^n = 0\). ∎

D. Cas particuliers : diagonale et échelonnée

Plusieurs familles classiques se rattachent naturellement aux matrices triangulaires :

• Matrice diagonale : une matrice est diagonale si et seulement si elle est à la fois triangulaire supérieure et inférieure : \(\mathcal{D}_n(\mathbb{K}) = \mathcal{T}_n^+(\mathbb{K}) \cap \mathcal{T}_n^-(\mathbb{K})\).
• Matrice identité : \(I_n\) est diagonale, donc à la fois triangulaire supérieure et inférieure.
• Matrice échelonnée : une matrice échelonnée en lignes est « presque » triangulaire supérieure. Elle coïncide avec une matrice triangulaire supérieure lorsqu’elle est carrée et que chaque pivot se trouve sur la diagonale. En pratique, la méthode du pivot de Gauss transforme toute matrice carrée en une forme triangulaire supérieure.

Le tableau suivant récapitule ces distinctions :

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II. Propriétés et théorèmes fondamentaux

Les matrices triangulaires jouissent de propriétés algébriques remarquables qui en font un outil central en algèbre linéaire. On les énonce ici pour \(\mathcal{T}_n^+(\mathbb{K})\) ; les résultats analogues pour \(\mathcal{T}_n^-(\mathbb{K})\) s’en déduisent par transposition.

A. \(\mathcal{T}_n^+(\mathbb{K})\) est une sous-algèbre de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\)

Démonstration du point 3 (stabilité par produit). Soient \(A, B \in \mathcal{T}_n^+(\mathbb{K})\). Pour \(i\) > \(j\), on calcule :

\((AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \, b_{kj}\)

Pour qu’un terme \(a_{ik} \cdot b_{kj}\) soit non nul, il faut :

• \(a_{ik} \neq 0\), donc \(i \leq k\) (car \(A \in \mathcal{T}_n^+\)) ;
• \(b_{kj} \neq 0\), donc \(k \leq j\) (car \(B \in \mathcal{T}_n^+\)).

On aurait \(i \leq k \leq j\), ce qui contredit \(i\) > \(j\). Tous les termes sont donc nuls : \((AB)_{ij} = 0\). ∎

Dimension. Les coefficients libres de \(A \in \mathcal{T}_n^+(\mathbb{K})\) sont les \(a_{ij}\) pour \(i \leq j\). Leur nombre est \(n + (n-1) + \cdots + 1 = \displaystyle\frac{n(n+1)}{2}\).

B. Déterminant d’une matrice triangulaire

Voici le résultat le plus utile de ce chapitre — il intervient dans presque tout calcul de déterminant :

Démonstration (par récurrence sur \(n\)).

Initialisation (\(n = 1\)) : \(\det(A) = a_{11}\), qui est bien le seul coefficient diagonal.

Hérédité : supposons le résultat vrai pour les matrices triangulaires supérieures d’ordre \(n – 1\). Soit \(A \in \mathcal{T}_n^+(\mathbb{K})\). Développons le déterminant selon la première colonne. Pour \(i\) > \(1\), on a \(a_{i1} = 0\) (structure triangulaire). Le développement donne :

\(\det(A) = a_{11} \cdot (-1)^{1+1} \cdot M_{11} = a_{11} \cdot \det(A^\prime)\)

où \(A^\prime\) est la sous-matrice obtenue en supprimant la première ligne et la première colonne. Or \(A^\prime \in \mathcal{T}_{n-1}^+(\mathbb{K})\) (la structure triangulaire est héritée). Par hypothèse de récurrence :

\(\det(A^\prime) = \prod_{i=2}^{n} a_{ii}\)

D’où \(\det(A) = a_{11} \cdot \displaystyle\prod_{i=2}^{n} a_{ii} = \prod_{i=1}^{n} a_{ii}\). ∎

C. Valeurs propres d’une matrice triangulaire

Démonstration. La matrice \(A – \lambda I_n\) est triangulaire supérieure, de coefficients diagonaux \((a_{ii} – \lambda)_{1 \leq i \leq n}\). Par le théorème précédent, \(\det(A – \lambda I_n) = \displaystyle\prod_{i=1}^{n}(a_{ii} – \lambda)\). Les racines de \(\chi_A\) sont donc les \(a_{ii}\), avec les multiplicités algébriques correspondantes. ∎

D. Inversibilité et structure de l’inverse

Démonstration. \(A\) inversible \(\Leftrightarrow \det(A) \neq 0 \Leftrightarrow \displaystyle\prod_{i=1}^{n} a_{ii} \neq 0 \Leftrightarrow \forall i, \; a_{ii} \neq 0\). ∎

Démonstration (via Cayley-Hamilton)

Par le théorème de Cayley-Hamilton, \(\chi_A(A) = 0\). Notons \(\chi_A(X) = X^n + c_{n-1} X^{n-1} + \cdots + c_1 X + c_0\), avec \(c_0 = (-1)^n \det(A) \neq 0\).

De \(A^n + c_{n-1} A^{n-1} + \cdots + c_1 A + c_0 I_n = 0\), on tire :

\(A^{-1} = -\displaystyle\frac{1}{c_0} \left( A^{n-1} + c_{n-1} A^{n-2} + \cdots + c_1 I_n \right)\)

Or \(\mathcal{T}_n^+(\mathbb{K})\) est stable par produit (point A) et par combinaison linéaire (sous-espace vectoriel). Puisque \(A \in \mathcal{T}_n^+(\mathbb{K})\) et \(I_n \in \mathcal{T}_n^+(\mathbb{K})\), toute puissance de \(A\) et toute combinaison linéaire de ces puissances restent dans \(\mathcal{T}_n^+(\mathbb{K})\). Donc \(A^{-1} \in \mathcal{T}_n^+(\mathbb{K})\). ∎

E. Transposée et lien entre supérieure et inférieure

Démonstration. \((A^\top)_{ij} = a_{ji}\). Si \(A \in \mathcal{T}_n^+(\mathbb{K})\) et \(i\) < \(j\), alors \(j\) > \(i\), donc \(a_{ji} = 0\), ce qui donne \((A^\top)_{ij} = 0\). Ainsi \(A^\top \in \mathcal{T}_n^-(\mathbb{K})\). ∎

Corollaire. Si \(A\) est à la fois triangulaire supérieure et symétrique (\(A^\top = A\)), alors \(A \in \mathcal{T}_n^+(\mathbb{K}) \cap \mathcal{T}_n^-(\mathbb{K}) = \mathcal{D}_n(\mathbb{K})\) : la matrice est diagonale.

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III. Réduction sous forme triangulaire

Toute l’utilité des matrices triangulaires vient du fait qu’on peut souvent ramener une matrice quelconque à une forme triangulaire — par des opérations sur les lignes, ou par changement de base.

A. Pivot de Gauss et matrice échelonnée

La méthode du pivot de Gauss transforme toute matrice \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) en une matrice échelonnée en lignes — qui, pour une matrice carrée, est triangulaire supérieure.

Les opérations élémentaires sur les lignes (\(L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j\), \(L_i \leftarrow \mu L_i\), \(L_i \leftrightarrow L_j\)) correspondent à la multiplication à gauche par des matrices inversibles. On obtient ainsi :

\(P_r \cdots P_2 P_1 \, A = U\)

où \(U \in \mathcal{T}_n^+(\mathbb{K})\) est échelonnée et les \(P_k\) sont des matrices élémentaires inversibles.

B. Trigonalisation et théorème de Schur

La réduction de Gauss opère sur les lignes. La trigonalisation, quant à elle, opère par changement de base : on cherche \(P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K})\) telle que \(P^{-1}AP\) soit triangulaire supérieure.

Théorème de Schur (version unitaire). Sur \(\mathbb{C}\), on peut choisir \(P\) unitaire (\(P^{-1} = P^*\)). La démonstration repose sur l’existence d’un vecteur propre (assurée sur un corps algébriquement clos) et un argument d’induction sur la dimension, appliqué au supplémentaire orthogonal de la droite propre. Elle est admise ici.

C. Lien avec la diagonalisation

La diagonalisation est un cas particulier de trigonalisation :

\(A \text{ diagonalisable} \Rightarrow A \text{ trigonalisable}\)

La réciproque est fausse. La matrice \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) est triangulaire supérieure (donc trigonalisable sur tout corps), mais non diagonalisable car \(\dim \ker(A – I_2) = 1\) < \(2\).

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IV. Applications en calcul matriciel

La forme triangulaire transforme de nombreux problèmes matriciels « difficiles » en problèmes résolubles pas à pas.

A. Résolution de systèmes triangulaires

Un système \(Tx = b\) avec \(T \in \mathcal{T}_n^+(\mathbb{K})\) inversible se résout par substitution arrière (back substitution) :

\(x_n = \displaystyle\frac{b_n}{t_{nn}}, \quad x_i = \displaystyle\frac{1}{t_{ii}} \left( b_i – \sum_{k=i+1}^{n} t_{ik} \, x_k \right) \quad \text{pour } i = n-1, \ldots, 1\)

La complexité est de \(O(n^2)\) opérations, contre \(O(n^3)\) pour un système général. C’est cet avantage considérable qui motive toute la théorie de la réduction sous forme triangulaire.

De manière symétrique, un système \(Lx = b\) avec \(L \in \mathcal{T}_n^-(\mathbb{K})\) inversible se résout par substitution avant (forward substitution), en commençant par \(x_1\).

B. Factorisation LU

Lorsqu’elle existe, la factorisation \(A = LU\) exprime \(A\) comme produit d’une matrice triangulaire inférieure \(L\) (avec des \(1\) sur la diagonale) et d’une matrice triangulaire supérieure \(U\). La résolution de \(Ax = b\) se ramène alors à deux substitutions successives :

1. Résoudre \(Ly = b\) par substitution avant : \(O(n^2)\).
2. Résoudre \(Ux = y\) par substitution arrière : \(O(n^2)\).

La factorisation elle-même coûte \(O(n^3)\), mais elle n’est calculée qu’une seule fois. Si l’on doit résoudre \(Ax = b\) pour plusieurs seconds membres \(b\), le gain est considérable. Voir la page sur la factorisation de Gauss pour la construction détaillée.

C. Calcul de \(A^n\) via la trigonalisation

Si \(A = PTP^{-1}\) avec \(T \in \mathcal{T}_n^+(\mathbb{K})\), alors \(A^k = PT^k P^{-1}\). Il reste à calculer \(T^k\).

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V. Exercices corrigés

Six exercices classés par difficulté croissante, des applications directes aux problèmes de synthèse.

Exercice 1 (★) — Identification et déterminant

Pour chacune des matrices suivantes, indiquer si elle est triangulaire supérieure, triangulaire inférieure, strictement triangulaire, diagonale, ou aucune de ces catégories. Calculer le déterminant des matrices triangulaires.

\(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & -2 & 0 \\ 5 & 1 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)

Voir la correction

• \(A\) : les coefficients au-dessus de la diagonale sont nuls (\(a_{12} = a_{13} = a_{23} = 0\)). C’est une matrice triangulaire inférieure. \(\det(A) = 1 \times (-2) \times 4 = -8\).
• \(B\) : les coefficients sur et au-dessous de la diagonale sont nuls. C’est une matrice strictement triangulaire supérieure. \(\det(B) = 0 \times 0 \times 0 = 0\). (On vérifie que \(B\) est nilpotente : \(B^3 = 0\).)
• \(C\) : c’est une matrice diagonale, donc à la fois triangulaire supérieure et inférieure. \(\det(C) = 2 \times (-1) \times 7 = -14\).
• \(D\) : \(d_{21} = 3 \neq 0\) et \(d_{12} = 2 \neq 0\). Elle n’est ni triangulaire supérieure, ni triangulaire inférieure.

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Exercice 2 (★) — Résolution d’un système triangulaire

Résoudre le système \(Tx = b\) avec :

\(T = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} 5 \\ 9 \\ 6 \end{pmatrix}\)

Voir la correction

On procède par substitution arrière, en partant de la dernière équation :

Ligne 3 : \(-2 x_3 = 6\), donc \(x_3 = -3\).

Ligne 2 : \(4 x_2 + x_3 = 9\), donc \(4 x_2 = 9 – (-3) = 12\), soit \(x_2 = 3\).

Ligne 1 : \(2 x_1 – x_2 + 3 x_3 = 5\), donc \(2 x_1 = 5 + 3 – 9 = -1\), soit \(x_1 = -\displaystyle\frac{1}{2}\).

Solution : \(x = \begin{pmatrix} -1/2 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}\).

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Exercice 3 (★★) — Puissances d’une matrice triangulaire

Soit \(T = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\). Montrer par récurrence que pour tout \(k \in \mathbb{N}^*\) :

\(T^k = \begin{pmatrix} 3^k & 3^k – 2^k \\ 0 & 2^k \end{pmatrix}\)

Voir la correction

Initialisation (\(k = 1\)) : \(T^1 = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\). Or \(3^1 – 2^1 = 1\). La formule est vérifiée.

Hérédité : supposons \(T^k = \begin{pmatrix} 3^k & 3^k – 2^k \\ 0 & 2^k \end{pmatrix}\) pour un certain \(k \geq 1\). Alors :

\(T^{k+1} = T^k \cdot T = \begin{pmatrix} 3^k & 3^k – 2^k \\ 0 & 2^k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\)

Coefficient \((1,1)\) : \(3^k \cdot 3 = 3^{k+1}\).

Coefficient \((1,2)\) : \(3^k \cdot 1 + (3^k – 2^k) \cdot 2 = 3^k + 2 \cdot 3^k – 2^{k+1} = 3 \cdot 3^k – 2^{k+1} = 3^{k+1} – 2^{k+1}\).

Coefficient \((2,1)\) : \(0\). Coefficient \((2,2)\) : \(2^k \cdot 2 = 2^{k+1}\).

On retrouve la formule au rang \(k + 1\). Par le principe de récurrence, la formule est établie pour tout \(k \in \mathbb{N}^*\). ∎

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Exercice 4 (★★) — Inverse d’une matrice triangulaire

Soit \(T = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\). Calculer \(T^{-1}\) en résolvant \(TX = I_3\) colonne par colonne.

Voir la correction

Notons \(T^{-1} = (c_1 \mid c_2 \mid c_3)\). On résout trois systèmes triangulaires \(Tc_j = e_j\).

Colonne 1 : \(Tc_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\).

• \(2 x_3 = 0 \Rightarrow x_3 = 0\)
• \(3 x_2 + 4 \cdot 0 = 0 \Rightarrow x_2 = 0\)
• \(x_1 + 2 \cdot 0 – 1 \cdot 0 = 1 \Rightarrow x_1 = 1\)

Donc \(c_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\).

Colonne 2 : \(Tc_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\).

• \(2 x_3 = 0 \Rightarrow x_3 = 0\)
• \(3 x_2 = 1 \Rightarrow x_2 = \displaystyle\frac{1}{3}\)
• \(x_1 + 2 \cdot \displaystyle\frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x_1 = -\displaystyle\frac{2}{3}\)

Donc \(c_2 = \begin{pmatrix} -2/3 \\ 1/3 \\ 0 \end{pmatrix}\).

Colonne 3 : \(Tc_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\).

• \(2 x_3 = 1 \Rightarrow x_3 = \displaystyle\frac{1}{2}\)
• \(3 x_2 + 4 \cdot \displaystyle\frac{1}{2} = 0 \Rightarrow x_2 = -\displaystyle\frac{2}{3}\)
• \(x_1 + 2 \cdot (-\displaystyle\frac{2}{3}) – \displaystyle\frac{1}{2} = 0 \Rightarrow x_1 = \displaystyle\frac{4}{3} + \displaystyle\frac{1}{2} = \displaystyle\frac{11}{6}\)

Finalement :

\(T^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -\displaystyle\frac{2}{3} & \displaystyle\frac{11}{6} \\[6pt] 0 & \displaystyle\frac{1}{3} & -\displaystyle\frac{2}{3} \\[6pt] 0 & 0 & \displaystyle\frac{1}{2} \end{pmatrix}\)

Vérification : \(T^{-1}\) est bien triangulaire supérieure, conformément à la théorie. On peut vérifier que \(T T^{-1} = I_3\).

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Exercice 5 (★★★) — Idempotent et trigonalisabilité

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) telle que \(A^2 = A\) (matrice de projection). Montrer que \(A\) est trigonalisable sur \(\mathbb{R}\) et déterminer ses valeurs propres possibles.

Voir la correction

Le polynôme \(P(X) = X^2 – X = X(X – 1)\) annule \(A\) : \(P(A) = 0\). Or le polynôme minimal \(\mu_A\) divise tout polynôme annulateur, donc \(\mu_A \mid X(X-1)\).

Le polynôme caractéristique \(\chi_A\) et \(\mu_A\) ont les mêmes racines (à multiplicités près). Les racines de \(\mu_A\) sont parmi \(\{0, 1\}\), qui sont réelles. Donc toutes les racines de \(\chi_A\) sont réelles.

Autrement dit, \(\chi_A\) est scindé sur \(\mathbb{R}\). Par le critère de trigonalisabilité, \(A\) est trigonalisable sur \(\mathbb{R}\).

Ses valeurs propres sont parmi \(\{0, 1\}\) : si \(\lambda \in \mathrm{Sp}(A)\), il existe \(x \neq 0\) tel que \(Ax = \lambda x\), d’où \(A^2 x = \lambda^2 x\). Or \(A^2 = A\), donc \(\lambda x = \lambda^2 x\), soit \(\lambda(\lambda – 1) = 0\). ∎

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Exercice 6 (★★★) — Trigonaliser une matrice

Soit \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}\). Montrer que \(A\) est trigonalisable sur \(\mathbb{R}\) et déterminer \(P \in \mathrm{GL}_3(\mathbb{R})\) et \(T \in \mathcal{T}_3^+(\mathbb{R})\) telles que \(P^{-1}AP = T\).

Voir la correction

Étape 1 — Polynôme caractéristique.

\(\chi_A(\lambda) = \det(A – \lambda I_3) = \det \begin{pmatrix} 2 – \lambda & 1 & 0 \\ 0 & 2 – \lambda & 0 \\ 1 & 0 & 3 – \lambda \end{pmatrix}\)

Développons selon la troisième colonne :

\(\chi_A(\lambda) = (3 – \lambda) \det \begin{pmatrix} 2 – \lambda & 1 \\ 0 & 2 – \lambda \end{pmatrix} = (3 – \lambda)(2 – \lambda)^2\)

\(\chi_A\) est scindé sur \(\mathbb{R}\), donc \(A\) est trigonalisable sur \(\mathbb{R}\). Les valeurs propres sont \(\lambda_1 = 2\) (multiplicité algébrique \(2\)) et \(\lambda_2 = 3\) (multiplicité algébrique \(1\)).

Étape 2 — Sous-espaces propres.

\(\ker(A – 3I_3) :\) on résout \((A – 3I_3)x = 0\) avec \(A – 3I_3 = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\). On obtient \(x_2 = 0, \, x_1 = 0, \, x_3\) libre. Donc \(E_3(A) = \mathrm{Vect}\{(0, 0, 1)\}\).

\(\ker(A – 2I_3) :\) on résout avec \(A – 2I_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\). On obtient \(x_2 = 0, \, x_1 + x_3 = 0\), soit \(E_2(A) = \mathrm{Vect}\{(-1, 0, 1)\}\).

La multiplicité géométrique de \(\lambda = 2\) est \(1\) < \(2\) : \(A\) n’est pas diagonalisable.

Étape 3 — Vecteur propre généralisé.

On cherche \(v\) tel que \((A – 2I_3)v = (-1, 0, 1)\) (le vecteur propre trouvé) :

\(\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)

\(b = -1, \quad a + c = 1\). Prenons \(a = 1, \, c = 0\) : \(v = (1, -1, 0)\).

Étape 4 — Matrice de passage et vérification.

Posons \(e_1 = (-1, 0, 1)\), \(e_2 = (1, -1, 0)\), \(e_3 = (0, 0, 1)\). La matrice de passage est :

\(P = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)

On vérifie :

• \(Ae_1 = 2e_1\) (vecteur propre pour \(\lambda = 2\))
• \(Ae_2 = e_1 + 2e_2\) (vecteur propre généralisé)
• \(Ae_3 = 3e_3\) (vecteur propre pour \(\lambda = 3\))

Donc :

\(T = P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \in \mathcal{T}_3^+(\mathbb{R})\)

La matrice \(T\) est triangulaire supérieure avec les valeurs propres sur la diagonale. ∎

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VI. Erreurs fréquentes et pièges classiques

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VII. Questions fréquentes

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VIII. Pour aller plus loin

Tu maîtrises maintenant les propriétés fondamentales des matrices triangulaires. Pour approfondir :

• Déterminant d’une matrice — la théorie générale du déterminant, dont les matrices triangulaires simplifient considérablement le calcul.
• Factorisation de Gauss — la méthode de réduction qui transforme toute matrice en forme triangulaire.
• Diagonalisation d’une matrice — le cas particulier où la forme triangulaire se simplifie en forme diagonale.
• Valeurs propres et vecteurs propres — pour approfondir le spectre et les sous-espaces propres.
• Matrice nilpotente — le lien avec les matrices strictement triangulaires et la décomposition de Dunford.
• Matrice puissance — les techniques de calcul de \(A^n\) via la trigonalisation.
• Exercices corrigés sur les matrices — pour t’entraîner davantage avec des problèmes transversaux et de type concours.

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