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Le sujet de Mathématiques 2 du concours Mines-Ponts 2026, filière MP, s’intitule « Autour de \(\mathrm{O}_n(\mathbf{R})\) et \(\mathrm{SL}_n(\mathbf{R})\) ». En 4 heures, sans calculatrice, tu dois affronter 30 questions réparties en quatre parties largement indépendantes. Le sujet couvre un spectre remarquablement large : algèbre bilinéaire, topologie des groupes matriciels, calcul différentiel sur des sous-variétés, probabilités discrètes et exponentielle matricielle. La difficulté est progressive au sein de chaque partie, avec un début accessible et une montée en puissance nette dans les parties III et IV. C’est un sujet exigeant mais bien construit, récompensant une maîtrise solide du cours d’algèbre et d’analyse.
| Partie du sujet | Thème | Niveau | Notions mobilisées |
|---|---|---|---|
| I. Propriétés de O_n(ℝ) (Q1–9) | Structure du groupe orthogonal | Accessible à Élevé | Matrices de rotation, compacité, connexité par arcs, probabilités |
| II. Calcul différentiel (Q10–17) | Optimisation sur O_n(ℝ) et SL_n(ℝ) | Élevé | Différentielle, espace tangent, gradient, comatrice |
| III. Morphismes U → GL_n(ℝ) (Q18–23) | Morphismes continus depuis le cercle | Élevé à Très élevé | Sous-groupes bornés, exponentielle matricielle, intégration matricielle |
| IV. Morphismes (ℝ,+) → (GL_n(ℝ),×) (Q24–30) | Classification des morphismes continus | Très élevé | Réduction, nilpotence, similarité, forme diagonale par blocs |
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Structure et thèmes du sujet
Partie I — Quelques propriétés de \(\mathrm{O}_n(\mathbf{R})\) (Q1–9)
Cette partie explore le groupe des matrices orthogonales sous plusieurs angles. Elle débute par l’étude de la matrice de rotation \(R_\theta\) et sa diagonalisation sur \(\mathbf{R}\) puis sur \(\mathbf{C}\) (Q1). Les questions Q2–Q4 établissent des résultats topologiques fondamentaux : caractérisation de \(\mathrm{SO}_2(\mathbf{R})\), compacité de \(\mathrm{O}_n(\mathbf{R})\), absence de connexité par arcs, puis connexité par arcs de \(\mathrm{SO}_n(\mathbf{R})\). La question Q5 est un résultat de structure sur les sous-groupes. Un interlude probabiliste (Q6) fait intervenir des variables aléatoires de loi de Bernoulli. Enfin, les questions Q7–Q9 aboutissent à une belle caractérisation de \(\mathrm{O}_n(\mathbf{R})\) comme unique sous-groupe compact maximal de \(\mathrm{GL}_n(\mathbf{R})\).
Partie II — Calcul différentiel sur \(\mathrm{O}_n(\mathbf{R})\) et \(\mathrm{SL}_n(\mathbf{R})\) (Q10–17)
Le cœur de cette partie est l’optimisation sous contrainte. On commence par calculer la différentielle de \(f : M \mapsto M^\top M\) (Q10), puis on identifie l’espace tangent à \(\mathrm{O}_n(\mathbf{R})\) en \(I_n\) comme l’ensemble des matrices antisymétriques (Q11–Q13). La suite introduit \(g : M \mapsto \mathrm{tr}(M^\top M)\), le carré de la norme de Frobenius, et étudie ses extrema sur \(\mathrm{SL}_n(\mathbf{R})\). Les questions Q15–Q16 utilisent le gradient de \(g\) et du déterminant (via la comatrice) pour montrer que tout extremum local est atteint en une matrice de \(\mathrm{SO}_n(\mathbf{R})\). La question Q17 conclut que le minimum global vaut \(n\).
Partie III — Morphismes continus de \(\mathbf{U}\) dans \(\mathrm{GL}_n(\mathbf{R})\) (Q18–23)
On étudie ici les morphismes de groupes continus \(\varphi : \mathbf{U} \to \mathrm{GL}_n(\mathbf{R})\). Après avoir montré que \(\varphi(\mathbf{U}) \subset \mathrm{SL}_n(\mathbf{R})\) (Q18) et que les valeurs propres sont sur le cercle unité (Q19), on pose \(\Psi(x) = \varphi(e^{ix})\) et on prouve que \(\Psi\) est un morphisme additif (Q20). Le passage clé utilise l’intégrale \(F(x) = \int_0^x \Psi(t)\,dt\) pour établir que \(\Psi\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) (Q21–Q22) et finalement que \(\Psi(x) = \exp(xM)\) avec \(M = \Psi^\prime(0)\) (Q23).
Partie IV — Morphismes de \((\mathbf{R},+)\) dans \((\mathrm{GL}_n(\mathbf{R}),\times)\) (Q24–30)
La dernière partie aboutit à la classification complète des morphismes continus \(\Psi : (\mathbf{R},+) \to (\mathrm{GL}_n(\mathbf{R}),\times)\). On exploite la condition \(\exp(2\pi M) = I_n\) (Q26) pour montrer que \(\mathrm{Sp}_\mathbf{C}(M) \subset \{ik,\, k \in \mathbf{Z}\}\). Après décomposition de Dunford (Q27), on montre que la partie nilpotente est nulle (Q28), puis que \(\Psi(x)\) prend une forme diagonale par blocs avec des blocs de rotation \(R_{xk_j}\) et des blocs identité (Q29). La question Q30 vérifie la réciproque.
Notions et chapitres testés
- Algèbre bilinéaire : groupe orthogonal, matrice transposée, produit scalaire canonique, norme euclidienne, matrices de rotation, réflexions (Householder).
- Réduction des endomorphismes : diagonalisation sur \(\mathbf{R}\) et \(\mathbf{C}\), valeurs propres complexes, décomposition de Dunford, nilpotence, similarité réelle vs complexe.
- Topologie : compacité dans \(\mathcal{M}_n(\mathbf{R})\) (fermé borné), connexité par arcs, continuité du déterminant.
- Calcul différentiel : différentielle d’applications matricielles, espace tangent, gradient, optimisation sous contrainte (type multiplicateurs de Lagrange), comatrice.
- Probabilités : loi de Bernoulli, indépendance, dénombrement (matrices de permutation).
- Analyse : exponentielle matricielle, intégration matricielle, continuité, dérivabilité, théorème fondamental de l’analyse.
- Structures algébriques : groupes, sous-groupes, morphismes de groupes, sous-espaces vectoriels.
Niveau de difficulté et comparaison aux années précédentes
Ce sujet se situe dans la fourchette haute de la difficulté habituelle de Mines-Ponts Maths 2 MP. La thématique (groupes matriciels classiques) est un grand classique du concours, mais le traitement est particulièrement complet et ambitieux : on part de propriétés élémentaires pour aboutir à un théorème de classification non trivial.
Par rapport aux sujets récents :
- La partie I est d’un niveau comparable aux préliminaires habituels, avec quelques questions originales (Q6 sur les probabilités, Q8–Q9 sur la caractérisation de \(\mathrm{O}_n(\mathbf{R})\) comme sous-groupe compact maximal).
- La partie II est dans l’esprit des sujets de calcul différentiel déjà tombés, mais la combinaison gradient + comatrice + optimisation sur \(\mathrm{SL}_n(\mathbf{R})\) demande une bonne maîtrise technique.
- Les parties III et IV sont nettement plus difficiles que la moyenne. L’utilisation de l’intégration matricielle pour régulariser un morphisme (Q21–Q22) est un argument élégant mais peu intuitif. La partie IV avec la décomposition de Dunford et l’annulation de la partie nilpotente constitue le point culminant du sujet.
Un candidat bien préparé pouvait raisonnablement traiter les questions Q1–Q7, Q10–Q14 et Q18–Q20, ce qui représente déjà un socle solide. Les questions Q8–Q9, Q15–Q17, Q21–Q23 et Q24–Q30 départagent les très bons candidats.
Pièges et points techniques délicats
Q1 — Diagonalisabilité de \(R_\theta\) : Attention à bien distinguer les cas. Sur \(\mathbf{R}\), la matrice \(R_\theta\) n’est diagonalisable que si \(\theta \in \pi\mathbf{Z}\) (car ses valeurs propres \(e^{\pm i\theta}\) ne sont réelles que dans ces cas). Sur \(\mathbf{C}\), elle est toujours diagonalisable (valeurs propres distinctes dès que \(\theta \notin \pi\mathbf{Z}\), et scalaire sinon). Ne pas oublier le cas \(\theta \in \pi\mathbf{Z}\) où elle est déjà diagonale ou égale à \(-I_2\).
Q3 — Compacité et non-connexité : Deux résultats distincts sont demandés. La compacité de \(\mathrm{O}_n(\mathbf{R})\) se montre en vérifiant que c’est un fermé borné de \(\mathcal{M}_n(\mathbf{R})\) (borné car \(\Vert M \Vert^2 = \mathrm{tr}(M^\top M) = n\)). Pour la non-connexité par arcs, l’argument clé est que le déterminant, continu sur \(\mathrm{O}_n(\mathbf{R})\), ne prend que les valeurs \(\pm 1\) : un chemin continu ne peut pas passer de \(+1\) à \(-1\) dans \(\{-1,+1\}\).
Q6 — Matrices aléatoires de Bernoulli : Le piège est d’identifier correctement quelles matrices à coefficients dans \(\{0,1\}\) sont orthogonales. Les colonnes doivent être de norme 1 et orthogonales deux à deux : avec des entrées 0 ou 1, chaque colonne doit contenir exactement un 1 et les 1 doivent être sur des lignes distinctes. Ce sont exactement les matrices de permutation. Pour \(P(Z_2 \in \mathrm{GL}_2(\mathbf{R}))\), il faut calculer \(P(\det(Z_2) \neq 0)\) en distinguant les cas sur les produits de Bernoulli.
Q8–Q9 — Argument de compacité : L’idée maîtresse est que si \(G \in \mathcal{G}\) et \(\Vert x \Vert = 1\), on peut construire \(G_p \in \mathcal{G}\) avec \(G_p x = \Vert Gx \Vert^p \cdot x\) en composant \(G\) avec des éléments de \(\mathrm{O}_n(\mathbf{R}) \subset \mathcal{G}\). Ensuite, la compacité de \(\mathcal{G}\) force \(\Vert Gx \Vert^p\) à rester borné pour tout \(p \in \mathbf{Z}\), ce qui impose \(\Vert Gx \Vert = 1\). Toute la subtilité est de ne pas oublier de traiter aussi les puissances négatives.
Q15–Q16 — Gradient du déterminant : Il faut prouver que \(\nabla \det(M) = \mathrm{Com}(M)\). La justification passe par le développement du déterminant selon une colonne et l’identification des dérivées partielles avec les cofacteurs. Au point critique, la relation \(2M = \lambda \cdot \mathrm{Com}(M)\) combinée à \(\det(M) = 1\) et la formule \(M \cdot \mathrm{Com}(M)^\top = \det(M) \cdot I_n\) permet de conclure que \(M \in \mathrm{SO}_n(\mathbf{R})\). Cette cascade d’identités matricielles est le passage le plus technique de la partie II.
Q21 — Inversibilité de \(F(x)\) : L’argument repose sur le fait que \(\mathrm{GL}_n(\mathbf{R})\) est un ouvert de \(\mathcal{M}_n(\mathbf{R})\) et que \(F^\prime(0) = \Psi(0) = I_n\). Comme \(F\) est \(\mathcal{C}^1\) et \(F^\prime(0) = I_n \in \mathrm{GL}_n(\mathbf{R})\), par continuité \(F(x)\) reste inversible au voisinage de 0 (sauf en 0 où \(F(0) = 0\)). Attention à bien exclure \(x = 0\).
Q25, Q28 — Annulation de la partie nilpotente : La question Q25 établit que pour \(N\) nilpotente non nulle, \(\ker(N) \neq \ker(N^2)\). C’est un résultat classique par contraposée : si les noyaux sont égaux, ils sont tous égaux par récurrence, donc \(\ker(N) = \ker(N^m) = \mathbf{R}^n\) pour \(m\) l’indice de nilpotence, d’où \(N = 0\). En Q28, l’exploitation de \(\exp(2\pi N) = I_n\) avec \(N\) nilpotente nécessite un développement polynomial de l’exponentielle et cette propriété des noyaux itérés.
Méthodes attendues et stratégies de résolution
Q1–Q2 : Calcul direct du polynôme caractéristique de \(R_\theta\) : \(\chi_{R_\theta}(\lambda) = \lambda^2 – 2\cos(\theta)\lambda + 1\). Le discriminant \(4\cos^2(\theta) – 4\) dicte la diagonalisabilité sur \(\mathbf{R}\). Pour Q2, partir d’une matrice \(M \in \mathrm{SO}_2(\mathbf{R})\) quelconque et exploiter \(M^\top M = I_2\) et \(\det(M)=1\) pour retrouver la forme \(R_\theta\).
Q3–Q4 : Compacité via fermé borné (la norme de Frobenius de toute matrice orthogonale vaut \(\sqrt{n}\)). Connexité par arcs de \(\mathrm{SO}_n(\mathbf{R})\) : pour \(n=2\), utiliser le chemin \(t \mapsto R_{t\theta}\). Pour \(n\) général, utiliser la réduction des matrices orthogonales en blocs \(2 \times 2\) de rotation.
Q5 : Argument d’indice de sous-groupe. \(\mathrm{SO}_n(\mathbf{R})\) est d’indice 2 dans \(\mathrm{O}_n(\mathbf{R})\), donc est un sous-groupe distingué. Si \(H\) contient un élément de déterminant \(-1\), il contient tout \(\mathrm{O}_n(\mathbf{R})\).
Q6 : Pour \(P(Z_2 \in \mathrm{GL}_2(\mathbf{R}))\), calculer \(P(\det(Z_2) \neq 0) = 2p^2(1-p^2)\). Pour \(P(Z_n \in \mathrm{O}_n(\mathbf{R}))\), dénombrer les matrices de permutation : \(n!\, p^n(1-p)^{n^2-n}\). Pour \(\mathrm{SO}_n(\mathbf{R})\), se restreindre aux permutations paires.
Q7 : Construire une réflexion de Householder par rapport à l’hyperplan \((x-y)^\perp\) si \(x \neq y\), ou par rapport à \(x^\perp\) sinon.
Q10–Q13 : La différentielle de \(f\) en \(M\) est \(\mathrm{d}f(M) \cdot H = H^\top M + M^\top H\). L’espace tangent s’obtient en posant \(M = I_n\) et en identifiant le noyau : \(H^\top + H = 0\), soit les matrices antisymétriques \(\mathcal{A}_n(\mathbf{R})\).
Q14–Q17 : Montrer l’absence de maximum global par des matrices de \(\mathrm{SL}_n(\mathbf{R})\) de norme arbitrairement grande. Le gradient de \(g\) est \(2M\) et celui du déterminant est \(\mathrm{Com}(M)\). L’optimisation sous contrainte donne la relation \(M = \lambda \cdot \mathrm{Com}(M)\), qui conduit à \(M \in \mathrm{SO}_n(\mathbf{R})\) et au minimum \(\mathrm{tr}(I_n) = n\).
Q18–Q23 : Les sous-groupes bornés de \(\mathbf{R}^*\) sont \(\{1\}\) et \(\{-1,1\}\), ce qui force \(\det \circ \varphi = 1\). La preuve que \(\Psi\) est \(\mathcal{C}^1\) repose sur l’astuce de régularisation par intégration : \(\Psi(x) = F(x+\alpha) \cdot F(\alpha)^{-1}\) au voisinage convenable. L’équation différentielle \(\Psi^\prime(x) = M\Psi(x)\) identifie \(\Psi\) à l’exponentielle matricielle.
Q24–Q30 : Similarité réelle vs complexe (Q24) par unicité de la forme rationnelle. L’identité \(\exp(2\pi M) = I_n\) contraint le spectre dans \(i\mathbf{Z}\). La décomposition de Dunford et l’annulation de la partie nilpotente (Q25, Q28) montrent que \(M\) est diagonalisable sur \(\mathbf{C}\). La forme réelle canonique donne les blocs \(R_{xk_j}\).
Conseils pour les futurs candidats
Ce sujet confirme une tendance forte de Mines-Ponts : les groupes de matrices classiques (\(\mathrm{O}_n\), \(\mathrm{SO}_n\), \(\mathrm{SL}_n\), \(\mathrm{GL}_n\)) sont un terrain de jeu privilégié pour croiser algèbre, topologie et analyse. Voici les axes de travail prioritaires :
- Maîtriser le groupe orthogonal sous tous ses aspects : propriétés de compacité, connexité, réduction des matrices orthogonales en blocs de rotation, réflexions de Householder. Ces résultats doivent être connus et mobilisables sans hésitation.
- S’entraîner au calcul différentiel matriciel : différentielle d’applications classiques (\(M \mapsto M^\top M\), \(M \mapsto \det(M)\), \(M \mapsto M^{-1}\)), identification d’espaces tangents, utilisation du gradient pour l’optimisation sous contrainte. Ce type de questions revient régulièrement.
- Revoir l’exponentielle matricielle : propriétés, lien avec les morphismes continus de \((\mathbf{R},+)\) dans \((\mathrm{GL}_n(\mathbf{R}),\times)\), calcul explicite pour des matrices diagonalisables ou nilpotentes. C’est un outil puissant qui intervient dans de nombreux sujets.
- Travailler la décomposition de Dunford : l’interaction entre partie diagonalisable et partie nilpotente est au cœur des parties III–IV. Savoir manipuler \(\exp(D+N) = \exp(D)\exp(N)\) lorsque \(DN = ND\) est indispensable.
- Ne pas négliger les probabilités : la question Q6, bien que brève, nécessite un raisonnement combinatoire précis. Les probabilités discrètes apparaissent souvent en « intrus » dans les sujets d’algèbre.
- Stratégie le jour J : les quatre parties étant indépendantes, commence par les questions accessibles de chaque partie (Q1–Q4, Q10–Q13, Q18–Q20) avant de t’attaquer aux questions plus exigeantes. Cela maximise ton score sur l’ensemble du sujet.
Astuce EM : pour consolider ta maîtrise des groupes de matrices, entraîne-toi à prouver que \(\mathrm{SO}_n(\mathbf{R})\) est connexe par arcs en utilisant la réduction réelle des matrices orthogonales. Cet exercice classique mobilise à la fois la réduction et la topologie — exactement ce que ce type de sujet teste.
