Matrice transposée : définition, propriétés et exercices corrigés

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Parmi les opérations fondamentales sur les matrices, la transposition occupe une place centrale en algèbre linéaire. Elle intervient dans la définition des matrices symétriques, des matrices orthogonales, dans le calcul du produit scalaire et dans presque toutes les démonstrations aux concours. Ce cours présente la définition formelle, les 8 propriétés algébriques essentielles (avec démonstrations exigibles), la décomposition en partie symétrique et antisymétrique, et 8 exercices corrigés progressifs — du calcul direct aux problèmes de concours. Conforme au programme officiel des CPGE scientifiques (MPSI, PCSI, MP, PC, PSI) 2025-2026.

I. Définition et premiers exemples

L’idée de la transposition est géométriquement simple : on échange les lignes et les colonnes d’une matrice. Plus précisément, le coefficient situé en ligne \(i\), colonne \(j\) vient se placer en ligne \(j\), colonne \(i\). Formalisons cette opération.

A. Définition formelle

Autrement dit, la transposition transforme les lignes de \(A\) en colonnes de \(A^\top\), et inversement. Si \(A\) est de taille \(m \times n\), alors \(A^\top\) est de taille \(n \times m\).

B. Exemples fondamentaux

Exemple 1 — Matrice rectangulaire. Soit la matrice \(A \in \mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})\) :

\(\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \end{pmatrix}\)

Alors \(A^\top \in \mathcal{M}_{3,2}(\mathbb{R})\) et :

\(\displaystyle A^\top = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}\)

Observe que la première ligne \((1, 4, 7)\) de \(A\) est devenue la première colonne de \(A^\top\), et la seconde ligne \((2, 5, 8)\) est devenue la seconde colonne.

Exemple 2 — Matrice carrée. Soit \(B \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) :

\(\displaystyle B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ -2 & 5 & 1 \\ 4 & -1 & 7 \end{pmatrix} \qquad \Longrightarrow \qquad B^\top = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 4 \\ 0 & 5 & -1 \\ 3 & 1 & 7 \end{pmatrix}\)

Pour une matrice carrée, la transposition revient à effectuer une symétrie par rapport à la diagonale principale (les coefficients diagonaux \(b_{i,i}\) restent en place).

Exemple 3 — Vecteurs colonnes et lignes. Un vecteur colonne \(x = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})\) a pour transposée le vecteur ligne \(x^\top = \begin{pmatrix} x_1 & \cdots & x_n \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{1,n}(\mathbb{K})\). Cette observation est fondamentale : elle permet d’écrire le produit scalaire canonique sous forme matricielle (voir section IV).

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II. Propriétés algébriques de la transposition

La transposition vérifie un ensemble de propriétés qui en font un outil omniprésent en algèbre linéaire. Les voici, regroupées et démontrées.

A. Involution et linéarité

Démonstration. Pour tout \((i,j)\), \(\big((A^\top)^\top\big)_{i,j} = (A^\top)_{j,i} = a_{i,j}\). Donc \((A^\top)^\top = A\). ∎

Conséquence immédiate : la transposition est une bijection de \(\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{K})\) sur \(\mathcal{M}_{n,m}(\mathbb{K})\), d’inverse elle-même.

Démonstration. Pour tout \((i,j)\) :

\(\displaystyle \big((A+B)^\top\big)_{i,j} = (A+B)_{j,i} = a_{j,i} + b_{j,i} = (A^\top)_{i,j} + (B^\top)_{i,j}\)

La preuve de \((\lambda A)^\top = \lambda A^\top\) est analogue. La bijectivité résulte de l’involution. ∎

B. Transposée d’un produit de matrices

C’est la propriété la plus importante de ce cours — et celle qui piège le plus souvent en concours.

Démonstration ⋆ (exigible). Vérifions d’abord la compatibilité des tailles : \(AB \in \mathcal{M}_{m,p}(\mathbb{K})\) donc \((AB)^\top \in \mathcal{M}_{p,m}(\mathbb{K})\). Par ailleurs, \(B^\top \in \mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{K})\) et \(A^\top \in \mathcal{M}_{n,m}(\mathbb{K})\), donc le produit \(B^\top A^\top \in \mathcal{M}_{p,m}(\mathbb{K})\) est bien défini et de même taille. ✓

Calculons le coefficient \((i,j)\) de chaque membre, pour \((i,j) \in \{1,\ldots,p\} \times \{1,\ldots,m\}\) :

\(\displaystyle \big((AB)^\top\big)_{i,j} = (AB)_{j,i} = \sum_{k=1}^{n} a_{j,k}\, b_{k,i}\) \(\displaystyle (B^\top A^\top)_{i,j} = \sum_{k=1}^{n} (B^\top)_{i,k}\,(A^\top)_{k,j} = \sum_{k=1}^{n} b_{k,i}\, a_{j,k} = \sum_{k=1}^{n} a_{j,k}\, b_{k,i}\)

Les deux expressions sont identiques. Donc \((AB)^\top = B^\top A^\top\). ∎

C. Transposée de l’inverse

Démonstration. On transpose l’identité \(AA^{-1} = I_n\) :

\(\displaystyle (AA^{-1})^\top = I_n^\top \quad \Longrightarrow \quad (A^{-1})^\top A^\top = I_n\)

de même avec \(A^{-1}A = I_n\) :

\(\displaystyle A^\top (A^{-1})^\top = I_n\)

Donc \((A^{-1})^\top\) est l’inverse de \(A^\top\). ∎

D. Lien avec le déterminant, la trace et le rang

La transposition préserve les trois grands invariants matriciels.

La démonstration repose sur la formule de Leibniz du déterminant et sur le fait que la somme sur toutes les permutations \(\sigma \in \mathfrak{S}_n\) est inchangée lorsqu’on remplace \(\sigma\) par \(\sigma^{-1}\) (qui a la même signature). Elle est détaillée dans le cours sur le déterminant.

Démonstration. Immédiate : \(\mathrm{tr}(A^\top) = \sum_{i=1}^n (A^\top)_{i,i} = \sum_{i=1}^n a_{i,i} = \mathrm{tr}(A)\), puisque les coefficients diagonaux sont inchangés par la transposition. ∎

Pour un traitement complet de la trace d’une matrice, consulte la page dédiée.

Démonstration. Le rang d’une matrice est le rang de la famille de ses vecteurs colonnes. Or les colonnes de \(A^\top\) sont les lignes de \(A\). Il suffit donc de montrer que le rang de la famille des lignes est égal au rang de la famille des colonnes. C’est une conséquence directe de la réduction par pivot de Gauss : les opérations élémentaires sur les lignes ne changent pas le rang des colonnes, et la forme échelonnée fait apparaître le même entier pour les deux familles. ∎

Ce résultat, moins classique, est un incontournable des concours. Sa démonstration est proposée en exercice 6.

Voici un tableau récapitulatif des 8 propriétés :

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III. Transposée et types de matrices

La transposition est le critère de classification de plusieurs familles de matrices fondamentales en algèbre linéaire. Cette section synthétise ces liens et présente un résultat puissant : toute matrice carrée se décompose de manière unique en somme d’une partie symétrique et d’une partie antisymétrique.

A. Matrices symétriques et antisymétriques

Pour un traitement approfondi de ces familles (théorème spectral, diagonalisation en base orthonormée), consulte le cours sur les matrices symétriques et antisymétriques.

B. Décomposition en partie symétrique et antisymétrique

C’est l’un des résultats les plus élégants liés à la transposition, et un classique absolu de concours.

Démonstration ⋆.

Existence. Posons \(S = \displaystyle\frac{1}{2}(M + M^\top)\) et \(A = \displaystyle\frac{1}{2}(M – M^\top)\). Vérifions :

• \(S\) est symétrique : \(S^\top = \displaystyle\frac{1}{2}(M^\top + (M^\top)^\top) = \displaystyle\frac{1}{2}(M^\top + M) = S\). ✓
• \(A\) est antisymétrique : \(A^\top = \displaystyle\frac{1}{2}(M^\top – (M^\top)^\top) = \displaystyle\frac{1}{2}(M^\top – M) = -A\). ✓
• \(S + A = \displaystyle\frac{1}{2}(M + M^\top) + \displaystyle\frac{1}{2}(M – M^\top) = M\). ✓

Unicité. Supposons \(M = S^\prime + A^\prime\) avec \(S^\prime \in \mathcal{S}_n\) et \(A^\prime \in \mathcal{A}_n\). En transposant : \(M^\top = S^\prime – A^\prime\). Par somme : \(M + M^\top = 2S^\prime\), d’où \(S^\prime = S\). Par différence : \(A^\prime = A\). ∎

C. Matrices orthogonales

Les matrices orthogonales forment le groupe orthogonal \(\mathrm{O}_n(\mathbb{R})\). Elles conservent le produit scalaire canonique et la norme euclidienne, ce qui signifie qu’elles représentent les isométries de \(\mathbb{R}^n\).

Pour un développement complet (propriétés, exemples de rotations et réflexions, sous-groupe \(\mathrm{SO}_n\)), consulte le cours sur les matrices orthogonales.

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IV. Transposée et produit scalaire canonique

Cette section présente l’identité fondamentale qui révèle la signification géométrique profonde de la transposée. C’est un résultat rarement développé sur les pages web consacrées aux matrices, mais il est au cœur de l’algèbre bilinéaire et des espaces euclidiens.

Démonstration. Le produit scalaire canonique s’écrit matriciellement \(\langle x, y \rangle = x^\top y\). Alors :

\(\displaystyle \langle Ax,\, y \rangle = (Ax)^\top y = x^\top A^\top y = \langle x,\, A^\top y \rangle\)

La première égalité utilise la définition matricielle du produit scalaire, la seconde utilise \((AB)^\top = B^\top A^\top\), et la troisième est à nouveau la définition. ∎

Unicité. Si \(B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) vérifie \(\langle Ax, y \rangle = \langle x, By \rangle\) pour tous \(x, y\), alors \(x^\top A^\top y = x^\top B y\) pour tous \(x, y\). En prenant \(x = e_i\) et \(y = e_j\) (vecteurs de la base canonique), on obtient \((A^\top)_{i,j} = B_{i,j}\) pour tout \((i,j)\), d’où \(B = A^\top\). ∎

Une conséquence directe : si \(A\) est orthogonale (\(A^\top = A^{-1}\)), alors \(\langle Ax, Ay \rangle = \langle x, A^\top Ay \rangle = \langle x, y \rangle\). Les matrices orthogonales sont exactement les matrices qui conservent le produit scalaire.

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V. Exercices corrigés

Voici 8 exercices classés par difficulté croissante : de l’application directe (★) aux problèmes de niveau concours (★★★). Chaque correction est détaillée pas à pas.

Exercice 1 — Calcul de transposée (★)

Soit \(A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 3 & 5 & -4 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})\). Déterminer \(A^\top\) et vérifier que \((A^\top)^\top = A\).

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On échange lignes et colonnes. La première ligne \((2, -1, 0)\) de \(A\) devient la première colonne de \(A^\top\), et la seconde ligne \((3, 5, -4)\) la seconde colonne :

\(\displaystyle A^\top = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 5 \\ 0 & -4 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{3,2}(\mathbb{R})\)

Vérification : \((A^\top)^\top\) s’obtient en échangeant à nouveau lignes et colonnes de \(A^\top\) :

\(\displaystyle (A^\top)^\top = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 3 & 5 & -4 \end{pmatrix} = A \quad \text{✓}\)

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Exercice 2 — Vérification de \((AB)^\top = B^\top A^\top\) (★)

Soient \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}\). Calculer \((AB)^\top\) et \(B^\top A^\top\) et vérifier qu’ils sont égaux.

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Étape 1 : calcul de \(AB\).

\(\displaystyle AB = \begin{pmatrix} 1 \times 0 + 2 \times 4 & 1 \times (-1) + 2 \times 2 \\ 3 \times 0 + 0 \times 4 & 3 \times (-1) + 0 \times 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 3 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}\)

Étape 2 : transposée de \(AB\).

\(\displaystyle (AB)^\top = \begin{pmatrix} 8 & 0 \\ 3 & -3 \end{pmatrix}\)

Étape 3 : calcul de \(B^\top A^\top\).

\(\displaystyle B^\top = \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}, \qquad A^\top = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}\) \(\displaystyle B^\top A^\top = \begin{pmatrix} 0 \times 1 + 4 \times 2 & 0 \times 3 + 4 \times 0 \\ (-1) \times 1 + 2 \times 2 & (-1) \times 3 + 2 \times 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 0 \\ 3 & -3 \end{pmatrix}\)

Conclusion : \((AB)^\top = B^\top A^\top\). ✓

Remarque : vérifions que \(A^\top B^\top \neq (AB)^\top\) en général :

\(\displaystyle A^\top B^\top = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 10 \\ 0 & 8 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 8 & 0 \\ 3 & -3 \end{pmatrix}\)

Cela confirme que l’inversion de l’ordre est indispensable.

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Exercice 3 — Décomposition symétrique-antisymétrique (★★)

Soit \(M = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -2 \\ 0 & 5 & 4 \\ 6 & -1 & 7 \end{pmatrix}\). Écrire \(M = S + A\) avec \(S\) symétrique et \(A\) antisymétrique.

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Étape 1 : calculer \(M^\top\).

\(\displaystyle M^\top = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 6 \\ 1 & 5 & -1 \\ -2 & 4 & 7 \end{pmatrix}\)

Étape 2 : calculer \(S = \displaystyle\frac{1}{2}(M + M^\top)\).

\(\displaystyle M + M^\top = \begin{pmatrix} 6 & 1 & 4 \\ 1 & 10 & 3 \\ 4 & 3 & 14 \end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad S = \begin{pmatrix} 3 & \displaystyle\frac{1}{2} & 2 \\ \displaystyle\frac{1}{2} & 5 & \displaystyle\frac{3}{2} \\ 2 & \displaystyle\frac{3}{2} & 7 \end{pmatrix}\)

Étape 3 : calculer \(A = \displaystyle\frac{1}{2}(M – M^\top)\).

\(\displaystyle M – M^\top = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -8 \\ -1 & 0 & 5 \\ 8 & -5 & 0 \end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad A = \begin{pmatrix} 0 & \displaystyle\frac{1}{2} & -4 \\ -\displaystyle\frac{1}{2} & 0 & \displaystyle\frac{5}{2} \\ 4 & -\displaystyle\frac{5}{2} & 0 \end{pmatrix}\)

Vérification : \(S^\top = S\) (symétrique) ✓, \(A^\top = -A\) (antisymétrique, diagonale nulle) ✓, \(S + A = M\) ✓.

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Exercice 4 — \(A^\top A\) est symétrique positive (★★)

Soit \(A \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})\). Montrer que la matrice \(A^\top A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) est symétrique et positive (au sens large), c’est-à-dire : \(\forall\, x \in \mathbb{R}^n, \quad x^\top (A^\top A) x \geq 0\).

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Symétrie. On calcule \((A^\top A)^\top\) à l’aide de la propriété du produit :

\(\displaystyle (A^\top A)^\top = A^\top (A^\top)^\top = A^\top A\)

Donc \(A^\top A\) est symétrique. ∎

Positivité. Soit \(x \in \mathbb{R}^n\). Alors :

\(\displaystyle x^\top (A^\top A) x = (Ax)^\top (Ax) = \|Ax\|^2 \geq 0\)

La première égalité utilise \(x^\top A^\top = (Ax)^\top\) et l’associativité du produit matriciel. La seconde est la définition de la norme euclidienne au carré. ∎

Remarque : si de plus \(A\) est inversible (ce qui impose \(m \geq n\) et \(\mathrm{rg}(A) = n\)), alors \(x^\top A^\top A x = 0 \Rightarrow Ax = 0 \Rightarrow x = 0\). La matrice \(A^\top A\) est alors définie positive.

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Exercice 5 — Transposée d’un produit de \(p\) matrices (★★)

Démontrer par récurrence que pour toutes matrices \(A_1, A_2, \ldots, A_p\) (de tailles compatibles) :

\(\displaystyle (A_1 A_2 \cdots A_p)^\top = A_p^\top \cdots A_2^\top A_1^\top\)

Voir la correction

Initialisation (\(p = 2\)). C’est exactement la propriété 3 : \((A_1 A_2)^\top = A_2^\top A_1^\top\). ✓

Hérédité. Supposons la propriété vraie au rang \(p \geq 2\). Soit \(P = A_1 \cdots A_p\). Alors :

\(\displaystyle (A_1 \cdots A_p A_{p+1})^\top = (P \cdot A_{p+1})^\top = A_{p+1}^\top \cdot P^\top\)

Par hypothèse de récurrence, \(P^\top = A_p^\top \cdots A_1^\top\). Donc :

\(\displaystyle (A_1 \cdots A_{p+1})^\top = A_{p+1}^\top A_p^\top \cdots A_1^\top\)

La propriété est vraie au rang \(p+1\). ∎

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Exercice 6 — \(\ker(A) = \ker(A^\top A)\) (★★★ — Incontournable)

Soit \(A \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})\).

1. Montrer que \(\ker(A) \subset \ker(A^\top A)\).
2. Montrer que \(\ker(A^\top A) \subset \ker(A)\).
3. En déduire que \(\mathrm{rg}(A^\top A) = \mathrm{rg}(A)\).

Voir la correction

1. Soit \(x \in \ker(A)\), c’est-à-dire \(Ax = 0\). Alors \(A^\top A x = A^\top(Ax) = A^\top \cdot 0 = 0\). Donc \(x \in \ker(A^\top A)\). ✓

2. Soit \(x \in \ker(A^\top A)\), c’est-à-dire \(A^\top A x = 0\). On multiplie à gauche par \(x^\top\) :

\(\displaystyle x^\top A^\top A x = 0 \quad \Longrightarrow \quad (Ax)^\top (Ax) = 0 \quad \Longrightarrow \quad \|Ax\|^2 = 0 \quad \Longrightarrow \quad Ax = 0\)

Donc \(x \in \ker(A)\). ✓

Conclusion des parties 1 et 2 : \(\ker(A) = \ker(A^\top A)\). ∎

3. Par le théorème du rang appliqué à l’application \(x \mapsto Ax\) et à \(x \mapsto A^\top A x\) (toutes deux de \(\mathbb{R}^n\) dans un espace adéquat) :

\(\displaystyle \mathrm{rg}(A) = n – \dim\ker(A) = n – \dim\ker(A^\top A) = \mathrm{rg}(A^\top A)\)

∎

Ce résultat est fondamental : il justifie la méthode des moindres carrés en statistiques et en régression linéaire.

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Exercice 7 — Noyau et image de \(\varphi : M \mapsto M + M^\top\) (★★★)

Soit \(E = \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et \(\varphi : E \to E\) l’application définie par \(\varphi(M) = M + M^\top\).

1. Montrer que \(\varphi\) est un endomorphisme de \(E\).
2. Déterminer \(\ker(\varphi)\) et \(\mathrm{Im}(\varphi)\).
3. Vérifier le théorème du rang.

Voir la correction

1. Linéarité. Pour \(M, N \in E\) et \(\lambda \in \mathbb{R}\) :

\(\displaystyle \varphi(M + \lambda N) = (M + \lambda N) + (M + \lambda N)^\top = (M + M^\top) + \lambda(N + N^\top) = \varphi(M) + \lambda\,\varphi(N)\)

Donc \(\varphi \in \mathcal{L}(E)\). ✓

2a. Noyau. \(M \in \ker(\varphi) \iff M + M^\top = 0 \iff M^\top = -M \iff M \in \mathcal{A}_n(\mathbb{R})\).

Donc \(\ker(\varphi) = \mathcal{A}_n(\mathbb{R})\), l’espace des matrices antisymétriques. ∎

2b. Image. Pour \(M \in E\), posons \(S = \varphi(M) = M + M^\top\). Alors \(S^\top = M^\top + M = S\), donc \(S \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})\). Cela montre \(\mathrm{Im}(\varphi) \subset \mathcal{S}_n(\mathbb{R})\).

Réciproquement, si \(S \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})\), alors \(\varphi\!\left(\displaystyle\frac{1}{2}S\right) = \displaystyle\frac{1}{2}S + \displaystyle\frac{1}{2}S^\top = \displaystyle\frac{1}{2}S + \displaystyle\frac{1}{2}S = S\). Donc \(\mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \subset \mathrm{Im}(\varphi)\).

Conclusion : \(\mathrm{Im}(\varphi) = \mathcal{S}_n(\mathbb{R})\). ∎

3. Théorème du rang.

\(\displaystyle \dim\ker(\varphi) + \dim\mathrm{Im}(\varphi) = \displaystyle\frac{n(n-1)}{2} + \displaystyle\frac{n(n+1)}{2} = n^2 = \dim E \quad \text{✓}\)

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Exercice 8 — Projection orthogonale et transposée (★★★)

Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) vérifiant \(M^2 = M\) (projecteur) et \(M^\top = M\) (symétrique). Montrer que \(M\) est la matrice (dans la base canonique) d’une projection orthogonale, c’est-à-dire que \(\mathrm{Im}(M) \perp \ker(M)\).

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Rappel : \(M^2 = M\) signifie que \(M\) est un projecteur, donc \(\mathbb{R}^n = \mathrm{Im}(M) \oplus \ker(M)\).

Montrons que \(\mathrm{Im}(M) \perp \ker(M)\). Soient \(u \in \mathrm{Im}(M)\) et \(v \in \ker(M)\). On peut écrire \(u = Mw\) pour un certain \(w \in \mathbb{R}^n\), et \(Mv = 0\).

Calculons le produit scalaire :

\(\displaystyle \langle u, v \rangle = \langle Mw, v \rangle = \langle w, M^\top v \rangle = \langle w, Mv \rangle = \langle w, 0 \rangle = 0\)

La deuxième égalité utilise l’identité \(\langle Ax, y \rangle = \langle x, A^\top y \rangle\) (section IV), et la troisième le fait que \(M^\top = M\).

Donc \(\mathrm{Im}(M) \perp \ker(M)\) : la projection est orthogonale. ∎

Remarque : la réciproque est vraie. Toute matrice de projection orthogonale est symétrique et idempotente. Ce résultat est un grand classique des concours (X, Mines-Ponts, Centrale).

Tu veux t’entraîner davantage ? Découvre nos exercices corrigés sur les matrices, avec des problèmes type concours classés par difficulté.

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VI. Erreurs fréquentes et pièges classiques

Les erreurs sur la transposition sont souvent des fautes « bêtes », mais elles coûtent cher en concours parce qu’elles se propagent dans toute la suite du calcul. Voici les plus fréquentes, avec le format copie fautive que tu peux rencontrer en DS ou en épreuve.

Piège n°1 — Oublier l’inversion de l’ordre dans le produit

Piège n°2 — Confondre transposée et inverse

Piège n°3 — Oublier le changement de dimensions

Piège n°4 — Écrire \(\det(A^\top) = -\det(A)\)

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VII. Questions fréquentes

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VIII. Pour aller plus loin

Tu maîtrises maintenant la transposition et ses propriétés fondamentales. Pour approfondir les concepts liés :

• 📖 Les matrices en mathématiques — cours complet (page pilier du cocon)
• → Matrice symétrique et antisymétrique : théorème spectral, diagonalisation en base orthonormée
• → Matrice orthogonale : groupe orthogonal, rotations, réflexions
• → Déterminant d’une matrice : démonstration de \(\det(A^\top) = \det(A)\), formule de Leibniz
• → Trace d’une matrice : propriétés complètes, lien avec les valeurs propres
• → Matrice d’une application linéaire : application transposée, dualité
• → Multiplication de matrices : règle de calcul du produit et non-commutativité
• → Matrice identité : élément neutre du produit et transposée de \(I_n\)
• ✏️ Exercices corrigés sur les matrices : 15+ exercices transversaux et sujets type concours

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