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Déterminer le rayon de convergence d’une série entière est l’un des réflexes les plus testés en concours — de CCP à l’X. Face à un coefficient \(a_n\) donné, le choix de méthode fait la différence entre une résolution en deux lignes et un calcul laborieux. D’Alembert, Cauchy-Hadamard, comparaison, séries lacunaires, substitution : cette page détaille les 5 techniques, avec 6 exemples résolus et 5 exercices corrigés. Conforme aux programmes MPSI, MP, PC et PSI (2025-2026).
I. Définition et théorème de Cauchy-Hadamard
Avant de calculer un rayon de convergence, fixons la définition rigoureuse et les deux outils fondamentaux : le lemme d’Abel (qui justifie l’existence de \(R\)) et le théorème de Cauchy-Hadamard (qui fournit une formule de calcul universelle).
A. Lemme d’Abel et définition du rayon de convergence
Soit \(\sum a_n x^n\) une série entière à coefficients réels ou complexes. Le résultat fondateur est le suivant.
Lemme d’Abel
Si la suite \((a_n r_0^n)_{n \in \mathbb{N}}\) est bornée pour un certain \(r_0 \geq 0\), alors pour tout \(x\) tel que \(|x|\) < \(r_0\), la série \(\sum a_n x^n\) converge absolument.
Idée de la preuve : si \(|a_n r_0^n| \leq M\) pour tout \(n\), alors \(|a_n x^n| = |a_n r_0^n| \cdot \left|\displaystyle\frac{x}{r_0}\right|^n \leq M \left|\displaystyle\frac{x}{r_0}\right|^n\). Le majorant est le terme général d’une série géométrique convergente dès que \(|x|\) < \(r_0\).
Ce lemme montre que l’ensemble des \(r \geq 0\) pour lesquels \((a_n r^n)\) est bornée est un intervalle. Son supremum définit le rayon de convergence.
Définition — Rayon de convergence
Le rayon de convergence de la série entière \(\sum a_n x^n\) est :
\(R = \sup\{r \geq 0 \mid (a_n r^n)_{n \in \mathbb{N}} \text{ est bornée}\} \in [0\,; +\infty]\)
Les trois zones. Pour une série entière de rayon \(R\) :
- Disque ouvert (\(|x|\) < \(R\)) : convergence absolue.
- Extérieur (\(|x|\) > \(R\)) : divergence grossière (le terme général ne tend pas vers \(0\)).
- Cercle (\(|x| = R\)) : aucune conclusion générale — étude au cas par cas nécessaire.
B. Théorème de Cauchy-Hadamard et corollaire de d’Alembert
Le théorème de Cauchy-Hadamard fournit une formule universelle pour calculer \(R\).
Théorème de Cauchy-Hadamard ⋆
Le rayon de convergence de \(\sum a_n x^n\) vérifie :
\(\displaystyle\frac{1}{R} = \limsup_{n \to +\infty} |a_n|^{1/n}\)
avec les conventions \(\displaystyle\frac{1}{0} = +\infty\) et \(\displaystyle\frac{1}{+\infty} = 0\).
La démonstration complète repose sur le lemme d’Abel et les propriétés du \(\limsup\) — elle est détaillée dans le cours sur les séries entières.
En pratique, calculer un \(\limsup\) peut être délicat. Le corollaire suivant, plus maniable, couvre la majorité des situations de concours.
Corollaire — Règle de d’Alembert pour les séries entières
Si la limite \(\ell = \lim_{n \to +\infty} \left|\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\) existe dans \([0\,; +\infty]\), alors :
\(R = \displaystyle\frac{1}{\ell}\)
Attention : la règle de d’Alembert exige l’existence de la limite. Si le rapport \(\left|\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\) oscille sans converger, d’Alembert est inapplicable — il faut revenir à Cauchy-Hadamard, dont le \(\limsup\) existe toujours.
Avec ces outils en main, la question devient : face à un coefficient \(a_n\) donné, quelle méthode appliquer ?
II. Quelle méthode choisir ? Tableau comparatif
Avant tout calcul, identifie la forme du coefficient \(a_n\). C’est elle qui dicte la technique la plus efficace. Le tableau suivant résume les 5 méthodes et leurs domaines d’application.
| Méthode | Forme typique de \(a_n\) | Formule clé | Limitation |
|---|---|---|---|
| D’Alembert | Factorielles, puissances, produits | \(R = 1/\lim\left|\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\) | La limite doit exister |
| Cauchy-Hadamard | Toute série (universel) | \(1/R = \limsup |a_n|^{1/n}\) | \(\limsup\) parfois délicat |
| Comparaison | \(a_n \sim b_n\) ou \(a_n = O(b_n)\) | Équivalence \(\Rightarrow\) même \(R\) | Nécessite une référence connue |
| Lacunaire | Beaucoup de coefficients nuls | Hadamard sur les indices non nuls | Forme spécifique |
| Substitution | Série en \((x-x_0)^n\) ou \(x^{kn}\) | Poser \(u = g(x)\), trouver \(R_u\) | Identifier la substitution |
Règle d’or : commence toujours par d’Alembert — c’est la plus rapide. Si la limite du rapport n’existe pas, passe à Cauchy-Hadamard. Si la série est lacunaire, adapte Hadamard aux indices non nuls. Si la série n’est pas sous la forme standard \(\sum a_n x^n\), effectue d’abord une substitution.
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Les 5 méthodes, l’arbre de décision et les séries de référence — tout sur une page, prêt à glisser dans ton classeur.
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Détaillons maintenant chaque méthode pas à pas.
III. Les 5 méthodes de calcul pas à pas
Chaque méthode est présentée avec ses étapes, ses conditions d’application et un encadré « À écrire sur la copie » pour les deux techniques principales.
A. Méthode 1 — Règle de d’Alembert
Quand l’utiliser : le coefficient \(a_n\) contient des factorielles, des puissances de \(n\), des produits de termes consécutifs — bref, toute expression où le rapport \(a_{n+1}/a_n\) se simplifie bien.
Étapes :
- Vérifier que \(a_n \neq 0\) à partir d’un certain rang.
- Calculer \(\left|\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\) et simplifier.
- Déterminer \(\ell = \lim_{n \to +\infty} \left|\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\).
- Conclure : \(R = \displaystyle\frac{1}{\ell}\) (avec \(1/0 = +\infty\) et \(1/+\infty = 0\)).
À écrire sur la copie (modèle de rédaction)
« On a \(a_n \neq 0\) pour tout \(n \geq n_0\). On calcule :
\(\left|\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \ldots \longrightarrow \ell \quad (n \to +\infty)\)
D’après la règle de d’Alembert pour les séries entières, le rayon de convergence vaut \(R = \displaystyle\frac{1}{\ell} = \ldots\) »
B. Méthode 2 — Formule de Cauchy-Hadamard (limsup)
Quand l’utiliser : d’Alembert échoue (le rapport n’a pas de limite), ou \(|a_n|^{1/n}\) se calcule plus naturellement que le rapport — typiquement quand \(a_n\) est une puissance \(n\)-ième.
Étapes :
- Calculer \(|a_n|^{1/n}\).
- Identifier les valeurs d’adhérence de la suite \((|a_n|^{1/n})\).
- Le \(\limsup\) est la plus grande de ces valeurs d’adhérence.
- Conclure : \(R = \displaystyle\frac{1}{\limsup |a_n|^{1/n}}\).
À écrire sur la copie (modèle de rédaction)
« On calcule \(|a_n|^{1/n} = \ldots\) La suite \((|a_n|^{1/n})\) admet \(\lambda\) comme plus grande valeur d’adhérence. D’après le théorème de Cauchy-Hadamard, \(\displaystyle\frac{1}{R} = \lambda\), d’où \(R = \ldots\) »
Rappel : le \(\limsup\) d’une suite bornée est la plus grande limite de ses sous-suites convergentes. Contrairement à \(\lim\), il existe toujours dans \([0\,; +\infty]\). Si la suite converge, \(\limsup = \lim\).
C. Méthode 3 — Comparaison à une série de référence
Quand l’utiliser : tu identifies un équivalent \(a_n \sim b_n\) ou une domination \(|a_n| \leq |b_n|\) avec un coefficient \(b_n\) dont le rayon est connu.
Résultats clés :
- Équivalence : si \(a_n \sim b_n\) (i.e. \(a_n/b_n \to 1\)), alors \(R_a = R_b\).
- Domination : si \(|a_n| \leq |b_n|\) à partir d’un certain rang, alors \(R_a \geq R_b\).
Séries de référence à connaître :
| Coefficient \(a_n\) | Rayon \(R\) | Série |
|---|---|---|
| \(q^n\) (\(q \neq 0\)) | \(1/|q|\) | Géométrique |
| \(1/n!\) | \(+\infty\) | Exponentielle |
| \(1/n^\alpha\) (\(\alpha\) quelconque) | \(1\) | Puissances de \(n\) |
| \(n!\) | \(0\) | Factorielle |
D. Méthode 4 — Séries lacunaires
Quand l’utiliser : la série a la forme \(\sum a_n x^{\varphi(n)}\) avec \(\varphi\) strictement croissante et des « trous » entre les puissances de \(x\). Exemples : \(\sum x^{n^2}\), \(\sum x^{2^n}\), \(\sum a_n x^{2n}\).
Principe : écrire la série sous forme canonique \(\sum_{k \geq 0} c_k x^k\) avec \(c_k = a_n\) si \(k = \varphi(n)\) et \(c_k = 0\) sinon. Puis appliquer Cauchy-Hadamard :
\(\displaystyle\frac{1}{R} = \limsup_{k \to +\infty} |c_k|^{1/k} = \limsup_{n \to +\infty} |a_n|^{1/\varphi(n)}\)
Le \(\limsup\) ne porte que sur les termes non nuls : les coefficients \(c_k = 0\) ne contribuent pas.
Piège classique : ne jamais appliquer d’Alembert aux termes consécutifs \(c_k\) et \(c_{k+1}\) de la série canonique. Le rapport \(c_{k+1}/c_k\) est nul ou indéfini presque partout. La seule approche fiable est Cauchy-Hadamard appliqué aux indices non nuls.
E. Méthode 5 — Substitution
Quand l’utiliser : la série n’est pas sous la forme standard \(\sum a_n x^n\). Trois cas fréquents :
- Série centrée en \(x_0 \neq 0\) : \(\sum a_n (x – x_0)^n\) — poser \(u = x – x_0\).
- Puissances non consécutives : \(\sum a_n x^{kn}\) — poser \(u = x^k\).
- Composition : \(\sum a_n g(x)^n\) — poser \(u = g(x)\).
Principe : déterminer le rayon \(R_u\) de \(\sum a_n u^n\) par d’Alembert ou Hadamard. Puis en déduire le domaine de convergence en \(x\) via la condition \(|g(x)|\) < \(R_u\).
Exemple rapide : déterminer le rayon de convergence de \(\sum_{n \geq 1} \displaystyle\frac{x^{2n}}{n}\).
On pose \(u = x^2\). La série \(\sum \displaystyle\frac{u^n}{n}\) a pour rayon \(R_u = 1\) (d’Alembert ou comparaison). Convergence pour \(|u|\) < \(1\), soit \(|x|^2\) < \(1\), soit \(|x|\) < \(1\). Donc \(R = 1\).
Voyons maintenant ces 5 méthodes en action sur des exemples de difficulté croissante.
IV. Exemples résolus
Exemple 1 🟠 Prépa — Déterminer le rayon de convergence de \(\sum_{n \geq 0} \displaystyle\frac{x^n}{n!}\).
Méthode : d’Alembert. On a \(a_n = \displaystyle\frac{1}{n!}\).
\(\left|\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \displaystyle\frac{n!}{(n+1)!} = \displaystyle\frac{1}{n+1} \longrightarrow 0\)
Donc \(\ell = 0\) et \(R = \displaystyle\frac{1}{0} = +\infty\). La série converge absolument sur \(\mathbb{R}\) tout entier — c’est la série de \(e^x\).
Exemple 2 🟠 Prépa — Déterminer le rayon de convergence de \(\sum_{n \geq 1} \displaystyle\frac{x^n}{n \cdot 3^n}\).
Méthode : d’Alembert. On a \(a_n = \displaystyle\frac{1}{n \cdot 3^n}\).
\(\left|\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \displaystyle\frac{n \cdot 3^n}{(n+1) \cdot 3^{n+1}} = \displaystyle\frac{1}{3} \cdot \displaystyle\frac{n}{n+1} \longrightarrow \displaystyle\frac{1}{3}\)
Donc \(R = 3\).
Exemple 3 🟠 Prépa — Soit \(a_n = 2^n\) si \(n\) est pair, \(a_n = 3^n\) si \(n\) est impair. Déterminer le rayon de convergence de \(\sum a_n x^n\).
Tentative par d’Alembert :
- Pour \(n\) pair : \(\left|\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \displaystyle\frac{3^{n+1}}{2^n} = 3 \cdot \left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^n \longrightarrow +\infty\)
- Pour \(n\) impair : \(\left|\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \displaystyle\frac{2^{n+1}}{3^n} = 2 \cdot \left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^n \longrightarrow 0\)
Le rapport oscille entre \(+\infty\) et \(0\) : d’Alembert est inapplicable.
Cauchy-Hadamard : \(|a_n|^{1/n} = 2\) si \(n\) est pair, \(3\) si \(n\) est impair. Les valeurs d’adhérence sont \(2\) et \(3\), donc \(\limsup |a_n|^{1/n} = 3\).
Conclusion : \(R = \displaystyle\frac{1}{3}\).
Exemple 4 🔴 Concours — Déterminer le rayon de convergence de \(\sum_{n \geq 0} {2n \choose n} x^n\).
Méthode : d’Alembert. On a \(a_n = {2n \choose n} = \displaystyle\frac{(2n)!}{(n!)^2}\).
\(\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n} = \displaystyle\frac{(2n+2)!}{((n+1)!)^2} \cdot \displaystyle\frac{(n!)^2}{(2n)!} = \displaystyle\frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2} = \displaystyle\frac{2(2n+1)}{n+1}\)
\(\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n} \longrightarrow 4\), donc \(R = \displaystyle\frac{1}{4}\).
Vérification par Stirling : \({2n \choose n} \sim \displaystyle\frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}\), d’où \(|a_n|^{1/n} \sim 4\) et \(R = 1/4\). ✓
Exemple 5 🔴 Concours — Déterminer le rayon de convergence de \(\sum_{n \geq 0} x^{n^2}\).
Méthode : série lacunaire. On écrit \(\sum_{k \geq 0} c_k x^k\) avec \(c_k = 1\) si \(k\) est un carré parfait, \(c_k = 0\) sinon.
Pour \(k = n^2\) : \(|c_k|^{1/k} = 1^{1/n^2} = 1\).
Comme \(c_k = 0\) pour \(k\) non carré, ces indices ne contribuent pas au \(\limsup\). Donc \(\limsup_{k \to +\infty} |c_k|^{1/k} = 1\) et \(R = 1\).
Vérification directe : pour \(|x|\) < \(1\), on a \(|x^{n^2}| = |x|^{n^2} \longrightarrow 0\) (convergence « super-géométrique »). Pour \(|x| \geq 1\), le terme général ne tend pas vers \(0\) : divergence. ✓
Exemple 6 🔴 Concours — Déterminer le rayon de convergence de \(\sum_{n \geq 1} \displaystyle\frac{n!}{n^n}\, x^n\).
Méthode : d’Alembert. On a \(a_n = \displaystyle\frac{n!}{n^n}\).
\(\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n} = \displaystyle\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \displaystyle\frac{n^n}{n!} = \displaystyle\frac{n^n}{(n+1)^n} = \left(\displaystyle\frac{n}{n+1}\right)^n = \displaystyle\frac{1}{\left(1 + \displaystyle\frac{1}{n}\right)^n}\)
Or \(\left(1 + \displaystyle\frac{1}{n}\right)^n \longrightarrow e\), donc \(\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n} \longrightarrow \displaystyle\frac{1}{e}\).
Conclusion : \(R = e\).
Remarque : cet exemple illustre le lien entre la formule de Stirling (\(n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\displaystyle\frac{n}{e}\right)^n\)) et le calcul de rayon de convergence. La constante \(e\) apparaît naturellement.
Avant de passer aux exercices, identifions les erreurs les plus fréquentes en DS et en concours.
V. Erreurs fréquentes et pièges concours
Erreur n°1 — Appliquer d’Alembert quand la limite n’existe pas
❌ Copie fautive : « \(\left|\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\) vaut alternativement \(0\) et \(+\infty\). On prend la moyenne… »
Diagnostic : la règle de d’Alembert exige l’existence de la limite. Si le rapport oscille, la méthode ne s’applique pas. Il n’y a pas de « moyenne » à calculer.
✅ Correction : « Le rapport \(\left|\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\) n’admet pas de limite. La règle de d’Alembert est inapplicable. On utilise le théorème de Cauchy-Hadamard : \(\displaystyle\frac{1}{R} = \limsup |a_n|^{1/n} = \ldots\) »
Erreur n°2 — Confondre \(\lim\) et \(\limsup\)
❌ Copie fautive : « La suite \((|a_n|^{1/n})\) n’a pas de limite, donc le théorème de Cauchy-Hadamard ne s’applique pas. »
Diagnostic : c’est faux. Le \(\limsup\) existe toujours dans \([0\,; +\infty]\), même quand la suite ne converge pas. C’est précisément la force de Cauchy-Hadamard par rapport à d’Alembert.
✅ Correction : « La suite \((|a_n|^{1/n})\) ne converge pas, mais son \(\limsup\) vaut \(\lambda\) (plus grande valeur d’adhérence). D’après le théorème de Cauchy-Hadamard, \(R = 1/\lambda\). »
Erreur n°3 — Écrire « \(1/0\) n’existe pas »
❌ Copie fautive : « On trouve \(\ell = 0\), mais \(1/0\) n’est pas défini, donc on ne peut pas conclure. »
Diagnostic : dans le contexte des séries entières, la convention \(1/0 = +\infty\) est standard. De même, \(1/+\infty = 0\).
✅ Correction : « On obtient \(\ell = 0\). Par convention, \(R = 1/\ell = +\infty\) : la série converge absolument sur \(\mathbb{R}\) tout entier. »
Erreur n°4 — Conclure au bord \(|x| = R\) sans étude
❌ Copie fautive : « On a \(R = 1\), donc la série converge pour \(|x| \leq 1\). »
Diagnostic : le théorème donne la convergence absolue pour \(|x|\) < \(R\) et la divergence grossière pour \(|x|\) > \(R\). Au bord \(|x| = R\), rien n’est garanti : la série peut converger, converger conditionnellement, ou diverger.
✅ Correction : « \(R = 1\). La série converge absolument pour \(|x|\) < \(1\) et diverge grossièrement pour \(|x|\) > \(1\). En \(x = 1\) et \(x = -1\), une étude séparée est nécessaire. »
Erreur n°5 — Appliquer d’Alembert terme à terme sur une série lacunaire
❌ Copie fautive : « Pour \(\sum x^{n^2}\), on écrit \(c_k x^k\) avec \(c_k = 0\) ou \(1\). Le rapport \(c_{k+1}/c_k\) n’est pas défini quand \(c_k = 0\). »
Diagnostic : les coefficients nuls rendent le rapport indéfini ou nul presque partout. D’Alembert sur les \(c_k\) consécutifs est inutilisable.
✅ Correction : appliquer Cauchy-Hadamard et ne considérer que les indices \(k = n^2\) pour le \(\limsup\). Les termes nuls n’influencent pas le \(\limsup\).
C’est en pratiquant que ces réflexes se solidifient. Voici 5 exercices pour t’entraîner.
VI. Exercices d’application
Exercice 1 ★★ — Déterminer le rayon de convergence de \(\sum_{n \geq 1} \displaystyle\frac{x^n}{n^2 \cdot 5^n}\).
Voir la correction
On a \(a_n = \displaystyle\frac{1}{n^2 \cdot 5^n}\). On applique d’Alembert :
\(\left|\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \displaystyle\frac{n^2 \cdot 5^n}{(n+1)^2 \cdot 5^{n+1}} = \displaystyle\frac{1}{5} \cdot \left(\displaystyle\frac{n}{n+1}\right)^2 \longrightarrow \displaystyle\frac{1}{5}\)
Conclusion : \(R = 5\).
Exercice 2 ★★ — Déterminer le rayon de convergence de \(\sum_{n \geq 0} \left(\displaystyle\frac{n+1}{2n+3}\right)^n x^n\).
Voir la correction
On a \(a_n = \left(\displaystyle\frac{n+1}{2n+3}\right)^n\). Le coefficient est une puissance \(n\)-ième : Hadamard est naturel.
\(|a_n|^{1/n} = \displaystyle\frac{n+1}{2n+3} \longrightarrow \displaystyle\frac{1}{2}\)
La suite converge, donc \(\limsup = 1/2\). Par Cauchy-Hadamard : \(R = 2\).
Remarque : quand \(a_n\) est une puissance \(n\)-ième, Hadamard « absorbe » cette puissance, ce qui simplifie le calcul par rapport à d’Alembert.
Exercice 3 ★★★ — On pose \(a_{2p} = \displaystyle\frac{1}{p!}\) et \(a_{2p+1} = \displaystyle\frac{1}{3^p}\) pour tout \(p \geq 0\). Déterminer le rayon de convergence de \(\sum a_n x^n\).
Voir la correction
Le rapport \(a_{n+1}/a_n\) alterne entre des expressions de nature différente (factorielle et exponentielle). On utilise Cauchy-Hadamard.
Sous-suite paire : \(|a_{2p}|^{1/(2p)} = (1/p!)^{1/(2p)}\). Par la formule de Stirling, \(p! \sim \sqrt{2\pi p}\left(\displaystyle\frac{p}{e}\right)^p\), d’où :
\((1/p!)^{1/(2p)} \sim \left(\displaystyle\frac{e}{p}\right)^{1/2} \cdot (2\pi p)^{-1/(4p)} \longrightarrow 0\)
Sous-suite impaire : \(|a_{2p+1}|^{1/(2p+1)} = 3^{-p/(2p+1)} \longrightarrow 3^{-1/2} = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\).
Le \(\limsup\) est la plus grande des deux valeurs d’adhérence : \(\limsup = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\).
Conclusion : \(R = \sqrt{3}\).
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Exercice 4 ★★★ — Déterminer le rayon de convergence de \(\sum_{n \geq 0} x^{2^n}\).
Voir la correction
C’est une série lacunaire. On pose \(c_k = 1\) si \(k\) est une puissance de \(2\), \(c_k = 0\) sinon.
Pour \(k = 2^n\) : \(|c_k|^{1/k} = 1^{1/2^n} = 1\). Le \(\limsup\) vaut \(1\) (atteint pour la sous-suite \(k = 2^n\)).
Par Cauchy-Hadamard : \(R = 1\).
Vérification : pour \(|x|\) < \(1\), la suite \(|x|^{2^n}\) tend vers \(0\) super-géométriquement. Pour \(|x| \geq 1\), \(|x|^{2^n} \geq 1\) : le terme général ne tend pas vers \(0\). ✓
Exercice 5 ★★★★ — Déterminer le rayon de convergence de \(\sum_{n \geq 1} \displaystyle\frac{n^n}{e^n \cdot n!}\, x^n\).
Voir la correction
On a \(a_n = \displaystyle\frac{n^n}{e^n \cdot n!}\). Essayons d’Alembert :
\(\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n} = \displaystyle\frac{(n+1)^{n+1}}{e^{n+1} \cdot (n+1)!} \cdot \displaystyle\frac{e^n \cdot n!}{n^n} = \displaystyle\frac{(n+1)^n}{e \cdot n^n} = \displaystyle\frac{1}{e}\left(1 + \displaystyle\frac{1}{n}\right)^n \longrightarrow 1\)
D’Alembert donne \(\ell = 1\) : cas limite indéterminé ! La méthode ne permet pas de conclure.
On passe à Cauchy-Hadamard. Par Stirling : \(n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\displaystyle\frac{n}{e}\right)^n\), donc :
\(a_n = \displaystyle\frac{n^n}{e^n \cdot n!} \sim \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi n}}\)
\(|a_n|^{1/n} \sim (2\pi n)^{-1/(2n)} \longrightarrow 1\)Donc \(\limsup = 1\) et \(R = 1\).
Leçon : quand d’Alembert donne \(\ell = 1\), il est indéterminé. Un équivalent de \(a_n\) via Stirling, suivi de Cauchy-Hadamard, débloque la situation.
Pour maximiser ta note en concours, la rédaction est aussi importante que le calcul.
VII. Rédaction concours — ce que le correcteur attend
La détermination du rayon de convergence est souvent la première question d’un problème de concours sur les séries entières. Un calcul juste mais mal rédigé coûte des points. Voici les exigences non négociables.
- Nommer le théorème utilisé. Écrire « D’après la règle de d’Alembert pour les séries entières… » ou « D’après le théorème de Cauchy-Hadamard… ». Un résultat appliqué sans nom est un résultat non justifié.
- Vérifier l’hypothèse avant d’appliquer. Pour d’Alembert : montrer que \(a_n \neq 0\) à partir d’un certain rang, et que la limite existe. Pour Hadamard : calculer explicitement le \(\limsup\) en identifiant les valeurs d’adhérence.
- Écrire une phrase de conclusion. « Le rayon de convergence vaut \(R = \ldots\) » en fin de raisonnement. Ne pas laisser le correcteur chercher la valeur de \(R\) au milieu d’un calcul intermédiaire.
- Ne rien affirmer au bord sans étude. Écrire « la série converge absolument pour \(|x|\) < \(R\) et diverge grossièrement pour \(|x|\) > \(R\) ». Ne jamais écrire « converge pour \(|x| \leq R\) » sauf étude au bord effectuée.
- Justifier un changement de méthode. Si d’Alembert échoue, écrire : « Le rapport \(|a_{n+1}/a_n|\) n’admet pas de limite. On utilise le théorème de Cauchy-Hadamard. » Le correcteur veut voir que tu sais pourquoi tu changes d’outil — pas que tu tâtonnes.
Structure type d’une rédaction en 4 lignes :
1. « On a \(a_n = \ldots\) et \(a_n \neq 0\) pour \(n \geq n_0\). »
2. « On calcule \(\left|\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \ldots\) »
3. « \(\left|\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \longrightarrow \ell \quad (n \to +\infty)\). »
4. « D’après la règle de d’Alembert pour les séries entières, \(R = 1/\ell = \ldots\) »
VIII. Questions fréquentes
Comment calculer le rayon de convergence d'une série entière ?
La méthode la plus courante est la règle de d’Alembert : calculer \(\ell = \lim \left|\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\), puis \(R = 1/\ell\). Si cette limite n’existe pas, utiliser le théorème de Cauchy-Hadamard : \(1/R = \limsup |a_n|^{1/n}\). Pour les séries lacunaires, adapter Cauchy-Hadamard aux indices non nuls. Pour les séries en \((x – x_0)^n\) ou \(x^{kn}\), effectuer une substitution pour se ramener à la forme standard.
Quelle est la définition du rayon de convergence d'une série ?
Le rayon de convergence \(R\) de \(\sum a_n x^n\) est le supremum des réels \(r \geq 0\) tels que la suite \((a_n r^n)\) est bornée. C’est le nombre qui sépare la zone de convergence absolue (\(|x|\) < \(R\)) de la zone de divergence grossière (\(|x|\) > \(R\)). Il peut valoir \(0\) (convergence en \(x = 0\) uniquement) ou \(+\infty\) (convergence sur \(\mathbb{R}\) entier).
Quel est le domaine de convergence d'une série entière ?
Le domaine de convergence contient toujours l’intervalle ouvert de rayon \(R\) autour de l’origine et exclut tout point avec \(|x|\) > \(R\). Aux bornes \(x = R\) et \(x = -R\), l’étude est au cas par cas. Le domaine de convergence peut donc être ouvert, semi-ouvert ou fermé. Exemple : \(\sum x^n/n\) a \(R = 1\), converge en \(x = -1\) (série alternée) mais diverge en \(x = 1\) (série harmonique).
Le rayon de convergence peut-il être infini ou nul ?
Oui aux deux. Si \(\limsup |a_n|^{1/n} = 0\), alors \(R = +\infty\) : la série converge sur \(\mathbb{R}\) entier (exemple : \(\sum x^n/n!\)). Si \(\limsup |a_n|^{1/n} = +\infty\), alors \(R = 0\) : la série ne converge qu’en \(x = 0\) (exemple : \(\sum n!\, x^n\)). Et bien sûr, \(R\) peut prendre n’importe quelle valeur intermédiaire — y compris \(R = e\) ou \(R = \sqrt{3}\).
Quelle est la différence entre la règle de d'Alembert et le théorème de Cauchy-Hadamard ?
Cauchy-Hadamard est universel : le \(\limsup\) existe toujours dans \([0\,; +\infty]\), donc le théorème s’applique à toute série entière sans exception. D’Alembert est un corollaire de Cauchy-Hadamard, plus simple à calculer (une limite de quotient), mais qui exige l’existence de \(\lim |a_{n+1}/a_n|\). Quand les coefficients oscillent (exemple : \(a_n = 2^n\) si \(n\) pair, \(3^n\) sinon), d’Alembert échoue et seul Cauchy-Hadamard fonctionne.
Quel est le rayon de convergence de la série entière exponentielle ?
La série \(\sum_{n \geq 0} \displaystyle\frac{x^n}{n!}\), dont la somme est \(e^x\), a un rayon de convergence \(R = +\infty\). En effet, \(\left|\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \displaystyle\frac{1}{n+1} \longrightarrow 0\), d’où \(R = 1/0 = +\infty\) par la convention usuelle. La série converge absolument pour tout \(x \in \mathbb{R}\) (et même pour tout \(z \in \mathbb{C}\)).
IX. Pour aller plus loin
Tu maîtrises désormais les 5 méthodes de calcul du rayon de convergence. Pour poursuivre ta progression sur les séries entières :
- Le cours complet sur les séries en mathématiques reprend la théorie générale des séries numériques, entières, de fonctions et de Fourier.
- Le développement en série entière (DSE) est l’étape suivante : une fois le rayon calculé, il faut savoir développer une fonction en série entière et en calculer la somme.
- Le formulaire des DSE usuels rassemble les développements à connaître pour les concours.
- Les exercices corrigés sur les séries entières proposent des problèmes de concours complets (CCP, Centrale, Mines-Ponts, X-ENS).
