Tu cherches des exercices de suites arithmétiques corrigés pour t’entraîner efficacement ? Cette page propose une sélection progressive : d’abord les bases, puis des exercices plus exigeants, avec des corrigés rédigés et des pièges signalés.
Accès rapide au cocon :
- Suite arithmétique : cours complet — Définition, formules, variations, limites.
- Somme d’une suite arithmétique — Formules, méthode sans piège, exemples + exercices.
- Trouver la raison (r) — Méthodes selon l’énoncé + exercices corrigés.
- Arithmétique vs géométrique — Tableau comparatif + mini-exercices pour ne plus confondre.
20 exercices corrigés — Suites arithmétiques (PDF imprimable)
Progression Première → Terminale → type bac : reconnaissance, raison, terme général, somme, seuil, modélisation. Corrigés rédigés pas à pas avec pièges signalés.
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Raison, terme général, somme, seuil — les 4 compétences clés sur une fiche.
Comment utiliser cette page pour progresser vite
Le secret, ce n’est pas de faire « beaucoup d’exercices », mais de faire les bons, dans le bon ordre, avec une correction qui t’apprend une méthode.
| Niveau | Objectif | Priorité |
|---|---|---|
| Première | Reconnaître une suite arithmétique, trouver la raison, calculer des termes | Exercices 1 → 8 |
| Terminale | Indices, récurrences, seuils, rédaction propre | Exercices 9 → 14 |
| Type bac | Problèmes concrets, modélisation, pièges classiques | Exercices 15 → 17 |
| Mixte | Savoir trancher : arithmétique ou géométrique ? | Exercices 18 → 20 |
Méthode : après chaque exercice, note en 1 phrase l’idée (ex. « je calcule \(r\) avec deux termes »), puis refais l’exercice 48h plus tard sans regarder.
Rappels express (2 minutes) avant les exercices
Définition — Une suite \((u_n)\) est arithmétique s’il existe un réel \(r\) tel que, pour tout \(n\),
\(u_{n+1}=u_n+r\).
Le nombre \(r\) s’appelle la raison : c’est l’augmentation (ou diminution) constante entre deux termes consécutifs.
Calculer \(u_2\) et \(u_3\) :
- Si \(u_0\) et \(r\) sont connus : \(u_1=u_0+r\), \(u_2=u_0+2r\), \(u_3=u_0+3r\).
- Si \(u_1\) et \(r\) sont connus : \(u_2=u_1+r\), \(u_3=u_1+2r\).
Piège n°1 : confondre \(u_0\) et \(u_1\). Les formules changent selon l’indice de départ. Avant de calculer, repère toujours le premier terme donné.
Pour approfondir (preuve, méthode, variations) :
Exercices corrigés : niveau Première
Reconnaître une suite arithmétique
Exercice 1 — Reconnaître (vrai / faux)
Parmi les suites suivantes, lesquelles sont arithmétiques ? Justifier.
- a) \(u_n=5n-2\)
- b) \(v_n=2^n\)
- c) \(w_0=3\) et \(w_{n+1}=w_n-4\)
- d) \(t_n=n^2\)
Correction :
- a) Oui : \(u_{n+1}-u_n=(5(n+1)-2)-(5n-2)=5\) constant, donc raison \(r=5\).
- b) Non : \(v_{n+1}-v_n=2^{n+1}-2^n=2^n\) n’est pas constant.
- c) Oui : c’est exactement la définition avec \(r=-4\).
- d) Non : \(t_{n+1}-t_n=(n+1)^2-n^2=2n+1\) dépend de \(n\).
Exercice 2 — Suite « presque arithmétique » (piège)
On donne \(a_n=3n+(-1)^n\). Est-ce une suite arithmétique ?
Correction :
On calcule la différence :
\(a_{n+1}-a_n=\bigl(3(n+1)+(-1)^{n+1}\bigr)-\bigl(3n+(-1)^n\bigr)=3-2(-1)^n\).
Cette valeur dépend de \(n\), donc la suite n’est pas arithmétique.
Trouver la raison \(r\) (exercices directs)
Exercice 3 — Raison à partir de deux termes
Une suite arithmétique vérifie \(u_2=9\) et \(u_8=33\). Trouver \(r\).
Correction :
Dans une suite arithmétique : \(u_8=u_2+(8-2)r\).
Donc \(33=9+6r\), puis \(6r=24\) et \(r=4\).
Pour d’autres cas-types : trouver la raison d’une suite arithmétique.
Exercice 4 — Raison à partir d’une formule explicite
On donne \(u_n=4n-1\). Montrer que la suite est arithmétique, puis donner \(r\) et \(u_0\).
Correction :
\(u_{n+1}-u_n=\bigl(4(n+1)-1\bigr)-\bigl(4n-1\bigr)=4\) constant, donc arithmétique de raison \(r=4\).
Enfin \(u_0=4\cdot 0-1=-1\).
Calculer un terme \(u_n\) (dont \(u_2\) et \(u_3\))
Exercice 5 — Calculer u₂ et u₃
On considère une suite arithmétique telle que \(u_0=3\) et \(r=5\). Calculer \(u_2\) et \(u_3\).
Correction :
\(u_2=u_0+2r=3+2\cdot 5=13\).
\(u_3=u_0+3r=3+3\cdot 5=18\).
Exercice 6 — Retrouver l’indice
On a \(u_1=7\) et \(r=-2\). Pour quel \(n\) a-t-on \(u_n=-1\) ?
Correction :
Comme l’indice de départ est \(1\) :
\(u_n=u_1+(n-1)r=7+(n-1)(-2)=9-2n\).
On résout \(9-2n=-1\), donc \(-2n=-10\) et \(n=5\).
Problèmes simples (modéliser une situation)
Exercice 7 — Épargne régulière (modélisation)
Un élève met de côté \(20\) euros la première semaine, puis augmente chaque semaine sa mise de \(3\) euros. On note \(u_n\) la somme mise de côté la semaine \(n\), avec \(u_1=20\). Donner \(u_n\).
Correction :
L’augmentation est constante : suite arithmétique de raison \(r=3\).
\(u_n=u_1+(n-1)r=20+3(n-1)=17+3n\).
Exercice 8 — Lecture de variation
Une suite arithmétique a pour raison \(r=-1{,}5\). Que peut-on dire de son évolution ?
Correction :
À chaque pas, on ajoute \(r\) (négatif) : la suite décroît strictement.
Exercices corrigés : niveau Terminale
Termes généraux / changement d’indice
Exercice 9 — Sous-suite v_n = u_{2n}
\((u_n)\) est arithmétique de raison \(r\). On définit \(v_n=u_{2n}\). Montrer que \((v_n)\) est arithmétique et préciser sa raison.
Correction :
\(v_{n+1}-v_n=u_{2(n+1)}-u_{2n}=u_{2n+2}-u_{2n}\).
Or \(u_{2n+2}=u_{2n}+2r\), donc \(v_{n+1}-v_n=2r\) constant.
\((v_n)\) est arithmétique de raison \(2r\).
Suites définies par récurrence : montrer arithmétique et exploiter
Exercice 10 — Récurrence simple
\(u_0=10\) et \(u_{n+1}=u_n-3\). Donner \(u_n\).
Correction :
On reconnaît une suite arithmétique de raison \(r=-3\).
\(u_n=u_0+nr=10-3n\).
Exercice 11 — Récurrence d’ordre 2 (preuve propre)
On définit \(u_0\) et \(u_1\) réels, puis pour tout \(n\) : \(u_{n+1}=2u_n-u_{n-1}\).
Montrer que \((u_n)\) est arithmétique et donner sa raison.
Correction :
On réécrit : \(u_{n+1}-u_n=(2u_n-u_{n-1})-u_n=u_n-u_{n-1}\).
Donc la différence \(u_{n+1}-u_n\) est égale à \(u_n-u_{n-1}\) : elle est constante.
La suite est arithmétique de raison \(r=u_1-u_0\).
Pour une méthode complète : raison d’une suite arithmétique : méthodes et preuves.
Problèmes de seuil (dépasser un objectif)
Exercice 12 — Atteindre un seuil
Une suite arithmétique vérifie \(u_0=500\) et \(r=35\). Quel est le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n\) > \(1000\) ?
Correction :
On a \(u_n=500+35n\). On cherche \(500+35n\) > \(1000\).
Donc \(35n\) > \(500\), puis \(n\) > \(\displaystyle\frac{500}{35} \approx 14{,}28\).
Le plus petit entier est \(n=15\).
Exercices sur la somme d’une suite arithmétique
Exercice 13 — Somme (application directe)
On considère une suite arithmétique avec \(u_1=2\) et \(r=3\). Calculer la somme \(S= u_1+u_2+\cdots+u_{10}\).
Correction :
On calcule d’abord \(u_{10}=u_1+9r=2+27=29\).
La somme vaut : \(S=\displaystyle\frac{10(u_1+u_{10})}{2}=\displaystyle\frac{10(2+29)}{2}=155\).
Pour la méthode complète (pièges nombre de termes, somme de \(u_p\) à \(u_q\)) : somme d’une suite arithmétique : formule et exercices.
Exercice 14 — Somme des n premiers termes
\((u_n)\) est arithmétique, \(u_0=1\), \(r=2\). Calculer \(T=u_0+u_1+\cdots+u_{20}\).
Correction :
On a \(u_{20}=u_0+20r=1+40=41\).
Il y a \(21\) termes (de \(0\) à \(20\)), donc :
\(T=\displaystyle\frac{21(u_0+u_{20})}{2}=\displaystyle\frac{21(1+41)}{2}=441\).
Problèmes « type bac » et situations concrètes
Ici, l’objectif est de savoir modéliser : identifier le premier terme, la raison, écrire le terme général, puis répondre à la question posée.
Exercice 15 — Abonnement (type bac)
Un abonnement coûte \(12\) euros le premier mois, puis augmente de \(1{,}5\) euro chaque mois. On note \(u_n\) le prix du \(n\)-ième mois, avec \(u_1=12\).
1) Exprimer \(u_n\). 2) Calculer le prix au \(24\)-ième mois. 3) Calculer le total payé sur les \(24\) premiers mois.
Correction :
1) Suite arithmétique de raison \(r=1{,}5\) : \(u_n=12+(n-1)\cdot 1{,}5\).
2) \(u_{24}=12+23\cdot 1{,}5=46{,}5\).
3) Total : \(S=\displaystyle\frac{24(u_1+u_{24})}{2}=\displaystyle\frac{24(12+46{,}5)}{2}=702\).
Exercice 16 — Variante STMG (progression régulière)
Une entreprise produit \(150\) pièces la première semaine, puis augmente sa production de \(8\) pièces par semaine. On note \(u_n\) la production de la semaine \(n\) avec \(u_1=150\).
1) Donner \(u_n\). 2) Déterminer la première semaine où la production dépasse \(300\) pièces.
Correction :
1) \(u_n=150+8(n-1)\).
2) \(150+8(n-1)\) > \(300\) ⟺ \(8(n-1)\) > \(150\) ⟺ \(n\) > \(1+\displaystyle\frac{150}{8} = 19{,}75\).
Le plus petit entier est \(n=20\).
Exercice 17 — Variante Bac pro (modélisation simple)
Un technicien parcourt \(12\) km le premier jour et augmente chaque jour sa distance de \(0{,}8\) km. On note \(u_n\) la distance du jour \(n\), \(u_1=12\).
1) Donner \(u_n\). 2) Calculer la distance au \(15\)-ième jour.
Correction :
1) \(u_n=12+0{,}8(n-1)\).
2) \(u_{15}=12+0{,}8\cdot 14=23{,}2\).
Exercices mixtes : suite arithmétique ou géométrique ?
Dans les contrôles, la première compétence est de reconnaître rapidement la nature de la suite : différence constante (arithmétique) ou quotient constant (géométrique). Pour un comparatif complet : suite arithmétique et géométrique : comparatif.
Exercice 18 — Différence ou quotient ?
Dire si la suite est arithmétique, géométrique, ou aucune des deux :
- a) \(u_n=7+4n\)
- b) \(v_n=3\cdot 2^n\)
- c) \(w_n=n^2+n\)
Correction :
- a) arithmétique (différence constante \(4\))
- b) géométrique (quotient constant \(2\))
- c) aucune : ni différence ni quotient constants
Exercice 19 — Suite donnée par récurrence
On a \(u_0=5\) et \(u_{n+1}=2u_n\). Nature ?
Correction :
On multiplie chaque terme par \(2\) : c’est une suite géométrique de raison \(2\).
Exercice 20 — « Faux ami »
On a \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=u_n+n\). Arithmétique ?
Correction :
La différence vaut \(u_{n+1}-u_n=n\) : elle n’est pas constante, donc ce n’est pas arithmétique.
Méthodes et pièges fréquents
Les 4 erreurs qui coûtent le plus de points
- Indices : mélanger \(u_0\) et \(u_1\).
- Raison : oublier que \(r\) peut être négatif.
- Deux termes : oublier le facteur \((q-p)\) quand on relie \(u_p\) et \(u_q\).
- Sommes : se tromper sur le nombre de termes (ex. de \(0\) à \(20\) il y en a \(21\)).
Mini-checklist « preuve propre »
- Je calcule \(u_{n+1}-u_n\).
- Je montre que cette différence ne dépend pas de \(n\).
- Je conclus : « suite arithmétique de raison \(r\) ».
Pour une méthode complète : raison d’une suite arithmétique : méthodes et preuves.
Pour aller plus loin
- Suite arithmétique : cours complet
- Somme d’une suite arithmétique
- Raison d’une suite arithmétique
- Suite arithmétique et géométrique : comparatif
Questions fréquentes
Comment calculer une suite arithmétique (exemple) ?
On part d’un terme initial (par ex. \(u_0\) ou \(u_1\)) et on ajoute la raison \(r\) à chaque étape : \(u_{n+1}=u_n+r\). Exemple : si \(u_0=3\) et \(r=5\), alors \(u_1=8\), \(u_2=13\), \(u_3=18\).
Comment savoir si une suite est arithmétique ?
On vérifie que la différence \(u_{n+1}-u_n\) est constante. Si c’est le cas, la suite est arithmétique et cette constante est la raison \(r\). Pour la méthode complète : raison d’une suite arithmétique.
Comment différencier suite arithmétique et géométrique ?
Arithmétique : on ajoute toujours le même nombre \(r\) (différence constante). Géométrique : on multiplie toujours par le même nombre \(q\) (quotient constant). Tableau comparatif complet : suite arithmétique et géométrique.
Comment prouver qu'une suite est arithmétique ?
Il faut montrer que \(u_{n+1}-u_n\) ne dépend pas de \(n\). Une fois la constante trouvée, on conclut : « suite arithmétique de raison \(r\) ». Méthode détaillée : raison d’une suite arithmétique.
Quelle est la règle d'une suite arithmétique ?
La règle est : \(u_{n+1}=u_n+r\), avec \(r\) constant. On peut aussi écrire un terme général : \(u_n=u_0+nr\) (si on connaît \(u_0\)). Pour le cours complet : suite arithmétique : cours complet.
Comment calculer u₂ et u₃ ?
Si tu connais \(u_0\) et \(r\) : \(u_2=u_0+2r\) et \(u_3=u_0+3r\). Si tu connais \(u_1\) et \(r\) : \(u_2=u_1+r\) et \(u_3=u_1+2r\).
