Exercices Corrigés sur les Suites Arithmétiques (1ère & Terminale)

Énoncé. Parmi les suites suivantes, lesquelles sont arithmétiques ? Justifier.

• a) \(u_n=5n-2\)
• b) \(v_n=2^n\)
• c) \(w_0=3\) et \(w_{n+1}=w_n-4\)
• d) \(t_n=n^2\)

Correction.

• a) Oui : \(u_{n+1}-u_n=(5(n+1)-2)-(5n-2)=5\) constant, donc raison \(r=5\).
• b) Non : \(v_{n+1}-v_n=2^{n+1}-2^n=2^n\) n’est pas constant.
• c) Oui : c’est exactement la définition avec \(r=-4\).
• d) Non : \(t_{n+1}-t_n=(n+1)^2-n^2=2n+1\) dépend de \(n\).

Énoncé. On donne \(a_n=3n+(-1)^n\). Est-ce une suite arithmétique ?

Correction. On calcule la différence :

\(a_{n+1}-a_n=\bigl(3(n+1)+(-1)^{n+1}\bigr)-\bigl(3n+(-1)^n\bigr)=3-2(-1)^n\).

Cette valeur dépend de \(n\), donc la suite n’est pas arithmétique.

Énoncé. Une suite arithmétique vérifie \(u_2=9\) et \(u_8=33\). Trouver \(r\).

Correction. Dans une suite arithmétique :

\(u_8=u_2+(8-2)r\).

Donc \(33=9+6r\), puis \(6r=24\) et \(r=4\).

Énoncé. On donne \(u_n=4n-1\). Montrer que la suite est arithmétique, puis donner \(r\) et \(u_0\).

Correction.

\(u_{n+1}-u_n=\bigl(4(n+1)-1\bigr)-\bigl(4n-1\bigr)=4\) constant, donc arithmétique de raison \(r=4\).

Enfin \(u_0=4\cdot 0-1=-1\).

Énoncé. On considère une suite arithmétique telle que \(u_0=3\) et \(r=5\). Calculer \(u_2\) et \(u_3\).

Correction.

\(u_2=u_0+2r=3+2\cdot 5=13\).

\(u_3=u_0+3r=3+3\cdot 5=18\).

Énoncé. On a \(u_1=7\) et \(r=-2\). Pour quel \(n\) a-t-on \(u_n=-1\) ?

Correction. Comme l’indice de départ est \(1\) :

\(u_n=u_1+(n-1)r=7+(n-1)(-2)=7-2n+2=9-2n\).

On résout \(9-2n=-1\), donc \(-2n=-10\) et \(n=5\).

Énoncé. Un élève met de côté \(20\) euros la première semaine, puis augmente chaque semaine sa mise de \(3\) euros. On note \(u_n\) la somme mise de côté la semaine \(n\), avec \(u_1=20\). Donner \(u_n\).

Correction. L’augmentation est constante : suite arithmétique de raison \(r=3\).

\(u_n=u_1+(n-1)r=20+3(n-1)=17+3n\).

Énoncé. Une suite arithmétique a pour raison \(r=-1{,}5\). Que peut-on dire de son évolution ?

Correction. À chaque pas, on ajoute \(r\) (négatif) : la suite décroît strictement.

Énoncé. \((u_n)\) est arithmétique de raison \(r\). On définit \(v_n=u_{2n}\). Montrer que \((v_n)\) est arithmétique et préciser sa raison.

Correction. On calcule :

\(v_{n+1}-v_n=u_{2(n+1)}-u_{2n}=u_{2n+2}-u_{2n}\).

Or \(u_{2n+2}=u_{2n}+2r\) dans une suite arithmétique, donc

\(v_{n+1}-v_n=2r\) constant. Ainsi \((v_n)\) est arithmétique de raison \(2r\).

Énoncé. \(u_0=10\) et \(u_{n+1}=u_n-3\). Donner \(u_n\).

Correction. On reconnaît une suite arithmétique de raison \(r=-3\).

\(u_n=u_0+nr=10-3n\).

Énoncé. On définit \(u_0\) et \(u_1\) réels, puis pour tout \(n\) :

\(u_{n+1}=2u_n-u_{n-1}\).

Montrer que \((u_n)\) est arithmétique et donner sa raison.

Correction. On réécrit :

\(u_{n+1}-u_n=(2u_n-u_{n-1})-u_n=u_n-u_{n-1}\).

Donc la différence \(u_{n+1}-u_n\) est égale à la différence précédente \(u_n-u_{n-1}\) : elle est constante.

La suite est arithmétique de raison \(r=u_1-u_0\).

Pour une méthode complète (avec cas-types), voir : Prouver qu’une suite est arithmétique.

Énoncé. Une suite arithmétique vérifie \(u_0=500\) et \(r=35\). Quel est le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n\) > \(1000\) ?

Correction. On a \(u_n=500+35n\). On cherche :

\(500+35n\) > \(1000\).

Donc \(35n\) > \(500\), puis \(n\) > \(\frac{500}{35}\).

Or \(\frac{500}{35}\approx 14{,}28\). Le plus petit entier strictement supérieur est \(n=15\).

Énoncé. On considère une suite arithmétique avec \(u_1=2\) et \(r=3\). Calculer la somme \(S= u_1+u_2+\cdots+u_{10}\).

Correction (version courte). On calcule d’abord \(u_{10}=u_1+9r=2+27=29\).

La somme vaut alors :

\(S=\frac{10(u_1+u_{10})}{2}=\frac{10(2+29)}{2}=155\).

Pour une méthode complète (avec pièges sur le nombre de termes) : Somme d’une suite arithmétique : formule + exercices.

Énoncé. \((u_n)\) est arithmétique, \(u_0=1\), \(r=2\). Calculer \(T=u_0+u_1+\cdots+u_{20}\).

Correction (version courte). On a \(u_{20}=u_0+20r=1+40=41\).

Il y a \(21\) termes (de \(0\) à \(20\)), donc :

\(T=\frac{21(u_0+u_{20})}{2}=\frac{21(1+41)}{2}=441\).

Énoncé. Un abonnement coûte \(12\) euros le premier mois, puis augmente de \(1{,}5\) euro chaque mois. On note \(u_n\) le prix du \(n\)-ième mois, avec \(u_1=12\).

1) Exprimer \(u_n\). 2) Calculer le prix au \(24\)-ième mois. 3) Calculer le total payé sur les \(24\) premiers mois.

Correction.

1) Suite arithmétique de raison \(r=1{,}5\) :

\(u_n=12+(n-1)\cdot 1{,}5\).

2) \(u_{24}=12+23\cdot 1{,}5=46{,}5\).

3) Total sur \(24\) mois :

\(S=\frac{24(u_1+u_{24})}{2}=\frac{24(12+46{,}5)}{2}=702\).

Remarque. Pour la méthode détaillée de somme : voir la page dédiée.

Énoncé. Une entreprise produit \(150\) pièces la première semaine, puis augmente sa production de \(8\) pièces par semaine. On note \(u_n\) la production de la semaine \(n\) avec \(u_1=150\).

1) Donner \(u_n\). 2) Déterminer la première semaine où la production dépasse \(300\) pièces.

Correction.

1) \(u_n=150+8(n-1)\).

2) On cherche \(u_n\) > \(300\) :

\(150+8(n-1)\) > \(300\) ⟺ \(8(n-1)\) > \(150\).

Donc \(n-1\) > \(\frac{150}{8}\) et \(n\) > \(1+\frac{150}{8}\).

Comme \(\frac{150}{8}=18{,}75\), le plus petit entier est \(n=20\).

Énoncé. Un technicien parcourt \(12\) km le premier jour et augmente chaque jour sa distance de \(0{,}8\) km. On note \(u_n\) la distance du jour \(n\), \(u_1=12\).

1) Donner \(u_n\). 2) Calculer la distance au \(15\)-ième jour.

Correction.

1) \(u_n=12+0{,}8(n-1)\).

2) \(u_{15}=12+0{,}8\cdot 14=23{,}2\).

Énoncé. Dire si la suite est arithmétique, géométrique, ou aucune des deux :

• a) \(u_n=7+4n\)
• b) \(v_n=3\cdot 2^n\)
• c) \(w_n=n^2+n\)

Correction.

• a) arithmétique (différence constante \(4\))
• b) géométrique (quotient constant \(2\))
• c) aucune : ni différence ni quotient constants

Énoncé. On a \(u_0=5\) et \(u_{n+1}=2u_n\). Nature ?

Correction. On multiplie chaque terme par \(2\) : c’est une suite géométrique de raison \(2\).

Énoncé. On a \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=u_n+n\). Arithmétique ?

Correction. La différence vaut \(u_{n+1}-u_n=n\) : elle n’est pas constante, donc ce n’est pas arithmétique.

On part d’un terme initial (par ex. \(u_0\) ou \(u_1\)) et on ajoute la raison \(r\) à chaque étape : \(u_{n+1}=u_n+r\). Exemple : si \(u_0=3\) et \(r=5\), alors \(u_1=8\), \(u_2=13\), \(u_3=18\).

On vérifie que la différence \(u_{n+1}-u_n\) est constante. Si c’est le cas, la suite est arithmétique et cette constante est la raison \(r\). Pour la méthode complète : voir ici.

Arithmétique : on ajoute toujours le même nombre \(r\) (différence constante). Géométrique : on multiplie toujours par le même nombre \(q\) (quotient constant). Tableau comparatif complet : ici.

Il faut montrer que \(u_{n+1}-u_n\) ne dépend pas de \(n\). Une fois la constante trouvée, on conclut : “suite arithmétique de raison \(r\)”. Méthode détaillée : voir la page dédiée.

La règle est : \(u_{n+1}=u_n+r\), avec \(r\) constant. On peut aussi écrire un terme général : \(u_n=u_0+nr\) (si on connaît \(u_0\)). Pour le cours complet : ici.

Si vous connaissez \(u_0\) et \(r\) : \(u_2=u_0+2r\) et \(u_3=u_0+3r\). Si vous connaissez \(u_1\) et \(r\) : \(u_2=u_1+r\) et \(u_3=u_1+2r\).