En classe de seconde, le chapitre fonctions est un pivot : on le retrouve partout (équations, inéquations, variations, modélisation). Cette page te donne un cours complet sur les fonctions en seconde avec des méthodes fiables pour gagner des points au contrôle.
Pages liées à ce cours
- Fonctions en maths — vision d’ensemble, familles, méthode d’étude
- Image et antécédent — méthodes et lecture graphique
- Ensemble de définition — méthode pas à pas
- Tableau de variation — construction et exercices
- Fonction affine · Fonction carré · Fonction inverse
- Exercices fonctions seconde (corrigés)
Qu’est-ce qu’une fonction ? Définitions et notations
Avant d’étudier les variations ou les courbes, il est essentiel de maîtriser le vocabulaire de base. En maths, une fonction est un outil qui permet d’associer un nombre à un autre de manière unique.
Définition — Fonction
Une fonction \(f\) est un procédé qui, à tout nombre réel \(x\) appartenant à un ensemble \(D\), associe un unique nombre réel, noté \(f(x)\).
On note : \(f : x \mapsto f(x)\) ou \(y = f(x)\).
L’ensemble \(D\) s’appelle l’ensemble de définition de la fonction \(f\).
Concrètement, pense à une fonction comme à une machine : tu entres un nombre \(x\), la machine applique une règle de calcul, et elle sort un résultat \(f(x)\).
Les notations à connaître
En seconde, trois écritures reviennent constamment :
- Notation fonctionnelle : \(f(x) = 2x + 3\) — on donne directement l’expression de calcul.
- Notation fléchée : \(f : x \mapsto 2x + 3\) — on lit « \(f\) est la fonction qui à \(x\) associe \(2x + 3\) ».
- Notation en \(y\) : \(y = 2x + 3\) — souvent utilisée pour les représentations graphiques.
Exemple
Soit la fonction \(f\) définie par \(f(x) = 3x – 7\).
Calculons \(f(4)\) : on remplace \(x\) par \(4\) dans l’expression.
\(f(4) = 3 \times 4 – 7 = 12 – 7 = 5\)
L’ensemble de définition
Toutes les fonctions ne sont pas définies pour tout nombre réel. L’ensemble de définition regroupe toutes les valeurs de \(x\) pour lesquelles le calcul de \(f(x)\) est possible.
Deux situations classiques en seconde créent des valeurs interdites :
- Un dénominateur qui s’annule : par exemple, \(f(x) = \frac{1}{x – 2}\) n’est pas définie pour \(x = 2\).
- Une racine carrée d’un nombre négatif : par exemple, \(g(x) = \sqrt{x}\) n’est définie que pour \(x \geq 0\).
Pour approfondir les méthodes de détermination, consulte le cours complet sur l’ensemble de définition d’une fonction.
Piège fréquent
Une fonction associe à chaque \(x\) une seule image. En revanche, un nombre \(y\) peut avoir plusieurs antécédents (ou aucun). Cette distinction est fondamentale en seconde.
Image et antécédent d’une fonction
Les notions d’image et d’antécédent sont au cœur du programme de seconde sur les fonctions. Elles reviennent dans presque tous les exercices et contrôles.
Définition — Image et antécédent
Soit \(f\) une fonction définie sur un ensemble \(D\).
Si \(f(a) = b\), alors :
- \(b\) est l’image de \(a\) par \(f\).
- \(a\) est un antécédent de \(b\) par \(f\).
Calculer une image
Pour trouver l’image d’un nombre, tu remplaces \(x\) par la valeur donnée dans l’expression de la fonction, puis tu effectues le calcul.
Exemple — Calcul d’image
Soit \(f(x) = x^2 – 1\). Calculons l’image de \(-3\) par \(f\).
\(f(-3) = (-3)^2 – 1 = 9 – 1 = 8\)
L’image de \(-3\) par \(f\) est \(8\).
Piège classique — Le signe du carré
Attention à ne pas confondre \((-3)^2 = 9\) et \(-3^2 = -9\). Les parenthèses changent tout ! Sans parenthèses, le carré ne porte que sur le \(3\), pas sur le signe.
Déterminer un antécédent par le calcul
Trouver un antécédent, c’est résoudre une équation. Tu cherches la valeur de \(x\) telle que \(f(x)\) soit égale à un nombre donné.
Exemple — Recherche d’antécédent
Soit \(f(x) = 2x + 5\). Déterminons l’antécédent de \(11\) par \(f\).
On résout \(f(x) = 11\) :
\(2x + 5 = 11\)
\(2x = 6\)
\(x = 3\)
L’antécédent de \(11\) par \(f\) est \(3\).
Lecture graphique d’une image et d’un antécédent
Sur la courbe représentative d’une fonction, tu peux lire les images et les antécédents graphiquement :
- Pour lire une image : tu pars de la valeur de \(x\) sur l’axe des abscisses, tu montes (ou descends) verticalement jusqu’à la courbe, puis tu lis la valeur correspondante sur l’axe des ordonnées.
- Pour trouver un antécédent : tu pars de la valeur de \(y\) sur l’axe des ordonnées, tu traces une horizontale jusqu’à la courbe, puis tu lis la ou les valeurs correspondantes sur l’axe des abscisses.
Exemple — Lecture graphique sur \(f(x) = x^2 – 1\)
Sur le graphique ci-dessus :
- En doré : on lit l’image de \(2\). On part de \(x = 2\), on monte jusqu’à la courbe, on lit \(f(2) = 3\) sur l’axe des ordonnées.
- En rouge : on cherche les antécédents de \(8\). On part de \(y = 8\), on trace l’horizontale : elle coupe la courbe en deux points, d’abscisses \(x = -3\) et \(x = 3\).
Valeurs approchées : si tu lis graphiquement, tu obtiens souvent une approximation (au dixième par exemple). En DS, écris « environ » ou utilise le symbole \(\approx\).
Pour une méthode complète sur l’image et l’antécédent d’une fonction (avec davantage d’exemples et des cas particuliers), consulte la page dédiée.
Représentation graphique d’une fonction
La représentation graphique (ou courbe représentative) d’une fonction \(f\) est l’ensemble des points \(M\) de coordonnées \((x\,;\,f(x))\) dans un repère du plan. On la note souvent \(\mathcal{C}_f\).
Construire une courbe à partir d’un tableau de valeurs
La méthode pour tracer la courbe d’une fonction en seconde suit trois étapes :
- Choisir des valeurs de \(x\) et calculer les images correspondantes \(f(x)\).
- Placer les points \((x\,;\,f(x))\) dans un repère.
- Relier les points par une courbe lisse (sans angles).
Exemple — Tracé de courbe
Soit \(f(x) = 5x – x^2\). Voici un tableau de valeurs :
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 2,5 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 0 | 4 | 6 | 6,25 | 6 | 4 | 0 |
En plaçant ces points dans un repère et en les reliant, on obtient une parabole ouverte vers le bas, avec un sommet en \((2{,}5\,;\,6{,}25)\).
Résolution graphique d’une équation
Résoudre graphiquement l’équation \(f(x) = k\) revient à chercher les abscisses des points d’intersection entre la courbe \(\mathcal{C}_f\) et la droite horizontale d’équation \(y = k\).
Exemple
Avec la fonction précédente \(f(x) = 5x – x^2\), résolvons graphiquement \(f(x) = 4\).
On trace la droite \(y = 4\). Elle coupe la courbe en deux points d’abscisses \(x = 1\) et \(x = 4\).
L’ensemble des solutions est \(S = \{1\,;\,4\}\).
Résolution graphique d’une inéquation
Pour résoudre \(f(x) \geq k\), tu cherches les valeurs de \(x\) pour lesquelles la courbe est au-dessus (ou sur) la droite \(y = k\).
Exemple
Résolvons \(f(x) \geq 4\) avec \(f(x) = 5x – x^2\).
D’après le graphique, la courbe est au-dessus de la droite \(y = 4\) pour \(x\) compris entre \(1\) et \(4\) (inclus).
L’ensemble des solutions est \(S = [1\,;\,4]\).
Piège fréquent
Les solutions obtenues par lecture graphique sont approchées. En devoir, précise toujours « par lecture graphique, on obtient… » ou « on lit environ… ». Pour des solutions exactes, il faut résoudre l’équation par le calcul.
Variations d’une fonction et tableau de variation
L’étude des variations d’une fonction est un objectif central du programme de seconde. Elle permet de décrire comment une fonction « monte » ou « descend » sur un intervalle donné.
Définition — Fonction croissante, fonction décroissante
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\).
\(f\) est croissante sur \(I\) si, pour tous réels \(a\) et \(b\) de \(I\) tels que \(a \leq b\), on a \(f(a) \leq f(b)\).
\(f\) est décroissante sur \(I\) si, pour tous réels \(a\) et \(b\) de \(I\) tels que \(a \leq b\), on a \(f(a) \geq f(b)\).
Autrement dit, une fonction croissante conserve l’ordre : si les valeurs de \(x\) augmentent, les images augmentent aussi. Une fonction décroissante inverse l’ordre. Le graphique ci-dessous illustre ces deux comportements :
Le taux de variation
Le taux de variation d’une fonction \(f\) entre deux nombres \(a\) et \(b\) (avec \(a \neq b\)) est le quotient :
\(\frac{f(b) – f(a)}{b – a}\)
Ce nombre correspond à la pente de la droite passant par les points \(A(a\,;\,f(a))\) et \(B(b\,;\,f(b))\) de la courbe. C’est une notion qui prépare directement le concept de dérivée étudié en première.
Exemple — Calcul du taux de variation
Soit \(f(x) = 2x^2 + 1\). Calculons le taux de variation de \(f\) entre \(1\) et \(3\).
\(f(1) = 2 \times 1^2 + 1 = 3\)
\(f(3) = 2 \times 3^2 + 1 = 19\)
\(\frac{f(3) – f(1)}{3 – 1} = \frac{19 – 3}{2} = \frac{16}{2} = 8\)
Le taux de variation vaut \(8\). Comme il est positif, la fonction a globalement augmenté entre \(x = 1\) et \(x = 3\).
Tableau de variation et extremums
Le tableau de variation résume, en un coup d’œil, les intervalles où la fonction est croissante ou décroissante, ainsi que les valeurs clés. Pour le construire : on place les bornes et les points de changement sur la première ligne, puis on indique le sens de variation par des flèches (montante = croissante, descendante = décroissante). Les valeurs aux extrémités des flèches donnent les extremums.
Exemple — Tableau de variation de \(f(x) = x^2\)
La fonction carré est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\) et croissante sur \([0\,;\,+\infty[\). Elle admet un minimum égal à \(0\), atteint en \(x = 0\).
Maximum et minimum
On dit que \(f\) admet un maximum \(M\) sur un intervalle \(I\) s’il existe \(x_0 \in I\) tel que, pour tout \(x \in I\), \(f(x) \leq f(x_0) = M\). On définit de même le minimum. Dans le tableau de variation, un maximum apparaît au sommet d’une flèche montante suivie d’une flèche descendante, et inversement pour un minimum.
Piège classique — Variation sur des intervalles disjoints
Si une fonction est croissante sur \([a\,;\,b]\) et croissante sur \([c\,;\,d]\) avec \(b \neq c\), on ne peut pas conclure qu’elle est croissante sur \([a\,;\,d]\). Il faut toujours préciser l’intervalle !
Pour une méthode détaillée avec des cas plus complexes, consulte la page sur le tableau de variation d’une fonction. En première, c’est la dérivée qui permettra d’étudier les variations de manière algébrique.
Les fonctions de référence en seconde
Le programme de seconde introduit plusieurs fonctions de référence qu’il faut connaître parfaitement : leur expression, leur ensemble de définition, leur sens de variation et l’allure de leur courbe. Ce sont les « briques de base » de l’analyse mathématique.
| Fonction | Expression | Ensemble de définition | Variations | Allure de la courbe |
|---|---|---|---|---|
| Affine | \(f(x) = ax + b\) | \(\mathbb{R}\) | Croissante si \(a > 0\), décroissante si \(a < 0\) | Droite |
| Carré | \(f(x) = x^2\) | \(\mathbb{R}\) | Décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\), croissante sur \([0\,;\,+\infty[\) | Parabole (sommet en 0) |
| Inverse | \(f(x) = \frac{1}{x}\) | \(\mathbb{R}^*\) | Décroissante sur \(]-\infty\,;\,0[\) et sur \(]0\,;\,+\infty[\) | Hyperbole |
| Racine carrée | \(f(x) = \sqrt{x}\) | \([0\,;\,+\infty[\) | Croissante sur \([0\,;\,+\infty[\) | Demi-parabole « couchée » |
La fonction affine (et linéaire)
La fonction affine est définie par \(f(x) = ax + b\), où \(a\) est le coefficient directeur (pente de la droite) et \(b\) est l’ordonnée à l’origine. Lorsque \(b = 0\), on parle de fonction linéaire : \(f(x) = ax\). Retrouve le cours complet sur la fonction affine.
La fonction carré
La fonction carré \(f(x) = x^2\) est définie sur \(\mathbb{R}\). Sa courbe est une parabole dont le sommet est à l’origine. Elle est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\), croissante sur \([0\,;\,+\infty[\), avec un minimum en \(0\). Retrouve le cours détaillé sur la fonction carré.
La fonction inverse
La fonction inverse \(f(x) = \frac{1}{x}\) est définie sur \(\mathbb{R}^*\). Sa courbe est une hyperbole à deux branches. Elle est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0[\) et décroissante sur \(]0\,;\,+\infty[\) — mais attention, on ne peut pas fusionner ces deux intervalles. Retrouve le cours détaillé sur la fonction inverse.
La fonction racine carrée
La fonction racine carrée \(f(x) = \sqrt{x}\) est définie sur \([0\,;\,+\infty[\) et croissante sur tout son ensemble de définition. Sa courbe part de l’origine et monte de plus en plus lentement. Retrouve le récapitulatif des fonctions usuelles.
Les erreurs classiques sur les fonctions en seconde
Après avoir corrigé des centaines de copies, voici les erreurs les plus fréquentes sur les fonctions en seconde. Les repérer à l’avance te permet de les éviter systématiquement en contrôle.
Erreur n°1 — Confondre image et antécédent
Si \(f(2) = 7\), alors \(7\) est l’image de \(2\) (pas l’inverse). Pour t’y retrouver : l’image est toujours le résultat, l’antécédent est toujours le nombre qu’on a mis « dans la machine ».
Erreur n°2 — Le piège du carré d’un nombre négatif
Écrire \(f(-2) = -2^2 = -4\) est faux. La bonne écriture est \(f(-2) = (-2)^2 = 4\). Le carré s’applique au nombre entier, signe compris, uniquement si on met les parenthèses.
Erreur n°3 — Oublier les valeurs interdites
Pour \(f(x) = \frac{3}{x – 1}\), la valeur \(x = 1\) annule le dénominateur. Avant tout calcul, il faut toujours déterminer l’ensemble de définition et signaler les valeurs interdites.
Erreur n°4 — Dire « f est croissante » sans préciser l’intervalle
La phrase « la fonction carré est croissante » est incomplète (et fausse en l’état). Il faut écrire : « la fonction carré est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\) ». Le sens de variation n’a de sens que sur un intervalle.
Erreur n°5 — Inverser l’ordre avec une fonction décroissante
Si \(f\) est décroissante sur \(I\) et que \(a < b\) dans \(I\), alors \(f(a) \geq f(b)\) (l’ordre est inversé). Beaucoup d’élèves conservent l’ordre par réflexe, ce qui conduit à une erreur de raisonnement.
Et après la seconde ? Le programme de première
Les notions étudiées en seconde — vocabulaire des fonctions, représentation graphique, sens de variation, fonctions de référence — sont la base de tout ce qui suit. Les maîtriser parfaitement conditionne ta réussite en première et en terminale.
Voici ce qui t’attend en première :
- La dérivation : un outil algébrique puissant qui permet d’étudier les variations d’une fonction sans tracer de graphique. C’est l’une des notions les plus importantes du lycée. → Introduction aux dérivées
- La fonction exponentielle : une nouvelle fonction de référence fondamentale en sciences. → La fonction exponentielle
- Les fonctions trigonométriques : sinus, cosinus et tangente comme fonctions, avec leurs propriétés et leurs courbes. → Les fonctions trigonométriques
- Le polynôme du second degré : étude complète (discriminant, racines, signe, tableau de variation). → Le polynôme du second degré
Chacune de ces notions s’appuie directement sur les acquis de seconde. Un élève qui maîtrise le vocabulaire, les variations et les fonctions de référence a toutes les clés pour réussir la suite.
FAQ — Les fonctions en seconde
Qu'est-ce qu'une fonction en maths ?
Une fonction est un procédé qui associe à chaque nombre réel \(x\) d’un ensemble de départ (appelé ensemble de définition) un unique nombre réel \(f(x)\). Tu peux la voir comme une machine : tu entres un nombre, elle en sort un autre selon une règle précise. En seconde, on étudie les notations, les représentations graphiques et les premières propriétés des fonctions.
Quelles sont les fonctions de référence au programme de seconde ?
Le programme de seconde introduit quatre grandes fonctions de référence : la fonction affine \(f(x) = ax + b\), la fonction carré \(f(x) = x^2\), la fonction inverse \(f(x) = \frac{1}{x}\) et la fonction racine carrée \(f(x) = \sqrt{x}\). Il faut connaître par cœur leur ensemble de définition, leur sens de variation et l’allure de leur courbe.
Comment trouver l'image d'un nombre par une fonction ?
Pour calculer l’image de \(a\) par une fonction \(f\), il suffit de remplacer \(x\) par \(a\) dans l’expression de \(f(x)\), puis d’effectuer le calcul. Par exemple, si \(f(x) = 3x^2 – 1\), alors \(f(2) = 3 \times 4 – 1 = 11\). Sur un graphique, tu lis l’image en partant de l’abscisse et en rejoignant la courbe verticalement.
Comment déterminer un antécédent par le calcul ?
Déterminer un antécédent de \(b\) par \(f\) revient à résoudre l’équation \(f(x) = b\). Tu remplaces \(f(x)\) par son expression et tu isoles \(x\). Attention : il peut y avoir zéro, un ou plusieurs antécédents selon la fonction. Par exemple, le nombre \(9\) possède deux antécédents par la fonction carré : \(3\) et \(-3\).
Comment lire un tableau de variation ?
Un tableau de variation se lit de gauche à droite. La première ligne indique les valeurs de \(x\) (bornes et points de changement). La deuxième ligne contient des flèches : une flèche montante signifie que la fonction est croissante sur l’intervalle correspondant, une flèche descendante qu’elle est décroissante. Les valeurs aux extrémités des flèches donnent les extremums (minimum, maximum).
Quelle est la différence entre fonction croissante et décroissante ?
Une fonction est croissante sur un intervalle si, lorsque \(x\) augmente, \(f(x)\) augmente aussi (elle « conserve l’ordre »). Elle est décroissante si, lorsque \(x\) augmente, \(f(x)\) diminue (elle « inverse l’ordre »). Sur un graphique, croissante = la courbe monte de gauche à droite, décroissante = la courbe descend.
Comment réussir un contrôle sur les fonctions en seconde ?
Trois conseils essentiels : (1) connaître par cœur les fonctions de référence (expression, domaine, variations, allure), (2) maîtriser la lecture graphique (image, antécédent, résolution d’équation), (3) toujours préciser l’intervalle quand tu parles de croissance ou décroissance. Pour t’entraîner, consulte nos exercices corrigés sur les fonctions en seconde et nos exercices corrigés sur la fonction affine.
Quelle est la différence entre fonction affine et fonction linéaire ?
Une fonction linéaire est de la forme \(f(x) = ax\) : sa courbe est une droite qui passe par l’origine. Une fonction affine est de la forme \(f(x) = ax + b\) avec \(b \neq 0\) : sa courbe est une droite qui ne passe pas par l’origine (elle est « décalée » de \(b\) sur l’axe des ordonnées). Toute fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine. Pour plus de détails, consulte le cours sur la fonction affine et linéaire.
Besoin d’aide en mathématiques ?
Les fonctions en seconde posent les bases de toute l’analyse mathématique au lycée. Si tu rencontres des difficultés ou si tu veux prendre de l’avance, un accompagnement personnalisé peut faire la différence.
Chez Excellence Maths, nos cours particuliers sont dispensés par des professeurs issus des meilleures formations (dont l’École Polytechnique). Chaque séance est adaptée à ton niveau, tes objectifs et ton rythme.
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