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L’épreuve de Maths 2 Centrale-Supélec PC 2026, d’une durée de 4 heures avec calculatrice autorisée, propose un problème monolithique de 34 questions consacré à la théorie des distributions. Le sujet est découpé en cinq parties progressives : construction d’une fonction test, définition des distributions, dérivation au sens des distributions, convergence de suites de distributions, puis une application spectaculaire au théorème d’unicité de Cantor pour les séries trigonométriques. L’ensemble présente un niveau de difficulté globalement élevé, avec une montée en puissance marquée dans les deux dernières parties.
| Partie du sujet | Thème | Niveau | Notions mobilisées |
|---|---|---|---|
| Partie A (Q1–Q7) | Construction d’une fonction test | Accessible | Classe C∞, récurrence, approximation de l’identité |
| Partie B (Q8–Q13) | Distributions sur ℝ | Accessible à Élevé | Formes linéaires, Dirac, valeur principale |
| Partie C (Q14–Q23) | Dérivation distributionnelle | Élevé | Dérivée de distribution, Heaviside, primitives |
| Partie D (Q24–Q27) | Suite de distributions | Élevé | Convergence simple, norme L², Cauchy-Schwarz |
| Partie E (Q28–Q34) | Théorème d’unicité de Cantor | Très élevé | Séries trigonométriques, convergence normale, distributions |
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Structure et thèmes du sujet
Partie A — Construction d’une fonction test (Q1–Q7)
Cette partie part de la fonction classique \(\varphi(x) = e^{-1/x}\) pour \(x \gt 0\) et \(\varphi(x) = 0\) sinon. Tu dois montrer que \(\varphi \in C^{\infty}(\mathbb{R})\) en établissant par récurrence l’existence de polynômes \(P_n\) tels que \(\varphi^{(n)}(x) = P_n\!\left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)e^{-1/x}\) sur \(\mathbb{R}_+^*\). On construit ensuite des fonctions à support compact \(\psi_{a,b}\), puis le noyau régularisant \(\rho_\varepsilon\) dont on démontre la propriété d’approximation de l’identité (Q7).
Partie B — Distribution sur ℝ (Q8–Q13)
On introduit ici la notion de distribution comme forme linéaire sur \(\mathcal{D}(\mathbb{R})\), soumise à des estimations de contrôle sur les dérivées. Les exemples fondamentaux sont traités : le Dirac \(\delta_a\) (Q9), la distribution \(T_f\) associée à une fonction continue par morceaux (Q10), l’injectivité de l’application \(f \mapsto T_f\) (Q11). La partie se termine par la construction de la valeur principale \(V(\varphi) = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left(\int_{-\infty}^{-\varepsilon} \displaystyle\frac{\varphi(x)}{x}\,\mathrm{d}x + \int_{\varepsilon}^{+\infty} \displaystyle\frac{\varphi(x)}{x}\,\mathrm{d}x\right)\) à la question Q13, qui nécessite l’astuce de Q12.
Partie C — Dérivation d’une distribution (Q14–Q23)
C’est le cœur technique du sujet. La dérivée d’une distribution \(T\) est définie par \(T^\prime(\varphi) = -T(\varphi^\prime)\). On vérifie la compatibilité avec la dérivation classique (Q15), puis on étudie le cas de la fonction valeur absolue \(f(x) = |x|\) (Q16) et de la fonction de Heaviside (Q17). Le résultat central est Q18 : toute distribution de dérivée nulle est une constante, démontré en plusieurs étapes. Les questions Q19–Q23 en déduisent que si \(T_f^\prime = T_g\) avec \(f\) continue et \(g\) continue, alors \(f\) est de classe \(C^1\) et \(f^\prime = g\).
Partie D — Suite de distributions (Q24–Q27)
On définit la convergence d’une suite de distributions par la convergence simple sur \(\mathcal{D}(\mathbb{R})\). Les résultats établis sont : la dérivation est continue pour cette convergence (Q24), la convergence uniforme entraîne la convergence au sens des distributions (Q26), et la convergence en norme L² également (Q27), via l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
Partie E — Théorème d’unicité de Cantor (Q28–Q34)
L’application finale est remarquable : on démontre que si la série \(\sum_{n \geq 1}(a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx))\) converge simplement vers 0 pour tout \(x\), alors tous les coefficients sont nuls. La démonstration passe par la construction d’une primitive seconde \(F = \sum f_n\) avec \(f_n(x) = \displaystyle\frac{a_n}{n^2}\cos(nx) + \displaystyle\frac{b_n}{n^2}\sin(nx)\), l’identification de \(T_F^{\prime\prime}\) comme distribution associée à une fonction affine, puis la conclusion que \(F\) est constante, donc nulle, d’où \(a_n = b_n = 0\).
Notions et chapitres testés
- Analyse — Fonctions de classe C∞ : régularité, croissances comparées entre polynômes et exponentielles, dérivation d’une composée.
- Analyse — Intégration : intégration par parties, changement de variable, convergence d’intégrales impropres, théorème de convergence dominée (implicite en Q7 et Q26–Q27).
- Analyse — Suites et séries de fonctions : convergence uniforme, convergence normale, interversion somme-intégrale.
- Analyse — Séries trigonométriques : orthogonalité des fonctions \(\cos(nx)\) et \(\sin(nx)\), lemme de Riemann-Lebesgue (Q28).
- Algèbre linéaire : espaces vectoriels, formes linéaires, sous-espaces.
- Théorie des distributions : hors programme strict, mais entièrement construite dans le sujet — l’étudiant n’a besoin d’aucune connaissance préalable sur ce thème.
Niveau de difficulté et comparaison aux années précédentes
Ce sujet se distingue par son unité thématique : un unique problème qui construit progressivement un pan de la théorie des distributions pour l’appliquer à un résultat d’analyse harmonique profond. Par rapport aux sujets Centrale-Supélec Maths 2 PC des années 2022–2025, qui mêlaient souvent algèbre et analyse, celui-ci est purement analytique.
La Partie A est très abordable pour un candidat bien préparé (récurrence classique, régularisation). La Partie B introduit un formalisme nouveau mais guidé, ce qui la rend accessible si on suit les indications. Les Parties C et D demandent une maturité certaine en analyse : les intégrations par parties distributionnelles et la gestion de la convergence sont des exercices techniques exigeants. La Partie E est la plus sélective : elle combine toutes les parties précédentes et exige une vision d’ensemble du problème.
Globalement, un bon candidat peut espérer traiter les parties A à C presque intégralement. Les parties D et E départagent les copies vers les notes au-dessus de 15/20. Le sujet est plus théorique que la moyenne des Maths 2 PC récentes, mais la progression est suffisamment guidée pour offrir des points accessibles à tous les niveaux.
Pièges et points techniques délicats
Q1–Q3 : Régularité en 0. Le piège principal est de ne pas traiter correctement la régularité de \(\varphi\) en \(x = 0\). Il faut montrer que toutes les dérivées \(\varphi^{(n)}(x) \to 0\) quand \(x \to 0^+\), en utilisant la croissance comparée \(P_n(t)e^{-t} \to 0\) quand \(t \to +\infty\). Beaucoup de candidats oublient de justifier ce passage à la limite.
Q7 : Approximation de l’identité. Pour montrer que \(\lim_{\varepsilon \to 0^+}\int_{-\infty}^{+\infty}\rho_\varepsilon(x)g(x)\,\mathrm{d}x = g(0)\), il faut exploiter que \(\rho_\varepsilon\) a un support contenu dans \([-\varepsilon, \varepsilon]\) et que \(g\) est continue. L’erreur classique est de ne pas utiliser le fait que \(\int \rho_\varepsilon = 1\) (Q6) pour écrire la différence \(\int \rho_\varepsilon(x)(g(x) – g(0))\,\mathrm{d}x\) et la majorer par la continuité uniforme sur un compact.
Q12–Q13 : Valeur principale. La question Q12 est une étape préparatoire souvent sous-estimée. La représentation intégrale \(\psi(x) = \int_0^1 \varphi^\prime(tx)\,\mathrm{d}t\) permet de justifier que \(\psi \in C^{\infty}(\mathbb{R})\) par dérivation sous le signe intégral. Sans cette étape, il est très difficile de montrer l’existence de la limite en Q13a.
Q18 : T’ = 0 implique T constante. La démonstration en 5 étapes est le passage le plus technique de la partie C. Le piège en Q18(b) est de ne pas voir qu’il faut exhiber une primitive \(\psi(x) = \int_{-\infty}^x \varphi(t)\,\mathrm{d}t\) et montrer que toute fonction \(\varphi\) d’intégrale nulle est la dérivée d’un élément de \(\mathcal{D}(\mathbb{R})\). La question Q18(d) utilise ensuite la décomposition \(\varphi = \left(\int \varphi\right)\varphi_0 + \left(\varphi – \left(\int \varphi\right)\varphi_0\right)\), où le second terme a une intégrale nulle.
Q28 : Convergence des coefficients vers 0. Le raisonnement par l’absurde (Q28b–e) est subtil : si \((b_n)\) ne tend pas vers 0, on extrait une sous-suite \(b_{\varphi(n)}\) avec \(|b_{\varphi(n)}| \geq \varepsilon\), puis on utilise \(\int_0^{2\pi}\sin^2(\varphi(n)x)\,\mathrm{d}x = \pi\) pour obtenir une contradiction avec le fait que \(b_n\sin(nx) \to 0\) ponctuellement.
Méthodes attendues et stratégies de résolution
Partie A
Q1 : Sur \(\mathbb{R}_+^*\), \(\varphi\) est composée de fonctions C∞. Sur \(\mathbb{R}_-^*\), c’est la fonction nulle. La seule difficulté est le raccord en 0.
Q2 : Récurrence sur \(n\). Dériver \(P_n(1/x)e^{-1/x}\) en utilisant la règle de dérivation d’une composée et la formule \((e^{-1/x})^\prime = \displaystyle\frac{1}{x^2}e^{-1/x}\).
Q3 : Montrer par récurrence que \(\varphi^{(n)}(0) = 0\) en passant à la limite dans le taux d’accroissement, avec la croissance comparée exponentielle/polynôme.
Q5–Q6 : \(\rho_\varepsilon\) est bien définie car \(\psi_{-1,1}\) est continue, positive sur \(]-1,1[\) donc d’intégrale strictement positive. Le changement de variable \(u = x/\varepsilon\) donne \(\int \rho_\varepsilon = 1\).
Partie B
Q10 : Justifier que l’intégrale \(\int f(t)\varphi(t)\,\mathrm{d}t\) converge (support compact de \(\varphi\)). La linéarité est immédiate ; l’estimation de distribution utilise la norme sup de \(f\) sur le support de \(\varphi\).
Q11 : Si \(T_{f_1} = T_{f_2}\), utiliser Q7 (approximation de l’identité) pour montrer \(f_1 = f_2\) en tout point de continuité, puis conclure par continuité.
Q13 : Décomposer \(\displaystyle\frac{\varphi(x)}{x} = \displaystyle\frac{\varphi(x) – \varphi(0)}{x} + \displaystyle\frac{\varphi(0)}{x}\). Le premier terme est la fonction \(\psi\) de Q12 (intégrable car C∞ à support compact). Pour le second, les contributions de \(]-\infty, -\varepsilon]\) et \([\varepsilon, +\infty[\) se compensent par parité de \(1/x\).
Partie C
Q15 : Pour \(f \in C^1\), écrire \(T_f^\prime(\varphi) = -\int f\varphi^\prime\) et effectuer une intégration par parties (les termes aux bornes s’annulent car \(\varphi\) est à support compact).
Q16 : Séparer l’intégrale en \(]-\infty, 0]\) et \([0, +\infty[\), intégrer par parties sur chaque morceau, et identifier \(T_f^\prime\) avec la distribution associée à la fonction signe.
Q18 : Suivre les indications : (a) découle de la définition, (b) utiliser la primitive \(\psi\) comme indiqué, (c) prendre \(\varphi_0 = \rho_\varepsilon\) pour un \(\varepsilon\) convenable, (d) décomposer \(\varphi\) selon l’indication, (e) conclure que \(T = T(\varphi_0)\cdot T_1 = T_h\) avec \(h = T(\varphi_0)\).
Partie D
Q27 : Pour \(\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})\) à support dans \([-A, A]\), écrire \(|T_{f_n}(\varphi) – T_f(\varphi)| = \left|\int_{-A}^{A}(f_n – f)\varphi\right|\) et appliquer Cauchy-Schwarz : \(\leq \Vert f_n – f\Vert_2 \cdot \left(\int_{-A}^{A}\varphi^2\right)^{1/2}\).
Partie E
Q30 : Majorer \(|f_n(x)| \leq \displaystyle\frac{|a_n| + |b_n|}{n^2}\). Comme \(a_n, b_n \to 0\), la série \(\sum \displaystyle\frac{|a_n| + |b_n|}{n^2}\) converge, d’où la convergence normale.
Q31 : Chaque \(f_n\) vérifie \(f_n^{\prime\prime}(x) = -a_n\cos(nx) – b_n\sin(nx)\). Par Q24, \(T_F^{\prime\prime} = \sum T_{f_n}^{\prime\prime}\). Or \(\sum(a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)) = 0\) pour tout \(x\), donc \(T_F^{\prime\prime}\) est la distribution associée à une fonction affine (terme \(n = 0\) résiduel).
Q32–Q34 : Q23 donne que \(F\) est C¹, et sa dérivée seconde au sens classique est affine, donc \(F\) est un polynôme de degré au plus 2 — mais \(F\) est bornée (Q32) donc constante. On montre ensuite \(F = 0\) en évaluant en des points bien choisis, puis on conclut \(a_n = b_n = 0\).
Conseils pour les futurs candidats
1. Maîtrise les fonctions plateau et la régularisation. La construction de fonctions test (fonctions C∞ à support compact) revient régulièrement dans les sujets de concours. Entraîne-toi à manipuler \(e^{-1/x}\) et ses variantes, à justifier la régularité en 0 par croissances comparées, et à construire des fonctions bosses sur des intervalles prescrits.
2. Sois à l’aise avec les formes linéaires et le formalisme abstrait. Ce sujet demande de raisonner sur des objets (distributions) définis comme formes linéaires satisfaisant certaines estimations. Si tu es bien rodé sur les espaces vectoriels et les applications linéaires, tu aborderas cette partie sans difficulté.
3. Révise l’intégration par parties et les changements de variable. Presque toutes les questions de la partie C reposent sur des intégrations par parties dans des intégrales impropres, avec des fonctions à support compact. C’est un geste technique fondamental qu’il faut savoir exécuter sans hésiter.
4. Travaille les séries trigonométriques et les séries de fonctions. La partie E combine convergence normale, dérivation terme à terme au sens des distributions, et orthogonalité des fonctions trigonométriques. Ce sont des outils classiques du programme de PC qu’il faut maîtriser conjointement.
5. En temps limité, priorise les parties A et B. Elles offrent un excellent rapport points/temps. La partie C est incontournable jusqu’à Q18 incluse. Si tu bloques sur Q18, passe aux parties D (Q24–Q26 sont accessibles) puis E (Q28a-b et Q30 se traitent indépendamment).
