Racines n-ièmes de l’unité : cours complet, démonstrations et exercices corrigés

Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur

Tu maîtrises la forme exponentielle et la formule d’Euler. Les racines n-ièmes de l’unité — solutions de \(z^n = 1\) dans \(\mathbb{C}\) — en sont une application majeure. Factorisation de polynômes, identités trigonométriques, structure de groupe : elles sont omniprésentes en CPGE. Ce cours développe leur théorie complète avec démonstrations et propose 8 exercices type concours corrigés.

I. Définition des racines n-ièmes de l’unité

A. Définition formelle

Soit \(n \in \mathbb{N}^*\). On s’intéresse aux solutions de l’équation \(z^n = 1\) dans \(\mathbb{C}\).

Déterminons explicitement les éléments de \(\mathbb{U}_n\). Écrivons \(z\) sous forme exponentielle : \(z = \rho\, e^{i\theta}\) avec \(\rho\) > \(0\). Alors :

\(z^n = \rho^n\, e^{in\theta} = 1 = e^{i \cdot 0}\)

Par identification du module d’un nombre complexe et de l’argument d’un nombre complexe :

• \(\rho^n = 1\), donc \(\rho = 1\) (car \(\rho\) > \(0\)).
• \(n\theta = 2k\pi\) avec \(k \in \mathbb{Z}\), d’où \(\theta = \displaystyle\frac{2k\pi}{n}\).

Les valeurs distinctes de \(e^{2ik\pi/n}\) sont obtenues pour \(k \in \{0, 1, \ldots, n-1\}\), car la fonction \(k \mapsto e^{2ik\pi/n}\) est \(n\)-périodique.

B. Racine primitive — notation ω

On pose \(\omega = e^{2i\pi/n}\). C’est la racine n-ième de l’unité d’argument d’un nombre complexe minimal strictement positif. On a alors :

\(\mathbb{U}_n = \{1, \omega, \omega^2, \ldots, \omega^{n-1}\} = \{\omega^k \mid 0 \leq k \leq n-1\}\)

Démonstration. L’ordre de \(\omega^k\) dans \((\mathbb{U}_n, \times)\) est \(\displaystyle\frac{n}{\mathrm{pgcd}(k,n)}\). Ainsi \(\omega^k\) engendre \(\mathbb{U}_n\) si et seulement si son ordre est \(n\), soit \(\mathrm{pgcd}(k,n) = 1\). ∎

Le nombre de racines primitives n-ièmes de l’unité est donc \(\varphi(n)\), l’indicatrice d’Euler.

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II. Interprétation géométrique : le polygone régulier

Au-delà de leur écriture algébrique, les racines n-ièmes de l’unité possèdent une interprétation géométrique remarquable.

A. Les racines comme sommets d’un polygone régulier

Chaque racine \(\omega_k = e^{2ik\pi/n}\) a pour module d’un nombre complexe 1 et pour argument \(\displaystyle\frac{2k\pi}{n}\). Les affixes des racines sont donc situées sur le cercle unité, régulièrement espacées d’un angle \(\displaystyle\frac{2\pi}{n}\).

B. Cas classiques : n = 2, 3, 4, 6

Les cas suivants sont à connaître par cœur.

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III. Propriétés algébriques

Les racines n-ièmes de l’unité satisfont des propriétés algébriques fondamentales, indispensables en concours.

A. Somme des racines n-ièmes ⋆

Démonstration (série géométrique). Puisque \(\omega \neq 1\) (car \(n \geq 2\)) :

\(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \omega^k = \displaystyle\frac{1 – \omega^n}{1 – \omega} = \displaystyle\frac{1 – 1}{1 – \omega} = 0\) ∎

Démonstration alternative (relations de Viète). Les racines n-ièmes sont les racines du polynôme \(X^n – 1\). Le coefficient de \(X^{n-1}\) est nul, donc la somme des racines est \(0\) par les relations coefficients-racines. ∎

Démonstration. On prend la partie réelle et la partie imaginaire de \(\sum \omega^k = 0\). ∎

B. Produit des racines n-ièmes ⋆

Démonstration.

\(\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1} \omega^k = \omega^{0+1+\cdots+(n-1)} = \omega^{n(n-1)/2} = e^{2i\pi \cdot n(n-1)/(2n)} = e^{i\pi(n-1)} = (-1)^{n-1}\) ∎

Vérification par Viète. Le produit des racines de \(X^n – 1 = 0\) est \((-1)^n \cdot \displaystyle\frac{-1}{1} = (-1)^{n+1} = (-1)^{n-1}\). ✓

C. Relation d’orthogonalité

La propriété suivante généralise la somme nulle et intervient dans de nombreux problèmes (filtrage de Fourier discret, extraction de coefficients).

Démonstration. Si \(n \mid p\), alors \(\omega^p = e^{2ip\pi/n} = 1\), et chaque terme de la somme vaut \(1\) : la somme vaut \(n\).

Si \(n \not\mid p\), alors \(\omega^p \neq 1\) et c’est une somme géométrique : \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} (\omega^p)^k = \displaystyle\frac{1 – \omega^{pn}}{1 – \omega^p} = \displaystyle\frac{1 – 1}{1 – \omega^p} = 0\). ∎

D. Structure de groupe cyclique et racines primitives

Démonstration.

• Stabilité : si \(z^n = 1\) et \(w^n = 1\), alors \((zw)^n = z^n w^n = 1\).
• Neutre : \(1 \in \mathbb{U}_n\).
• Inverse : si \(z^n = 1\), alors \((z^{-1})^n = 1\). De plus, \(z^{-1} = \overline{z}\) pour \(z \in \mathbb{U}_n\) (car \(|z| = 1\)).
• Cyclicité : \(\mathbb{U}_n = \{\omega^k \mid k = 0, \ldots, n-1\}\), donc \(\omega\) engendre \(\mathbb{U}_n\). ∎

Plus généralement, \(\omega^k\) est un générateur de \(\mathbb{U}_n\) si et seulement si \(\mathrm{pgcd}(k,n) = 1\) (cf. section I.B). Il y a \(\varphi(n)\) tels générateurs, les racines primitives.

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IV. Factorisation de \(X^n – 1\) et applications

Ces propriétés trouvent une traduction directe en termes de factorisation de polynômes — l’une des applications les plus puissantes des racines de l’unité.

A. Factorisation dans \(\mathbb{C}[X]\)

Démonstration. Le polynôme \(X^n – 1\) est de degré \(n\), unitaire, et admet les \(n\) racines distinctes \(\omega^0, \omega^1, \ldots, \omega^{n-1}\). Tout polynôme de degré \(n\) ayant \(n\) racines distinctes se factorise en produit de facteurs de degré 1 dans \(\mathbb{C}[X]\). ∎

Corollaire ⋆. En isolant le facteur \(k = 0\) :

\(\displaystyle\frac{X^n – 1}{X – 1} = X^{n-1} + X^{n-2} + \cdots + X + 1 = \displaystyle\prod_{k=1}^{n-1} (X – \omega^k)\)

B. Factorisation dans \(\mathbb{R}[X]\)

Dans \(\mathbb{R}[X]\), on ne peut pas toujours factoriser en degré 1. On regroupe les racines complexes conjuguées \(\omega^k\) et \(\omega^{n-k} = \overline{\omega^k}\) :

\((X – \omega^k)(X – \overline{\omega^k}) = X^2 – 2\cos\!\left(\displaystyle\frac{2k\pi}{n}\right)X + 1\)

Démonstration. Les racines réelles de \(X^n – 1\) sont \(1\) (toujours) et \(-1\) (si \(n\) est pair, car \((-1)^n = 1\)). Les racines complexes non réelles apparaissent par paires conjuguées \(\omega^k, \omega^{n-k}\). Chaque paire contribue un facteur de degré 2 irréductible dans \(\mathbb{R}[X]\). Le nombre de paires est \(\displaystyle\frac{n-1}{2}\) (si \(n\) impair) ou \(\displaystyle\frac{n}{2} – 1\) (si \(n\) pair). ∎

C. Polynômes cyclotomiques (complément)

Les polynômes cyclotomiques raffinent la factorisation précédente et apparaissent régulièrement dans les problèmes d’algèbre.

Propriété fondamentale. Tout diviseur \(d\) de \(n\) contribue ses racines primitives à la factorisation de \(X^n – 1\) :

\(X^n – 1 = \displaystyle\prod_{d \mid n} \Phi_d(X)\)

Cette identité permet de calculer \(\Phi_n\) par division successive.

D. Application : produit de sinus

La factorisation de \(X^n – 1\) conduit à une identité trigonométrique élégante.

Étape 1. On évalue le corollaire de IV.A en \(X = 1\) :

\(\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1} (1 – \omega^k) = \lim_{X \to 1} \displaystyle\frac{X^n – 1}{X – 1} = n\)

(par évaluation directe du polynôme \(X^{n-1} + \cdots + 1\) en \(X = 1\)).

Étape 2. On calcule \(|1 – \omega^k|\). En utilisant \(1 – e^{i\theta} = -2i\sin\!\left(\displaystyle\frac{\theta}{2}\right)e^{i\theta/2}\), on obtient :

\(|1 – \omega^k| = \left|1 – e^{2ik\pi/n}\right| = 2\left|\sin\!\left(\displaystyle\frac{k\pi}{n}\right)\right| = 2\sin\!\left(\displaystyle\frac{k\pi}{n}\right)\)

(car \(\sin(k\pi/n)\) > \(0\) pour \(1 \leq k \leq n-1\)).

Étape 3. En prenant le module du produit :

\(\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1} |1 – \omega^k| = 2^{n-1} \displaystyle\prod_{k=1}^{n-1} \sin\!\left(\displaystyle\frac{k\pi}{n}\right) = n\)

Ce résultat est un classique de concours. Il permet, par symétrie \(\sin(k\pi/n) = \sin((n-k)\pi/n)\), de calculer des produits partiels de sinus (cf. exercice 6 ci-dessous).

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V. Méthode : racines n-ièmes d’un nombre complexe quelconque

La théorie précédente se généralise naturellement : comment déterminer les racines n-ièmes d’un nombre complexe quelconque ?

A. Méthode en 4 étapes

Soit \(a \in \mathbb{C}^*\). On cherche les solutions de \(z^n = a\).

Interprétation géométrique. Les racines n-ièmes de \(a\) forment les sommets d’un polygone régulier inscrit dans le cercle de centre \(O\) et de rayon \(|a|^{1/n}\), le premier sommet étant d’argument \(\displaystyle\frac{\arg(a)}{n}\).

B. Exemples résolus

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VI. Exercices corrigés (★ à ★★★★★)

Voici 8 exercices classés par difficulté croissante, couvrant les applications fondamentales des racines de l’unité.

Exercice 1 (★)

Déterminer les racines 6-ièmes de l’unité. Écrire chacune sous forme algébrique et les placer dans le plan complexe.

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On pose \(\omega = e^{i\pi/3}\). Les racines sont \(\omega^k\) pour \(k = 0, \ldots, 5\) :

• \(\omega^0 = 1\)
• \(\omega^1 = e^{i\pi/3} = \displaystyle\frac{1}{2} + i\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\)
• \(\omega^2 = e^{2i\pi/3} = -\displaystyle\frac{1}{2} + i\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\)
• \(\omega^3 = e^{i\pi} = -1\)
• \(\omega^4 = e^{4i\pi/3} = -\displaystyle\frac{1}{2} – i\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\)
• \(\omega^5 = e^{5i\pi/3} = \displaystyle\frac{1}{2} – i\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Ces 6 points forment un hexagone régulier inscrit dans le cercle unité.

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Exercice 2 (★★)

Soit \(n \geq 2\) et \(\omega = e^{2i\pi/n}\). Pour \(p \in \mathbb{Z}\), calculer \(S_p = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \omega^{pk}\). En déduire \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \cos\!\left(\displaystyle\frac{2pk\pi}{n}\right)\).

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Cas 1 : \(n \mid p\). Alors \(\omega^p = 1\), donc \(S_p = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} 1 = n\).

Cas 2 : \(n \not\mid p\). On pose \(q = \omega^p \neq 1\). Somme géométrique :

\(S_p = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} q^k = \displaystyle\frac{1 – q^n}{1 – q} = \displaystyle\frac{1 – (\omega^n)^p}{1 – \omega^p} = \displaystyle\frac{1 – 1}{1 – \omega^p} = 0\)

Bilan : \(S_p = n\) si \(n \mid p\), et \(S_p = 0\) sinon.

Déduction : \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \cos\!\left(\displaystyle\frac{2pk\pi}{n}\right) = \mathrm{Re}(S_p)\), soit \(n\) si \(n \mid p\) et \(0\) sinon.

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Exercice 3 (★★★)

Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(z^4 = -4\). Donner les solutions sous forme algébrique.

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Forme exponentielle : \(-4 = 4\, e^{i\pi}\). Donc \(\rho = 4\), \(\alpha = \pi\).

\(z_k = 4^{1/4}\, e^{i(\pi + 2k\pi)/4} = \sqrt{2}\, e^{i\pi(1+2k)/4}, \quad k = 0, 1, 2, 3\)

Calcul explicite :

• \(z_0 = \sqrt{2}\, e^{i\pi/4} = \sqrt{2}\left(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} + i\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 1 + i\)
• \(z_1 = \sqrt{2}\, e^{3i\pi/4} = -1 + i\)
• \(z_2 = \sqrt{2}\, e^{5i\pi/4} = -1 – i\)
• \(z_3 = \sqrt{2}\, e^{7i\pi/4} = 1 – i\)

Vérification : \((1+i)^2 = 2i\), donc \((1+i)^4 = (2i)^2 = -4\) ✓

Les quatre racines sont \(\pm 1 \pm i\).

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Exercice 4 (★★★)

Factoriser \(X^4 + 1\) en produit de facteurs irréductibles dans \(\mathbb{R}[X]\).

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Les racines de \(X^4 + 1 = 0\) sont les \(z_k\) de l’exercice 3 (racines de \(X^4 = -1\)).

On regroupe les paires de racines conjuguées :

Paire 1 : \(z_0 = e^{i\pi/4}\) et \(z_3 = e^{-i\pi/4} = \overline{z_0}\) :

\((X – z_0)(X – \overline{z_0}) = X^2 – 2\cos\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)X + 1 = X^2 – \sqrt{2}\, X + 1\)

Paire 2 : \(z_1 = e^{3i\pi/4}\) et \(z_2 = e^{-3i\pi/4} = \overline{z_1}\) :

\((X – z_1)(X – \overline{z_1}) = X^2 – 2\cos\!\left(\displaystyle\frac{3\pi}{4}\right)X + 1 = X^2 + \sqrt{2}\, X + 1\)

Résultat :

\(X^4 + 1 = (X^2 – \sqrt{2}\, X + 1)(X^2 + \sqrt{2}\, X + 1)\)

Vérification : \((X^2 + 1 – \sqrt{2}\, X)(X^2 + 1 + \sqrt{2}\, X) = (X^2 + 1)^2 – 2X^2 = X^4 + 1\) ✓

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Exercice 5 (★★★★)

Soit \(n \geq 2\) et \(\omega = e^{2i\pi/n}\). En évaluant le polynôme \(X^{n-1} + X^{n-2} + \cdots + X + 1\) en un point bien choisi, montrer que :

\(\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1} (2 – \omega^k) = 2^n – 1\)

En déduire la valeur de \(\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1} \left(5 – 4\cos\!\left(\displaystyle\frac{2k\pi}{n}\right)\right)\).

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Partie 1. D’après le corollaire de IV.A :

\(\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}(X – \omega^k) = X^{n-1} + X^{n-2} + \cdots + X + 1\)

On évalue en \(X = 2\) :

\(\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}(2 – \omega^k) = 2^{n-1} + 2^{n-2} + \cdots + 2 + 1 = \displaystyle\frac{2^n – 1}{2 – 1} = 2^n – 1\) ∎

Partie 2. On calcule le module au carré :

\(|2 – \omega^k|^2 = \left(2 – \cos\!\left(\displaystyle\frac{2k\pi}{n}\right)\right)^2 + \sin^2\!\left(\displaystyle\frac{2k\pi}{n}\right) = 5 – 4\cos\!\left(\displaystyle\frac{2k\pi}{n}\right)\)

Donc :

\(\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}\left(5 – 4\cos\!\left(\displaystyle\frac{2k\pi}{n}\right)\right) = \displaystyle\prod_{k=1}^{n-1} |2 – \omega^k|^2 = \left|\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}(2 – \omega^k)\right|^2 = (2^n – 1)^2\) ∎

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Exercice 6 (★★★★)

En utilisant l’identité \(\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1} \sin\!\left(\displaystyle\frac{k\pi}{n}\right) = \displaystyle\frac{n}{2^{n-1}}\) (cf. section IV.D), calculer :

\(\sin\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{7}\right) \sin\!\left(\displaystyle\frac{2\pi}{7}\right) \sin\!\left(\displaystyle\frac{3\pi}{7}\right)\)

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Pour \(n = 7\), l’identité donne :

\(\displaystyle\prod_{k=1}^{6} \sin\!\left(\displaystyle\frac{k\pi}{7}\right) = \displaystyle\frac{7}{2^6} = \displaystyle\frac{7}{64}\)

Symétrie : \(\sin\!\left(\displaystyle\frac{k\pi}{7}\right) = \sin\!\left(\displaystyle\frac{(7-k)\pi}{7}\right)\) car \(\sin(\pi – x) = \sin(x)\).

Donc \(\sin\!\left(\displaystyle\frac{4\pi}{7}\right) = \sin\!\left(\displaystyle\frac{3\pi}{7}\right)\), \(\sin\!\left(\displaystyle\frac{5\pi}{7}\right) = \sin\!\left(\displaystyle\frac{2\pi}{7}\right)\), \(\sin\!\left(\displaystyle\frac{6\pi}{7}\right) = \sin\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{7}\right)\).

Le produit se factorise :

\(\displaystyle\prod_{k=1}^{6} \sin\!\left(\displaystyle\frac{k\pi}{7}\right) = \left[\sin\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{7}\right) \sin\!\left(\displaystyle\frac{2\pi}{7}\right) \sin\!\left(\displaystyle\frac{3\pi}{7}\right)\right]^2 = \displaystyle\frac{7}{64}\)

Tous les sinus sont strictement positifs (arguments dans \(]0, \pi[\)), donc :

\(\sin\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{7}\right) \sin\!\left(\displaystyle\frac{2\pi}{7}\right) \sin\!\left(\displaystyle\frac{3\pi}{7}\right) = \displaystyle\frac{\sqrt{7}}{8}\) ∎

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Exercice 7 (★★★★ — I)

Déterminer les racines primitives 12-ièmes de l’unité, puis calculer le 12-ième polynôme cyclotomique \(\Phi_{12}(X)\).

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Racines primitives. \(\omega^k\) est primitive 12-ième \(\Leftrightarrow\) \(\mathrm{pgcd}(k, 12) = 1\), soit \(k \in \{1, 5, 7, 11\}\). Il y a \(\varphi(12) = 4\) racines primitives.

Calcul de \(\Phi_{12}\). On utilise \(X^{12} – 1 = \displaystyle\prod_{d \mid 12} \Phi_d(X)\).

Les diviseurs de \(12\) sont \(1, 2, 3, 4, 6, 12\). On connaît :

• \(\Phi_1 = X-1\), \(\Phi_2 = X+1\), \(\Phi_3 = X^2+X+1\), \(\Phi_4 = X^2+1\), \(\Phi_6 = X^2-X+1\).

Astuce : on factorise par niveaux. \(X^{12} – 1 = (X^6 – 1)(X^6 + 1)\).

Or \(X^6 – 1 = \Phi_1 \cdot \Phi_2 \cdot \Phi_3 \cdot \Phi_6\) (diviseurs de 6 = diviseurs de 12 qui divisent 6).

Donc \(X^6 + 1 = \Phi_4 \cdot \Phi_{12}\) (les diviseurs de 12 qui ne divisent pas 6 sont \(4\) et \(12\)).

Ainsi : \(\Phi_{12}(X) = \displaystyle\frac{X^6 + 1}{X^2 + 1}\).

Division euclidienne : \(X^6 + 1 = (X^2 + 1)(X^4 – X^2 + 1)\).

Résultat :

\(\Phi_{12}(X) = X^4 – X^2 + 1\)

Vérification : degré \(4 = \varphi(12)\) ✓, et \(\omega = e^{i\pi/6}\) est racine : \(\omega^4 – \omega^2 + 1 = e^{2i\pi/3} – e^{i\pi/3} + 1 = \left(-\displaystyle\frac{1}{2} + i\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\right) – \left(\displaystyle\frac{1}{2} + i\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 1 = 0\) ✓

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Exercice 8 (★★★★★ — I) Type Mines-Ponts

Soit \(n \geq 2\) et \(\omega = e^{2i\pi/n}\).

1. Par dérivation logarithmique de \(X^n – 1 = \displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}(X – \omega^k)\), montrer que pour tout \(x \notin \mathbb{U}_n\) : \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \displaystyle\frac{1}{x – \omega^k} = \displaystyle\frac{nx^{n-1}}{x^n – 1}\)
2. En posant \(Q(X) = \displaystyle\frac{X^n – 1}{X – 1}\), en déduire : \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \displaystyle\frac{1}{1 – \omega^k} = \displaystyle\frac{n-1}{2}\).

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1. On dérive \(P(X) = X^n – 1 = \displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}(X – \omega^k)\). Par la règle du produit :

\(P^\prime(X) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \displaystyle\prod_{j \neq k} (X – \omega^j)\)

En divisant par \(P(X)\) (pour \(X \notin \mathbb{U}_n\)) :

\(\displaystyle\frac{P^\prime(X)}{P(X)} = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \displaystyle\frac{1}{X – \omega^k}\)

Or \(P^\prime(X) = nX^{n-1}\) et \(P(X) = X^n – 1\), d’où :

\(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \displaystyle\frac{1}{X – \omega^k} = \displaystyle\frac{nX^{n-1}}{X^n – 1}\) ∎

2. On pose \(Q(X) = \displaystyle\frac{X^n – 1}{X – 1} = \displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}(X – \omega^k) = X^{n-1} + X^{n-2} + \cdots + 1\).

De même, par dérivation logarithmique de \(Q\) :

\(\displaystyle\frac{Q^\prime(X)}{Q(X)} = \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \displaystyle\frac{1}{X – \omega^k}\)

On évalue en \(X = 1\). D’une part, \(Q(1) = n\).

D’autre part, \(Q^\prime(X) = (n-1)X^{n-2} + (n-2)X^{n-3} + \cdots + 1\), donc :

\(Q^\prime(1) = (n-1) + (n-2) + \cdots + 1 = \displaystyle\frac{n(n-1)}{2}\)

Ainsi :

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \displaystyle\frac{1}{1 – \omega^k} = \displaystyle\frac{Q^\prime(1)}{Q(1)} = \displaystyle\frac{n(n-1)}{2n} = \displaystyle\frac{n-1}{2}\) ∎

Remarque : ce résultat signifie que la « moyenne harmonique pondérée » des distances \(1 – \omega^k\) donne un résultat réel simple, ce qui est une manifestation de la symétrie du polygone des racines.

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VII. Erreurs fréquentes et pièges classiques

Avant de conclure, passons en revue les erreurs les plus fréquentes sur les racines de l’unité.

Erreur 1 — Oublier que \(\omega\) dépend de \(n\)

❌ Copie fautive : « Les racines de l’unité sont \(1, \omega, \omega^2, \ldots\) avec \(\omega = e^{2i\pi/3}\). » (sans avoir précisé \(n = 3\))

Diagnostic : \(\omega\) n’est pas une constante universelle. C’est \(e^{2i\pi/n}\), qui change selon le contexte. En concours, plusieurs valeurs de \(n\) apparaissent dans un même problème.

✅ Correction : Toujours écrire « Soit \(\omega = e^{2i\pi/n}\) » en début de solution, et « On pose \(\omega_3 = e^{2i\pi/3}\), \(\omega_5 = e^{2i\pi/5}\) » si plusieurs \(n\) coexistent.

Erreur 2 — Se tromper d’argument dans \(z^n = a\)

❌ Copie fautive : « Résolvons \(z^3 = -1 + i\). On a \(|-1+i| = \sqrt{2}\) et \(\arg(-1+i) = \displaystyle\frac{\pi}{4}\). »

Diagnostic : Le point d’affixe \(-1+i\) est dans le deuxième quadrant (partie réelle négative), donc son argument est \(\pi – \displaystyle\frac{\pi}{4} = \displaystyle\frac{3\pi}{4}\), pas \(\displaystyle\frac{\pi}{4}\). L’erreur provient d’un calcul naïf \(\arctan\!\left(\displaystyle\frac{1}{-1}\right)\) sans correction de quadrant.

✅ Correction : \(-1+i = \sqrt{2}\, e^{3i\pi/4}\), donc \(z_k = 2^{1/6}\, e^{i(3\pi/4 + 2k\pi)/3}\).

Erreur 3 — Confondre \(\sum \omega^{pk} = 0\) et \(\sum \omega^{pk} = n\)

❌ Copie fautive : « \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \omega^{nk} = 0\) car c’est une somme de racines de l’unité. »

Diagnostic : \(\omega^{nk} = (e^{2i\pi/n})^{nk} = e^{2ik\pi} = 1\) pour tout \(k\). Donc \(\sum \omega^{nk} = n\), pas \(0\). La somme ne s’annule que lorsque l’exposant \(p\) n’est pas un multiple de \(n\).

✅ Correction : \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \omega^{pk} = n\) si \(n \mid p\), et \(0\) sinon. Ici \(p = n\), donc \(n \mid p\) et la somme vaut \(n\).

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VIII. Questions fréquentes

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IX. Pour aller plus loin

Tu maîtrises maintenant la théorie des racines n-ièmes de l’unité. Pour approfondir :

• Formule d’Euler — prérequis de ce cours, avec démonstrations et applications (linéarisation, angle moitié, formule de Moivre)
• Forme trigonométrique et exponentielle — les deux écritures fondamentales d’un nombre complexe
• Module d’un nombre complexe — définition, propriétés et méthode de calcul
• Argument d’un nombre complexe — calcul de l’argument, cas par cas
• Exercices corrigés sur les nombres complexes — 20+ exercices Terminale Maths Expertes et Prépa, avec corrections détaillées
• Nombres complexes — cours complet (page pilier du cocon)

Conforme au programme des classes préparatoires scientifiques (MPSI, PCSI, MP, PC) — année 2025-2026.

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