La décomposition en facteurs premiers consiste à écrire un entier naturel comme un produit de nombres premiers. C’est une méthode fondamentale en arithmétique : elle simplifie les fractions, permet de calculer le PGCD et le PPCM, et résout les problèmes de divisibilité.

Décomposition en produit de facteurs premiers.

Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 peut s’écrire de façon unique comme un produit de nombres premiers (à l’ordre des facteurs près).

Par exemple : \(72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^2\).

Contexte. La décomposition en facteurs premiers fait partie du chapitre nombres entiers. Elle s’appuie sur les nombres premiers, les critères de divisibilité et la division euclidienne.

Pour t’entraîner : exercices nombres entiers (tous niveaux) et exercices nombres entiers 6ème (PDF).

📚 Tout le cours « Nombres entiers »

Qu’est-ce que la décomposition en facteurs premiers ?

Exemples introductifs

Voici quelques exemples simples de décomposition en facteurs premiers :

  • \(12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3\)
  • \(36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^2\)
  • \(45 = 3 \times 3 \times 5 = 3^2 \times 5\)
  • \(100 = 2 \times 2 \times 5 \times 5 = 2^2 \times 5^2\)

Dans chaque cas, les facteurs utilisés (2, 3, 5) sont tous des nombres premiers. On utilise la notation exponentielle pour éviter les répétitions : au lieu d’écrire \(2 \times 2 \times 2\), on écrit \(2^3\).

Le théorème fondamental de l’arithmétique

Théorème fondamental de l’arithmétique.

Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 possède une unique décomposition en produit de facteurs premiers (à l’ordre des facteurs près). Cette propriété garantit que la décomposition que tu trouves est la seule possible.

Ce théorème assure que si deux personnes décomposent le même nombre en suivant la méthode correcte, elles obtiendront exactement les mêmes facteurs premiers avec les mêmes exposants.

Pourquoi c’est important ?

La décomposition en facteurs premiers est utile dans de nombreuses situations :

  • Simplifier des fractions en identifiant les facteurs communs
  • Calculer le PGCD et le PPCM de deux nombres rapidement
  • Résoudre des problèmes de divisibilité en identifiant les diviseurs
  • Simplifier des racines carrées en regroupant les facteurs premiers
  • Compter les diviseurs d’un nombre à partir de sa décomposition

Méthode n°1 (référence) : divisions successives

C’est la méthode la plus fiable au collège et au lycée : on divise l’entier \(n\) par les plus petits nombres premiers (d’abord \(2\), puis \(3\), puis \(5\), etc.), et on recommence tant que la division est possible.

Recette simple.

  1. Teste \(2\). Si \(n\) est pair, tu divises et tu recommences.
  2. Quand \(2\) ne marche plus, teste \(3\), puis \(5\), puis \(7\), etc.
  3. Tu t’arrêtes quand tu arrives à \(1\).
  4. Tu écris le produit des facteurs premiers trouvés (et tu regroupes en puissances si besoin).

Exemple (divisions successives). Décomposer \(84\).

On divise par \(2\) tant que possible :

\(84 = 2 \times 42 = 2 \times 2 \times 21\)

Puis on continue avec \(3\) :

\(21 = 3 \times 7\) (et \(7\) est premier)

Donc : \(84 = 2^2 \times 3 \times 7\)

Piège classique. Ne laisse jamais un facteur non premier dans la décomposition.

Par exemple, écrire \(84 = 2^2 \times 21\) est incomplet, car \(21\) n’est pas premier (il faut encore décomposer \(21\) en \(3 \times 7\)).

Présentation en tableau

Méthode des divisions successives appliquée à 84
Diviseur (premier) Quotient obtenu Commentaire
\(2\) \(\displaystyle\frac{84}{2} = 42\) On peut encore diviser par \(2\).
\(2\) \(\displaystyle\frac{42}{2} = 21\) \(21\) n’est plus divisible par \(2\).
\(3\) \(\displaystyle\frac{21}{3} = 7\) \(7\) est premier : on a terminé.

Astuce : utiliser les critères de divisibilité.

Pour accélérer la décomposition, utilise les critères de divisibilité par 2, 3, 5 et 9 :

  • Par 2 : le nombre se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8
  • Par 3 : la somme des chiffres est divisible par 3
  • Par 5 : le nombre se termine par 0 ou 5
  • Par 9 : la somme des chiffres est divisible par 9

Quand s’arrêter ? (et comment vérifier)

Tu t’arrêtes quand le quotient vaut \(1\). Pour vérifier, fais deux contrôles :

  • Contrôle 1 : tous les facteurs écrits sont bien premiers.
  • Contrôle 2 : si tu multiplies tes facteurs, tu retombes bien sur \(n\).

Méthode optimisée pour les grands nombres.

Pour décomposer un nombre \(n\), il suffit de tester les nombres premiers inférieurs ou égaux à \(\sqrt{n}\). Si après avoir testé tous ces premiers le quotient est supérieur à 1, alors ce quotient est lui-même un nombre premier.

Exemple : pour décomposer 143, on teste les nombres premiers jusqu’à \(\sqrt{143} \approx 11{,}96\), donc jusqu’à 11. On trouve \(143 \div 11 = 13\) (quotient premier). Donc \(143 = 11 \times 13\).

Méthode n°2 : l’arbre de facteurs (version visuelle)

Une autre présentation consiste à construire un arbre de factorisation. On décompose le nombre en deux facteurs, puis on décompose chaque facteur jusqu’à obtenir uniquement des nombres premiers.

Exemple : arbre de factorisation de 72

      72
     /  \
    8    9
   / \  / \
  2   4 3  3
     / \
    2   2

On obtient : \(72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^2\). Les feuilles de l’arbre (les extrémités) sont toujours des nombres premiers.

Exemples commentés (du facile au brevet)

Exemple 1 : nombre simple (peu de facteurs)

Exemple. Décomposer \(84\) en produit de facteurs premiers.

\(84 = 2 \times 42 = 2 \times 2 \times 21 = 2^2 \times 3 \times 7\).

Exemple 2 : écriture avec puissances (répétitions)

Exemple. Décomposer \(360\).

\(360 = 2 \times 180 = 2^2 \times 90 = 2^3 \times 45\). Puis \(45 = 3 \times 15 = 3^2 \times 5\).

Ainsi \(360 = 2^3 \times 3^2 \times 5\).

Exemple 3 : cas plus long et pièges

Exemple. Décomposer \(945\).

\(945 = 3 \times 315 = 3^2 \times 105 = 3^3 \times 35\) et \(35 = 5 \times 7\).

Donc \(945 = 3^3 \times 5 \times 7\).

Piège. Écrire \(945 = 9 \times 105\) et s’arrêter là : \(9\) n’est pas premier, donc il faut poursuivre (\(9 = 3^2\)).

Exercices corrigés (progressifs)

Pour une banque plus large : exercices nombres entiers (tous niveaux) et exercices nombres entiers 6ème (PDF).

Série 1 : décomposer (niveau facile)

Exercice 1. Décomposer \(36\) en produit de facteurs premiers.

▶ Voir la correction

\(36 = 2^2 \times 3^2\).

Exercice 2. Décomposer \(48\).

▶ Voir la correction

\(48 = 2^4 \times 3\).

Exercice 3. Décomposer \(75\).

▶ Voir la correction

\(75 = 3 \times 5^2\).

Exercice 4. Décomposer \(90\).

▶ Voir la correction

\(90 = 2 \times 3^2 \times 5\).

Série 2 : décomposer et écrire sous forme de puissances

Exercice 5. Décomposer \(120\) et écrire le résultat en puissances.

▶ Voir la correction

\(120 = 2 \times 60 = 2^2 \times 30 = 2^3 \times 15\) et \(15 = 3 \times 5\).

Donc \(120 = 2^3 \times 3 \times 5\).

Exercice 6. Décomposer \(200\) et écrire le résultat en puissances.

▶ Voir la correction

\(200 = 2 \times 100 = 2^2 \times 50 = 2^3 \times 25\) et \(25 = 5^2\).

Donc \(200 = 2^3 \times 5^2\).

Exercice 7. Décomposer \(432\) et écrire le résultat en puissances.

▶ Voir la correction

\(432 = 2 \times 216 = 2^2 \times 108 = 2^3 \times 54 = 2^4 \times 27\) et \(27 = 3^3\).

Donc \(432 = 2^4 \times 3^3\).

Série 3 : exercices brevet et DS (plus longs)

Exercice 8. Décomposer \(840\). Puis en déduire une écriture sous forme \(2^a \times 3^b \times 5^c \times 7^d\).

▶ Voir la correction

\(840 = 84 \times 10\). Or \(84 = 2^2 \times 3 \times 7\) et \(10 = 2 \times 5\).

Donc \(840 = 2^3 \times 3 \times 5 \times 7\) (soit \(a = 3\), \(b = 1\), \(c = 1\), \(d = 1\)).

Exercice 9. On sait que \(n = 2^4 \times 3^2 \times 5\). Donner tous les diviseurs de \(n\) de la forme \(2^x \times 3^y\).

▶ Voir la correction

Un diviseur de la forme \(2^x \times 3^y\) s’obtient en choisissant \(x\) entre \(0\) et \(4\), et \(y\) entre \(0\) et \(2\).

On obtient donc \(5 \times 3 = 15\) diviseurs de cette forme : tous les \(2^x \times 3^y\) avec \(x \in \{0, 1, 2, 3, 4\}\) et \(y \in \{0, 1, 2\}\).

Exercice 10. Décomposer \(630\). Sans calculatrice, dire si \(630\) est divisible par \(9\), puis par \(12\).

▶ Voir la correction

\(630 = 63 \times 10\), et \(63 = 3^2 \times 7\), \(10 = 2 \times 5\).

Donc \(630 = 2 \times 3^2 \times 5 \times 7\).

Divisible par \(9 = 3^2\) ? Oui, car \(630\) contient \(3^2\).

Divisible par \(12 = 2^2 \times 3\) ? Non, car \(630\) ne contient qu’un seul facteur \(2\) (il faudrait \(2^2\)).

Vérifier sa décomposition (avec ou sans outil)

Méthode de vérification rapide (sans outil)

Checklist de vérification.

  1. Re-multiplie : le produit doit retomber exactement sur \(n\).
  2. Vérifie que chaque facteur est bien premier (sinon, continue la décomposition).
  3. Si tu as un doute, utilise un critère de divisibilité simple.

Les erreurs les plus fréquentes

Les 3 erreurs classiques.

  1. S’arrêter trop tôt (laisser un quotient non premier, ex. \(21\) au lieu de \(3 \times 7\)).
  2. Laisser un facteur non premier (ex. écrire \(4\), \(6\) ou \(9\) comme facteur).
  3. Oublier de vérifier que le produit final redonne le nombre de départ.

A quoi ça sert (3 usages concrets)

Simplifier une fraction et la rendre irréductible

Exemple : simplifier \(\displaystyle\frac{84}{126}\). On décompose : \(84 = 2^2 \times 3 \times 7\) et \(126 = 2 \times 3^2 \times 7\). On simplifie par les facteurs communs (\(2 \times 3 \times 7 = 42\)). Pour la méthode complète : PGCD et PPCM.

Calculer PGCD et PPCM via les décompositions

L’écriture en puissances rend immédiat le calcul du PGCD (on prend les exposants minimaux) et du PPCM (exposants maximaux). Méthode et exercices : PGCD et PPCM.

Simplifier une racine carrée

La décomposition aide à repérer des carrés parfaits et à simplifier des racines. Exemple : si \(72 = 2^3 \times 3^2\), alors \(\sqrt{72} = \sqrt{2^2 \times 2 \times 3^2} = 2 \times 3 \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2}\).

Piège. Ne jamais « sortir » un facteur de la racine s’il n’est pas en carré parfait. Par exemple, \(\sqrt{2^3} = \sqrt{2^2 \times 2} = 2\sqrt{2}\) (et non \(2\sqrt{2^2}\)).

FAQ — Décomposition en facteurs premiers


Comment décomposer un nombre en facteurs premiers ?

On divise le nombre par les plus petits nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11…) successivement, jusqu’à obtenir un quotient de 1. On écrit ensuite le produit de tous les diviseurs premiers utilisés, regroupés en puissances.

1 est-il un nombre premier ?

Non. \(1\) n’est pas premier. C’est indispensable pour que la décomposition en facteurs premiers soit unique (théorème fondamental de l’arithmétique).

Peut-on décomposer un nombre premier ?

Oui : si \(p\) est premier, alors sa décomposition est simplement \(p\) (ou \(p^1\) si tu veux expliciter l’exposant).

Faut-il trier les facteurs ?

L’ordre n’a pas d’importance pour le produit, mais en rédaction on range presque toujours les facteurs premiers par ordre croissant et on regroupe sous forme de puissances. C’est plus lisible et ça évite les erreurs.

Pourquoi la décomposition est-elle unique ?

C’est le théorème fondamental de l’arithmétique : tout entier \(n \geq 2\) se décompose en facteurs premiers d’une seule façon (à l’ordre près). Si tu vas « jusqu’au bout » en divisant par des nombres premiers, tu obtiens toujours la même liste de facteurs.

Quelles sont les erreurs les plus fréquentes ?

Les trois classiques : (1) s’arrêter trop tôt, (2) laisser un facteur non premier (ex. \(4\), \(6\), \(9\)), (3) oublier de vérifier que le produit final redonne le nombre de départ.

Comment vérifier sans calculatrice ?

Re-multiplie tous les facteurs premiers : le résultat doit retomber exactement sur le nombre de départ. Puis vérifie que chaque facteur est bien premier. En cas de doute, utilise les critères de divisibilité.


Pour aller plus loin

Tu maîtrises maintenant la décomposition en facteurs premiers. Pour approfondir :

Tu veux progresser plus vite en maths ? Découvre le soutien scolaire Excellence Maths pour le collège et le lycée.