La décomposition en facteurs premiers est une méthode fondamentale en arithmétique qui permet d’écrire tout nombre entier sous la forme d’un produit de nombres premiers. Cette technique, essentielle du collège à la prépa, simplifie de nombreux calculs et résout des problèmes de divisibilité, de fractions ou de PGCD.
Dans ce cours, vous découvrirez la méthode complète de décomposition, des exemples détaillés et 25 exercices corrigés progressifs pour maîtriser cette compétence clé en mathématiques.
On travaille ici au cœur de l’arithmétique des nombres entiers, en lien direct avec les nombres premiers, les critères de divisibilité, la division euclidienne et le PGCD / PPCM.
Qu’est-ce que la décomposition en facteurs premiers ?
Définition et notation
Décomposition en produit de facteurs premiers La décomposition en produit de facteurs premiers consiste à écrire un nombre entier naturel non nul sous la forme d’un produit de nombres premiers. Par exemple : \(72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^2\)
Chaque nombre entier supérieur ou égal à 2 peut s’écrire comme un produit de nombres premiers. Cette écriture utilise la notation exponentielle pour éviter les répétitions : au lieu d’écrire \(2 \times 2 \times 2\), on écrit \(2^3\).
Exemples introductifs
Voici quelques exemples simples de décomposition en facteurs premiers :
- \(12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3\)
- \(36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^2\)
- \(45 = 3 \times 3 \times 5 = 3^2 \times 5\)
- \(100 = 2 \times 2 \times 5 \times 5 = 2^2 \times 5^2\)
Dans chaque cas, les facteurs utilisés (2, 3, 5) sont tous des nombres premiers.
Le théorème fondamental de l’arithmétique
Théorème fondamental de l’arithmétique Tout nombre entier naturel supérieur ou égal à 2 possède une unique décomposition en produit de facteurs premiers (à l’ordre des facteurs près). Cette propriété garantit que la décomposition que vous trouvez est la seule possible.
Ce théorème assure que si deux personnes décomposent le même nombre en suivant la méthode correcte, elles obtiendront exactement les mêmes facteurs premiers avec les mêmes exposants, même si l’ordre peut varier (par exemple \(2^2 \times 3\) ou \(3 \times 2^2\) représentent la même décomposition).
Pourquoi c’est important ?
La décomposition en facteurs premiers est utile dans de nombreuses situations :
- Simplifier des fractions en identifiant les facteurs communs au numérateur et au dénominateur
- Calculer le PGCD et le PPCM de deux nombres rapidement
- Résoudre des problèmes de divisibilité en identifiant les diviseurs d’un nombre
- Simplifier des racines carrées en regroupant les facteurs premiers
- Compter les diviseurs d’un nombre à partir de sa décomposition
Méthode n°1 (référence) : divisions successives
C’est la méthode la plus fiable au collège/lycée : on divise l’entier \(n\) par les plus petits nombres premiers (d’abord \(2\), puis \(3\), puis \(5\), etc.), et on recommence tant que la division est possible.
Recette simple.
- Teste \(2\). Si \(n\) est pair, tu divises et tu recommences.
- Quand \(2\) ne marche plus, teste \(3\), puis \(5\), puis \(7\), etc.
- Tu t’arrêtes quand tu arrives à \(1\).
- Tu écris le produit des facteurs premiers trouvés (et tu regroupes en puissances si besoin).
Exemple (divisions successives). Décomposer \(84\).
On divise par \(2\) tant que possible :
\(84 = 2 \times 42 = 2 \times 2 \times 21\)Puis on continue avec \(3\) :
\(21 = 3 \times 7\) (et \(7\) est premier)
Donc :
\(84 = 2^2 \times 3 \times 7\)
Piège classique. Ne laisse jamais un facteur non premier dans la décomposition.
Par exemple, écrire \(84 = 2^2 \times 21\) est incomplet, car \(21\) n’est pas premier (il faut encore décomposer \(21\) en \(3 \times 7\)).
| Diviseur (premier) | Quotient obtenu | Commentaire |
|---|---|---|
| \(2\) | \(\frac{84}{2}=42\) | On peut encore diviser par \(2\). |
| \(2\) | \(\frac{42}{2}=21\) | Le quotient \(21\) n’est plus divisible par \(2\). |
| \(3\) | \(\frac{21}{3}=7\) | \(7\) est premier : on a terminé. |
Astuce : utiliser les critères de divisibilité Pour accélérer la décomposition, utilisez les critères de divisibilité par 2, 3, 5 et 9 : – Par 2 : le nombre se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 – Par 3 : la somme des chiffres est divisible par 3 – Par 5 : le nombre se termine par 0 ou 5 – Par 9 : la somme des chiffres est divisible par 9
Quand s’arrêter ? (et comment vérifier)
Tu t’arrêtes quand le quotient vaut \(1\). Pour vérifier, fais deux contrôles :
- Contrôle 1 : tous les facteurs écrits sont bien premiers.
- Contrôle 2 : si tu multiplies tes facteurs, tu retombes bien sur \(n\).
Méthode optimisée pour les grands nombres Pour décomposer un nombre \(n\), il suffit de tester les nombres premiers inférieurs ou égaux à \(\sqrt{n}\) (racine carrée de \(n\)). Si après avoir testé tous les nombres premiers jusqu’à \(\sqrt{n}\) le quotient obtenu est supérieur à 1, alors ce quotient est lui-même un nombre premier. Exemple : Pour décomposer 143, on teste les nombres premiers jusqu’à \(\sqrt{143} \approx 11,96\), donc jusqu’à 11. – 143 n’est pas divisible par 2, 3, 5, 7 – 143 ÷ 11 = 13 (quotient premier) – Donc \(143 = 11 \times 13\)
Méthode n°2 : l’arbre de facteurs (version visuelle)
Une autre présentation visuelle consiste à construire un arbre de factorisation. On décompose le nombre en deux facteurs, puis on décompose chaque facteur jusqu’à obtenir uniquement des nombres premiers.
Exemple : arbre de factorisation de 72
72 / \ 8 9 / \ / \ 2 4 3 3 / \ 2 2
On obtient : \(72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^2\)
Les feuilles de l’arbre (les extrémités) sont toujours des nombres premiers.
Exemples commentés (du facile au “brevet/DS”)
Exemple 1 : nombre “simple” (peu de facteurs)
Exemple. Décomposer \(84\) en produit de facteurs premiers.
\(84 = 2\times 42 = 2\times 2\times 21 = 2^2\times 3\times 7\).
Donc la décomposition en produit de facteurs premiers est : \(84 = 2^2\times 3\times 7\).
Exemple 2 : écriture avec puissances (répétitions)
Exemple. Décomposer \(360\).
\(360 = 2\times 180 = 2^2\times 90 = 2^3\times 45\). Puis \(45 = 3\times 15 = 3^2\times 5\).
Ainsi \(360 = 2^3\times 3^2\times 5\).
Exemple 3 : cas plus long + pièges (ordre, oubli de continuer, facteur non premier)
Exemple. Décomposer \(945\).
\(945 = 3\times 315 = 3^2\times 105 = 3^3\times 35\) et \(35 = 5\times 7\).
Donc \(945 = 3^3\times 5\times 7\).
Piège. Écrire \(945 = 9\times 105\) et s’arrêter là : \(9\) n’est pas premier, donc il faut poursuivre : \(9 = 3^2\).
Exercices corrigés (progressifs)
Les exercices ci-dessous sont pensés pour maîtriser la décomposition en produit de facteurs premiers. Pour une banque plus large (et d’autres chapitres du cocon), tu peux ensuite aller sur : Exercices — Nombres entiers et Exercices — Nombres entiers (6e).
Série 1 : décomposer (niveau facile)
- Décomposer \(36\).
- Décomposer \(48\).
- Décomposer \(75\).
- Décomposer \(90\).
Correction (série 1).
- \(36 = 2^2\times 3^2\)
- \(48 = 2^4\times 3\)
- \(75 = 3\times 5^2\)
- \(90 = 2\times 3^2\times 5\)
Série 2 : décomposer + écrire sous forme de puissances
- Décomposer \(120\) et écrire le résultat en puissances.
- Décomposer \(200\) et écrire le résultat en puissances.
- Décomposer \(432\) et écrire le résultat en puissances.
Correction (série 2) — avec rédaction type.
1) \(120 = 2\times 60 = 2^2\times 30 = 2^3\times 15\) et \(15 = 3\times 5\). Donc \(120 = 2^3\times 3\times 5\).
2) \(200 = 2\times 100 = 2^2\times 50 = 2^3\times 25\) et \(25 = 5^2\). Donc \(200 = 2^3\times 5^2\).
3) \(432 = 2\times 216 = 2^2\times 108 = 2^3\times 54 = 2^4\times 27\) et \(27 = 3^3\). Donc \(432 = 2^4\times 3^3\).
Série 3 : exercices “brevet/DS” (plus longs / structurés) + corrigés
- Décomposer \(840\). Puis en déduire une écriture sous forme \(2^a\times 3^b\times 5^c\times 7^d\).
- On sait que \(n = 2^4\times 3^2\times 5\). Donner tous les diviseurs de \(n\) de la forme \(2^x\times 3^y\).
- Décomposer \(630\). Sans calculatrice, dire si \(630\) est divisible par \(9\), puis par \(12\).
Correction (série 3).
1) \(840 = 84\times 10\). Or \(84 = 2^2\times 3\times 7\) et \(10 = 2\times 5\). Donc \(840 = 2^3\times 3\times 5\times 7\).
2) Un diviseur de la forme \(2^x\times 3^y\) s’obtient en choisissant \(x\) entre \(0\) et \(4\), et \(y\) entre \(0\) et \(2\). On obtient donc tous les nombres \(2^x\times 3^y\) avec \(x\in\{0,1,2,3,4\}\) et \(y\in\{0,1,2\}\).
3) \(630 = 63\times 10\), et \(63 = 3^2\times 7\), \(10 = 2\times 5\). Donc \(630 = 2\times 3^2\times 5\times 7\). Il est divisible par \(9\) car il contient \(3^2\). Il est divisible par \(12\) car \(12 = 2^2\times 3\), et \(630\) ne contient qu’un seul facteur \(2\) : il n’est donc pas divisible par \(12\).
Décomposition en facteurs premiers en ligne : vérifier intelligemment
Comment vérifier avec un outil en ligne sans “apprendre par cœur”
Tu verras souvent des recherches du type “décomposition en facteurs premiers en ligne”. Un calculateur peut être utile, mais uniquement pour vérifier ton travail, pas pour le remplacer. Derrière, ce type d’outil applique un algorithme (souvent basé sur des divisions successives) pour proposer une décomposition. La bonne démarche :
- Tu fais d’abord ta décomposition à la main (méthode divisions ou arbre).
- Tu compares ensuite le résultat avec un outil “en ligne”.
- Si ça ne correspond pas, tu identifies où tu t’es arrêté trop tôt ou quel facteur n’est pas premier.
Pour les très grands nombres, certains sites mettent en avant des algorithmes plus avancés (on en parle parfois en cryptographie RSA), mais au collège/lycée, ton enjeu reste : comprendre la méthode et sécuriser la rédaction.
Vérifier sans outil : produit + divisibilité + cohérence des facteurs
Méthode de vérification rapide (sans site).
- Re-multiplie : le produit doit retomber exactement sur \(n\).
- Vérifie que chaque facteur est premier (sinon, continue).
- Si tu as un doute, utilise un critère simple (page divisibilité).
Si tu es à l’aise en python, tu peux même écrire un petit code pour vérifier un résultat (sans faire les étapes à ta place), par exemple en contrôlant que la liste de facteurs re-multiplie bien \(n\) : return le produit final et compare.
Les limites (grands nombres, erreurs de saisie) + bonnes pratiques
Deux limites classiques :
- Erreur de saisie : un chiffre inversé et tout change (d’où l’intérêt de vérifier aussi par multiplication).
- Compréhension : copier-coller une réponse ne te donnera pas les automatismes en contrôle, et crée souvent des problèmes dès qu’on change de nombre.
À quoi ça sert (en 3 usages concrets)
Simplifier une fraction / rendre une fraction irréductible (renvoi vers PGCD/PPCM)
Exemple : simplifier \(\frac{84}{126}\). On peut décomposer : \(84 = 2^2\times 3\times 7\) et \(126 = 2\times 3^2\times 7\). On simplifie alors par les facteurs communs. Pour une méthode complète (PGCD, PPCM, simplification), voir PGCD & PPCM.
Calculer PGCD / PPCM via les décompositions (renvoi vers page dédiée)
L’écriture en puissances rend immédiat le calcul du PGCD/PPCM. Ici encore, on renvoie au cours dédié (méthode + exercices) : PGCD & PPCM.
Simplifier une racine / puissance
La décomposition aide à repérer des carrés parfaits et à simplifier des racines. Exemple : si \(72 = 2^3\times 3^2\), alors \(\sqrt{72} = \sqrt{2^2\times 2\times 3^2}\), donc \(\sqrt{72} = 2\times 3\times \sqrt{2}\).
Piège. Ne jamais “sortir” un facteur de la racine s’il n’est pas en carré parfait. Par exemple, \(\sqrt{2^3}\) n’est pas \(2\sqrt{2^2}\) : on écrit plutôt \(\sqrt{2^3}=\sqrt{2^2\times 2}=2\sqrt{2}\).
FAQ
1 est-il un nombre premier ?
Non. \(1\) n’est pas premier. C’est indispensable pour que la décomposition en facteurs premiers soit unique.
Peut-on “décomposer” un nombre premier ?
Oui : si \(p\) est premier, alors sa décomposition en produit de facteurs premiers est simplement \(p\) (ou \(p^1\) si tu veux expliciter l’exposant).
Faut-il trier les facteurs ?
L’ordre n’a pas d’importance pour le produit, mais en rédaction on range presque toujours les facteurs premiers par ordre croissant (et on regroupe sous forme de puissances). C’est plus lisible et ça évite les erreurs.
Pourquoi la décomposition est-elle unique ?
C’est le théorème fondamental de l’arithmétique : tout entier \(n\) ≥ \(2\) se décompose en facteurs premiers d’une seule façon (à l’ordre près). Au collège, retiens surtout l’idée suivante : si tu vas “jusqu’au bout” en divisant par des nombres premiers, tu obtiens toujours la même liste de facteurs (éventuellement rangée différemment).
Quelles sont les erreurs les plus fréquentes ?
Les trois classiques : (1) s’arrêter trop tôt ; (2) laisser un facteur non premier (ex. \(4\), \(6\), \(9\)) ; (3) oublier de vérifier que le produit final redonne le nombre de départ.
Je bloque : je dois faire quoi pour progresser vite ?
Reprends la méthode “divisions successives”, fais une petite série d’exercices chaque jour, et corrige-toi avec la checklist. Pour un entraînement plus large, va sur Exercices — Nombres entiers. Et si tu veux un accompagnement structuré (collège/lycée/prépa), Excellence Maths propose des cours particuliers exigeants et adaptés à ton niveau.
