Analyse et Correction du Sujet Maths 1 Centrale-Supélec PC 2026

Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique. Découvrir le professeur

L’épreuve de Maths 1 Centrale-Supélec PC 2026, d’une durée de 4 heures avec calculatrice autorisée, s’articule autour d’un thème historique fascinant : la découverte de Neptune par Urbain Le Verrier en 1846. Le sujet comporte 34 questions réparties en quatre parties indépendantes, couvrant un spectre allant de la géométrie de l’ellipse à la théorie de la perturbation spectrale. La difficulté est soigneusement graduée : les premières questions sont très abordables, tandis que la Partie D constitue un véritable défi d’analyse, destiné à départager les meilleurs candidats.

Structure et thèmes du sujet

Partie A – Ellipse et mouvement képlérien (Q1–Q10)

Cette première partie guide le candidat vers l’établissement rigoureux de l’équation réduite de l’ellipse \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2} + \displaystyle\frac{y^2}{b^2} = 1\). Le cheminement est méthodique : on part de la définition bifocale \(MF + MF^\prime = 2a\), on utilise l’inégalité triangulaire (Q1), puis des factorisations algébriques successives (Q2–Q4) pour aboutir à l’équation cartésienne (Q5). Les questions Q6–Q7 portent sur l’étude classique de la fonction \(f(x) = b\sqrt{1 – \displaystyle\frac{x^2}{a^2}}\) : tableau de variations, tangentes aux extrémités et tracé de la courbe. Enfin, les questions Q8–Q10 introduisent l’excentricité \(e = \displaystyle\frac{c}{a}\) et étudient l’allure de l’ellipse selon que \(e\) est proche de 0 ou de 1.

Partie B – Systèmes différentiels et mécanique céleste (Q11–Q15)

On modélise ici le mouvement de trois planètes massives (Uranus, Jupiter, Saturne) par un système différentiel matriciel couplé. La question Q11 est la clé de voûte : en dérivant deux fois le vecteur \(H_t\) et en exploitant le système, tu dois montrer que \(F_t = A \times H_t\) avec \(A = -B^2\). Comme \(A\) admet trois valeurs propres réelles distinctes négatives, elle est diagonalisable (Q12). Le changement de base \(Y_t = Q^{-1}H_t\) découple le système en trois équations différentielles d’ordre 2 indépendantes (Q13–Q14), dont les solutions sont des oscillations sinusoïdales. La question Q15 reconstitue les trajectoires originales à partir de ces solutions découplées.

Partie C – Méthode de Le Verrier pour le polynôme caractéristique (Q16–Q23)

Le Verrier a développé une méthode ingénieuse pour calculer le polynôme caractéristique d’une matrice en utilisant uniquement les traces de ses puissances successives. La section I (Q16–Q19) établit la théorie : on démontre d’abord que \(\mathrm{Tr}(AB) = \mathrm{Tr}(BA)\) (Q16), puis on exprime \(\mathrm{Tr}(A)\), \(\mathrm{Tr}(A^2)\) et \(\mathrm{Tr}(A^3)\) en fonction des sommes de Newton \(S_1, S_2, S_3\) (Q17). Les questions Q18–Q19 relient ensuite les coefficients \(\alpha_0, \alpha_1, \alpha_2\) du polynôme caractéristique à ces sommes par des identités algébriques. La section II (Q20–Q23) applique cette méthode à la matrice \(\displaystyle\frac{1}{2}\begin{pmatrix} -4 & 11 & 13 \\ 0 & 1 & 7 \\ 0 & 7 & 1 \end{pmatrix}\), dont le polynôme caractéristique est \(R = X^3 + X^2 – 14X – 24\).

Partie D – Perturbation spectrale d’une matrice diagonale (Q24–Q34)

C’est la partie la plus ambitieuse du sujet. On étudie comment les valeurs propres d’une matrice diagonale \(D = \mathrm{diag}(a, b, c)\) évoluent lorsqu’on ajoute la perturbation \(tT\), où \(T = UU^T\) est construite à partir d’un vecteur \(U\) et de sa transposée (matrice de rang 1). Les questions Q24–Q26 établissent l’équation séculaire :

\(\displaystyle\frac{u^2}{\lambda – a} + \displaystyle\frac{v^2}{\lambda – b} + \displaystyle\frac{w^2}{\lambda – c} = \displaystyle\frac{1}{t}\)

L’étude de la fonction \(F\) associée (Q27) et l’analyse d’entrelacement (Q28) montrent que \(D(t)\) possède toujours trois valeurs propres réelles distinctes. La section II (Q30–Q34) étudie le comportement asymptotique de ces valeurs propres via les fonctions réciproques des branches de \(F\), et démontre leur continuité puis dérivabilité en \(t = 0\).

Notions et chapitres testés

Ce sujet mobilise des chapitres variés du programme de PC :

• Algèbre linéaire et réduction : diagonalisation de matrices réelles, valeurs propres, polynôme caractéristique, trace et propriétés de similitude, trigonalisation sur \(\mathbb{C}\) (théorème de Schur).
• Analyse réelle : étude de fonctions (dérivation, calcul de dérivées composées, variations), fonctions réciproques, prolongement par continuité, dérivabilité, limites.
• Équations différentielles : systèmes différentiels linéaires matriciels, équations différentielles linéaires d’ordre 2 à coefficients constants, résolution par découplage.
• Géométrie plane : ellipses (définition bifocale, équation réduite, foyers, excentricité), inégalité triangulaire.

Le fil conducteur astronomique relie naturellement ces chapitres : géométrie des orbites (Partie A), résolution des équations du mouvement (Partie B), calcul numérique des paramètres orbitaux (Partie C) et sensibilité aux perturbations (Partie D).

Niveau de difficulté et comparaison aux années précédentes

Ce sujet présente une progression de difficulté bien calibrée, typique de Centrale-Supélec PC :

• Partie A (Q1–Q10) : très accessible, quasiment un exercice de cours sur les coniques. Tout candidat bien préparé doit la traiter intégralement et rapidement.
• Parties B et C (Q11–Q23) : niveau intermédiaire, combinant des techniques classiques de réduction et de calcul matriciel. Les questions sont guidées mais exigent de la rigueur dans les manipulations.
• Partie D (Q24–Q34) : nettement plus exigeante, avec des raisonnements d’analyse fine mêlant étude de fonctions à paramètres, entrelacement spectral et arguments de continuité. C’est ici que se joue la différenciation.

Par rapport aux sujets Centrale-Supélec PC des sessions 2022–2025, le niveau global est comparable. On retrouve la structure classique : un début abordable permettant de montrer ses connaissances de base, un corps technique solide, et une fin discriminante. L’originalité réside dans le thème physique (mécanique céleste) et dans l’étude de la perturbation spectrale de rang 1, un sujet rarement abordé sous cette forme en prépa mais très formateur. La longueur (34 questions) impose une gestion du temps rigoureuse.

Pièges et points techniques délicats

Q5 – Passage aux coordonnées : Pour obtenir l’équation cartésienne, tu dois exprimer \((MF)^2 = (x – c)^2 + y^2\) et \((MF^\prime)^2 = (x + c)^2 + y^2\), puis substituer dans l’identité de Q4. L’erreur fréquente est de mal développer le produit \(4(MF)^2(MF^\prime)^2\) ou d’oublier la substitution \(b^2 = a^2 – c^2\) pour simplifier le résultat final.

Q11 – Double dérivation du système : Pour montrer \(F_t = AH_t\) avec \(A = -B^2\), il faut dériver la première équation \(G_t^\prime = B \times L_t\), puis utiliser la seconde équation \(K_t = -B \times H_t\) pour relier \(L_t^\prime\) et \(K_t^\prime\). La difficulté est de ne pas confondre les quatre vecteurs colonnes \(H_t, L_t, G_t, K_t\) et de rester rigoureux sur les dérivations.

Q27 – Asymptotes verticales de \(F\) : La fonction \(F\) possède trois asymptotes verticales en \(a\), \(b\) et \(c\). Sa dérivée \(F^\prime(\lambda) = -\displaystyle\frac{u^2}{(\lambda – a)^2} – \displaystyle\frac{v^2}{(\lambda – b)^2} – \displaystyle\frac{w^2}{(\lambda – c)^2}\) est strictement négative sur chaque intervalle de continuité. Il faut dresser un tableau de variations complet sur les quatre intervalles, sans oublier les limites en \(\pm\infty\) (qui tendent vers 0), pour conclure sur l’existence de exactement deux zéros \(\rho_1\) et \(\rho_2\).

Q28 – Cas \(t\) > 0 et \(t\) < 0 : Selon le signe de \(t\), les solutions de l’équation séculaire se répartissent dans des intervalles différents. Pour \(t\) > 0, les trois solutions se trouvent dans \((a, \rho_1)\), \((b, \rho_2)\) et \((c, +\infty)\). Pour \(t\) < 0, elles sont dans \((-\infty, a)\), \((\rho_1, b)\) et \((\rho_2, c)\). Un candidat qui ne traite qu’un seul cas perd la moitié des points de cette question.

Q32–Q33 – Prolongement et dérivabilité en 0 : C’est le passage le plus délicat du sujet. Montrer que \(\lambda_1\) se prolonge en une fonction continue sur \(\mathbb{R}\) exige d’utiliser les expressions via les fonctions réciproques \(g_i\) et d’étudier leur comportement lorsque \(t \to 0\). La dérivabilité en 0 s’obtient par dérivation implicite de la relation \(F(\lambda_1(t)) = \displaystyle\frac{1}{t}\).

Méthodes attendues et stratégies de résolution

Partie A (Q1–Q10)

Les questions Q1–Q5 suivent un enchaînement algébrique classique : inégalité triangulaire sur le triangle \(MFF^\prime\), analyse de signe pour Q2, factorisation en produit de quatre termes pour Q3, puis passage au carré pour Q4. Pour Q5, exprime les distances comme \(\sqrt{(x \pm c)^2 + y^2}\), développe l’identité de Q4, et simplifie avec \(b^2 = a^2 – c^2\). Pour Q6, la dérivée composée donne \(f^\prime(x) = \displaystyle\frac{-bx}{a^2\sqrt{1 – \displaystyle\frac{x^2}{a^2}}}\). Les tangentes en \((0, b)\) et \((a, 0)\) sont respectivement horizontale et verticale. Pour Q9, l’encadrement de \(e\) découle directement de \(0\) < \(c\) < \(a\).

Partie B (Q11–Q15)

Pour Q11, dérive deux fois \(H_t\) en combinant les deux équations du système : \(H_t^{\prime\prime} = -B^2 H_t\) se lit après substitution. Pour Q12, des valeurs propres réelles distinctes garantissent la diagonalisabilité. Le changement de base (Q13) transforme le système en \(y_i^{\prime\prime} = \lambda_i y_i\) avec \(\lambda_i\) < 0. En posant \(\lambda_i = -\omega_i^2\), la solution générale (Q14) est \(y_i(t) = \alpha_i \cos(\omega_i t) + \beta_i \sin(\omega_i t)\). Pour Q15, reconstitue \(H_t = QY_t\) et déduis-en \(B\) via la relation \(A = -B^2\).

Partie C (Q16–Q23)

Pour Q16, la preuve utilise la double somme \(\mathrm{Tr}(AB) = \sum_{i,j} a_{ij}b_{ji} = \mathrm{Tr}(BA)\). Pour Q17, exploite la diagonalisation \(A = Q \, \mathrm{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) \, Q^{-1}\) et l’invariance de la trace par similitude pour obtenir \(\mathrm{Tr}(A^k) = S_k\). Les identités de Newton (Q18–Q19) donnent \(\alpha_2 = -S_1\) et \(\alpha_1 = \displaystyle\frac{S_1^2 – S_2}{2}\). Pour Q21, calcule directement les traces de la matrice donnée et de son carré, puis applique les formules de Q19 pour retrouver \(R\). Factorise ensuite \(R\) (Q22) et détermine les vecteurs propres (Q23).

Partie D (Q24–Q34)

Pour Q24–Q26, multiplie \((\lambda I_3 – D)X = tTX = tUU^TX\) par \(U^T(\lambda I_3 – D)^{-1}\) à gauche pour aboutir à l’équation séculaire. Pour Q27, le signe de \(F^\prime\) montre la décroissance stricte sur chaque intervalle. Pour Q28, intersecte graphiquement \(F\) avec la droite horizontale \(y = \displaystyle\frac{1}{t}\) en distinguant les deux signes de \(t\). Pour Q30, les fonctions réciproques \(g_i\) existent par le théorème de la bijection (fonction strictement monotone continue sur un intervalle). Pour Q33, dérive implicitement \(F(\lambda_1(t)) = \displaystyle\frac{1}{t}\) pour obtenir \(\lambda_1^\prime(0)\).

Conseils pour les futurs candidats

Ce sujet confirme les tendances récentes de Centrale-Supélec PC. Voici les priorités pour ta préparation :

• Maîtrise parfaite de la réduction : diagonalisation, trigonalisation, polynôme caractéristique. C’est le cœur des Parties B et C. Entraîne-toi sur des matrices \(3 \times 3\) explicites jusqu’à obtenir des automatismes solides.
• Équations différentielles et systèmes : sache passer d’un système couplé à un système découplé par changement de base matriciel. Les équations différentielles à coefficients constants, d’ordre 1 et 2, doivent être résolues sans hésitation.
• Analyse fine : les fonctions réciproques, le prolongement par continuité et la dérivabilité en un point sont des outils puissants souvent sous-estimés. La Partie D montre qu’ils peuvent constituer l’essentiel d’un bloc terminal de questions.
• Gestion du temps : avec 34 questions en 4 heures, ne reste pas bloqué sur la Partie D au détriment des points accessibles. Traite d’abord la Partie A intégralement, puis les débuts des Parties B et C, avant de t’attaquer aux questions les plus exigeantes.

Préparer Centrale-Supelec PC avec un professeur de Polytechnique

Tu vises ce concours l'année prochaine ? Un accompagnement individuel pour transformer ta préparation et maximiser ta note le jour J.

Découvrir l'accompagnement