12 Exercices Corrigés sur le Théorème de Thalès (3ème, Brevet)

Les droites se coupent en \(A\), avec \((MN)\) parallèle à \((BC)\) : on est dans une configuration de Thalès. On écrit :

\(\displaystyle\frac{AM}{AB} = \displaystyle\frac{AN}{AC}\) donc \(\displaystyle\frac{4}{6} = \displaystyle\frac{AN}{9}\)

Par produit en croix : \(\displaystyle AN = \displaystyle\frac{4 \times 9}{6} = \displaystyle\frac{36}{6} = 6\) cm.

Les deux droites se coupent en \(O\), et \((RS)\) est parallèle à \((TU)\) : c’est une configuration papillon. On applique Thalès en plaçant \(O\) au sommet :

\(\displaystyle\frac{OR}{OT} = \displaystyle\frac{OS}{OU}\) donc \(\displaystyle\frac{3}{6} = \displaystyle\frac{4}{OU}\)

Par produit en croix : \(\displaystyle OU = \displaystyle\frac{6 \times 4}{3} = \displaystyle\frac{24}{3} = 8\) cm.

D’après le théorème de Thalès :

\(\displaystyle\frac{AM}{AB} = \displaystyle\frac{AN}{AC}\) donc \(\displaystyle\frac{2{,}5}{4} = \displaystyle\frac{3{,}5}{AC}\)

Produit en croix : \(\displaystyle AC = \displaystyle\frac{4 \times 3{,}5}{2{,}5} = \displaystyle\frac{14}{2{,}5} = 5{,}6\) cm.

La bonne réponse est (b).

Dans chaque fraction, il faut comparer un segment du petit triangle \(AMN\) au segment correspondant du grand triangle \(ABC\) : \(AM\) correspond à \(AB\), \(AN\) à \(AC\), et \(MN\) à \(BC\).

L’écriture (a) est fausse car elle mélange \(MB\) (qui n’est pas un côté du triangle \(ABC\)) avec \(AC\). L’écriture (c) est fausse car on a inversé le numérateur et le dénominateur dans le premier rapport seulement : les deux fractions ne décrivent plus la même chose.

Piège : on te donne \(MB\), mais dans la formule c’est \(AB\) qu’il faut. Il faut d’abord calculer :

\(\displaystyle AB = AM + MB = 3 + 2 = 5\) cm.

Ensuite, d’après Thalès :

\(\displaystyle\frac{AM}{AB} = \displaystyle\frac{AN}{AC}\) donc \(\displaystyle\frac{3}{5} = \displaystyle\frac{4{,}5}{AC}\)

\(\displaystyle AC = \displaystyle\frac{5 \times 4{,}5}{3} = \displaystyle\frac{22{,}5}{3} = 7{,}5\) cm.

Configuration papillon de sommet \(O\) avec \((AC)\parallel(BD)\). On écrit les trois rapports :

\(\displaystyle\frac{OA}{OB} = \displaystyle\frac{OC}{OD} = \displaystyle\frac{AC}{BD}\) soit \(\displaystyle\frac{5}{8} = \displaystyle\frac{4{,}5}{OD} = \displaystyle\frac{6}{BD}\)

Calcul de \(BD\) : \(\displaystyle BD = \displaystyle\frac{8 \times 6}{5} = \displaystyle\frac{48}{5} = 9{,}6\) cm.

Calcul de \(OD\) : \(\displaystyle OD = \displaystyle\frac{8 \times 4{,}5}{5} = \displaystyle\frac{36}{5} = 7{,}2\) cm.

Le bâton et l’arbre sont verticaux : ils sont parallèles entre eux. Les rayons du soleil donnent une configuration de Thalès. On compare le petit triangle (bâton/ombre) au grand (arbre/ombre) :

\(\displaystyle\frac{\text{bâton}}{\text{arbre}} = \displaystyle\frac{\text{ombre bâton}}{\text{ombre arbre}}\) soit \(\displaystyle\frac{1{,}5}{h} = \displaystyle\frac{2}{9}\)

\(\displaystyle h = \displaystyle\frac{1{,}5 \times 9}{2} = \displaystyle\frac{13{,}5}{2} = 6{,}75\) m.

L’arbre mesure 6,75 m.

Ici on ne cherche pas une longueur : on veut prouver un parallélisme. On utilise donc la réciproque du théorème de Thalès. On calcule séparément les deux rapports :

\(\displaystyle\frac{AM}{AB} = \displaystyle\frac{2}{3}\) et \(\displaystyle\frac{AN}{AC} = \displaystyle\frac{4}{6} = \displaystyle\frac{2}{3}\)

Les points \(A\), \(M\), \(B\) sont alignés et \(A\), \(N\), \(C\) aussi, dans le même ordre. Comme les deux rapports sont égaux, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites \((MN)\) et \((BC)\) sont parallèles.

D’après Thalès :

\(\displaystyle\frac{AM}{AB} = \displaystyle\frac{MN}{BC}\) donc \(\displaystyle\frac{6}{10} = \displaystyle\frac{MN}{7}\)

\(\displaystyle MN = \displaystyle\frac{6 \times 7}{10} = \displaystyle\frac{42}{10} = 4{,}2\) cm.

Le rapport vaut \(\displaystyle\frac{MN}{BC} = \displaystyle\frac{6}{10} = \displaystyle\frac{3}{5}\) : c’est le même que \(\displaystyle\frac{AM}{AB}\), ce qui est normal puisque tous les rapports de Thalès sont égaux.

Les droites \((AC)\) et \((BD)\) se coupent en \(M\), et \((AB)\parallel(CD)\) : c’est une configuration papillon. D’après le théorème de Thalès :

\(\displaystyle\frac{MA}{MC} = \displaystyle\frac{AB}{CD}\) donc \(\displaystyle\frac{10}{4} = \displaystyle\frac{AB}{5{,}2}\)

\(\displaystyle AB = \displaystyle\frac{10 \times 5{,}2}{4} = \displaystyle\frac{52}{4} = 13\) m.

La rivière fait 13 m de large.

1. Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\) : on utilise le théorème de Pythagore.

\(\displaystyle BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\)

Donc \(\displaystyle BC = \sqrt{100} = 10\) cm.

2. Maintenant que l’on connaît \(BC\), on applique Thalès :

\(\displaystyle\frac{AM}{AB} = \displaystyle\frac{MN}{BC}\) donc \(\displaystyle\frac{4{,}5}{6} = \displaystyle\frac{MN}{10}\)

\(\displaystyle MN = \displaystyle\frac{4{,}5 \times 10}{6} = \displaystyle\frac{45}{6} = 7{,}5\) cm.

Pour savoir quel théorème dégainer dans un énoncé, regarde la fiche Thalès ou Pythagore.

1. Les droites \((AB)\) et \((AC)\) se coupent en \(A\). Le point \(E\) appartient à \([AB]\), le point \(F\) appartient à \([AC]\), et \((EF)\) est parallèle à \((BC)\). Les conditions du théorème de Thalès sont donc bien réunies.

2. D’après le théorème de Thalès :

\(\displaystyle\frac{AE}{AB} = \displaystyle\frac{EF}{BC}\) donc \(\displaystyle\frac{1{,}2}{3{,}6} = \displaystyle\frac{0{,}9}{BC}\)

\(\displaystyle BC = \displaystyle\frac{3{,}6 \times 0{,}9}{1{,}2} = \displaystyle\frac{3{,}24}{1{,}2} = 2{,}7\) m.

3. Toujours avec Thalès :

\(\displaystyle\frac{AE}{AB} = \displaystyle\frac{AF}{AC}\) donc \(\displaystyle\frac{1{,}2}{3{,}6} = \displaystyle\frac{AF}{5{,}4}\)

\(\displaystyle AF = \displaystyle\frac{1{,}2 \times 5{,}4}{3{,}6} = \displaystyle\frac{6{,}48}{3{,}6} = 1{,}8\) m.

Conseil correcteur : à la question 1, beaucoup d’élèves oublient de citer les trois conditions (point d’intersection, appartenance des points, parallélisme). Le correcteur attend ces trois éléments rédigés.

Quand deux droites se coupent en \(A\), avec \(M\) et \(N\) placés sur ces droites et \((MN)\parallel(BC)\), la formule est : \(\displaystyle\frac{AM}{AB} = \displaystyle\frac{AN}{AC} = \displaystyle\frac{MN}{BC}\). On choisit l’égalité qui contient la longueur cherchée, puis on calcule avec un produit en croix.

En quatre temps : (1) cite le théorème et indique que les points sont alignés ; (2) précise que les droites sont parallèles ; (3) écris l’égalité des rapports ; (4) calcule et donne le résultat avec son unité. Tu trouveras un modèle complet sur la fiche rédiger une démonstration avec Thalès.

Le théorème direct sert à calculer une longueur quand on sait déjà que les droites sont parallèles. La réciproque fait l’inverse : elle sert à démontrer que deux droites sont parallèles à partir de l’égalité des rapports. On en parle en détail sur la page réciproque de Thalès.

Pythagore s’utilise dans un triangle rectangle (présence d’un angle droit). Thalès s’utilise quand on a des droites parallèles coupées par deux sécantes. Parfois les deux se combinent dans un même exercice (comme à l’exercice 11). Le guide Thalès ou Pythagore détaille comment choisir.

Oui, c’est un grand classique de l’épreuve de mathématiques du brevet. On le retrouve presque chaque année, souvent dans un problème concret (rampe, distance inaccessible, hauteur). Bien le maîtriser, c’est sécuriser plusieurs points faciles.