Tu sais déjà calculer une longueur avec le théorème de Thalès. Mais que faire quand on te demande l’inverse : prouver que deux droites sont parallèles ? C’est exactement le rôle de la réciproque du théorème de Thalès. Dans cet article, tu vas comprendre quand l’utiliser, apprendre à la rédiger sans te tromper, et t’entraîner sur des exercices corrigés type brevet.
I. À quoi sert la réciproque de Thalès ?
Pour bien comprendre, partons d’une idée simple. Le théorème de Thalès et sa réciproque parlent de la même figure, mais ils ne servent pas à la même chose.
- Le théorème (direct) : tu sais déjà que deux droites sont parallèles, et tu veux calculer une longueur.
- La réciproque : tu connais des longueurs, et tu veux démontrer que deux droites sont parallèles.
Autrement dit, la réciproque fait le chemin à l’envers : elle part des longueurs pour arriver au parallélisme.
Le bon réflexe : dès que l’énoncé demande « montre que les droites sont parallèles » et te donne des longueurs, c’est la réciproque qu’il faut utiliser. Si on te demande de calculer une longueur, c’est le théorème direct.
Avant d’aller plus loin, assure-toi de maîtriser le cours de base sur le théorème de Thalès, car la réciproque utilise exactement la même figure.
II. L’énoncé de la réciproque
Voici l’énoncé officiel, celui que tu peux citer sur ta copie au brevet.
Réciproque du théorème de Thalès
On considère deux droites sécantes en un point \(A\). Sur la première droite, on place les points \(B\) et \(M\). Sur la seconde droite, on place les points \(C\) et \(N\).
Si les points \(A\), \(B\), \(M\) sont alignés dans le même ordre que les points \(A\), \(C\), \(N\),
et si \(\displaystyle\frac{AB}{AM} = \displaystyle\frac{AC}{AN}\),
alors les droites \((BC)\) et \((MN)\) sont parallèles.
Tu remarques qu’il y a deux conditions à vérifier, pas une seule :
- les points doivent être alignés dans le même ordre à partir du sommet commun \(A\) ;
- les deux rapports doivent être égaux.
Si ces deux conditions sont réunies, et seulement alors, tu peux affirmer que les droites sont parallèles.
Erreur classique : oublier la condition d’alignement. Si les points ne sont pas dans le même ordre par rapport à \(A\), même avec des rapports égaux, on ne peut pas conclure que les droites sont parallèles. C’est ce qui distingue la configuration directe de la configuration papillon.
La contraposée : prouver que ce n’est PAS parallèle
Il existe une cousine de la réciproque, très pratique : la contraposée. Elle sert à montrer que deux droites ne sont pas parallèles.
Contraposée du théorème de Thalès
Avec la même figure : si \(\displaystyle\frac{AB}{AM} \neq \displaystyle\frac{AC}{AN}\), alors les droites \((BC)\) et \((MN)\) ne sont pas parallèles.
Donc, quand tu calcules les deux rapports : s’ils sont égaux tu utilises la réciproque (parallèles), s’ils sont différents tu utilises la contraposée (pas parallèles). Dans les deux cas, le calcul des rapports est le même.
La réciproque de Thalès résumée en 1 page
Énoncé, méthode en 4 étapes et erreurs à éviter : tout ce qu’il faut retenir pour le brevet, sur une fiche claire à imprimer.
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III. La méthode en 4 étapes
Pour réussir à coup sûr, suis toujours le même chemin. Cette méthode marche pour tous les exercices de brevet.
- Vérifier l’alignement. Repère le point sommet (souvent \(A\)) et vérifie que les points sont alignés dans le même ordre sur les deux droites.
- Calculer le premier rapport séparément. Écris-le sous forme de fraction et donne sa valeur décimale.
- Calculer le second rapport séparément, de la même façon.
- Comparer et conclure. Si les deux valeurs sont égales, cite la réciproque et conclus que les droites sont parallèles.
Astuce de rédaction : calcule toujours les deux rapports séparément, sur deux lignes différentes. Tu écris la valeur de chacun, puis seulement après tu écris « les deux rapports sont égaux ». Le correcteur veut voir ces trois étapes. Pour un modèle de rédaction complet, va voir la fiche comment rédiger une démonstration avec Thalès.
IV. Deux exemples résolus pas à pas
Exemple 1 — Les droites sont parallèles
Énoncé : Les points \(A\), \(B\), \(M\) sont alignés, et \(A\), \(C\), \(N\) aussi, dans le même ordre. On donne \(AB = 3\) cm, \(AM = 7{,}5\) cm, \(AC = 4\) cm et \(AN = 10\) cm. Les droites \((BC)\) et \((MN)\) sont-elles parallèles ?
Étape 1 — Premier rapport :
\(\displaystyle\frac{AB}{AM} = \displaystyle\frac{3}{7{,}5} = 0{,}4\)
Étape 2 — Second rapport :
\(\displaystyle\frac{AC}{AN} = \displaystyle\frac{4}{10} = 0{,}4\)
Étape 3 — Comparaison : les deux rapports sont égaux à \(0{,}4\). Les points sont alignés dans le même ordre.
Conclusion : d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites \((BC)\) et \((MN)\) sont parallèles. ✓
Exemple 2 — Les droites ne sont pas parallèles
Énoncé : Mêmes notations. On donne \(AB = 2\) cm, \(AM = 5\) cm, \(AC = 3\) cm et \(AN = 6\) cm. Les droites \((BC)\) et \((MN)\) sont-elles parallèles ?
Premier rapport : \(\displaystyle\frac{AB}{AM} = \displaystyle\frac{2}{5} = 0{,}4\)
Second rapport : \(\displaystyle\frac{AC}{AN} = \displaystyle\frac{3}{6} = 0{,}5\)
Comparaison : \(0{,}4\) et \(0{,}5\) sont différents.
Conclusion : d’après la contraposée du théorème de Thalès, les droites \((BC)\) et \((MN)\) ne sont pas parallèles.
Tu vois que le travail de calcul est identique dans les deux cas : seule la conclusion change selon que les rapports sont égaux ou non.
V. Exercices corrigés
À toi de jouer ! Essaie chaque exercice seul avant de regarder la correction. Les exercices sont classés du plus simple (★) au plus difficile (★★★).
Exercice 1 (★). Les points \(A\), \(B\), \(M\) et \(A\), \(C\), \(N\) sont alignés dans le même ordre. On a \(AB = 4\) cm, \(AM = 6\) cm, \(AC = 6\) cm, \(AN = 9\) cm. Les droites \((BC)\) et \((MN)\) sont-elles parallèles ?
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\(\displaystyle\frac{AB}{AM} = \displaystyle\frac{4}{6} \approx 0{,}666\) et \(\displaystyle\frac{AC}{AN} = \displaystyle\frac{6}{9} \approx 0{,}666\).
Les deux rapports sont égaux et les points sont alignés dans le même ordre. D’après la réciproque de Thalès, \((BC)\) et \((MN)\) sont parallèles.
Exercice 2 (★). On a \(AB = 5\) cm, \(AM = 8\) cm, \(AC = 7\) cm, \(AN = 10\) cm (points alignés dans le même ordre). Les droites \((BC)\) et \((MN)\) sont-elles parallèles ?
Voir la correction
\(\displaystyle\frac{AB}{AM} = \displaystyle\frac{5}{8} = 0{,}625\) et \(\displaystyle\frac{AC}{AN} = \displaystyle\frac{7}{10} = 0{,}7\).
Les deux rapports sont différents. D’après la contraposée de Thalès, \((BC)\) et \((MN)\) ne sont pas parallèles.
Exercice 3 (★★). Sur une figure, \(AE = 2{,}4\) cm, \(AB = 3{,}6\) cm, \(AF = 3\) cm et \(AC = 4{,}5\) cm. Les points \(A\), \(E\), \(B\) sont alignés dans le même ordre que \(A\), \(F\), \(C\). Montre que \((EF)\) et \((BC)\) sont parallèles.
Voir la correction
\(\displaystyle\frac{AE}{AB} = \displaystyle\frac{2{,}4}{3{,}6} \approx 0{,}666\) et \(\displaystyle\frac{AF}{AC} = \displaystyle\frac{3}{4{,}5} \approx 0{,}666\).
Les rapports sont égaux et les points sont dans le même ordre. D’après la réciproque de Thalès, \((EF)\) et \((BC)\) sont parallèles.
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Exercice 4 (★★). On donne \(AB = 4{,}2\) cm, \(AM = 7\) cm, \(AC = 3\) cm. Quelle doit être la longueur \(AN\) pour que \((BC)\) et \((MN)\) soient parallèles ?
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Pour que les droites soient parallèles, il faut \(\displaystyle\frac{AB}{AM} = \displaystyle\frac{AC}{AN}\).
On calcule \(\displaystyle\frac{AB}{AM} = \displaystyle\frac{4{,}2}{7} = 0{,}6\). Il faut donc \(\displaystyle\frac{3}{AN} = 0{,}6\), ce qui donne \(AN = \displaystyle\frac{3}{0{,}6} = 5\) cm.
Cet exercice de raisonnement utilise un produit en croix pour trouver la longueur manquante.
Exercice 5 (★★). Léa affirme : « Les rapports valent \(\displaystyle\frac{6}{8}\) et \(\displaystyle\frac{9}{12}\), ils sont différents donc les droites ne sont pas parallèles. » A-t-elle raison ?
Voir la correction
\(\displaystyle\frac{6}{8} = 0{,}75\) et \(\displaystyle\frac{9}{12} = 0{,}75\). Les deux fractions sont en réalité égales ! Léa s’est trompée en disant qu’elles étaient différentes.
Les rapports étant égaux, les droites sont bien parallèles (si l’alignement est respecté). C’est un piège fréquent : il faut comparer les valeurs décimales, pas seulement l’apparence des fractions.
Exercice 6 (★★★) — type brevet. Un mât \([BC]\) est maintenu par deux câbles. On mesure \(AB = 1{,}5\) m, \(AM = 6\) m, \(AC = 2\) m et \(AN = 8\) m, les points étant alignés dans le même ordre. Le menuisier affirme que les deux câbles \((BC)\) et \((MN)\) sont parallèles. A-t-il raison ? Justifie.
Voir la correction
\(\displaystyle\frac{AB}{AM} = \displaystyle\frac{1{,}5}{6} = 0{,}25\) et \(\displaystyle\frac{AC}{AN} = \displaystyle\frac{2}{8} = 0{,}25\).
Les deux rapports sont égaux et les points sont alignés dans le même ordre. D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites \((BC)\) et \((MN)\) sont parallèles : le menuisier a raison.
Pour t’entraîner davantage avec des sujets de brevet complets, file vers les exercices corrigés de Thalès en 3ème.
VI. Les erreurs fréquentes à éviter
Voici les pièges qui coûtent le plus de points au brevet. Lis-les attentivement avant ton contrôle.
Erreur 1 — Confondre le théorème et sa réciproque. Si on te demande de prouver un parallélisme, tu dois citer la réciproque, pas le théorème direct. Écrire « d’après le théorème de Thalès, les droites sont parallèles » est faux : le théorème direct suppose déjà que les droites sont parallèles.
Erreur 2 — Oublier de vérifier l’alignement. La réciproque ne marche que si les points sont alignés dans le même ordre à partir du sommet. Pense à le mentionner dans ta rédaction.
Erreur 3 — Mélanger les longueurs. Chaque rapport doit comparer deux longueurs situées sur la même droite. Ne mélange pas \(AB\) (première droite) avec \(AN\) (seconde droite) dans le même rapport.
Erreur 4 — Conclure sans comparer. Calculer les deux rapports ne suffit pas : il faut écrire explicitement la phrase « les deux rapports sont égaux » (ou « différents ») avant de conclure.
VII. Théorème ou réciproque : le tableau pour ne plus confondre
Ce tableau résume la différence entre les deux outils. Garde-le en tête pendant tes exercices.
| Outil | Ce que tu connais | Ce que tu trouves |
|---|---|---|
| Théorème (direct) | Les droites sont parallèles | Une longueur manquante |
| Réciproque | Des longueurs, rapports égaux | Les droites sont parallèles |
| Contraposée | Des longueurs, rapports différents | Les droites ne sont pas parallèles |
Et si tu hésites entre Thalès et un autre théorème célèbre, la fiche Thalès ou Pythagore t’aide à choisir le bon outil.
VIII. Questions fréquentes
Quelle est la réciproque du théorème de Thalès ?
La réciproque sert à démontrer que deux droites sont parallèles. Si, dans une configuration de Thalès, les points sont alignés dans le même ordre et que les deux rapports de longueurs sont égaux, alors les deux droites concernées sont parallèles.
Quand utiliser la réciproque de Thalès ?
Tu l’utilises quand l’énoncé te donne des longueurs et te demande de montrer que deux droites sont parallèles. Si au contraire on te demande de calculer une longueur, tu utilises le théorème direct.
Quelle est la différence entre le théorème de Thalès et sa réciproque ?
Le théorème direct part de droites parallèles pour calculer une longueur. La réciproque fait l’inverse : elle part de longueurs (avec des rapports égaux) pour prouver que les droites sont parallèles. C’est la même figure, mais le point de départ et le point d’arrivée sont échangés.
C'est quoi la contraposée de Thalès ?
La contraposée sert à prouver que deux droites ne sont pas parallèles. Si les deux rapports de longueurs sont différents, alors les droites ne sont pas parallèles. Le calcul est le même que pour la réciproque : seule la conclusion change.
Comment rédiger la réciproque de Thalès au brevet ?
Calcule les deux rapports séparément, donne leur valeur décimale, écris qu’ils sont égaux, puis conclus en citant la réciproque du théorème de Thalès. Tu trouveras un modèle de rédaction détaillé sur notre fiche dédiée à la rédaction.
IX. Pour aller plus loin
Tu sais maintenant démontrer que deux droites sont parallèles. Pour consolider tes acquis :
- Comment rédiger une démonstration avec Thalès — le modèle de copie annotée.
- Exercices corrigés Thalès 3ème (brevet) — pour t’entraîner en conditions réelles.
- La configuration papillon — le cas où les points ne sont pas dans le même ordre.
- Le cours complet sur le théorème de Thalès — pour revoir toutes les configurations.
Et au lycée ? En seconde, la réciproque de Thalès se retrouve dans la notion de triangles semblables, puis plus tard dans les homothéties. Le réflexe « rapports égaux → parallélisme » te resservira !
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