Un entier relatif est un nombre entier qui peut être positif, négatif ou nul. L’ensemble des entiers relatifs se note \(\mathbb{Z}\). Ce cours te donne la définition, les méthodes de comparaison, la règle des signes, les techniques de calcul et des exercices corrigés.
Définition. Un entier relatif est un nombre qui s’écrit sans virgule et sans fraction, et qui peut être positif, négatif ou nul.
\(\mathbb{Z}=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}\)
Exemples : \(-7\), \(0\), \(12\) sont des entiers relatifs.
Contre-exemples : \(2{,}5\) et \(\displaystyle\frac{1}{3}\) ne sont pas des entiers.
Contexte. Cette page traite spécifiquement des entiers relatifs \(\mathbb{Z}\). Pour la version complète (avec les entiers naturels \(\mathbb{N}\), les propriétés, etc.), consulte la page pilier : nombres entiers.
Pour t’entraîner : exercices nombres entiers (tous niveaux) et exercices nombres entiers 6ème (PDF).
Définition : qu’est-ce qu’un entier relatif ?
L’ensemble \(\mathbb{Z}\) et notation
En mathématiques, on regroupe tous les entiers (positifs, négatifs et zéro) dans un ensemble appelé \(\mathbb{Z}\) (de l’allemand Zahlen, « nombres »).
L’ensemble \(\mathbb{Z}\) contient :
- Les entiers positifs (qui correspondent aux entiers naturels \(\mathbb{N}\)).
- Les entiers négatifs.
- Le nombre zéro.
Note bien : tous les entiers naturels (\(\mathbb{N}\)) sont aussi des entiers relatifs. On dit que \(\mathbb{N}\) est inclus dans \(\mathbb{Z}\) : \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\). Si tu sais compter dans \(\mathbb{N}\), tu sais déjà utiliser la moitié de \(\mathbb{Z}\) !
Comparer rapidement \(\mathbb{N}\) et \(\mathbb{Z}\)
| Ensemble | Contenu | Exemples | Remarque |
|---|---|---|---|
| \(\mathbb{N}\) | Entiers naturels (positifs ou nuls) | \(0, 1, 2, 3\) | Voir la page entiers naturels. |
| \(\mathbb{Z}\) | Entiers relatifs (négatifs, zéro, positifs) | \(-2, -1, 0, 1, 2\) | Base pour les calculs de signes et la droite graduée. |
Comment savoir si un nombre est un entier relatif ?
Check-list en 3 étapes.
- Virgule ? Si oui, ce n’est pas un entier (ex. \(3{,}2\)).
- Fraction ? Si oui, ce n’est pas un entier (ex. \(\displaystyle\frac{5}{2}\)).
- Signe + ou − possible : si l’écriture est un nombre « plein » (ex. \(-17\), \(0\), \(24\)), alors c’est un entier relatif.
Pièges fréquents : « signe moins » vs « soustraction »
Piège. Ne confonds pas :
- le signe « moins » devant un nombre : \(-5\) (c’est un nombre négatif)
- la soustraction : \(7-5\) (c’est une opération)
Exemple classique : \(7-(-5)\) ne se traite pas comme \(7-5\).
Mini-table : entier relatif ou pas ?
| Écriture | Entier relatif ? | Pourquoi |
|---|---|---|
| \(-12\) | Oui | Pas de virgule, pas de fraction |
| \(0\) | Oui | \(0\) appartient à \(\mathbb{Z}\) |
| \(2{,}0\) | Oui | C’est le même nombre que \(2\) |
| \(\displaystyle\frac{9}{3}\) | Oui | Cette fraction vaut \(3\) (après simplification) |
| \(\displaystyle\frac{1}{3}\) | Non | Ce n’est pas un entier |
| \(4{,}7\) | Non | Virgule (nombre décimal) |
Représentation sur la droite graduée et comparaison
La meilleure façon de visualiser les entiers relatifs est d’utiliser une droite graduée.
Placer un point sur une droite graduée
Une droite graduée est définie par une origine (le point O correspondant à \(0\)), une unité de longueur et un sens (généralement vers la droite).
- Les nombres positifs sont placés à droite de l’origine.
- Les nombres négatifs sont placés à gauche de l’origine.
L’abscisse d’un point est le nombre relatif qui permet de le repérer sur la droite.
Opposé et valeur absolue
L’opposé de \(a\) est \(-a\). Par exemple, l’opposé de \(7\) est \(-7\), et l’opposé de \(-7\) est \(7\).
La valeur absolue de \(a\), notée \(|a|\), est sa distance à \(0\). Pour l’obtenir, on supprime simplement le signe :
- \(|5| = 5\)
- \(|-5| = 5\)
- \(|0| = 0\)
- \(|-123| = 123\)
Deux nombres opposés ont toujours la même valeur absolue : \(|7| = |-7| = 7\).
Comparer et ranger les relatifs
Comparer deux nombres relatifs, c’est dire lequel est le plus grand ou le plus petit. Sur une droite graduée, la règle est visuelle et infaillible :
Règle d’or : sur la droite graduée, le nombre le plus grand est toujours celui qui est le plus à droite.
Cela implique trois cas de figure :
- Deux nombres positifs : le plus grand est celui qui a la plus grande distance à zéro. (Ex : \(5\) > \(2\)).
- Un positif et un négatif : le positif est toujours plus grand. (Ex : \(1\) > \(-1000\)).
- Deux nombres négatifs : le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro (le plus proche des positifs).
Attention au piège classique !
On a souvent l’impression que \(-10\) est « plus grand » que \(-2\) à cause du chiffre 10. C’est faux.
Comme \(-2\) est plus proche de zéro (plus à droite) que \(-10\), on a bien : \(-10\) < \(-2\).
Pense à la température : il fait plus chaud à −2 °C qu’à −10 °C.
Pour aller plus loin sur le thème des raisonnements avec des entiers, tu peux aussi voir le cours sur les entiers consécutifs (très fréquent en problèmes).
Calculer avec les entiers relatifs : méthodes fiables
Addition : mêmes signes / signes contraires
Règle (à comprendre, pas juste à réciter).
- Même signe : on additionne les valeurs absolues et on garde le signe.
- Signes contraires : on soustrait les valeurs absolues (la plus grande moins la plus petite) et on garde le signe du nombre de plus grande valeur absolue.
Exemples.
- \((+7)+(+5)=12\)
- \((-7)+(-5)=-12\)
- \((+7)+(-5)=2\) (car \(7\) « gagne »)
- \((-7)+(+5)=-2\) (car \(7\) « gagne » et le signe est négatif)
Soustraction : transformer en addition (méthode propre)
Méthode standard. Pour calculer \(a-b\), on écrit :
\(a-b=a+(-b)\)
Ensuite, on applique la règle d’addition (mêmes signes / signes contraires).
Piège très fréquent. \(7-(-5)\) n’est pas \(7-5\).
En méthode : \(7-(-5)=7+(+5)=12\).
Multiplication et division : règle des signes
Pour un produit ou un quotient, c’est le signe qui commande :
| Opération | Signes | Signe du résultat | Exemple |
|---|---|---|---|
| Produit | même signe | positif | \((-3)\times(-4)=12\) |
| Produit | signes contraires | négatif | \((+3)\times(-4)=-12\) |
| Quotient | même signe | positif | \((-12)\div(-3)=4\) |
| Quotient | signes contraires | négatif | \(12\div(-3)=-4\) |
Attention : la division ne « reste » pas toujours dans \(\mathbb{Z}\). Par exemple, \(1\div 2\) n’est pas un entier relatif. Quand la division ne tombe pas juste, on utilise la division euclidienne (avec quotient et reste).
Priorités opératoires : sécuriser les calculs
Pour éviter les erreurs :
- on traite d’abord les parenthèses,
- puis multiplications/divisions,
- puis additions/soustractions.
Erreurs fréquentes + fiche express « à retenir »
Les 5 erreurs qui coûtent le plus de points.
- Oublier que « soustraire un négatif » revient à additionner (ex. \(a-(-b)=a+b\)).
- Confondre « signe − » et « opération − » (un nombre vs une soustraction).
- Comparer deux négatifs à l’envers (ex. croire que \(-8\) > \(-3\)).
- Appliquer la règle des signes à une addition (elle vaut pour produit/quotient, pas pour somme).
- Oublier les priorités (faire \(3+2\times(-5)\) comme \((3+2)\times(-5)\)).
Fiche express (à mémoriser).
- Comparer deux négatifs : « le plus proche de 0 est le plus grand ».
- Soustraction : \(a-b=a+(-b)\).
- Addition signes contraires : « différence des valeurs absolues + signe du plus fort ».
- Produit/quotient : mêmes signes → positif ; signes contraires → négatif.
Exercices d’entraînement (mini-série)
Ci-dessous : une mini-série pour valider les bases. Pour une banque complète (et des PDF imprimables) : exercices nombres entiers (multi-niveaux) et exercices nombres entiers 6ème.
Série 1 (facile) : reconnaître / comparer / ranger
- Dire si chacun appartient à \(\mathbb{Z}\) : \(-4\), \(3{,}2\), \(\displaystyle\frac{9}{3}\), \(0\).
- Comparer : \(-6\) et \(2\).
- Comparer : \(-9\) et \(-3\).
- Ranger par ordre croissant : \(-2\), \(5\), \(-7\), \(0\).
▶ Voir la correction — Série 1
- \(-4 \in \mathbb{Z}\) ; \(3{,}2 \notin \mathbb{Z}\) ; \(\displaystyle\frac{9}{3}=3 \in \mathbb{Z}\) ; \(0 \in \mathbb{Z}\).
- \(-6\) < \(2\).
- \(-9\) < \(-3\) (car \(-3\) est plus proche de 0).
- Ordre croissant : \(-7\), \(-2\), \(0\), \(5\).
Série 2 (intermédiaire) : addition / soustraction
- Calculer : \(-8+11\).
- Calculer : \(7-(-5)\).
- Calculer : \(-4-9\).
- Calculer : \(-12-(-3)\).
▶ Voir la correction — Série 2
- \(-8+11=3\).
- \(7-(-5)=7+5=12\).
- \(-4-9=-4+(-9)=-13\).
- \(-12-(-3)=-12+3=-9\).
Série 3 (mix) : priorités + calculs plus longs
- Calculer : \(-3\times(4-9)\).
- Calculer : \((-6)\times(-2)+5\).
- Calculer : \(7-3\times(-4)\).
- Calculer : \(-20\div 5\).
▶ Voir la correction — Série 3
- \(-3\times(4-9)=-3\times(-5)=15\).
- \((-6)\times(-2)+5=12+5=17\).
- \(7-3\times(-4)=7-(-12)=7+12=19\).
- \(-20\div 5=-4\).
Pour progresser vite. Fais 10 minutes d’exercices « signes + parenthèses » chaque jour. La régularité vaut souvent plus qu’une grosse session le week-end.
Pour aller plus loin (lycée + début prépa)
Pourquoi \(\mathbb{Z}\) est stable par addition et multiplication
Si on additionne deux entiers relatifs, on obtient encore un entier relatif : ex. \(-7+12=5\). Idem pour la multiplication : ex. \((-3)\times 4=-12\). On dit que \(\mathbb{Z}\) est stable pour l’addition et la multiplication.
Point important. En revanche, \(\mathbb{Z}\) n’est pas stable pour la division : \(\displaystyle\frac{1}{2}\) n’est pas un entier. La division « reste dans \(\mathbb{Z}\) » seulement dans certains cas (division euclidienne, divisibilité).
FAQ — Entiers relatifs
C'est quoi un entier relatif ?
Un entier relatif est un nombre entier qui peut être positif, négatif ou égal à \(0\). L’ensemble des entiers relatifs se note \(\mathbb{Z} = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}\). Exemples : \(-7\), \(0\) et \(42\) sont des entiers relatifs. Pour en savoir plus : cours complet sur les nombres entiers.
Quel est l'ensemble ℤ ?
L’ensemble \(\mathbb{Z}\) est l’ensemble des entiers relatifs : il contient tous les entiers négatifs, \(0\), et tous les entiers positifs. Il inclut l’ensemble des entiers naturels (\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\)).
Comment savoir si un nombre est un entier relatif ?
Un nombre est un entier relatif s’il s’écrit sans virgule et n’est pas une fraction non entière. Il peut être négatif, positif ou nul : \(-3\), \(0\), \(12\) sont des entiers relatifs, alors que \(2{,}5\) et \(\displaystyle\frac{1}{3}\) n’en sont pas.
Est-ce que 0 est un entier relatif ?
Oui. \(0\) appartient à \(\mathbb{Z}\). Il n’est ni positif ni négatif : c’est le point de séparation entre les deux sur la droite graduée.
C'est quoi la règle des signes ?
La règle des signes s’applique aux multiplications et aux divisions : deux nombres de même signe donnent un résultat positif, deux nombres de signes contraires donnent un résultat négatif. Attention : cette règle ne s’applique pas à l’addition.
Quelle est la différence entre entier naturel et entier relatif ?
Les entiers naturels (\(\mathbb{N}\)) sont les entiers positifs ou nuls : 0, 1, 2, 3, … Les entiers relatifs (\(\mathbb{Z}\)) incluent en plus les entiers négatifs : …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
À explorer sur le thème des entiers :
- Cours complet : nombres entiers
- Entiers naturels (ℕ)
- Entiers consécutifs
- Critères de divisibilité
- Division euclidienne
- Nombres premiers et décomposition en facteurs premiers
- PGCD et PPCM
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