Dans la vie courante, les nombres entiers simples (0, 1, 2, 3…) ne suffisent pas toujours. Comment noter une température en dessous de zéro ? Comment représenter une dette ou un recul ? C’est ici qu’interviennent les nombres entiers relatifs.
Retrouvez notre guide complet sur les nombres entiers pour revoir les généralités avant d’approfondir la notion de signe. Ce chapitre est fondamental : la maîtrise des nombres relatifs et de la règle des signes est indispensable pour réussir au collège, au lycée et en prépa.
Définition : qu’est-ce qu’un entier relatif ? (\(\mathbb{Z}\))
Définition. Un entier relatif est un nombre qui s’écrit sans virgule et sans fraction, et qui peut être positif, négatif ou nul.
L’ensemble des entiers relatifs se note \(\mathbb{Z}=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}\).
Exemples : \(-7\), \(0\), \(12\) sont des entiers relatifs. Contre-exemples : \(2{,}5\) et \(\frac{1}{3}\) ne sont pas des entiers.
L’ensemble \(\mathbb{Z}\) et notation
En mathématiques, on regroupe tous ces nombres dans un ensemble appelé \(\mathbb{Z}\) (venant de l’allemand Zahlen, qui signifie « nombres »).
L’ensemble \(\mathbb{Z}\) contient :
- Les entiers positifs (qui correspondent aux entiers naturels \(\mathbb{N}\)).
- Les entiers négatifs.
- Le nombre zéro.
On peut lister les premiers éléments de cet ensemble infini ainsi :
\(\mathbb{Z} = \{ \dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots \}\)
Notez bien : Tous les entiers naturels (\(\mathbb{N}\)) sont aussi des entiers relatifs. On dit que \(\mathbb{N}\) est inclus dans \(\mathbb{Z}\). Si vous savez compter dans \(\mathbb{N}\), vous savez déjà utiliser la moitié de \(\mathbb{Z}\) !
| Ensemble | Contenu | Exemples | Remarque |
|---|---|---|---|
| \(\mathbb{N}\) | Entiers naturels (selon convention, avec ou sans \(0\)) | \(0,1,2,3\) | Voir la page entiers naturels. |
| \(\mathbb{Z}\) | Entiers relatifs (négatifs, zéro, positifs) | \(-2,-1,0,1,2\) | Base pour les calculs de signes et la droite graduée. |
Comment savoir si un nombre est un entier relatif ?
Check-list en 3 étapes.
- Virgule ? Si oui, ce n’est pas un entier (ex. \(3{,}2\)).
- Fraction ? Si oui, ce n’est pas un entier (ex. \(\frac{5}{2}\)).
- Signe + ou − possible : si l’écriture est un nombre “plein” (ex. \(-17\), \(0\), \(24\)), alors c’est un entier relatif.
Pièges fréquents : “signe moins” vs “soustraction”
Piège. Ne confonds pas :
- le signe “moins” devant un nombre : \(-5\) (c’est un nombre négatif)
- la soustraction : \(7-5\) (c’est une opération)
Exemple classique : \(7-(-5)\) ne se traite pas comme \(7-5\).
Mini-table : entier ou pas entier ?
| Écriture | Entier relatif ? | Pourquoi |
|---|---|---|
| \(-12\) | Oui | Pas de virgule, pas de fraction |
| \(0\) | Oui | \(0\) appartient à \(\mathbb{Z}\) |
| \(2{,}0\) | Oui | C’est le même nombre que \(2\) |
| \(\frac{9}{3}\) | Oui | Cette fraction vaut \(3\) (après simplification) |
| \(\frac{1}{3}\) | Non | Ce n’est pas un entier |
| \(4{,}7\) | Non | Virgule |
Représentation sur la droite graduée et comparaison
La meilleure façon de visualiser les entiers relatifs est d’utiliser une droite graduée.
Placer un point sur une droite graduée
Une droite graduée est définie par une origine (le point O correspondant à \(0\)), une unité de longueur et un sens (généralement vers la droite).
- Les nombres positifs sont placés à droite de l’origine.
- Les nombres négatifs sont placés à gauche de l’origine.
L’abscisse d’un point est le nombre relatif qui permet de le repérer sur la droite.
Opposé et valeur absolue : deux notions qui sécurisent
L’opposé de \(a\) est \(-a\). Par exemple, l’opposé de \(7\) est \(-7\), et l’opposé de \(-7\) est \(7\).
La valeur absolue de \(a\), notée \(|a|\), est sa distance à \(0\). Exemple : \(|-7|=7\).
Comment calculer la valeur absolue ?
Pour obtenir la valeur absolue d’un nombre, on supprime simplement son signe :
- \(|5| = 5\)
- \(|-5| = 5\)
- \(|0| = 0\)
- \(|-123| = 123\)
Deux nombres opposés ont toujours la même valeur absolue. Par exemple, \(|7| = |-7| = 7\)
Comparer et ranger les relatifs
Comparer deux nombres relatifs, c’est dire lequel est le plus grand (supérieur) ou le plus petit (inférieur). Sur une droite graduée, la règle est visuelle et infaillible :
Règle d’or : Sur la droite graduée, le nombre le plus grand est toujours celui qui est le plus à droite.
Cela implique trois cas de figure :
- Deux nombres positifs : Le plus grand est celui qui a la plus grande distance à zéro. (Ex: \(5\) > \(2\)).
- Un positif et un négatif : Le positif est toujours plus grand que le négatif. (Ex: \(1\) > \(-1000\)).
- Deux nombres négatifs : C’est souvent là que l’on se trompe. Le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro (car il est le plus proche des positifs).
Attention au piège classique !
On a souvent l’impression que \(-10\) est « plus grand » que \(-2\) à cause du chiffre 10. C’est faux.
Comme \(-2\) est plus proche de zéro (plus à droite) que \(-10\), on a bien :
\(-10\) < \(-2\).
Pensez à la température : il fait plus chaud à -2°C qu’à -10°C.
Calculer avec les entiers relatifs : méthodes fiables
Addition : mêmes signes / signes contraires
Règle (à comprendre, pas juste à réciter).
- Même signe : on additionne les valeurs absolues et on garde le signe.
- Signes contraires : on soustrait les valeurs absolues (la plus grande moins la plus petite) et on garde le signe du nombre de plus grande valeur absolue.
Exemples.
- \((+7)+(+5)=12\)
- \((-7)+(-5)=-12\)
- \((+7)+(-5)=2\) (car \(7\) “gagne”)
- \((-7)+(+5)=-2\) (car \(7\) “gagne” et le signe est négatif)
Soustraction : transformer en addition (méthode propre)
Méthode standard. Pour calculer \(a-b\), on écrit :
\(a-b=a+(-b)\)
Ensuite, on applique la règle d’addition (mêmes signes / signes contraires).
Piège très fréquent. \(7-(-5)\) n’est pas \(7-5\).
En méthode : \(7-(-5)=7+(+5)=12\).
Multiplication et division : règle des signes
Pour un produit ou un quotient, c’est le signe qui commande :
| Opération | Signes | Signe du résultat | Exemple |
|---|---|---|---|
| Produit | même signe | positif | \((-3)\times(-4)=12\) |
| Produit | signes contraires | négatif | \((+3)\times(-4)=-12\) |
| Quotient | même signe | positif | \((-12)\div(-3)=4\) |
| Quotient | signes contraires | négatif | \(12\div(-3)=-4\) |
Attention : la division ne “reste” pas toujours dans \(\mathbb{Z}\). Par exemple, \(1\div 2\) n’est pas un entier relatif. (Tu reverras ça en détail quand on parle de fractions et de division.)
Priorités opératoires : sécuriser les calculs
Pour éviter les erreurs :
- on traite d’abord les parenthèses,
- puis multiplications/divisions,
- puis additions/soustractions.
Erreurs fréquentes + mini-fiches “à retenir”
Les 5 erreurs qui coûtent le plus de points.
- Oublier que “soustraire un négatif” revient à additionner (ex. \(a-(-b)=a+b\)).
- Confondre “signe −” et “opération −” (un nombre vs une soustraction).
- Comparer deux négatifs à l’envers (ex. croire que \(-8\) > \(-3\)).
- Appliquer la règle des signes à une addition (elle vaut pour produit/quotient, pas pour somme).
- Oublier les priorités (faire \(3+2\times(-5)\) comme \((3+2)\times(-5)\)).
Fiche express (à mémoriser).
- Comparer deux négatifs : “le plus proche de 0 est le plus grand”.
- Soustraction : \(a-b=a+(-b)\).
- Addition signes contraires : “différence des valeurs absolues + signe du plus fort”.
Pour t’entraîner sérieusement : va sur exercices nombres entiers (banque multi-niveaux) et sur exercices nombres entiers 6e (pack à imprimer).
Exercices d’entraînement (mini-série) + où s’entraîner davantage
Ci-dessous : une mini-série pour valider les bases. Pour une banque complète (et des PDF imprimables), vous trouverez des pages dédiées : exercices nombres entiers (multi-niveaux) et exercices nombres entiers 6e.
Série 1 (facile) : reconnaître / comparer / ranger
- Dire si chacun appartient à \(\mathbb{Z}\) : \(-4\), \(3{,}2\), \(\frac{9}{3}\), \(0\).
- Comparer : \(-6\) et \(2\).
- Comparer : \(-9\) et \(-3\).
- Ranger par ordre croissant : \(-2\), \(5\), \(-7\), \(0\).
Réponses rapides (Série 1).
- \(-4\) ∈ \(\mathbb{Z}\) ; \(3{,}2\) ∉ \(\mathbb{Z}\) ; \(\frac{9}{3}\)=\(3\) ∈ \(\mathbb{Z}\) ; \(0\) ∈ \(\mathbb{Z}\).
- \(-6\) < \(2\)
- \(-9\) < \(-3\)
- Ordre croissant : \(-7\), \(-2\), \(0\), \(5\)
Série 2 (intermédiaire) : addition/soustraction (signes contraires)
- Calculer : \(-8+11\)
- Calculer : \(7-(-5)\)
- Calculer : \(-4-9\)
- Calculer : \(-12-(-3)\)
Réponses rapides (Série 2).
- \(-8+11=3\)
- \(7-(-5)=12\)
- \(-4-9=-13\)
- \(-12-(-3)=-9\)
Série 3 (mix) : priorités + calculs plus longs
- Calculer : \(-3\times(4-9)\)
- Calculer : \((-6)\times(-2)+5\)
- Calculer : \(7-3\times(-4)\)
- Calculer : \(-20\div 5\)
Réponses rapides (Série 3).
- \(-3\times(4-9)=-3\times(-5)=15\)
- \((-6)\times(-2)+5=12+5=17\)
- \(7-3\times(-4)=7-(-12)=19\)
- \(-20\div 5=-4\)
Pour progresser vite. Faites 10 minutes d’exercices “signes + parenthèses” chaque jour. La régularité vaut souvent plus que “une grosse session” le week-end.
FAQ
Quel est l’ensemble Z ?
L’ensemble \(\mathbb{Z}\) est l’ensemble des entiers relatifs : il contient tous les entiers négatifs, \(0\), et tous les entiers positifs. On peut écrire : \(\mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}\).
Comment savoir si un nombre est entier relatif ?
Un nombre est un entier relatif s’il s’écrit sans virgule (pas de partie décimale) et s’il n’est pas une fraction non entière. Il peut être négatif, positif ou nul : \(-3\), \(0\), \(12\) sont des entiers relatifs, alors que \(2{,}5\) et \(\frac{1}{3}\) n’en sont pas.
Qu’est-ce qu’un nombre entier relatif ?
C’est un nombre entier qui peut être positif ou négatif (ou égal à \(0\)). Autrement dit : un entier relatif est un entier “avec un signe”.
Est-ce que 0 est un nombre entier relatif ?
Oui. \(0\) appartient à l’ensemble des entiers relatifs \(\mathbb{Z}\). Il n’est ni positif ni négatif : c’est le point de séparation entre les deux.
Pour aller plus loin (lycée + début prépa)
Pourquoi \(\mathbb{Z}\) est stable par addition et multiplication (idée)
Si on additionne deux entiers relatifs, on obtient encore un entier relatif : ex. \(-7+12=5\). Idem pour la multiplication : ex. \((-3)\times 4=-12\). On dit que \(\mathbb{Z}\) est stable pour l’addition et la multiplication.
Point important. En revanche, \(\mathbb{Z}\) n’est pas stable pour la division : \(\frac{1}{2}\) n’est pas un entier. La division “reste dans \(\mathbb{Z}\)” seulement dans certains cas (division euclidienne, divisibilité).
À explorer sur le thème des entiers :
- Cours complet : nombres entiers
- Entiers naturels (ℕ)
- Critères de divisibilité (fiche + méthode)
- Nombres premiers et décomposition en facteurs premiers
- PGCD et PPCM
