Tu connais déjà le théorème de Thalès avec deux triangles « emboîtés » l’un dans l’autre. La configuration papillon, c’est exactement le même théorème, mais cette fois les deux triangles se font face de part et d’autre d’un point. Le dessin ressemble à un nœud papillon : d’où son surnom. Dans cette page, tu vas apprendre à reconnaître cette configuration, à écrire les bons rapports et à calculer une longueur sans te tromper.
Pour éviter toute confusion : ici, le mot « papillon » n’a rien à voir avec un insecte. La configuration papillon désigne deux triangles opposés par le sommet, formés par deux droites sécantes (deux droites qui se croisent en un point).
Qu’est-ce que la configuration papillon ?
Imagine deux droites qui se croisent en un point, comme deux baguettes posées en croix. Si tu places deux triangles de chaque côté du point de croisement, tu obtiens une forme symétrique qui ressemble à un nœud papillon.
Définition — La configuration papillon
On dit qu’on est en configuration papillon lorsque deux droites se coupent en un point \(O\), et que deux autres droites parallèles « ferment » un triangle de chaque côté de ce point. Les deux triangles sont alors opposés par le sommet \(O\).
Papillon ou triangles emboîtés : quelle différence ?
C’est la question la plus importante. Dans les deux cas, le théorème de Thalès s’applique de la même façon. Seule la position des triangles change : emboîtés (l’un dans l’autre, du même côté) ou papillon (de part et d’autre du point de croisement).
| Critère | Triangles emboîtés | Configuration papillon |
|---|---|---|
| Position des triangles | Du même côté du point | De part et d’autre du point |
| Allure du dessin | Un petit triangle dans un grand | Un nœud papillon (X) |
| Le point \(O\) est… | Un sommet commun aux deux triangles | Le croisement des deux droites |
| Théorème utilisé | Théorème de Thalès | Théorème de Thalès |
| Rapports égaux | Identiques | Identiques |
Le bon réflexe : peu importe la forme du dessin, demande-toi toujours « est-ce que j’ai deux droites parallèles et deux droites sécantes ? ». Si oui, Thalès fonctionne, papillon ou pas.
L’énoncé de Thalès en configuration papillon
Reprenons les notations du schéma. Les droites \((AM)\) et \((BN)\) se coupent en \(O\). Les points \(A\), \(O\), \(M\) sont alignés, et les points \(B\), \(O\), \(N\) sont alignés.
Théorème de Thalès (configuration papillon)
Si les points \(A\), \(O\), \(M\) sont alignés, si les points \(B\), \(O\), \(N\) sont alignés, et si la droite \((AB)\) est parallèle à la droite \((MN)\), alors :
\(\displaystyle\frac{OA}{OM} = \displaystyle\frac{OB}{ON} = \displaystyle\frac{AB}{MN}\)
Tu retrouves trois quotients égaux, exactement comme dans le cas emboîté. Le premier compare les longueurs sur la première droite, le deuxième sur la seconde droite, et le troisième compare les deux segments parallèles.
Attention au sens des longueurs : tu dois toujours partir du point de croisement \(O\). On écrit \(OA\) et \(OM\) (deux longueurs qui démarrent de \(O\)), jamais \(AM\) tout entier. C’est l’erreur la plus fréquente en papillon.
L’essentiel de Thalès papillon en 1 page
L’énoncé, le schéma annoté, la méthode en 4 étapes et les pièges à éviter, sur une fiche claire à glisser dans ton classeur.
📄 Télécharger la fiche PDF gratuiteIdéal pour réviser avant le brevet.
La méthode pas à pas pour calculer une longueur
Voici les 4 étapes à suivre à chaque fois. Elles sont les mêmes que pour le Thalès classique, mais on insiste sur le point de croisement.
- Repérer la configuration : vérifie que tu as bien deux droites sécantes en un point \(O\) et deux segments parallèles.
- Écrire les hypothèses : note les alignements et le parallélisme (« comme \((AB)\) est parallèle à \((MN)\)… »).
- Écrire les rapports de Thalès : place les bonnes longueurs, toujours en partant de \(O\).
- Calculer avec le produit en croix : isole la longueur cherchée et conclus avec l’unité.
Exemple guidé : Les droites \((AM)\) et \((BN)\) se coupent en \(O\). On sait que \((AB)\) est parallèle à \((MN)\), avec \(OA = 3\) cm, \(OM = 6\) cm et \(AB = 4\) cm. Calcule \(MN\).
Étape 1 — Configuration : deux droites sécantes en \(O\), segments \([AB]\) et \([MN]\) parallèles : c’est bien un papillon.
Étape 2-3 — Rapports : d’après le théorème de Thalès,
\(\displaystyle\frac{OA}{OM} = \displaystyle\frac{AB}{MN}\) donc \(\displaystyle\frac{3}{6} = \displaystyle\frac{4}{MN}\)
Étape 4 — Produit en croix : \(MN = \displaystyle\frac{6 \times 4}{3} = 8\) cm.
Vérification : \(\displaystyle\frac{3}{6} = 0{,}5\) et \(\displaystyle\frac{4}{8} = 0{,}5\) ✓
Un deuxième exemple résolu
Cette fois, on cherche une longueur sur la seconde droite, et les nombres sont un peu moins ronds. Le principe ne change pas.
Exemple : Les droites \((RT)\) et \((SU)\) se coupent en \(O\). La droite \((RS)\) est parallèle à \((TU)\). On donne \(OR = 5\) cm, \(OT = 8\) cm et \(OS = 7\) cm. Calcule \(OU\).
D’après le théorème de Thalès : \(\displaystyle\frac{OR}{OT} = \displaystyle\frac{OS}{OU}\), soit \(\displaystyle\frac{5}{8} = \displaystyle\frac{7}{OU}\).
Avec le produit en croix : \(OU = \displaystyle\frac{8 \times 7}{5} = \displaystyle\frac{56}{5} = 11{,}2\) cm.
Tu remarques qu’on choisit toujours les deux rapports qui contiennent l’inconnue et trois longueurs connues. Ici, le troisième rapport \(\displaystyle\frac{RS}{TU}\) n’était pas utile.
5 exercices corrigés
À toi de jouer. Essaie chaque exercice seul avant de regarder la correction. La difficulté augmente avec le nombre d’étoiles.
Exercice 1 ★ — Les droites \((AM)\) et \((BN)\) se coupent en \(O\). On a \((AB)\) parallèle à \((MN)\), \(OA = 4\) cm, \(OM = 12\) cm et \(AB = 5\) cm. Calcule \(MN\).
Correction : \(\displaystyle\frac{OA}{OM} = \displaystyle\frac{AB}{MN}\) donne \(\displaystyle\frac{4}{12} = \displaystyle\frac{5}{MN}\), donc \(MN = \displaystyle\frac{12 \times 5}{4} = 15\) cm.
Exercice 2 ★ — Les droites \((RT)\) et \((SU)\) se coupent en \(O\), avec \((RS)\) parallèle à \((TU)\). On donne \(OR = 6\) cm, \(OS = 9\) cm et \(OU = 15\) cm. Calcule \(OT\).
Correction : \(\displaystyle\frac{OR}{OT} = \displaystyle\frac{OS}{OU}\) donne \(\displaystyle\frac{6}{OT} = \displaystyle\frac{9}{15}\), donc \(OT = \displaystyle\frac{6 \times 15}{9} = 10\) cm.
Exercice 3 ★★ — Les droites \((EG)\) et \((FH)\) se coupent en \(O\). On sait que \((EF)\) est parallèle à \((GH)\), avec \(OE = 3{,}5\) cm, \(OG = 7\) cm et \(GH = 9\) cm. Calcule \(EF\).
Correction : \(\displaystyle\frac{OE}{OG} = \displaystyle\frac{EF}{GH}\) donne \(\displaystyle\frac{3{,}5}{7} = \displaystyle\frac{EF}{9}\), donc \(EF = \displaystyle\frac{3{,}5 \times 9}{7} = 4{,}5\) cm.
Exercice 4 ★★ — Deux poteaux sont reliés par deux câbles qui se croisent. Sur le schéma, les droites \((AM)\) et \((BN)\) se croisent en \(O\), avec \((AB)\) parallèle à \((MN)\). On mesure \(OA = 2{,}4\) m, \(OB = 1{,}8\) m, \(ON = 3{,}6\) m. Calcule \(OM\).
Correction : \(\displaystyle\frac{OA}{OM} = \displaystyle\frac{OB}{ON}\) donne \(\displaystyle\frac{2{,}4}{OM} = \displaystyle\frac{1{,}8}{3{,}6}\). Comme \(\displaystyle\frac{1{,}8}{3{,}6} = 0{,}5\), on a \(OM = \displaystyle\frac{2{,}4}{0{,}5} = 4{,}8\) m.
Exercice 5 ★★★ (raisonnement) — Les droites \((AM)\) et \((BN)\) se coupent en \(O\). On a \(OA = 5\) cm, \(OM = 8\) cm, \(OB = 6\) cm et \(ON = 10\) cm. Peut-on être sûr que \((AB)\) est parallèle à \((MN)\) ? Explique.
Correction : ici on ne calcule pas une longueur, on teste un parallélisme. On compare les deux quotients :
\(\displaystyle\frac{OA}{OM} = \displaystyle\frac{5}{8} = 0{,}625\) et \(\displaystyle\frac{OB}{ON} = \displaystyle\frac{6}{10} = 0{,}6\).
Les deux quotients ne sont pas égaux (\(0{,}625\) et \(0{,}6\)). On ne peut donc pas affirmer que \((AB)\) et \((MN)\) sont parallèles. Cette idée est exactement celle de la réciproque du théorème de Thalès.
Les erreurs fréquentes à éviter
La configuration papillon piège beaucoup d’élèves, surtout au brevet. Voici les trois fautes qui reviennent le plus souvent.
Erreur 1 — Mal faire correspondre les longueurs.
❌ Copie fautive : un élève écrit \(\displaystyle\frac{OA}{ON} = \displaystyle\frac{OB}{OM}\).
Diagnostic : il a mélangé les deux droites. \(OA\) et \(OM\) sont sur la même droite, \(OB\) et \(ON\) aussi.
✅ Correction : \(\displaystyle\frac{OA}{OM} = \displaystyle\frac{OB}{ON}\). Chaque rapport reste sur sa propre droite.
Erreur 2 — Confondre \(OM\) et \(AM\). En papillon, \(A\) et \(M\) sont de part et d’autre de \(O\). La longueur à utiliser part toujours du point de croisement : c’est \(OM\), pas le segment entier \(AM\).
Erreur 3 — Oublier de vérifier le parallélisme. Le théorème de Thalès ne marche que si \((AB)\) est parallèle à \((MN)\). Sans cette hypothèse écrite, le correcteur retire des points même si le calcul est juste.
Questions fréquentes
Comment calculer une longueur avec Thalès papillon ?
Tu écris d’abord les rapports égaux du théorème de Thalès en partant du point de croisement \(O\) : \(\displaystyle\frac{OA}{OM} = \displaystyle\frac{OB}{ON} = \displaystyle\frac{AB}{MN}\). Tu choisis ensuite les deux rapports qui contiennent ta longueur inconnue et trois longueurs connues, puis tu fais un produit en croix.
Quelle est la différence entre Thalès papillon et Thalès emboîté ?
Aucune différence dans le théorème : ce sont les mêmes rapports. La seule différence est le dessin. En configuration emboîtée, les deux triangles sont du même côté (un petit dans un grand). En configuration papillon, ils sont de part et d’autre du point de croisement, ce qui forme un nœud papillon.
Existe-t-il une réciproque de Thalès en forme papillon ?
Oui. Comme en configuration normale, tu peux comparer \(\displaystyle\frac{OA}{OM}\) et \(\displaystyle\frac{OB}{ON}\). Si ces deux quotients sont égaux (avec les points correctement alignés), alors les deux segments sont parallèles. Tu retrouves tout le détail sur la page consacrée à la réciproque de Thalès.
Pourquoi parle-t-on de « papillon » ?
Parce que le dessin formé par les deux droites sécantes et les deux segments parallèles ressemble à un nœud papillon, ou à la lettre X. Le mot « papillon » décrit donc une forme géométrique, pas un insecte.
La configuration papillon est-elle au programme du brevet ?
Oui, c’est une configuration classique de 3ème, très fréquente dans les sujets de brevet. Il faut savoir la reconnaître et appliquer le théorème de Thalès dessus, comme tu le travailles dans les exercices corrigés de 3ème.
Pour aller plus loin
Tu sais maintenant reconnaître la configuration papillon et calculer une longueur sans te tromper. Pour continuer à progresser :
- Le cours complet sur le théorème de Thalès (toutes les configurations).
- Les exercices corrigés de 3ème niveau brevet pour t’entraîner.
- La réciproque de Thalès pour démontrer que deux droites sont parallèles.
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