Analyse et Correction du Sujet Maths A X/ENS MP 2026

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Proposé le 13 avril 2026 aux filières MP et MPI, ce sujet de Mathématiques A du concours X/ENS se déploie sur 4 heures sans calculatrice. Le problème, articulé en quatre parties précédées de préliminaires (30 questions au total), construit un parcours remarquablement cohérent : des propriétés élémentaires de la norme subordonnée jusqu’à la conjecture de Crouzeix, en passant par le principe du maximum polynomial, l’inégalité de Von Neumann et le rayon numérique. C’est un sujet d’algèbre linéaire approfondie, d’un niveau élevé, qui mobilise en filigrane des résultats majeurs de la théorie des opérateurs.

Structure et thèmes du sujet

Préliminaires (Questions 1 à 5)

Ces questions installent les outils fondamentaux : existence et expression de la norme subordonnée \(\vert\!\vert\!\vert A \vert\!\vert\!\vert = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|\), calcul explicite pour les matrices diagonales, sous-multiplicativité, invariance unitaire, et encadrement de \(\vert\!\vert\!\vert p(A) \vert\!\vert\!\vert\) pour une matrice diagonalisable via le conditionnement de la matrice de passage. Chacun de ces résultats est réutilisé dans la suite.

Partie A — Principe du maximum pour les polynômes (Questions 6 à 10)

L’objectif est de démontrer que pour tout polynôme \(p\) de degré au plus \(n-1\) et tout \(z\) dans le disque unité fermé \(\mathbb{D}\), on a \(|p(z)| \leq \|p\|_{\partial\mathbb{D}}\). La preuve repose sur une idée élégante : construire une matrice unitaire \(U \in \mathcal{M}_n(\mathbf{C})\) — dépendant de \(z\) et de \(s = \sqrt{1 – |z|^2}\) — telle que \(p(z) = e_1^* \, p(U) \, e_1\), puis exploiter le fait que les valeurs propres de \(U\) sont de module 1. La question 10 étend le résultat à tout fermé borné de \(\mathbf{C}\).

Partie B — Inégalité de Von Neumann (Questions 11 à 17)

C’est le cœur technique du sujet. On démontre que pour toute contraction \(A\) (vérifiant \(\vert\!\vert\!\vert A \vert\!\vert\!\vert \leq 1\)) et tout polynôme \(p\), on a \(\vert\!\vert\!\vert p(A) \vert\!\vert\!\vert \leq \|p\|_{\mathbb{D}}\). La stratégie passe par la construction d’une dilatation unitaire : on fabrique une matrice unitaire par blocs \(U_k \in \mathcal{M}_{(k+2)n}(\mathbf{C})\) dont le bloc supérieur gauche de \(p(U_k)\) coïncide avec \(p(A)\). Cette construction nécessite les matrices hermitiennes \(D_A\) et \(D_{A^*}\) vérifiant \(D_A^2 = I – A^*A\) et des relations de commutation subtiles. La question 17 généralise au cas \(\vert\!\vert\!\vert p(A) \vert\!\vert\!\vert \leq \|p\|_{\mathbb{D}(0,\vert\!\vert\!\vert A \vert\!\vert\!\vert)}\).

Partie C — Hausdorffien et rayon numérique (Questions 18 à 26)

On étudie l’image numérique \(\mathcal{H}(A) = \{\langle Ax \mid x \rangle \;:\; \|x\| = 1\}\) et le rayon numérique \(r(A) = \max_{z \in \mathcal{H}(A)} |z|\). Les questions explorent le lien avec le spectre (Q18), caractérisent \(\mathcal{H}(A)\) pour les matrices diagonales comme enveloppe convexe des valeurs propres (Q19), calculent explicitement \(\mathcal{H}\) pour une matrice nilpotente (Q21), puis démontrent l’inégalité de puissance \(r(A^k) \leq r(A)^k\) via un argument ingénieux utilisant les racines \(k\)-ièmes de l’unité (Q26).

Partie D — Conjecture de Crouzeix (Questions 27 à 30)

La dernière partie aborde la célèbre conjecture de Crouzeix (2004) : \(\vert\!\vert\!\vert p(A) \vert\!\vert\!\vert \leq 2\|p\|_{\mathcal{H}(A)}\). On vérifie que la constante 2 est optimale (Q27), que la conjecture est vraie pour les monômes (Q28), et on utilise un résultat d’Okubo-Ando pour établir \(\vert\!\vert\!\vert p(A) \vert\!\vert\!\vert \leq 2\|p\|_{\mathbb{D}(0,r(A))}\), inégalité plus faible mais d’ores et déjà remarquable.

Notions et chapitres testés

Le sujet mobilise les chapitres suivants du programme de MP/MPI :

• Espaces vectoriels normés : normes, compacité en dimension finie, continuité sur un compact, atteinte des bornes (Q1, Q10, Q22).
• Espaces préhilbertiens complexes : produit scalaire hermitien, inégalité de Cauchy-Schwarz, bases orthonormales, identité de polarisation (préambule, Q21, Q23).
• Réduction des endomorphismes : diagonalisation des matrices hermitiennes et unitaires en base orthonormale, polynômes d’endomorphismes, interpolation (Q2, Q5, Q11-13, Q19-20).
• Matrices et calcul matriciel : norme subordonnée, sous-multiplicativité, conditionnement, produit par blocs (Q1-5, Q15-16).
• Polynômes : évaluation en une matrice, racines de l’unité, identités polynomiales (Q7, Q13, Q26-a).
• Topologie de \(\mathbf{C}\) : fermés bornés, intérieur, frontière, principe du maximum (Q9-10, Q22).

Le sujet reste dans le périmètre du programme mais en explore les frontières, avec des liens inhabituels entre algèbre linéaire et analyse complexe.

Niveau de difficulté et comparaison aux années précédentes

Ce sujet se situe dans la fourchette haute des épreuves de Maths A X/ENS des dernières années. Plusieurs facteurs l’expliquent :

• Le problème touche à des résultats profonds de la théorie des opérateurs (Von Neumann, 1951 ; Crouzeix, 2004), imposant un niveau d’abstraction supérieur à la moyenne.
• La partie B est techniquement exigeante, avec des constructions non triviales (racine carrée spectrale, dilatation unitaire par blocs) et des vérifications minutieuses.
• La question 26, qui combine identités polynomiales et racines de l’unité en quatre sous-questions, est un morceau de bravoure inhabituel.

En comparaison, les sujets Maths A X/ENS MP des années 2022-2025 offraient généralement un accès plus progressif aux questions difficiles. Ici, la partie B atteint un palier technique élevé dès la question 12. Néanmoins, les candidats bien préparés en algèbre bilinéaire complexe auront trouvé un socle de points solide : les questions 1 à 8 et 18 à 21 restent raisonnablement accessibles, à condition de ne pas s’enliser dans les questions ultérieures.

Pièges et points techniques délicats

Question 1

L’existence du supremum comme maximum repose sur la compacité de la sphère unité en dimension finie et la continuité de \(x \mapsto \|Ax\|\). Le piège est d’oublier de justifier la compacité (elle est spécifique à la dimension finie). L’égalité \(\vert\!\vert\!\vert A \vert\!\vert\!\vert = \max_{x \neq 0} \displaystyle\frac{\|Ax\|}{\|x\|}\) s’obtient par homogénéité.

Question 7

Il faut montrer que \(p(z) = e_1^* \, p(U) \, e_1\). Le point délicat est de calculer \(U^k e_1\) pour \(0 \leq k \leq n-1\) et de vérifier que sa première composante est \(z^k\). La structure de \(U\) — avec \(z\) et \(s\) placés aux coins — est précisément conçue pour cela, mais le calcul exige de la rigueur, en particulier pour les puissances intermédiaires où les blocs d’identité interviennent.

Questions 12-13

Question 16

C’est la question la plus technique du sujet. Il faut montrer que la matrice par blocs \(U_k\) est unitaire (en utilisant les relations de commutation de Q14), puis calculer \(p(U_k)\) et vérifier que son bloc supérieur gauche est \(p(A)\). L’analogie avec la matrice \(U\) de la partie A est indiquée par l’énoncé mais le passage aux blocs de taille \(n\) nécessite des vérifications minutieuses. L’erreur typique est de mal gérer les blocs nuls dans le produit matriciel par blocs.

Question 21

Calculer \(\mathcal{H}(A)\) pour la matrice nilpotente \(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) demande de paramétrer les vecteurs unitaires de \(\mathbf{C}^2\), ce que l’indication facilite en posant \(x = (a, \, b\,e^{i\theta})^T\) avec \(a,b \geq 0\) et \(a^2 + b^2 = 1\). Le piège est d’oublier la phase \(e^{i\theta}\) et de conclure à un intervalle réel au lieu du disque \(\mathbb{D}(0, \displaystyle\frac{1}{2})\).

Question 26

L’inégalité de puissance se démontre en quatre sous-étapes. En 26-a, la deuxième identité polynomiale résulte de l’orthogonalité des racines de l’unité. En 26-c, le passage de \(A\) à \(e^{i\theta}A\) est essentiel : il permet de contrôler le module de \(\langle A^k x \mid x \rangle\) et pas seulement sa partie réelle, en faisant varier \(\theta\).

Méthodes attendues et stratégies de résolution

Préliminaires

Q1 : Continuité de \(x \mapsto \|Ax\|\) sur la sphère unité (compacte en dimension finie), puis homogénéité pour le max sur \(x \neq 0\). Q2 : Calculer \(\|Ax\|^2 = \sum |\lambda_i|^2 |x_i|^2\) et optimiser sous la contrainte \(\sum |x_i|^2 = 1\) ; on obtient \(\max_i |\lambda_i|\). Q3-4 : Applications directes de la définition et de l’isométrie unitaire. Q5 : Écrire \(p(A) = P\,p(D)\,P^{-1}\), appliquer la sous-multiplicativité et Q2.

Partie A

Q6 : Vérifier \(U^*U = I_n\) par calcul direct, en utilisant \(|z|^2 + s^2 = 1\). Q7 : Montrer par récurrence ou calcul direct que la première composante de \(U^k e_1\) est \(z^k\). Q8 : Chaîne d’inégalités : \(|p(z)| = |e_1^* p(U) e_1| \leq \vert\!\vert\!\vert p(U) \vert\!\vert\!\vert \leq \|p\|_{\partial\mathbb{D}}\) en utilisant Q5 avec \(\mathrm{cond}(P) = 1\) pour \(U\) unitaire. Q9 : Argumenter que l’inégalité est stricte quand \(|z|\) est strictement inférieur à 1, par examen du cas d’égalité dans Cauchy-Schwarz. Q10 : Réduction au bord par application itérative du principe du maximum sur des disques.

Partie B

Q11 : Pour \(A\) unitaire, \(A\) est diagonalisable en base orthonormale avec \(\mathrm{cond}(P)=1\), et \(\sigma(A) \subset \partial\mathbb{D}\). Q12-13 : Diagonaliser \(A^*A\) (hermitienne positive), prendre la racine carrée spectrale, puis exprimer celle-ci comme polynôme en \(A^*A\) par interpolation de Lagrange. Q14 : Exploiter la relation fondamentale \(A \cdot q(A^*A) = q(AA^*) \cdot A\) valable pour tout polynôme \(q\). Q15-16 : Vérification par calcul par blocs de l’unitarité et identification du bloc \(p(A)\).

Partie C

Q18 : Injecter un vecteur propre normalisé dans la définition de \(\mathcal{H}(A)\). Q19 : Décomposer \(x\) en base propre et exploiter \(\sum |\alpha_i|^2 = 1\) pour identifier l’enveloppe convexe. Q23 : Utiliser l’identité de polarisation fournie par l’énoncé et choisir \(x, y\) unitaires pour majorer \(|\langle Ax \mid y \rangle|\) par \(4r(A)\), puis optimiser. Q26-a : Déduire la première identité par substitution \(X \to 1/X\) dans la factorisation de \(X^k – 1\) ; la seconde par orthogonalité des racines de l’unité.

Conseils pour les futurs candidats

Ce sujet illustre une tendance forte des épreuves Maths A X/ENS : un fil conducteur thématique ambitieux, ancré dans des résultats classiques de la recherche mathématique, dont les étapes intermédiaires restent dans le programme. Voici les axes de préparation à privilégier :

1. Maîtriser l’algèbre bilinéaire complexe : le produit hermitien, la matrice adjointe \(A^*\), les matrices unitaires et hermitiennes, la réduction spectrale associée. Ce chapitre est systématiquement testé dans ce concours et constitue le fondement de tout le sujet 2026.
2. S’entraîner au calcul par blocs : les parties B et D reposent sur des matrices par blocs dont il faut vérifier les propriétés (unitarité, produit, extraction de blocs). Savoir multiplier et manipuler des matrices par blocs sans erreur est indispensable à ce niveau.
3. Connaître parfaitement la norme subordonnée : sa définition, la sous-multiplicativité, l’invariance par multiplication unitaire, le lien avec le rayon spectral. Ces propriétés apparaissent dans pratiquement tous les sujets X/ENS d’algèbre linéaire.
4. Pratiquer les identités avec les racines de l’unité : la question 26 exploite des techniques classiques (extraction de coefficients, orthogonalité) qui reviennent régulièrement en algèbre comme en analyse.
5. Développer le réflexe d’interpolation polynomiale : exprimer une fonction d’une matrice diagonalisable comme polynôme en cette matrice, via interpolation de Lagrange sur le spectre, est un outil puissant qui apparaît dans de nombreux concours.
6. Gérer son temps avec discernement : avec 30 questions en 4 heures, le rythme est soutenu. Identifier rapidement les questions accessibles et les traiter solidement vaut mieux que de s’acharner sur une construction technique mal comprise.

Enfin, ce sujet rappelle l’importance de bien lire le préambule : le théorème de réduction, les propriétés du produit hermitien et la formule \(\langle Ax \mid y \rangle = \langle x \mid A^*y \rangle\) sont des outils fournis qu’il faut mobiliser au bon moment, sans chercher à les redémontrer. Les candidats qui sauront s’appuyer sur ces résultats admis pour avancer efficacement dans le problème seront récompensés.

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