Tu cherches des exercices corrigés sur le logarithme népérien pour t’entraîner efficacement ? Cette page rassemble 35 exercices classés par compétence et par niveau de difficulté, de la Terminale jusqu’à la Prépa. Chaque exercice est accompagné d’une correction détaillée étape par étape.
Avant de te lancer, assure-toi de maîtriser les bases de la fonction logarithme népérien. Si tu as besoin de revoir les formules de dérivation, consulte le tableau des dérivées usuelles.
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Formulaire : les propriétés essentielles de ln
Avant de commencer les exercices, voici un rappel synthétique des formules à connaître. Pour le cours complet avec démonstrations, consulte notre page sur la fonction logarithme népérien.
| Propriété | Formule | Condition |
|---|---|---|
| Logarithme d’un produit | \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\) | \(a, b\) > 0 |
| Logarithme d’un quotient | \(\ln\!\left(\frac{a}{b}\right) = \ln a – \ln b\) | \(a, b\) > 0 |
| Logarithme d’une puissance | \(\ln(a^n) = n\ln a\) | \(a\) > 0, \(n \in \mathbb{Z}\) |
| Logarithme d’une racine | \(\ln\!\left(\sqrt{a}\right) = \frac{1}{2}\ln a\) | \(a\) > 0 |
| Valeurs remarquables | \(\ln 1 = 0\) et \(\ln e = 1\) | — |
| Lien avec l’exponentielle | \(e^{\ln a} = a\) et \(\ln(e^x) = x\) | \(a\) > 0, \(x \in \mathbb{R}\) |
| Dérivée de ln | \((\ln x)’ = \frac{1}{x}\) et \((\ln u)’ = \frac{u’}{u}\) | \(x\) > 0, \(u\) > 0 |
| Croissances comparées | \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0\) et \(\lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0\) | — |
Exercices : simplifier une expression avec des logarithmes
Ces exercices portent sur les propriétés algébriques du logarithme népérien. Ils constituent la base de tout travail sur ln : savoir transformer un produit en somme, un quotient en différence, et une puissance en facteur.
Exercices de base (propriétés directes)
Exercice 1. Simplifier les expressions suivantes.
a) \(\ln 6 – \ln 2\) b) \(\ln(e^2)\) c) \(e^{2\ln 5}\) d) \(\ln\sqrt{e}\) e) \(e^{-\ln 3}\)
Voir la correction
a) \(\ln 6 – \ln 2 = \ln\!\left(\frac{6}{2}\right) = \ln 3\)
b) \(\ln(e^2) = 2\ln e = 2\)
c) \(e^{2\ln 5} = e^{\ln(5^2)} = e^{\ln 25} = 25\)
d) \(\ln\sqrt{e} = \ln(e^{1/2}) = \frac{1}{2}\ln e = \frac{1}{2}\)
e) \(e^{-\ln 3} = e^{\ln(3^{-1})} = e^{\ln(1/3)} = \frac{1}{3}\)
Exercice 2. Simplifier les expressions suivantes.
a) \(\ln 3 + \ln 4 – \ln 6\) b) \(4\ln 3 – \ln 9 + 2\ln 27\) c) \(\frac{\ln 9}{\ln 3} – \ln 1\)
Voir la correction
a) \(\ln 3 + \ln 4 – \ln 6 = \ln\!\left(\frac{3 \times 4}{6}\right) = \ln 2\)
b) On exprime tout en \(\ln 3\) :
\(4\ln 3 – \ln 9 + 2\ln 27 = 4\ln 3 – 2\ln 3 + 6\ln 3 = 8\ln 3\)c) \(\frac{\ln 9}{\ln 3} – \ln 1 = \frac{2\ln 3}{\ln 3} – 0 = 2\)
Exercices avec identités remarquables et factorisations
Exercice 3. Simplifier : \(\ln(3x^2) – \ln 3\) pour \(x\) > 0.
Voir la correction
\(\ln(3x^2) – \ln 3 = \ln 3 + \ln(x^2) – \ln 3 = \ln(x^2) = 2\ln x\)(car \(x\) > 0)
Exercice 4. Montrer que pour tout \(x\) > 1 : \(\ln(x^2 – 1) – \ln(x^2 + 2x + 1) = \ln\!\left(\frac{x – 1}{x + 1}\right)\).
Voir la correction
Pour \(x\) > 1, on a \(x^2 – 1\) > 0 et \(x^2 + 2x + 1\) > 0.
On factorise puis on simplifie :
\(\ln(x^2 – 1) – \ln(x^2 + 2x + 1) = \ln\!\left(\frac{x^2 – 1}{x^2 + 2x + 1}\right) = \ln\!\left(\frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)^2}\right) = \ln\!\left(\frac{x-1}{x+1}\right)\)Exercice 5. Calculer \(\ln\!\left(\frac{1}{2}\right) + \ln\!\left(\frac{2}{3}\right) + \ln\!\left(\frac{3}{4}\right) + \cdots + \ln\!\left(\frac{49}{50}\right)\).
Voir la correction
En utilisant la propriété du logarithme d’un produit :
\(\ln\!\left(\frac{1}{2}\right) + \ln\!\left(\frac{2}{3}\right) + \cdots + \ln\!\left(\frac{49}{50}\right) = \ln\!\left(\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \cdots \times \frac{49}{50}\right)\)La plupart des facteurs se simplifient (produit télescopique) :
\(= \ln\!\left(\frac{1}{50}\right) = -\ln 50\)Erreur classique : \(\ln(a + b) \neq \ln a + \ln b\). Le logarithme transforme un produit en somme, pas une somme ! De même, \(\ln(a – b) \neq \ln a – \ln b\).
Exercices : résoudre une équation avec ln
La résolution d’équations avec le logarithme népérien repose sur deux principes fondamentaux : \(\ln a = b \iff a = e^b\) et \(\ln a = \ln b \iff a = b\) (avec \(a, b\) > 0). Pense toujours à préciser le domaine de résolution avant de manipuler les expressions.
Équations de base
Exercice 6. Résoudre les équations suivantes en précisant le domaine de résolution.
a) \(2\ln x + 1 = 3\) b) \(\ln(3x – 4) = 0\) c) \(e^{3x + 2} = 4\) d) \(e^{2x – 3} = 3 – \pi\)
Voir la correction
a) Domaine : \(x\) > 0.
\(2\ln x = 2\), donc \(\ln x = 1\), d’où \(x = e\).
\(S = \{e\}\).
b) Domaine : \(3x – 4\) > 0, soit \(x\) > \(\frac{4}{3}\).
\(\ln(3x – 4) = 0\), donc \(3x – 4 = 1\), soit \(x = \frac{5}{3}\).
Comme \(\frac{5}{3}\) > \(\frac{4}{3}\), on a \(S = \left\{\frac{5}{3}\right\}\).
c) Domaine : \(x \in \mathbb{R}\).
\(3x + 2 = \ln 4\), soit \(x = \frac{\ln 4 – 2}{3}\).
\(S = \left\{\frac{\ln 4 – 2}{3}\right\}\).
d) On remarque que \(3 – \pi\) < 0. Or \(e^{2x – 3}\) > 0 pour tout \(x\).
L’équation n’a donc aucune solution : \(S = \emptyset\).
Équations produits et factorisation
Exercice 7. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \((e^{2x+1} – 3)(3x – 7)(e^x + 5) = 0\).
Voir la correction
Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul.
• \(e^{2x+1} – 3 = 0 \iff e^{2x+1} = 3 \iff 2x + 1 = \ln 3 \iff x = \frac{\ln 3 – 1}{2}\)
• \(3x – 7 = 0 \iff x = \frac{7}{3}\)
• \(e^x + 5 = 0\) est impossible car \(e^x\) > 0.
Conclusion : \(S = \left\{\frac{\ln 3 – 1}{2}\,,\, \frac{7}{3}\right\}\).
Exercice 8. Résoudre : \((\ln x)^2 – \ln x = 0\) pour \(x\) > 0.
Voir la correction
On factorise : \(\ln x\,(\ln x – 1) = 0\).
• \(\ln x = 0 \iff x = 1\)
• \(\ln x = 1 \iff x = e\)
Conclusion : \(S = \{1,\, e\}\).
Changement de variable
Exercice 9. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(3e^{2x} + 9e^x – 30 = 0\).
Voir la correction
On pose \(X = e^x\) (avec \(X\) > 0). L’équation devient :
\(3X^2 + 9X – 30 = 0\), soit \(X^2 + 3X – 10 = 0\).
Le discriminant vaut \(\Delta = 9 + 40 = 49\).
Les racines sont \(X = \frac{-3 + 7}{2} = 2\) et \(X = \frac{-3 – 7}{2} = -5\).
On écarte \(X = -5\) car \(e^x\) > 0. Reste \(e^x = 2\), d’où \(x = \ln 2\).
Conclusion : \(S = \{\ln 2\}\).
Exercice 10. Résoudre pour \(x\) > 0 : \((\ln x)^2 + \ln x – 6 = 0\).
Voir la correction
On pose \(X = \ln x\). L’équation devient \(X^2 + X – 6 = 0\).
Discriminant : \(\Delta = 1 + 24 = 25\). Racines : \(X = 2\) et \(X = -3\).
• \(\ln x = 2 \iff x = e^2\)
• \(\ln x = -3 \iff x = e^{-3}\)
Conclusion : \(S = \{e^{-3},\, e^2\}\).
Équations nécessitant une fonction auxiliaire
Certaines équations avec ln ne se résolvent pas par manipulation algébrique directe. Il faut alors introduire une fonction auxiliaire, l’étudier (dérivée, signe, variation) et conclure grâce au théorème des valeurs intermédiaires.
Exercice 11 (classique). Résoudre sur \(]0\,;+\infty[\) l’équation : \(\ln(x) = x – 1\).
Voir la correction
On pose \(\varphi(x) = \ln(x) – x + 1\) sur \(]0\,;+\infty[\).
Dérivée :
\(\varphi'(x) = \frac{1}{x} – 1 = \frac{1 – x}{x}\)
Signe de la dérivée :
• \(\varphi'(x)\) > 0 si \(x\) < 1 → la fonction est croissante.
• \(\varphi'(x)\) < 0 si \(x\) > 1 → la fonction est décroissante.
Donc \(\varphi\) atteint un maximum en \(x = 1\).
Tableau de variation :
![Tableau de variation de φ(x) = ln(x) − x + 1 sur ]0;+∞[ : croissante puis décroissante, maximum 0 en x = 1](https://www.excellence-maths.fr/wp-content/uploads/2026/02/tableau-variation-phi-ln.png)
Valeur du maximum :
\(\varphi(1) = \ln(1) – 1 + 1 = 0\)Comme le maximum de \(\varphi\) vaut 0, on a \(\varphi(x) \leq 0\) pour tout \(x\) > 0, avec égalité uniquement en \(x = 1\).
Conclusion : l’équation \(\ln(x) = x – 1\) admet une unique solution : \(x = 1\).
Exercice 12. Résoudre : \(\ln(x) = \frac{1}{x}\) sur \(]0\,;+\infty[\).
Voir la correction
On pose \(\psi(x) = \ln(x) – \frac{1}{x}\) sur \(]0\,;+\infty[\).
Dérivée :
\(\psi'(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = \frac{x + 1}{x^2}\)
Signe de la dérivée :
Pour tout \(x\) > 0, on a \(x + 1\) > 0 et \(x^2\) > 0, donc \(\psi'(x)\) > 0.
La fonction \(\psi\) est strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\).
Tableau de variation :
![Tableau de variation de ψ(x) = ln(x) − 1/x sur ]0;+∞[ : strictement croissante de −∞ à +∞](https://www.excellence-maths.fr/wp-content/uploads/2026/02/tableau-variation-psi-ln.png)
Valeurs tests :
• \(\psi(1) = \ln(1) – 1 = -1\) < 0
• \(\psi(e) = \ln(e) – \frac{1}{e} = 1 – \frac{1}{e} \approx 0{,}63\) > 0
Comme \(\psi\) est continue et strictement croissante, et qu’elle change de signe entre \(x = 1\) et \(x = e\), le théorème des valeurs intermédiaires garantit l’existence d’une unique solution \(\alpha \in\, ]1\,;\, e[\).
Conclusion : l’équation \(\ln(x) = \frac{1}{x}\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(]1\,;\, e[\).
Domaine de résolution : avant toute manipulation, vérifie que les arguments des logarithmes sont strictement positifs. Une solution algébrique trouvée hors du domaine est une solution étrangère qu’il faut écarter.
Exercices : résoudre une inéquation avec ln
Les inéquations avec logarithme exploitent la croissance de la fonction ln : \(\ln a \geq \ln b \iff a \geq b\) (pour \(a, b\) > 0). Attention au sens des inégalités et au domaine de validité.
Inéquations directes
Exercice 13. Résoudre : \(\ln(2x – 5) \leq \ln(x + 6)\).
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Domaine : \(2x – 5\) > 0 et \(x + 6\) > 0, soit \(x\) > \(\frac{5}{2}\).
La fonction ln étant strictement croissante :
\(\ln(2x – 5) \leq \ln(x + 6) \iff 2x – 5 \leq x + 6 \iff x \leq 11\)En croisant avec le domaine : \(S = \left]\frac{5}{2}\,;\, 11\right]\).
Exercice 14. Résoudre : \(\ln(-x)\) < 2.
Voir la correction
Domaine : \(-x\) > 0, soit \(x\) < 0.
\(\ln(-x) < 2 \iff -x < e^2 \iff x > -e^2\)En croisant avec le domaine \(x\) < 0 : \(S = \left]-e^2\,;\, 0\right[\).
Inéquations avec tableau de signes
Exercice 15. Résoudre sur \(]0\,;+\infty[\) : \((\ln x)^2 + \ln\!\left(\frac{1}{x}\right) \geq 0\).
Voir la correction
Simplification : \(\ln\!\left(\frac{1}{x}\right) = -\ln x\), donc l’inéquation devient \((\ln x)^2 – \ln x \geq 0\).
Factorisation : \(\ln x\,(\ln x – 1) \geq 0\).
On pose \(X = \ln x\) et on étudie le signe de \(X(X – 1)\).
Ce produit est positif ou nul pour \(X \leq 0\) ou \(X \geq 1\), c’est-à-dire \(\ln x \leq 0\) ou \(\ln x \geq 1\).
D’où \(x \leq 1\) ou \(x \geq e\).
Conclusion : \(S = \left]0\,;\, 1\right] \cup \left[e\,;\, +\infty\right[\).
Inconnue en exposant (type aⁿ ≤ b)
Exercice 16. Déterminer le plus petit entier naturel \(n\) tel que \((1{,}1)^n \geq 100\).
Voir la correction
On passe au logarithme (ln est croissante) :
\((1{,}1)^n \geq 100 \iff n\ln(1{,}1) \geq \ln 100\)Comme \(\ln(1{,}1)\) > 0, on peut diviser sans changer le sens :
\(n \geq \frac{\ln 100}{\ln(1{,}1)} \approx \frac{4{,}605}{0{,}0953} \approx 48{,}3\)Le plus petit entier est donc \(n = 49\).
Le signe de ln x : beaucoup d’élèves pensent que \(\ln x\) est toujours positif. C’est faux ! La fonction ln est négative sur \(]0\,;\, 1]\) et positive sur \([1\,;\, +\infty[\). Ne confonds pas \(x\) > 0 (condition d’existence) et \(\ln x\) > 0 (condition sur la valeur).
Exercices : calculer des limites avec ln (croissances comparées)
Le calcul de limites avec le logarithme mobilise principalement les résultats de croissances comparées : en \(+\infty\), la fonction ln croît moins vite que toute puissance ; en \(0^+\), \(x\ln x \to 0\). Maîtriser la technique de factorisation est indispensable.
Limites directes (composées, quotients)
Exercice 17. Déterminer les limites suivantes.
a) \(\lim_{x \to +\infty} \ln(x^2 + 1)\) b) \(\lim_{x \to -\infty} \ln(1 – x)\) c) \(\lim_{x \to 0^+} \ln\!\left(\frac{x^2 – 2x + 3}{x^2 + x}\right)\)
Voir la correction
a) Quand \(x \to +\infty\), \(x^2 + 1 \to +\infty\), donc \(\ln(x^2 + 1) \to +\infty\).
b) Quand \(x \to -\infty\), \(1 – x \to +\infty\), donc \(\ln(1 – x) \to +\infty\).
c) Quand \(x \to 0^+\) : le numérateur \(x^2 – 2x + 3 \to 3\) et le dénominateur \(x^2 + x \to 0^+\).
Donc \(\frac{x^2 – 2x + 3}{x^2 + x} \to +\infty\), d’où \(\ln\!\left(\frac{x^2 – 2x + 3}{x^2 + x}\right) \to +\infty\).
Croissances comparées
Exercice 18. Déterminer les limites suivantes.
a) \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^2}\) b) \(\lim_{x \to 0^+} x^2\ln x\) c) \(\lim_{x \to +\infty} (x – \ln x)\)
Voir la correction
a) Par croissances comparées, \(\frac{\ln x}{x} \to 0\) quand \(x \to +\infty\).
Comme \(\frac{\ln x}{x^2} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln x}{x}\), on obtient la limite 0.
b) Par croissances comparées, \(\lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0\).
Comme \(x^2\ln x = x \cdot (x\ln x)\), on obtient \(0 \times 0 = \) 0.
c) On factorise par \(x\) :
\(x – \ln x = x\!\left(1 – \frac{\ln x}{x}\right)\)Par croissances comparées, \(\frac{\ln x}{x} \to 0\), donc \(1 – \frac{\ln x}{x} \to 1\).
Ainsi \(x – \ln x \to \) \(+\infty\).
Limites mêlant exponentielle et logarithme
Exercice 19. Déterminer les limites suivantes.
a) \(\lim_{x \to +\infty} (e^x – \ln x)\) b) \(\lim_{x \to +\infty} \ln(e^x – x)\)
Voir la correction
a) Pour \(x\) > 0 :
\(e^x – \ln x = e^x\!\left(1 – \frac{\ln x}{x} \cdot \frac{x}{e^x}\right)\)Or \(\frac{\ln x}{x} \to 0\) et \(\frac{x}{e^x} \to 0\) par croissances comparées, donc le terme entre parenthèses tend vers 1.
Comme \(e^x \to +\infty\), on conclut \(e^x – \ln x \to +\infty\).
b) Pour \(x\) > 0 :
\(e^x – x = e^x\!\left(1 – \frac{x}{e^x}\right)\)Par croissances comparées, \(\frac{x}{e^x} \to 0\), donc \(e^x – x \to +\infty\), d’où \(\ln(e^x – x) \to +\infty\).
Méthode systématique pour les formes indéterminées : face à une limite du type « \(+\infty – \infty\) », factorise par le terme dominant (en général \(x\), \(x^n\) ou \(e^x\)), puis applique les résultats de croissances comparées à chaque facteur restant.
Exercices : dériver une fonction avec ln
La dérivée de \(\ln u\) est \(\frac{u’}{u}\) (avec \(u\) > 0). Ces exercices de dérivation sont indispensables pour les études de fonctions qui suivent. Pour retrouver les formules, consulte le tableau des dérivées.
Dérivées directes de ln(u)
Exercice 20. Calculer la dérivée des fonctions suivantes sur leur ensemble de définition.
a) \(f(x) = \ln(2x – 5)\) b) \(g(x) = \ln(x^2 + 1)\) c) \(h(x) = \ln(\ln x)\) pour \(x\) > 1
Voir la correction
a) On pose \(u(x) = 2x – 5\), donc \(u'(x) = 2\).
\(f'(x) = \frac{2}{2x – 5}\) pour \(x\) > \(\frac{5}{2}\).
b) On pose \(u(x) = x^2 + 1\), donc \(u'(x) = 2x\).
\(g'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\) (car \(x^2 + 1\) > 0).
c) On pose \(u(x) = \ln x\), donc \(u'(x) = \frac{1}{x}\).
\(h'(x) = \frac{1/x}{\ln x} = \frac{1}{x\ln x}\) pour \(x\) > 1.
Dérivées de produits et quotients avec ln
Exercice 21. Calculer la dérivée des fonctions suivantes.
a) \(f(x) = x^2\ln x\) pour \(x\) > 0 b) \(g(x) = \frac{\ln x}{x}\) pour \(x\) > 0 c) \(h(x) = x(2 – \ln x)\) pour \(x\) > 0
Voir la correction
a) Dérivée d’un produit :
\(f'(x) = 2x\ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x\ln x + x = x(2\ln x + 1)\)
b) Dérivée d’un quotient :
\(g'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x – \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 – \ln x}{x^2}\)
c) Dérivée d’un produit :
\(h'(x) = (2 – \ln x) + x \cdot \left(-\frac{1}{x}\right) = 2 – \ln x – 1 = 1 – \ln x\)Exercice 22. Soit \(f(x) = (\ln x)^2\) pour \(x\) > 0. Calculer \(f'(x)\) et \(f »(x)\).
Voir la correction
Dérivée première :
\(f'(x) = 2\ln x \cdot \frac{1}{x} = \frac{2\ln x}{x}\)
Dérivée seconde : on dérive \(f'(x) = \frac{2\ln x}{x}\) comme un quotient :
\(f »(x) = \frac{\frac{2}{x} \cdot x – 2\ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{2 – 2\ln x}{x^2} = \frac{2(1 – \ln x)}{x^2}\)Exercices : étudier une fonction avec ln
Les études de fonctions contenant un logarithme constituent l’essentiel des sujets du baccalauréat. Elles mobilisent simultanément les compétences précédentes : domaine de définition, dérivation, signe, limites et tableau de variation.
Étude d’une fonction du type f(x) = ln(u(x))
Exercice 23. Soit \(f(x) = \ln(x^2 + 1) – x\) définie sur \(\mathbb{R}\).
1) Calculer \(f'(x)\) et étudier son signe. 2) Dresser le tableau de variation de \(f\). 3) Déterminer les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
Voir la correction
1) Dérivée :
\(f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} – 1 = \frac{2x – (x^2 + 1)}{x^2 + 1} = \frac{-(x^2 – 2x + 1)}{x^2 + 1} = \frac{-(x – 1)^2}{x^2 + 1}\)Comme \((x – 1)^2 \geq 0\) et \(x^2 + 1\) > 0, on a \(f'(x) \leq 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\), avec égalité uniquement pour \(x = 1\).
La fonction \(f\) est donc décroissante sur \(\mathbb{R}\).
2) Tableau de variation :
Valeur remarquable : \(f(1) = \ln 2 – 1 \approx -0{,}307\).
3) Limites :
• En \(-\infty\) : \(\ln(x^2 + 1) \geq \ln(x^2) = 2\ln|x|\) pour \(|x| \geq 1\), et \(-x \to +\infty\).
Donc \(f(x) \to +\infty\).
• En \(+\infty\) : on écrit \(f(x) = 2\ln x + \ln\!\left(1 + \frac{1}{x^2}\right) – x\) pour \(x\) > 0.
Or \(\ln\!\left(1 + \frac{1}{x^2}\right) \to 0\) et \(2\ln x – x = x\!\left(\frac{2\ln x}{x} – 1\right) \to -\infty\) par croissances comparées.
Donc \(f(x) \to -\infty\).
Étude d’une fonction mêlant ln et polynôme
Exercice 24. Soit \(f(x) = \frac{1 + \ln x}{x}\) définie sur \(]0\,;+\infty[\).
1) Calculer \(f'(x)\). 2) Dresser le tableau de variation complet (limites comprises). 3) Résoudre \(f(x) = 0\). 4) Déterminer le nombre de solutions de \(f(x) = m\) selon la valeur de \(m\).
Voir la correction
1) Dérivée :
\(f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x – (1 + \ln x) \cdot 1}{x^2} = \frac{-\ln x}{x^2}\)Pour \(x\) > 0 : \(x^2\) > 0, donc \(f'(x)\) est du signe de \(-\ln x\).
\(f'(x) \geq 0 \iff \ln x \leq 0 \iff x \leq 1\).
2) Limites et tableau de variation :
• En \(0^+\) : \(\ln x \to -\infty\) donc \(\frac{1 + \ln x}{x} \to -\infty\).
• En \(+\infty\) : \(\frac{1}{x} + \frac{\ln x}{x} \to 0\) par croissances comparées.
\(f\) est croissante sur \(]0\,;\, 1]\) et décroissante sur \([1\,;\, +\infty[\), avec un maximum \(f(1) = 1\).
![Tableau de variation de f(x) = (1 + ln x)/x sur ]0;+∞[ : croissante puis décroissante, max 1 en x = 1](https://www.excellence-maths.fr/wp-content/uploads/2026/02/tableau-variation-f-1lnx-sur-x.png)
3) Résolution de f(x) = 0 :
\(f(x) = 0 \iff 1 + \ln x = 0 \iff \ln x = -1 \iff x = e^{-1} = \frac{1}{e}\)
4) Nombre de solutions de f(x) = m :
D’après le tableau de variation :
• Si \(m\) > 1 : aucune solution.
• Si \(m = 1\) : une seule solution (\(x = 1\)).
• Si 0 < \(m\) < 1 : deux solutions.
• Si \(m = 0\) : une seule solution (\(x = \frac{1}{e}\)).
• Si \(m\) < 0 : une seule solution.
Étude avec position relative (type bac)
Exercice 25. On considère \(f(x) = \ln x\) et \(g(x) = (\ln x)^2\) sur \(]0\,;+\infty[\).
1) Étudier les positions relatives des courbes de \(f\) et \(g\). 2) Sur \([1\,;\, e]\), pour quelle valeur de \(x\) la distance entre les deux courbes est-elle maximale ?
Voir la correction
1) Position relative :
On étudie le signe de \(g(x) – f(x) = (\ln x)^2 – \ln x = \ln x\,(\ln x – 1)\).
Tableau de signes : \(\ln x \leq 0\) pour \(x \leq 1\) et \(\ln x – 1 \leq 0\) pour \(x \leq e\).
Donc :
• \(g(x) – f(x) \geq 0\) si \(x \leq 1\) ou \(x \geq e\) → la courbe de \(g\) est au-dessus.
• \(g(x) – f(x) \leq 0\) si \(1 \leq x \leq e\) → la courbe de \(g\) est en dessous.
2) Distance maximale sur \([1\,;\, e]\) :
La distance verticale est \(d(x) = f(x) – g(x) = \ln x – (\ln x)^2\).
On dérive :
\(d'(x) = \frac{1}{x} – \frac{2\ln x}{x} = \frac{1 – 2\ln x}{x}\) \(d'(x) = 0 \iff \ln x = \frac{1}{2} \iff x = \sqrt{e}\)C’est un maximum car \(d’\) change de signe (positif puis négatif).
La distance maximale est \(d(\sqrt{e}) = \frac{1}{2} – \frac{1}{4} = \frac{1}{4}\).
Méthode d’étude de fonction avec ln en 6 étapes : 1) Ensemble de définition. 2) Limites aux bornes. 3) Dérivée et signe. 4) Tableau de variation. 5) Valeurs remarquables et signe de \(f\). 6) Courbe et interprétation.
Exercices : suites et logarithme népérien
Le logarithme népérien intervient naturellement dans l’étude des suites, en particulier pour les calculs de seuil des suites géométriques et pour les suites auxiliaires. Ces exercices sont des classiques du baccalauréat.
Seuil d’une suite géométrique
Exercice 26. On place un capital de 5 000 € à intérêts composés au taux annuel de 4 %. Au bout de combien d’années le capital aura-t-il doublé ?
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Après \(n\) années, le capital vaut \(C_n = 5000 \times (1{,}04)^n\).
On cherche le plus petit \(n\) tel que \(C_n \geq 10\,000\), soit \((1{,}04)^n \geq 2\).
En passant au logarithme :
\(n\ln(1{,}04) \geq \ln 2\), d’où \(n \geq \frac{\ln 2}{\ln(1{,}04)} \approx \frac{0{,}693}{0{,}0392} \approx 17{,}7\)
Le capital double au bout de 18 années.
Exercice 27. \((u_n)\) est une suite géométrique de raison \(q = 0{,}9\) et de premier terme \(u_0 = 20\). Déterminer le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n \leq 0{,}1\).
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\(u_n = 20 \times (0{,}9)^n \leq 0{,}1 \iff (0{,}9)^n \leq 0{,}005\)En passant au logarithme :
\(n\ln(0{,}9) \leq \ln(0{,}005)\)Comme \(\ln(0{,}9)\) < 0, on divise en changeant le sens :
\(n \geq \frac{\ln(0{,}005)}{\ln(0{,}9)} \approx \frac{-5{,}298}{-0{,}1054} \approx 50{,}3\)Le plus petit entier est \(n = 51\).
Suites récurrentes et convergence avec ln
Exercice 28. On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = u_n – \ln(1 + u_n)\). On pose \(f(x) = x – \ln(1 + x)\).
1) Montrer que \(f\) est croissante sur \([0\,;+\infty[\) et que \(f(x) \geq 0\). 2) Montrer par récurrence que \(u_n \geq 0\) pour tout \(n\). 3) Montrer que \((u_n)\) est décroissante. 4) En déduire que \((u_n)\) converge et déterminer sa limite.
Voir la correction
1) Monotonie et signe de f :
\(f'(x) = 1 – \frac{1}{1 + x} = \frac{x}{1 + x} \geq 0\) pour \(x \geq 0\).
Donc \(f\) est croissante sur \([0\,;+\infty[\). Comme \(f(0) = 0\), on a \(f(x) \geq 0\) pour tout \(x \geq 0\).
Autrement dit : \(\ln(1 + x) \leq x\) pour tout \(x \geq 0\).
2) Récurrence :
Initialisation : \(u_0 = 1 \geq 0\). ✓
Hérédité : si \(u_n \geq 0\), alors \(u_{n+1} = f(u_n) \geq f(0) = 0\) car \(f\) est croissante.
Donc \(u_n \geq 0\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
3) Décroissance :
\(u_{n+1} – u_n = -\ln(1 + u_n) \leq 0\) car \(u_n \geq 0\) entraîne \(1 + u_n \geq 1\) donc \(\ln(1 + u_n) \geq 0\).
La suite est bien décroissante.
4) Convergence :
\((u_n)\) est décroissante et minorée par 0, donc elle converge vers une limite \(\ell \geq 0\).
Par passage à la limite dans \(u_{n+1} = u_n – \ln(1 + u_n)\) :
\(\ell = \ell – \ln(1 + \ell)\), d’où \(\ln(1 + \ell) = 0\), soit \(\ell = 0\).
Exercices : applications concrètes du logarithme
Le logarithme n’est pas qu’un objet mathématique abstrait : il apparaît dans de nombreuses situations concrètes (acoustique, finance, chimie, etc.). Les exercices suivants utilisent aussi bien le logarithme népérien ln que le logarithme décimal \(\log_{10}\).
Logarithme décimal : le logarithme décimal (ou log en base 10) est défini par \(\log_{10}(x) = \frac{\ln x}{\ln 10}\). Il vérifie \(\log_{10}(10) = 1\) et \(\log_{10}(10^n) = n\). On le note parfois simplement log. En France, sur les calculatrices, log (sans indice) désigne le logarithme décimal (base 10) et ln le logarithme népérien (base \(e\)).
Niveau sonore et décibels (logarithme décimal)
Exercice 29. Le niveau sonore en décibels est donné par \(L = 10\log_{10}\!\left(\frac{I}{I_0}\right)\), où \(I\) est l’intensité sonore et \(I_0 = 10^{-12}\) W/m².
1) Calculer le niveau sonore pour \(I = 10^{-5}\) W/m² (aspirateur). 2) À partir de 120 dB, on ressent une douleur. Quelle intensité correspond à ce seuil ? 3) Montrer que si l’intensité est multipliée par 10, le niveau sonore augmente de 10 dB.
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1)
\(L = 10\log_{10}\!\left(\frac{10^{-5}}{10^{-12}}\right) = 10\log_{10}(10^7) = 10 \times 7 = 70\) dB.
2)
\(120 = 10\log_{10}\!\left(\frac{I}{10^{-12}}\right)\) \(\log_{10}\!\left(\frac{I}{10^{-12}}\right) = 12\)\(\frac{I}{10^{-12}} = 10^{12}\), donc \(I = 1\) W/m².
3) Si \(I’ = 10I\) :
\(L’ = 10\log_{10}\!\left(\frac{10I}{I_0}\right) = 10\left[\log_{10}(10) + \log_{10}\!\left(\frac{I}{I_0}\right)\right] = 10 + L\)Le niveau augmente bien de 10 dB.
Probabilités et logarithme
Exercice 30. Lotfi lance un dé non truqué à 6 faces. Combien de fois doit-il lancer ce dé au minimum pour que la probabilité d’obtenir au moins un six soit supérieure à \(0{,}999\) ?
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La probabilité de n’obtenir aucun six en \(n\) lancers est \(\left(\frac{5}{6}\right)^n\).
On cherche le plus petit \(n\) tel que :
\(1 – \left(\frac{5}{6}\right)^n\) > \(0{,}999\), soit \(\left(\frac{5}{6}\right)^n\) < \(0{,}001\).
En passant au logarithme :
\(n\ln\!\left(\frac{5}{6}\right)\) < \(\ln(0{,}001)\)
Comme \(\ln\!\left(\frac{5}{6}\right)\) < 0, on divise en changeant le sens :
\(n\) > \(\frac{\ln(0{,}001)}{\ln(5/6)} \approx \frac{-6{,}908}{-0{,}1823} \approx 37{,}9\)
Il faut au minimum 38 lancers.
Exercices rapides sur le logarithme décimal
Rappel utile : pour \(x\) > 0, on a \(\log_{10}(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(10)}\).
Exercice 31. Calculer \(\log_{10}(1000)\).
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\(1000 = 10^3\), donc \(\log_{10}(1000) = 3\).
Exercice 32. Simplifier \(\log_{10}(2) + \log_{10}(50)\).
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On utilise la propriété du logarithme d’un produit :
\(\log_{10}(2) + \log_{10}(50) = \log_{10}(2 \times 50) = \log_{10}(100) = 2\)Exercices niveau prépa : approfondissements
Les exercices suivants s’adressent aux élèves de CPGE (MPSI, PCSI) et de L1 mathématiques. Ils mobilisent des outils d’analyse plus avancés : développements limités, intégrales et inégalités classiques.
Développement limité de ln(1 + x)
Exercice 33. Rappelons que le développement limité de \(\ln(1 + x)\) au voisinage de 0 est : \(\ln(1 + x) = x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} – \cdots + \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} + o(x^n)\).
1) En déduire un DL à l’ordre 3 de \(\ln(1 + 2x)\). 2) En déduire un DL à l’ordre 2 de \(\ln\!\left(\frac{1 + x}{1 – x}\right)\). 3) Calculer \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x) – x}{x^2}\).
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1) On remplace \(x\) par \(2x\) :
\(\ln(1 + 2x) = 2x – \frac{(2x)^2}{2} + \frac{(2x)^3}{3} + o(x^3) = 2x – 2x^2 + \frac{8x^3}{3} + o(x^3)\)
2) \(\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right) = \ln(1 + x) – \ln(1 – x)\).
Or \(\ln(1 – x) = -x – \frac{x^2}{2} + o(x^2)\), donc :
\(\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right) = \left(x – \frac{x^2}{2}\right) – \left(-x – \frac{x^2}{2}\right) + o(x^2) = 2x + o(x^2)\)
3) Par le DL :
\(\frac{\ln(1+x) – x}{x^2} = \frac{-\frac{x^2}{2} + o(x^2)}{x^2} = -\frac{1}{2} + o(1) \to -\frac{1}{2}\)Intégrales et primitives avec ln
Exercice 34. Calculer les intégrales suivantes.
a) \(\int_1^e \frac{1}{x}\,dx\) b) \(\int_1^e \frac{\ln x}{x}\,dx\) c) \(\int_1^e (\ln x)^2\,dx\)
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a)
\(\int_1^e \frac{1}{x}\,dx = [\ln x]_1^e = \ln e – \ln 1 = 1\)
b) On reconnaît la forme \(u’ \cdot u\) avec \(u = \ln x\) et \(u’ = \frac{1}{x}\) :
\(\int_1^e \frac{\ln x}{x}\,dx = \left[\frac{(\ln x)^2}{2}\right]_1^e = \frac{1}{2} – 0 = \frac{1}{2}\)
c) Par intégration par parties avec \(u = (\ln x)^2\) et \(v’ = 1\) :
\(u’ = \frac{2\ln x}{x}\) et \(v = x\).
\(\int_1^e (\ln x)^2\,dx = [x(\ln x)^2]_1^e – 2\int_1^e \ln x\,dx\)Or \(\int_1^e \ln x\,dx = [x\ln x – x]_1^e = (e – e) – (0 – 1) = 1\) (par IPP classique).
Donc \(\int_1^e (\ln x)^2\,dx = e \cdot 1 – 0 – 2 \times 1 = e – 2\).
Inégalités classiques (concavité de ln)
Exercice 35. 1) Montrer que pour tout \(x\) > 0 : \(\ln x \leq x – 1\). 2) En déduire que pour tous \(a, b\) > 0 : \(\ln a – \ln b \leq \frac{a – b}{b}\). 3) Montrer que pour tout entier \(n \geq 1\) : \(\ln(n + 1) – \ln n \leq \frac{1}{n}\).
Voir la correction
1) On pose \(g(x) = \ln x – (x – 1) = \ln x – x + 1\).
Dérivée :
\(g'(x) = \frac{1}{x} – 1 = \frac{1 – x}{x}\)Signe : \(g'(x) \geq 0\) si \(x \leq 1\) et \(g'(x) \leq 0\) si \(x \geq 1\).
Donc \(g\) admet un maximum en \(x = 1\).
Valeur du maximum : \(g(1) = 0\).
Ainsi \(g(x) \leq 0\) pour tout \(x\) > 0, soit \(\ln x \leq x – 1\). ∎
2) On applique l’inégalité à \(x = \frac{a}{b}\) > 0 :
\(\ln\!\left(\frac{a}{b}\right) \leq \frac{a}{b} – 1 = \frac{a – b}{b}\)d’où \(\ln a – \ln b \leq \frac{a – b}{b}\). ∎
3) Cas particulier avec \(a = n + 1\) et \(b = n\) :
\(\ln(n + 1) – \ln n \leq \frac{(n + 1) – n}{n} = \frac{1}{n}\) ∎
Questions fréquentes sur le logarithme népérien
Comment résoudre une équation avec un logarithme népérien ?
La méthode dépend de la forme de l’équation. Pour \(\ln(A) = k\), on passe à l’exponentielle : \(A = e^k\). Pour \(\ln(A) = \ln(B)\), on utilise l’injectivité : \(A = B\) (en vérifiant que \(A\) et \(B\) sont strictement positifs). Dans tous les cas, il faut d’abord déterminer le domaine de résolution, puis vérifier que les solutions trouvées y appartiennent.
Comment simplifier une expression avec des logarithmes ?
Il faut appliquer les trois propriétés fondamentales : \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\), \(\ln(a/b) = \ln a – \ln b\) et \(\ln(a^n) = n\ln a\). Le but est souvent de ramener l’expression à un seul logarithme ou à une combinaison de logarithmes de nombres premiers (\(\ln 2\), \(\ln 3\), etc.).
Le logarithme népérien peut-il être négatif ?
Oui ! La fonction ln est négative sur l’intervalle \(]0\,;\, 1[\) et positive sur \(]1\,;\, +\infty[\). Par exemple, \(\ln(0{,}5) \approx -0{,}693\). L’erreur fréquente consiste à confondre la condition \(x > 0\) (nécessaire pour que \(\ln x\) existe) avec le fait que \(\ln x\) serait positif.
Quelle est la dérivée de ln(u(x)) ?
Si \(u\) est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle \(I\), alors \((\ln \circ\, u)'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}\). Par exemple, la dérivée de \(\ln(x^2 + 1)\) est \(\frac{2x}{x^2 + 1}\). C’est la formule la plus utilisée dans les études de fonctions du baccalauréat.
Comment calculer une limite avec ln (croissances comparées) ?
Les deux résultats essentiels sont : \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0\) (ln croît moins vite que toute puissance) et \(\lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0\). Face à une forme indéterminée, la technique consiste à factoriser par le terme dominant puis à appliquer l’un de ces résultats.
Quelle différence entre logarithme népérien et logarithme décimal ?
Le logarithme népérien (ln) a pour base le nombre \(e \approx 2{,}718\) : \(\ln(e) = 1\). Le logarithme décimal (log₁₀) a pour base 10 : \(\log_{10}(10) = 1\). Ils sont reliés par \(\log_{10}(x) = \frac{\ln x}{\ln 10}\). En mathématiques, on utilise presque exclusivement ln ; le logarithme décimal apparaît surtout en physique (décibels, pH, magnitude).
Comment utiliser ln pour résoudre une inéquation du type aⁿ ≤ b ?
On passe au logarithme des deux côtés. Si \(a\) > 1 : \(a^n \leq b \iff n\ln a \leq \ln b \iff n \leq \frac{\ln b}{\ln a}\). Si 0 < \(a\) < 1 : \(\ln a\) < 0, donc la division inverse le sens de l’inégalité. C’est une source d’erreur fréquente !
Quels sont les pièges classiques avec le logarithme au bac ?
Les erreurs les plus fréquentes sont : (1) écrire \(\ln(a + b) = \ln a + \ln b\) (faux !), (2) oublier de vérifier le domaine de définition, (3) confondre \((\ln x)^2\) et \(\ln(x^2)\), (4) diviser par \(\ln a\) sans vérifier son signe lorsque 0 < \(a\) < 1, et (5) penser que \(\ln x\) est toujours positif.
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