Quand on étudie une fonction, on s’intéresse d’abord à ses variations (croissante ou décroissante ?). Mais cela ne suffit pas : deux fonctions croissantes peuvent avoir des formes très différentes. L’une accélère, l’autre ralentit. C’est précisément ce que décrit la convexité.
Ce cours vous guide pas à pas dans l’étude de la convexité et de la concavité, depuis les définitions graphiques jusqu’aux inégalités classiques de concours. Vous y trouverez les critères fondamentaux (dérivée seconde, tangentes, cordes), la méthode complète pour étudier la convexité d’une fonction, et des exercices corrigés progressifs.
Prérequis : dérivée d’une fonction et règles de calcul de dérivées.
Convexe ou concave : comment les distinguer ?
Avant toute formule, une intuition simple. Imaginez que vous versez de l’eau sur la courbe d’une fonction :
- Si la courbe retient l’eau (forme de « bol », en U), la fonction est convexe. Exemple : \(x^2\).
- Si la courbe laisse couler l’eau (forme de « bosse », en ∩), la fonction est concave. Exemple : \(-x^2\).
Astuce mnémotechnique : conCAVE → « cave » → pensez à la voûte d’une grotte → forme en ∩. Une voûte ne retient pas l’eau : elle coule. À l’inverse, une courbe convexe forme un creux (un bol) qui retient l’eau.
En mathématiques, on ne parle pas de « bol » ou de « bosse » : on utilise des critères précis impliquant les tangentes, les cordes et la dérivée seconde. C’est ce que nous allons voir maintenant.
Définition d’une fonction convexe et d’une fonction concave
Il existe plusieurs façons équivalentes de définir la convexité. Chacune apporte un éclairage différent et s’avère utile dans des contextes distincts.
Caractérisation par les cordes (segment [AB])
Prenons deux points quelconques \(A\) et \(B\) sur la courbe représentative d’une fonction \(f\). Le segment \([AB]\) est appelé la corde qui joint ces deux points.
Fonction convexe (définition par les cordes)
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\). On dit que \(f\) est convexe sur \(I\) si, pour tous points \(A\) et \(B\) de la courbe, le segment \([AB]\) est situé au-dessus de la courbe entre \(A\) et \(B\).
On dit que \(f\) est concave sur \(I\) si le segment \([AB]\) est situé en dessous de la courbe entre \(A\) et \(B\).
Concrètement, pour une fonction convexe, la courbe « creuse » vers le bas et les cordes passent au-dessus. Pour une fonction concave, c’est l’inverse : la courbe « bombe » vers le haut.
Caractérisation par les tangentes
Cette deuxième caractérisation est souvent la plus parlante graphiquement, et c’est celle qui intervient le plus souvent en Terminale.
Fonction convexe (définition par les tangentes)
Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\).
\(f\) est convexe sur \(I\) si, et seulement si, sa courbe est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes sur \(I\).
\(f\) est concave sur \(I\) si, et seulement si, sa courbe est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes sur \(I\).
En d’autres termes : pour une fonction convexe, la tangente « sous-estime » toujours la fonction. Autrement dit, pour tout point \(a\) de l’intervalle :
\(f(x) \geq f(a) + f^{\prime}(a)(x – a)\)
C’est cette propriété qui permet de démontrer des inégalités classiques comme \(e^x \geq 1 + x\).
Définition formelle par combinaison convexe (pour aller plus loin)
En CPGE, on utilise une formulation algébrique équivalente aux deux caractérisations précédentes.
Définition formelle (niveau Prépa)
Soit \(f\) définie sur un intervalle \(I\). La fonction \(f\) est convexe sur \(I\) si :
Pour tous \(x, y \in I\) et pour tout \(t \in [0,1]\) :
\(f\bigl(t\,x + (1-t)\,y\bigr) \leq t\,f(x) + (1-t)\,f(y)\)
\(f\) est concave si l’inégalité est renversée (\(\geq\)).
En pratique, on utilise rarement cette définition directement. Pour étudier la convexité d’une fonction, le critère de la dérivée seconde est bien plus efficace. La définition formelle intervient surtout pour démontrer des inégalités (Jensen, Bernoulli…).
Reconnaître la convexité : les critères en un coup d’œil
Selon les informations dont vous disposez (graphe, expression de \(f^{\prime}\), expression de \(f^{\prime\prime}\)), vous choisirez le critère le plus rapide. Voici le résumé :
| Ce que vous connaissez | Convexe | Concave | Quand l’utiliser |
|---|---|---|---|
| Graphe seulement | Courbe sous les cordes, au-dessus des tangentes | Courbe au-dessus des cordes, sous les tangentes | Lecture graphique (sans calcul) |
| \(f\) dérivable | \(f^{\prime}\) croissante | \(f^{\prime}\) décroissante | Si on connaît déjà les variations de \(f^{\prime}\) |
| \(f\) deux fois dérivable | \(f^{\prime\prime}(x) \geq 0\) | \(f^{\prime\prime}(x) \leq 0\) | Méthode standard (Terminale, CPGE) |
Dans la grande majorité des exercices, c’est le dernier critère (signe de \(f^{\prime\prime}\)) que l’on utilise. C’est ce que nous détaillons maintenant.
Convexité et dérivée seconde : le critère fondamental
Convexité et sens de variation de \(f^{\prime}\)
Quand une fonction est convexe, la pente de ses tangentes augmente de gauche à droite : la courbe « accélère ». Quand elle est concave, la pente diminue : la courbe « ralentit ».
Propriété (lien convexité – variations de \(f^{\prime}\))
Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\).
- \(f\) est convexe sur \(I\) si, et seulement si, \(f^{\prime}\) est croissante sur \(I\).
- \(f\) est concave sur \(I\) si, et seulement si, \(f^{\prime}\) est décroissante sur \(I\).
Étudier la convexité, c’est donc étudier les variations de la dérivée, et pour cela, on calcule… la dérivée de la dérivée.
Critère de la dérivée seconde
Lorsque \(f\) est deux fois dérivable, on dispose d’un critère immédiat : il suffit de signer \(f^{\prime\prime}\).
Théorème (critère de la dérivée seconde)
Soit \(f\) une fonction deux fois dérivable sur un intervalle \(I\).
- Si \(f^{\prime\prime}(x) \geq 0\) pour tout \(x \in I\), alors \(f\) est convexe sur \(I\).
- Si \(f^{\prime\prime}(x) \leq 0\) pour tout \(x \in I\), alors \(f\) est concave sur \(I\).
En résumé : dérivée seconde positive → convexe ; dérivée seconde négative → concave.
Méthode pas à pas : étudier la convexité d’une fonction
Voici la procédure à suivre systématiquement dans un exercice ou un problème.
Checklist – Étude de convexité
- Calculer \(f^{\prime}(x)\) (si ce n’est pas déjà fait dans l’étude de variations).
- Calculer \(f^{\prime\prime}(x)\) en dérivant \(f^{\prime}(x)\). Utiliser le tableau des dérivées usuelles si nécessaire.
- Déterminer le signe de \(f^{\prime\prime}(x)\) sur l’intervalle d’étude.
- Conclure :
- \(f^{\prime\prime}(x) \geq 0\) → \(f\) convexe.
- \(f^{\prime\prime}(x) \leq 0\) → \(f\) concave.
- \(f^{\prime\prime}\) change de signe → il y a un point d’inflexion.
Exemple : étudier la convexité de \(f(x) = x^3 – 3x^2 + 1\)
On calcule successivement :
\(f^{\prime}(x) = 3x^2 – 6x\)
\(f^{\prime\prime}(x) = 6x – 6 = 6(x – 1)\)
Signe de \(f^{\prime\prime}(x)\) :
- Si \(x\) < \(1\) : \(f^{\prime\prime}(x)\) < \(0\) → \(f\) est concave sur \(]-\infty\,;\,1]\).
- Si \(x\) > \(1\) : \(f^{\prime\prime}(x)\) > \(0\) → \(f\) est convexe sur \([1\,;\,+\infty[\).
La convexité change en \(x = 1\) : il y a un point d’inflexion de coordonnées \((1\,;\,f(1)) = (1\,;\,-1)\).
Point d’inflexion : définition et méthode
Le point d’inflexion est le point où la courbe change de comportement : elle passe de convexe à concave (ou inversement). C’est un concept central en Terminale et en Prépa.
Définition du point d’inflexion
Point d’inflexion
Un point \(A\bigl(a\,;\,f(a)\bigr)\) de la courbe de \(f\) est un point d’inflexion si la courbe traverse sa tangente en ce point, c’est-à-dire si \(f\) change de convexité en \(a\).
Graphiquement, au point d’inflexion, la courbe passe d’un côté à l’autre de sa tangente. La tangente en un point d’inflexion est parfois appelée tangente d’inflexion.
Comment trouver un point d’inflexion ?
La méthode est directe :
- Résoudre \(f^{\prime\prime}(x) = 0\) pour trouver les candidats.
- Vérifier que \(f^{\prime\prime}\) change de signe de part et d’autre de chaque candidat (à l’aide d’un tableau de signes).
- Calculer les coordonnées \(\bigl(a\,;\,f(a)\bigr)\).
Exemple : \(f(x) = x^3\) (la fonction cube)
\(f^{\prime}(x) = 3x^2\) et \(f^{\prime\prime}(x) = 6x\).
\(f^{\prime\prime}(x) = 0 \iff x = 0\).
Pour \(x\) < \(0\) : \(f^{\prime\prime}(x)\) < \(0\) (concave). Pour \(x\) > \(0\) : \(f^{\prime\prime}(x)\) > \(0\) (convexe).
\(f^{\prime\prime}\) change de signe en 0 : le point \((0\,;\,0)\) est bien un point d’inflexion de la courbe.
Pièges classiques autour du point d’inflexion
Piège n°1 — \(f^{\prime\prime}(a) = 0\) ne suffit pas.
La condition \(f^{\prime\prime}(a) = 0\) est nécessaire mais pas suffisante. Il faut impérativement vérifier que \(f^{\prime\prime}\) change de signe.
Contre-exemple : soit \(f(x) = x^4\). On a \(f^{\prime\prime}(x) = 12x^2\), donc \(f^{\prime\prime}(0) = 0\). Pourtant \(f^{\prime\prime}(x) \geq 0\) pour tout \(x\) (pas de changement de signe) : la fonction reste convexe sur \(\mathbb{R}\) et il n’y a aucun point d’inflexion en 0.
Piège n°2 — Ne pas confondre extremum et inflexion.
- Un extremum (maximum ou minimum local) est lié au signe de \(f^{\prime}\) : c’est une question de variations.
- Un point d’inflexion est lié au signe de \(f^{\prime\prime}\) : c’est une question de convexité.
Un point d’inflexion n’est pas un extremum (la fonction ne « change pas de sens » en ce point, elle change de « courbure »).
Convexité des fonctions usuelles : tableau récapitulatif
Le tableau ci-dessous résume la convexité de toutes les fonctions de référence. C’est un outil précieux pour les exercices et les contrôles.
| Fonction | Domaine | Dérivée seconde \(f^{\prime\prime}(x)\) | Convexité |
|---|---|---|---|
| \(x^2\) (fonction carré) | \(\mathbb{R}\) | \(2\) | Convexe sur \(\mathbb{R}\) |
| \(x^3\) (fonction cube) | \(\mathbb{R}\) | \(6x\) | Concave sur \(]-\infty\,;\,0]\), convexe sur \([0\,;\,+\infty[\) |
| \(\sqrt{x}\) (racine carrée) | \(]0\,;\,+\infty[\) | \(-\frac{1}{4x\sqrt{x}}\) | Concave sur \(]0\,;\,+\infty[\) |
| \(\frac{1}{x}\) (fonction inverse) | \(]0\,;\,+\infty[\) | \(\frac{2}{x^3}\) | Convexe sur \(]0\,;\,+\infty[\) |
| \(e^x\) (exponentielle) | \(\mathbb{R}\) | \(e^x\) | Convexe sur \(\mathbb{R}\) |
| \(\ln x\) (logarithme népérien) | \(]0\,;\,+\infty[\) | \(-\frac{1}{x^2}\) | Concave sur \(]0\,;\,+\infty[\) |
| \(\sin x\) | \(\mathbb{R}\) | \(-\sin x\) | Concave sur \([0\,;\,\pi]\), convexe sur \([\pi\,;\,2\pi]\), etc. |
| \(\cos x\) | \(\mathbb{R}\) | \(-\cos x\) | Concave sur \([-\frac{\pi}{2}\,;\,\frac{\pi}{2}]\), convexe sur \([\frac{\pi}{2}\,;\,\frac{3\pi}{2}]\), etc. |
Observation : les fonctions affines sont les seules fonctions à être à la fois convexes et concaves sur \(\mathbb{R}\) (car \(f^{\prime\prime} = 0\)). Ce sont précisément les fonctions dont la courbe est une droite.
La convexité dans une étude de fonction : checklist « copie »
La convexité intervient rarement seule : elle s’inscrit dans une étude de fonction complète. Voici comment l’articuler avec les autres étapes, sans refaire un cours de dérivation.
Étape 1 — Fixer le domaine d’étude
Avant toute dérivée, on détermine l’ensemble de définition de la fonction. C’est non négociable : les conclusions sur la convexité ne valent que sur les intervalles où \(f\) est définie et deux fois dérivable.
Étape 2 — Étudier les variations (rôle de \(f^{\prime}\))
Le signe de \(f^{\prime}\) donne les variations (croissance, décroissance, extremums). La convexité répond à une autre question : la pente augmente-t-elle ou diminue-t-elle ?
Avant de dériver, cherchez les éventuelles symétries : si la fonction est paire ou impaire, vous pouvez souvent réduire l’étude à \(x \geq 0\).
Pour la méthode complète : tableau de variation d’une fonction.
Étape 3 — Étudier la convexité (rôle de \(f^{\prime\prime}\))
On étudie le signe de \(f^{\prime\prime}\) sur l’intervalle. On en déduit les intervalles de convexité et de concavité, ainsi que les points d’inflexion (après vérification du changement de signe).
Étape 4 — Tangentes remarquables et lecture finale de la courbe
Dans une copie bien rédigée, on conclut avec : les variations et la convexité réunies, les asymptotes éventuelles, les tangentes aux points remarquables (au minimum l’inflexion), et un tracé qualitatif propre de la courbe.
Qualité de rédaction : dans un DS ou un concours, séparez clairement le tableau de variations (signe de \(f^{\prime}\)) et le tableau de convexité (signe de \(f^{\prime\prime}\)). Les examinateurs apprécient cette présentation structurée.
Inégalités de convexité : applications classiques (pour aller plus loin)
L’un des intérêts majeurs de la convexité en CPGE est de démontrer des inégalités de manière élégante. L’idée est toujours la même : comparer la fonction à sa tangente (si convexe, la tangente est en dessous) ou à sa corde.
ex ≥ 1 + x : l’inégalité de la tangente de l’exponentielle
La fonction exponentielle est convexe sur \(\mathbb{R}\) (car \((e^x)^{\prime\prime} = e^x\) > \(0\)). Sa courbe est donc au-dessus de toutes ses tangentes.
La tangente à la courbe de \(e^x\) au point d’abscisse \(0\) a pour équation \(y = x + 1\).
Par convexité, la courbe est au-dessus de cette tangente, ce qui donne :
Inégalité fondamentale
Pour tout réel \(x\) : \(\quad e^x \geq 1 + x\)
avec égalité si et seulement si \(x = 0\).
ln x ≤ x − 1 : l’inégalité du logarithme
La fonction logarithme népérien est concave sur \(]0\,;\,+\infty[\) (car \((\ln x)^{\prime\prime} = -\frac{1}{x^2}\) < \(0\)). Sa courbe est donc en dessous de ses tangentes.
La tangente à la courbe de \(\ln x\) au point d’abscisse \(1\) a pour équation \(y = x – 1\).
Par concavité :
Pour tout \(x\) > \(0\) : \(\quad \ln x \leq x – 1\)
avec égalité si et seulement si \(x = 1\).
Inégalité de Bernoulli : (1+x)n ≥ 1 + nx
Soit \(n \geq 2\) un entier. La fonction \(f(x) = (1+x)^n\) est définie sur \([-1\,;\,+\infty[\). On a :
\(f^{\prime}(x) = n(1+x)^{n-1}\) et \(f^{\prime\prime}(x) = n(n-1)(1+x)^{n-2}\).
Pour \(x \geq -1\) : \(f^{\prime\prime}(x) \geq 0\), donc \(f\) est convexe.
La tangente au point d’abscisse \(0\) a pour équation \(y = 1 + nx\). Par convexité :
Inégalité de Bernoulli
Pour tout entier \(n \geq 2\) et tout \(x \geq -1\) :
\((1+x)^n \geq 1 + nx\)
Classique en concours : cette inégalité tombe très régulièrement à l’écrit et à l’oral des concours. La démontrer par convexité est plus rapide et plus élégant qu’une récurrence.
Introduction à l’inégalité de Jensen (CPGE)
L’inégalité de Jensen généralise le principe de convexité à une combinaison de plusieurs points. C’est l’outil le plus puissant pour démontrer des inégalités sur des sommes ou des produits.
Inégalité de Jensen
Soit \(f\) une fonction convexe sur un intervalle \(I\). Pour tous \(x_1, x_2, \ldots, x_n \in I\) :
\(f\!\left(\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}\right) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n)}{n}\)
Si \(f\) est concave, l’inégalité est renversée.
Un cas célèbre : en appliquant l’inégalité de Jensen à la fonction \(\ln\) (concave), on retrouve l’inégalité arithmético-géométrique (AM-GM).
Exercices corrigés sur la convexité
Mettez en pratique les notions de ce cours avec ces quatre exercices progressifs, du niveau Terminale au niveau Prépa.
Exercice 1 – Étude de convexité d’un polynôme (Terminale ★☆☆)
Soit \(f(x) = -x^3 + 6x^2 – 9x + 2\), définie sur \(\mathbb{R}\).
- Calculer \(f^{\prime\prime}(x)\).
- Étudier le signe de \(f^{\prime\prime}(x)\) et en déduire les intervalles de convexité et de concavité de \(f\).
- Déterminer les coordonnées du point d’inflexion de la courbe de \(f\).
Voir la correction
1. On dérive deux fois :
\(f^{\prime}(x) = -3x^2 + 12x – 9\) \(f^{\prime\prime}(x) = -6x + 12 = -6(x – 2)\)2. Signe de \(f^{\prime\prime}(x)\) :
- Si \(x\) < \(2\) : \(f^{\prime\prime}(x)\) > \(0\), donc \(f\) est convexe sur \(]-\infty\,;\,2]\).
- Si \(x\) > \(2\) : \(f^{\prime\prime}(x)\) < \(0\), donc \(f\) est concave sur \([2\,;\,+\infty[\).
3. \(f^{\prime\prime}\) s’annule en \(x = 2\) et change de signe. Le point d’inflexion a pour coordonnées :
\(f(2) = -8 + 24 – 18 + 2 = 0\)Le point d’inflexion est \((2\,;\,0)\).
Exercice 2 – Lecture graphique de la convexité (Terminale ★★☆)
On dispose du graphe ci-dessous d’une fonction \(f\) dérivable sur \([-4\,;\,4]\).
![Graphique d'une fonction avec trois zones : convexe sur [-4, -1], concave sur [-1, 2], convexe sur [2, 4], avec cordes et points d'inflexion](/wp-content/uploads/2026/02/exercice-lecture-graphique-convexite.png)
On observe que :
- sur \([-4\,;\,-1]\), toute corde tracée entre deux points de la courbe passe au-dessus de la courbe ;
- sur \([-1\,;\,2]\), toute corde tracée passe en dessous de la courbe ;
- sur \([2\,;\,4]\), toute corde passe de nouveau au-dessus de la courbe.
- Que peut-on conjecturer sur la convexité de \(f\) sur chaque intervalle ?
- Quels sont les candidats points d’inflexion ? Justifier.
- Si l’on vous donne de plus que \(f^{\prime\prime}(-1) = 0\) et \(f^{\prime\prime}(2) = 0\), cela suffit-il pour confirmer les points d’inflexion ? Pourquoi ?
Voir la correction
1. D’après le critère des cordes :
- Sur \([-4\,;\,-1]\) : cordes au-dessus → \(f\) semble convexe.
- Sur \([-1\,;\,2]\) : cordes en dessous → \(f\) semble concave.
- Sur \([2\,;\,4]\) : cordes au-dessus → \(f\) semble convexe.
2. La convexité change en \(x = -1\) (convexe → concave) et en \(x = 2\) (concave → convexe). Ce sont les candidats points d’inflexion.
3. \(f^{\prime\prime}(-1) = 0\) et \(f^{\prime\prime}(2) = 0\) sont des conditions nécessaires, mais pas suffisantes. Ce qui confirme les points d’inflexion ici, c’est le changement de convexité observé de part et d’autre : la condition \(f^{\prime\prime} = 0\) est accompagnée d’un changement effectif de signe de \(f^{\prime\prime}\) (puisque la convexité change). Les deux points d’inflexion sont donc confirmés.
Attention : sur une copie, une observation graphique seule n’est pas une justification rigoureuse. Il faut soit utiliser le signe de \(f^{\prime\prime}\), soit au minimum argumenter précisément sur le critère des cordes ou des tangentes.
Exercice 3 – Convexité et inégalité (Terminale ★★☆)
On considère la fonction exponentielle \(f(x) = e^x\).
- Rappeler pourquoi \(f\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).
- Écrire l’équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse \(0\).
- En déduire que, pour tout réel \(x\) : \(e^x \geq 1 + x\).
- En remplaçant \(x\) par \(-x\), montrer que pour tout réel \(x\) : \(e^{-x} \geq 1 – x\).
Voir la correction
1. \(f^{\prime}(x) = e^x\) et \(f^{\prime\prime}(x) = e^x\) > \(0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\). Donc \(f\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).
2. L’équation de la tangente en \(a = 0\) est :
\(y = f^{\prime}(0)(x – 0) + f(0) = 1 \cdot x + 1 = x + 1\)3. \(f\) est convexe, donc sa courbe est au-dessus de toutes ses tangentes. En particulier au-dessus de la tangente en 0 :
Pour tout \(x \in \mathbb{R}\) : \(e^x \geq x + 1\).
4. On remplace \(x\) par \(-x\) dans l’inégalité précédente :
\(e^{-x} \geq (-x) + 1 = 1 – x\)L’inégalité est démontrée pour tout réel \(x\).
Exercice 4 – Inégalité par convexité (Prépa ★★★)
Soit \(n \geq 2\) un entier et \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) des réels strictement positifs.
En utilisant la concavité de la fonction \(\ln\), montrer que :
\(\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \geq \bigl(x_1 \cdot x_2 \cdots x_n\bigr)^{\frac{1}{n}}\)
(C’est l’inégalité arithmético-géométrique.)
Voir la correction
La fonction \(\ln\) est concave sur \(]0\,;\,+\infty[\) (car \((\ln x)^{\prime\prime} = -\frac{1}{x^2}\) < \(0\)).
Par l’inégalité de Jensen appliquée à \(\ln\) (concave) avec les poids \(\frac{1}{n}\) :
\(\ln\!\left(\frac{x_1 + \cdots + x_n}{n}\right) \geq \frac{\ln x_1 + \cdots + \ln x_n}{n} = \frac{1}{n}\ln(x_1 \cdots x_n) = \ln\!\bigl((x_1 \cdots x_n)^{\frac{1}{n}}\bigr)\)La fonction \(\ln\) est strictement croissante, donc en composant par \(\exp\) :
\(\frac{x_1 + \cdots + x_n}{n} \geq (x_1 \cdots x_n)^{\frac{1}{n}}\)C’est bien l’inégalité arithmético-géométrique (AM ≥ GM).
FAQ : Convexité et concavité
Quelle est la différence entre convexe et concave ?
En mathématiques, une fonction est convexe quand sa courbe forme un creux en U (comme un bol) : elle est au-dessus de ses tangentes et en dessous de ses cordes. Elle est concave quand la courbe forme une bosse en ∩ (comme une voûte) : elle est en dessous de ses tangentes et au-dessus de ses cordes. Le critère rapide : si la dérivée seconde est positive, la fonction est convexe ; si elle est négative, la fonction est concave.
Comment savoir si une fonction est convexe ou concave ?
La méthode la plus efficace est de calculer la dérivée seconde \(f^{\prime\prime}(x)\). Si \(f^{\prime\prime}(x) \geq 0\) sur un intervalle, la fonction est convexe sur cet intervalle. Si \(f^{\prime\prime}(x) \leq 0\), elle est concave. Graphiquement, on peut aussi vérifier que les cordes sont au-dessus (convexe) ou en dessous (concave) de la courbe.
Qu'est-ce qu'un point d'inflexion ?
C’est un point de la courbe où la fonction change de convexité : elle passe de convexe à concave, ou inversement. En ce point, la courbe traverse sa tangente. On le trouve en résolvant \(f^{\prime\prime}(x) = 0\) puis en vérifiant que \(f^{\prime\prime}\) change de signe.
La dérivée seconde nulle implique-t-elle un point d'inflexion ?
Non, pas toujours. La condition \(f^{\prime\prime}(a) = 0\) est nécessaire mais pas suffisante. Par exemple, pour \(f(x) = x^4\), on a \(f^{\prime\prime}(0) = 0\) mais \(f^{\prime\prime}(x) = 12x^2 \geq 0\) partout : il n’y a pas de changement de signe, donc pas de point d’inflexion. Il faut toujours vérifier le changement de signe de \(f^{\prime\prime}\).
La fonction exponentielle est-elle convexe ou concave ?
La fonction exponentielle est convexe sur \(\mathbb{R}\). En effet, \((e^x)^{\prime\prime} = e^x\) > \(0\) pour tout réel \(x\). Sa courbe est donc toujours au-dessus de ses tangentes. C’est de cette propriété que découle l’inégalité \(e^x \geq 1 + x\).
Comment retenir la différence entre concave et convexe ?
La meilleure astuce : le mot « conCAVE » contient le mot « cave ». Pensez à la voûte d’une grotte : elle a une forme en ∩ et l’eau coule dessus. Une fonction concave a cette forme. À l’inverse, une courbe convexe forme un creux (un bol, en U) qui retient l’eau.
Qu'est-ce qu'une inégalité de convexité ?
C’est une inégalité qui se démontre en utilisant la propriété fondamentale d’une fonction convexe (courbe au-dessus de ses tangentes ou en dessous de ses cordes). Les exemples classiques sont \(e^x \geq 1 + x\), \(\ln x \leq x – 1\) et l’inégalité de Bernoulli \((1+x)^n \geq 1 + nx\). L’inégalité de Jensen en est la généralisation la plus puissante.
Le vocabulaire convexe / concave existe-t-il en dehors des maths ?
Oui. En optique, un miroir convexe est bombé vers l’extérieur (comme un rétroviseur de voiture), tandis qu’un miroir concave est creux (comme l’intérieur d’une cuillère). En anatomie, on parle aussi de surfaces convexes et concaves pour décrire la forme des os. Sur cette page, nous traitons uniquement la convexité au sens des fonctions mathématiques.
Besoin d’aide sur la convexité ou l’étude de fonctions ?
La convexité est un chapitre clé qui relie l’étude des dérivées, le tableau de variation et les inégalités de concours. Si vous souhaitez consolider ces notions ou progresser en vue du bac ou d’un concours, un accompagnement structuré peut faire la différence.
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Pour aller plus loin
- Cours complet sur les fonctions — la page pilier du cocon Fonctions.
- Tableau de variation d’une fonction — complémentaire de l’étude de convexité.
- Parité des fonctions — une autre propriété globale des fonctions.
- Ensemble de définition d’une fonction — la première étape de toute étude.
- Continuité des fonctions — une fonction convexe est continue à l’intérieur de son intervalle.
- Fonction exponentielle — convexe sur \(\mathbb{R}\), au cœur des inégalités classiques.
- Fonction logarithme — concave sur \(]0\,;\,+\infty[\).
Pour Lycée & Prépa.
