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En combien de façons peut-on choisir 3 délégués parmi 30 élèves ? Ou tirer 5 numéros parmi 49 au Loto ? Dès qu’on sélectionne des éléments sans tenir compte de l’ordre, on utilise le coefficient binomial, noté \(\displaystyle {n \choose k}\) et lu « k parmi n ». C’est l’outil central du dénombrement en Terminale et un pilier de la combinatoire en prépa. Tu trouveras ici sa définition, sa formule avec les factorielles, le triangle de Pascal, ses propriétés clés et des exercices corrigés pour le maîtriser. Conforme au programme 2025-2026.
I. Définition et notation du coefficient binomial
A. Qu’est-ce que le coefficient binomial ?
Le coefficient binomial apparaît dès qu’on veut compter le nombre de façons de choisir des éléments dans un ensemble, sans se soucier de l’ordre. Que tu formes un sous-groupe, que tu pioches des cartes ou que tu sélectionnes des candidats, c’est le même outil.
Définition — Coefficient binomial
Soient \(n\) et \(k\) deux entiers naturels avec \(0 \leq k \leq n\). Le coefficient binomial \(\displaystyle {n \choose k}\), lu « k parmi n », est le nombre de parties à \(k\) éléments d’un ensemble à \(n\) éléments.
Autrement dit, c’est le nombre de façons de choisir \(k\) éléments parmi \(n\), sans tenir compte de l’ordre et sans répétition.
Notations. Tu rencontreras plusieurs écritures pour le même objet :
- \(\displaystyle {n \choose k}\) — la notation standard actuelle (celle du programme officiel),
- \(\mathrm{C}_n^k\) — l’ancienne notation française, encore fréquente dans certains manuels,
- \(\mathrm{C}(n,k)\) — la notation fonctionnelle (courante en informatique).
Toutes désignent le même nombre. En anglais, on parle de binomial coefficient.
Comment lire \(\displaystyle {n \choose k}\) ? On dit « k parmi n ». Attention à l’ordre : le « grand » nombre \(n\) (l’ensemble total) est en haut, le « petit » nombre \(k\) (ceux qu’on choisit) est en bas.
B. Combinaisons : compter les choix sans ordre ni répétition
En dénombrement, on appelle combinaison de \(k\) éléments parmi \(n\) tout sous-ensemble de \(k\) éléments choisis parmi \(n\). Deux combinaisons sont identiques si elles contiennent les mêmes éléments, peu importe l’ordre dans lequel on les a choisis.
Exemple concret. Tu dois choisir 2 fruits parmi {pomme, banane, cerise}. Les combinaisons possibles sont :
{pomme, banane}, {pomme, cerise}, {banane, cerise}.
Il y en a 3 : on a bien \(\displaystyle {3 \choose 2} = 3\). Remarque que {pomme, banane} et {banane, pomme} comptent pour une seule combinaison — l’ordre ne compte pas.
C’est la différence fondamentale avec les arrangements, où l’ordre compte : choisir puis classer 2 fruits parmi 3 donnerait 6 résultats (le double), car {pomme, banane} et {banane, pomme} seraient distincts. Pour approfondir cette distinction, consulte la fiche méthode « Permutation, arrangement, combinaison ».
C. Valeurs particulières et premiers exemples
Certaines valeurs du coefficient binomial se retiennent immédiatement :
| Expression | Valeur | Interprétation |
|---|---|---|
| \(\displaystyle {n \choose 0}\) | \(1\) | Une seule façon de ne choisir aucun élément : le sous-ensemble vide |
| \(\displaystyle {n \choose 1}\) | \(n\) | Choisir 1 élément parmi \(n\) : autant de possibilités que d’éléments |
| \(\displaystyle {n \choose n}\) | \(1\) | Une seule façon de prendre tous les éléments |
| \(\displaystyle {n \choose 2}\) | \(\displaystyle\frac{n(n-1)}{2}\) | Le nombre de paires possibles parmi \(n\) éléments |
Piège classique : que vaut \(\displaystyle {n \choose 0}\) ? La réponse est 1, pas 0. Beaucoup d’élèves pensent que « choisir 0 élément, c’est ne rien faire, donc 0 ». Mais il y a exactement une façon de ne rien choisir : c’est prendre l’ensemble vide \(\emptyset\). Retiens : \(\displaystyle {n \choose 0} = 1\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Par convention, si \(k\) < \(0\) ou \(k\) > \(n\), on pose \(\displaystyle {n \choose k} = 0\) (il est impossible de choisir plus d’éléments qu’il n’y en a, ou un nombre négatif).
II. Formule du coefficient binomial avec les factorielles
Maintenant que tu sais ce que compte le coefficient binomial, voyons comment le calculer.
A. La formule fondamentale
Formule du coefficient binomial
Pour tout entier naturel \(n\) et tout entier \(k\) tel que \(0 \leq k \leq n\) :
\(\displaystyle {n \choose k} = \displaystyle\frac{n!}{k!\,(n-k)!}\)
où \(n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1\) est la factorielle de \(n\) (avec la convention \(0! = 1\)).
D’où vient cette formule ? L’idée repose sur le lien avec les arrangements. Le nombre d’arrangements de \(k\) éléments parmi \(n\) (choix ordonné) vaut :
\(\displaystyle A(n,k) = \displaystyle\frac{n!}{(n-k)!} = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-k+1)\)
Mais dans un arrangement, chaque combinaison est comptée plusieurs fois — exactement \(k!\) fois, car \(k\) objets peuvent être ordonnés de \(k!\) manières. On retrouve donc :
\(\displaystyle {n \choose k} = \displaystyle\frac{A(n,k)}{k!} = \displaystyle\frac{n!}{k!\,(n-k)!}\)
Exemple. Calculons \(\displaystyle {5 \choose 2}\) :
\(\displaystyle {5 \choose 2} = \displaystyle\frac{5!}{2!\times 3!} = \displaystyle\frac{120}{2 \times 6} = \displaystyle\frac{120}{12} = 10\)
Il y a 10 façons de choisir 2 éléments parmi 5.
Fiche de révision — Coefficient binomial
Toutes les formules, propriétés et pièges à éviter résumés en une seule page PDF imprimable.
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B. Calculer sans calculatrice : la méthode de simplification
En pratique, il n’est jamais nécessaire de calculer intégralement les factorielles. La clé est de simplifier avant de multiplier. Voici la méthode en 3 étapes :
Méthode — Calculer \(\displaystyle {n \choose k}\) à la main
- Écris le numérateur comme un produit descendant de \(k\) facteurs à partir de \(n\) : \(n \times (n-1) \times \cdots \times (n-k+1)\).
- Écris le dénominateur : \(k! = k \times (k-1) \times \cdots \times 1\).
- Simplifie au fur et à mesure avant de multiplier.
Autrement dit : \(\displaystyle {n \choose k} = \displaystyle\frac{n \times (n-1) \times \cdots \times (n-k+1)}{k \times (k-1) \times \cdots \times 1}\).
Exemple 1. Calculons \(\displaystyle {10 \choose 3}\) :
\(\displaystyle {10 \choose 3} = \displaystyle\frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \displaystyle\frac{720}{6} = 120\)
Au numérateur : 3 facteurs descendants à partir de 10. Au dénominateur : \(3! = 6\).
Exemple 2. Calculons \(\displaystyle {12 \choose 4}\) en simplifiant au fur et à mesure :
\(\displaystyle {12 \choose 4} = \displaystyle\frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1}\)
On simplifie : \(\displaystyle\frac{12}{4} = 3\), puis \(\displaystyle\frac{9}{3} = 3\), puis \(\displaystyle\frac{10}{2} = 5\). Il reste :
\(3 \times 11 \times 5 \times 3 = 495\)
Astuce pour simplifier plus vite. Si \(k\) > \(\displaystyle\frac{n}{2}\), utilise la symétrie \(\displaystyle {n \choose k} = {n \choose n-k}\) (voir section IV) pour remplacer \(k\) par \(n – k\), plus petit. Par exemple, \(\displaystyle {10 \choose 8} = {10 \choose 2} = \displaystyle\frac{10 \times 9}{2} = 45\) : bien plus rapide que de calculer avec 8 facteurs.
C. Calculer à la calculatrice (Casio, TI, NumWorks)
Les calculatrices de lycée disposent toutes d’une fonction dédiée au coefficient binomial :
| Calculatrice | Chemin | Exemple pour \(\displaystyle {10 \choose 3}\) |
|---|---|---|
| Casio Graph 35+/90 | OPTN → PROB → nCr |
Tape 10 nCr 3 EXE → 120 |
| TI-83/84 | MATH → PRB → nCr |
Tape 10 nCr 3 ENTER → 120 |
| NumWorks | Module Calculs → Toolbox → Combinaisons |
Tape binomial(10,3) → 120 |
III. Triangle de Pascal et formule de récurrence
Le triangle de Pascal offre une méthode visuelle pour retrouver n’importe quel coefficient binomial sans aucun calcul de factorielle. Il met en lumière une relation de récurrence fondamentale.
A. Construction du triangle ligne par ligne
Chaque ligne \(n\) du triangle contient les coefficients \(\displaystyle {n \choose 0}, {n \choose 1}, \ldots, {n \choose n}\). La construction est simple :
- La ligne 0 contient un seul nombre : 1.
- Chaque ligne commence et finit par 1.
- Chaque nombre intérieur est la somme des deux nombres juste au-dessus de lui.
Voici les 8 premières lignes :
| \(n\) | \(k=0\) | \(k=1\) | \(k=2\) | \(k=3\) | \(k=4\) | \(k=5\) | \(k=6\) | \(k=7\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | |||||||
| 1 | 1 | 1 | ||||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | |||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | ||||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | |||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | ||
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | |
| 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 |
Lecture. Pour lire \(\displaystyle {6 \choose 2}\), repère la ligne \(n = 6\) et la colonne \(k = 2\) : tu trouves 15.
B. Formule de Pascal
La règle de construction du triangle traduit une identité fondamentale :
Formule de Pascal (relation de récurrence)
Pour tous entiers \(n \geq 1\) et \(1 \leq k \leq n – 1\) :
\(\displaystyle {n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}\)
En mots : chaque coefficient binomial est la somme des deux coefficients situés juste au-dessus dans le triangle de Pascal. C’est cette relation qui permet de construire le triangle ligne par ligne, sans jamais calculer de factorielle.
C. 🟡 Démonstration combinatoire de la formule de Pascal
Cette démonstration est au programme de Terminale. Elle repose sur une idée simple : séparer les cas selon qu’un élément fixé appartient ou non au sous-ensemble choisi.
Démonstration (au programme)
Soit \(E\) un ensemble à \(n\) éléments et \(a\) un élément fixé de \(E\). On veut compter les parties de \(E\) à \(k\) éléments.
Chaque partie de \(k\) éléments de \(E\) appartient à l’une des deux catégories suivantes (et à une seule) :
- Celles qui contiennent \(a\) : il reste à choisir \(k – 1\) éléments parmi les \(n – 1\) éléments restants. Il y en a \(\displaystyle {n-1 \choose k-1}\).
- Celles qui ne contiennent pas \(a\) : il faut choisir \(k\) éléments parmi les \(n – 1\) éléments restants. Il y en a \(\displaystyle {n-1 \choose k}\).
Par le principe additif, le nombre total de parties à \(k\) éléments est :
\(\displaystyle {n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}\) ∎
Retenir la preuve. Imagine que tu dois former une équipe de \(k\) joueurs parmi \(n\). Fixe ton regard sur un joueur — disons Léa. Soit Léa est dans l’équipe (il reste \(k – 1\) places pour \(n – 1\) joueurs), soit elle n’y est pas (\(k\) places pour \(n – 1\) joueurs). Les deux cas s’additionnent.
IV. Propriétés du coefficient binomial
Le coefficient binomial possède de nombreuses propriétés élégantes. Voici celles qui sont au programme de Terminale, suivies des identités avancées utiles en prépa.
A. Symétrie
Propriété — Symétrie du coefficient binomial
Pour tous entiers \(n\) et \(k\) avec \(0 \leq k \leq n\) :
\(\displaystyle {n \choose k} = {n \choose n-k}\)
Interprétation : choisir \(k\) éléments à garder parmi \(n\) revient exactement à choisir \(n – k\) éléments à exclure. Chaque sélection de \(k\) objets détermine de façon unique les \(n – k\) objets restants.
Preuve algébrique. Il suffit de remplacer \(k\) par \(n – k\) dans la formule : \(\displaystyle\frac{n!}{(n-k)!\,(n-(n-k))!} = \displaystyle\frac{n!}{(n-k)!\,k!}\). On retrouve la même expression. ∎
Cette symétrie explique pourquoi chaque ligne du triangle de Pascal est un palindrome (par exemple, ligne 4 : 1, 4, 6, 4, 1).
B. Somme des coefficients d’une ligne
Propriété — Somme des coefficients binomiaux
Pour tout entier naturel \(n\) :
\(\displaystyle \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} = 2^n\)
Interprétation : un ensemble à \(n\) éléments possède exactement \(2^n\) sous-ensembles (en comptant l’ensemble vide et l’ensemble lui-même). En additionnant ceux de taille 0, de taille 1, …, de taille \(n\), on retrouve \(2^n\).
Preuve. Il suffit d’appliquer le binôme de Newton (ci-dessous) avec \(a = 1\) et \(b = 1\) : \((1 + 1)^n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\displaystyle {n \choose k} \cdot 1^k \cdot 1^{n-k}\), donc \(2^n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\displaystyle {n \choose k}\). ∎
Vérification sur la ligne \(n = 4\) : \(1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^4\). ✓
C. Formule du binôme de Newton
C’est la propriété la plus puissante du coefficient binomial. Elle donne le développement de \((a + b)^n\) :
Théorème — Formule du binôme de Newton
Pour tous réels \(a, b\) et tout entier naturel \(n\) :
\(\displaystyle (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}\, a^k \, b^{n-k}\)
Pourquoi ça marche ? Quand on développe \((a + b)^n = (a+b)(a+b)\cdots(a+b)\) (\(n\) facteurs), chaque terme du développement est obtenu en choisissant \(a\) ou \(b\) dans chacun des \(n\) facteurs. Le terme \(a^k b^{n-k}\) apparaît une fois pour chaque façon de choisir \(k\) facteurs qui contribuent \(a\) (les \(n – k\) autres contribuent \(b\)). Ce nombre de façons est exactement \(\displaystyle {n \choose k}\).
Exemple. Développons \((x + 2)^4\) :
\(\displaystyle (x+2)^4 = \sum_{k=0}^{4}{4 \choose k}\,x^k\,2^{4-k}\)
\(= {4 \choose 0}\cdot 2^4 + {4 \choose 1}\cdot x\cdot 2^3 + {4 \choose 2}\cdot x^2\cdot 2^2 + {4 \choose 3}\cdot x^3\cdot 2 + {4 \choose 4}\cdot x^4\)
\(= 16 + 32x + 24x^2 + 8x^3 + x^4\)
En posant \(a = 1, b = -1\), on obtient une autre identité classique :
\(\displaystyle \sum_{k=0}^{n}(-1)^k{n \choose k} = 0\)
Autrement dit, la somme alternée des coefficients binomiaux est nulle (pour \(n \geq 1\)).
D. 🔴 Identités avancées (Prépa)
Les identités suivantes sont hors programme de Terminale mais incontournables en CPGE. Elles apparaissent régulièrement aux concours (CCINP, Mines, Centrale, X-ENS).
Formule du capitaine. Pour \(1 \leq k \leq n\) :
\(\displaystyle k{n \choose k} = n{n-1 \choose k-1}\)
Preuve combinatoire : le membre de gauche compte le nombre de façons de former une équipe de \(k\) personnes parmi \(n\) puis de désigner un capitaine dans cette équipe. Le membre de droite procède autrement : choisir d’abord le capitaine (\(n\) choix), puis compléter l’équipe avec \(k – 1\) personnes parmi les \(n – 1\) restantes. Les deux méthodes comptent la même chose. ∎
Identité de Vandermonde. Pour tous entiers \(m, n, r \geq 0\) avec \(r \leq m + n\) :
\(\displaystyle {m+n \choose r} = \sum_{k=0}^{r}{m \choose k}{n \choose r-k}\)
Preuve combinatoire : on choisit \(r\) personnes dans un groupe composé de \(m\) hommes et \(n\) femmes. On partitionne selon le nombre \(k\) d’hommes choisis : on sélectionne \(k\) hommes parmi \(m\) et \(r – k\) femmes parmi \(n\). En sommant sur toutes les valeurs possibles de \(k\), on retrouve le total. ∎
Identité de la crosse de hockey (hockey stick identity). Pour \(r \leq n\) :
\(\displaystyle \sum_{i=r}^{n}{i \choose r} = {n+1 \choose r+1}\)
Ce nom vient de la forme dessinée dans le triangle de Pascal quand on surligne les termes de la somme et le résultat. La preuve s’effectue par récurrence sur \(n\) en utilisant la formule de Pascal.
Sommes classiques. Grâce à la formule du capitaine et au binôme de Newton :
| Somme | Valeur | Méthode de preuve |
|---|---|---|
| \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}\) | \(2^n\) | Binôme avec \(a = b = 1\) |
| \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}(-1)^k{n \choose k}\) | \(0\) | Binôme avec \(a = 1, b = -1\) |
| \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}k{n \choose k}\) | \(n\cdot 2^{n-1}\) | Formule du capitaine puis somme |
| \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}k^2{n \choose k}\) | \(n(n+1)2^{n-2}\) | Double application du capitaine |
Combinaisons avec répétition (méthode des étoiles et barres). Quand on autorise la répétition, le nombre de façons de choisir \(k\) éléments parmi \(n\) avec répétition est :
\(\displaystyle \Gamma_n^k = {n + k – 1 \choose k}\)
L’idée de la preuve (dite des « étoiles et barres ») est de représenter chaque choix par une suite de \(k\) étoiles ★ et \(n – 1\) barres |, puis de compter les dispositions possibles. Ce résultat intervient notamment en probabilités et en séries génératrices.
V. Exercices corrigés
Voici 5 exercices classés par difficulté croissante. Essaie de les résoudre avant de consulter la correction — c’est le meilleur moyen de progresser. Pour t’entraîner davantage, retrouve nos exercices corrigés de dénombrement (Terminale et Prépa).
Exercice 1 ★ — Calcul direct
Calcule les coefficients binomiaux suivants sans calculatrice :
- \(\displaystyle {7 \choose 3}\)
- \(\displaystyle {9 \choose 7}\)
- \(\displaystyle {20 \choose 1}\)
Voir la correction
1. \(\displaystyle {7 \choose 3} = \displaystyle\frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = \displaystyle\frac{210}{6} = 35\).
2. On utilise la symétrie : \(\displaystyle {9 \choose 7} = {9 \choose 2} = \displaystyle\frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36\).
3. Valeur particulière : \(\displaystyle {20 \choose 1} = 20\).
Exercice 2 ★ — Triangle de Pascal
À l’aide du triangle de Pascal, détermine \(\displaystyle {6 \choose 3}\) et \(\displaystyle {7 \choose 3}\). Vérifie que la formule de Pascal est satisfaite : \(\displaystyle {7 \choose 3} = {6 \choose 2} + {6 \choose 3}\).
Voir la correction
Ligne 6 du triangle : 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. On lit \(\displaystyle {6 \choose 3} = 20\).
Ligne 7 du triangle : 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1. On lit \(\displaystyle {7 \choose 3} = 35\).
Vérification : \(\displaystyle {6 \choose 2} + {6 \choose 3} = 15 + 20 = 35 = {7 \choose 3}\). ✓
La formule de Pascal est bien vérifiée.
Exercice 3 ★★ — Dénombrement d’un comité
Un club sportif compte 12 membres. On forme un comité de 5 personnes.
- Combien de comités peut-on former ?
- Combien de comités contiennent le président du club ?
- Combien de comités ne contiennent ni le président ni la trésorière ?
Voir la correction
1. On choisit 5 personnes parmi 12, sans ordre : \(\displaystyle {12 \choose 5} = \displaystyle\frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5!} = \displaystyle\frac{95\,040}{120} = 792\).
2. Si le président est dans le comité, il reste 4 places à pourvoir parmi les 11 autres membres : \(\displaystyle {11 \choose 4} = \displaystyle\frac{11 \times 10 \times 9 \times 8}{4!} = \displaystyle\frac{7\,920}{24} = 330\).
3. On exclut 2 personnes (président et trésorière). Il reste 10 candidats pour 5 places : \(\displaystyle {10 \choose 5} = \displaystyle\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5!} = \displaystyle\frac{30\,240}{120} = 252\).
Exercice 4 ★★ — Binôme de Newton
Développe \((3x – 1)^3\) en utilisant la formule du binôme de Newton.
Voir la correction
On applique le binôme avec \(a = 3x\) et \(b = -1\), \(n = 3\) :
\(\displaystyle (3x – 1)^3 = \sum_{k=0}^{3}{3 \choose k}(3x)^k(-1)^{3-k}\)
Terme par terme :
- \(k = 0\) : \(\displaystyle {3 \choose 0}(3x)^0(-1)^3 = 1 \times 1 \times (-1) = -1\)
- \(k = 1\) : \(\displaystyle {3 \choose 1}(3x)^1(-1)^2 = 3 \times 3x \times 1 = 9x\)
- \(k = 2\) : \(\displaystyle {3 \choose 2}(3x)^2(-1)^1 = 3 \times 9x^2 \times (-1) = -27x^2\)
- \(k = 3\) : \(\displaystyle {3 \choose 3}(3x)^3(-1)^0 = 1 \times 27x^3 \times 1 = 27x^3\)
Donc : \((3x – 1)^3 = 27x^3 – 27x^2 + 9x – 1\).
Exercice 5 ★★★ — Problème type bac
Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : 4 rouges et 6 bleues. On tire simultanément 3 boules au hasard.
- Combien y a-t-il de tirages possibles ?
- Combien de tirages contiennent exactement 2 boules rouges ?
- En déduire la probabilité d’obtenir exactement 2 boules rouges.
- Calculer la probabilité d’obtenir au moins une boule rouge.
Voir la correction
1. On choisit 3 boules parmi 10 sans ordre : \(\displaystyle {10 \choose 3} = \displaystyle\frac{10 \times 9 \times 8}{6} = 120\) tirages possibles.
2. Pour avoir exactement 2 rouges et 1 bleue : on choisit 2 rouges parmi 4 et 1 bleue parmi 6 :
\(\displaystyle {4 \choose 2} \times {6 \choose 1} = 6 \times 6 = 36\)
3. L’univers est équiprobable (tirage simultané). La probabilité est :
\(\displaystyle P(\text{2 rouges}) = \displaystyle\frac{36}{120} = \displaystyle\frac{3}{10} = 0{,}3\)
4. On passe par l’événement contraire. « Au moins une rouge » = contraire de « aucune rouge » (= 3 bleues).
\(\displaystyle P(\text{0 rouge}) = \displaystyle\frac{\displaystyle {6 \choose 3}}{\displaystyle {10 \choose 3}} = \displaystyle\frac{20}{120} = \displaystyle\frac{1}{6}\)
Donc : \(\displaystyle P(\text{au moins 1 rouge}) = 1 – \displaystyle\frac{1}{6} = \displaystyle\frac{5}{6} \approx 0{,}833\).
VI. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Voici les 5 erreurs que les élèves commettent le plus souvent avec le coefficient binomial. Apprends à les repérer pour ne plus les faire.
Erreur 1 — Confondre combinaison et arrangement.
❌ Copie fautive : « Le nombre de comités de 3 personnes parmi 10 est \(A(10,3) = 10 \times 9 \times 8 = 720\). »
Diagnostic : l’arrangement \(A(n,k)\) tient compte de l’ordre — or dans un comité, l’ordre ne compte pas.
✅ Correction : \(\displaystyle {10 \choose 3} = \displaystyle\frac{720}{6} = 120\). La question à se poser : « L’ordre des éléments choisis a-t-il de l’importance ? » Si non → coefficient binomial. Si oui → arrangement.
Erreur 2 — Croire que \(\displaystyle {n \choose 0} = 0\).
❌ Copie fautive : « \(\displaystyle {5 \choose 0} = 0\) car on ne choisit rien. »
✅ Correction : \(\displaystyle {5 \choose 0} = 1\). Il y a une façon de ne rien choisir : c’est le sous-ensemble vide. Vérifie avec la formule : \(\displaystyle\frac{5!}{0! \times 5!} = 1\).
Erreur 3 — Inverser \(n\) et \(k\) dans la formule.
❌ Copie fautive : « \(\displaystyle {3 \choose 7} = \displaystyle\frac{3!}{7! \times (-4)!}\) ??? »
✅ Correction : \(\displaystyle {n \choose k}\) n’est défini que pour \(0 \leq k \leq n\). On ne peut pas choisir 7 éléments dans un ensemble qui n’en contient que 3. Par convention, \(\displaystyle {3 \choose 7} = 0\). Retiens : le grand nombre est toujours en haut.
Erreur 4 — Oublier les signes dans le binôme de Newton.
❌ Copie fautive : « \((x – 2)^3 = x^3 + 3 \times 2x^2 + 3 \times 4x + 8\) »
✅ Correction : Poser \(b = -2\) (pas \(b = 2\)). Les puissances de \((-2)\) alternent en signe : \((x – 2)^3 = x^3 – 6x^2 + 12x – 8\).
Erreur 5 — Calculer les factorielles intégralement.
❌ Copie fautive : « \(\displaystyle {20 \choose 2} = \displaystyle\frac{20!}{2! \times 18!}\). Je calcule \(20! = 2\,432\,902\,008\,176\,640\,000\)… »
✅ Correction : Simplifie avant de multiplier : \(\displaystyle\frac{20 \times 19}{2} = 190\). Jamais besoin de calculer \(20!\) en entier.
VII. Questions fréquentes
C'est quoi k parmi n en maths ?
« K parmi n », noté \(\displaystyle {n \choose k}\), est le coefficient binomial. Il compte le nombre de façons de choisir \(k\) éléments dans un ensemble de \(n\) éléments, sans tenir compte de l’ordre et sans répétition. Par exemple, \(\displaystyle {5 \choose 2} = 10\) signifie qu’il y a 10 façons de choisir 2 éléments parmi 5.
Comment calculer le coefficient binomial C(n,k) ?
On utilise la formule : \(\displaystyle {n \choose k} = \displaystyle\frac{n!}{k!(n-k)!}\). En pratique, on simplifie avant de multiplier : on écrit \(k\) facteurs descendants au numérateur à partir de \(n\), puis on divise par \(k!\). Exemple : \(\displaystyle {10 \choose 3} = \displaystyle\frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120\).
Que vaut C(n,0) ? Autrement dit, que vaut 0 parmi n ?
\(\displaystyle {n \choose 0} = 1\) pour tout entier \(n \geq 0\). Ce n’est pas 0. L’interprétation : il y a exactement une façon de ne choisir aucun élément, c’est prendre l’ensemble vide. La formule le confirme : \(\displaystyle\frac{n!}{0!\times n!} = 1\).
Quelle est la différence entre combinaison et arrangement ?
La combinaison \(\displaystyle {n \choose k}\) compte les choix sans ordre : {A, B} et {B, A} sont la même combinaison. L’arrangement \(A(n,k)\) compte les choix avec ordre : (A, B) et (B, A) sont deux arrangements différents. On a la relation : \(A(n,k) = k! \times \displaystyle {n \choose k}\). Pour savoir quel outil utiliser, consulte la fiche méthode.
Comment calculer k parmi n avec une calculatrice ?
Sur Casio : OPTN → PROB → nCr, puis tape n nCr k. Sur TI-83/84 : MATH → PRB → nCr, puis tape n nCr k. Sur NumWorks : Toolbox → Combinaisons, puis tape binomial(n,k). Par exemple, pour \(\displaystyle {10 \choose 3}\), tape 10 nCr 3 et obtiens 120.
Comment calculer k parmi n sans calculatrice ?
Écris \(k\) facteurs descendants au numérateur à partir de \(n\) et \(k!\) au dénominateur. Simplifie avant de multiplier. Par exemple : \(\displaystyle {8 \choose 3} = \displaystyle\frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1}\). Simplifie \(\displaystyle\frac{6}{6} = 1\), il reste \(8 \times 7 = 56\). Si \(k\) est grand, utilise la symétrie \(\displaystyle {n \choose k} = {n \choose n-k}\) pour réduire le nombre de facteurs.
À quoi sert le coefficient binomial ?
Le coefficient binomial est omniprésent en mathématiques. Il sert à : dénombrer des sélections (comités, tirages, mains de poker), développer des expressions avec le binôme de Newton, calculer des probabilités (loi binomiale, tirages d’urne), et modéliser des phénomènes en statistiques et en informatique. En prépa, il intervient dans les séries, les polynômes et l’algèbre combinatoire.
VIII. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant le coefficient binomial — de sa définition à ses propriétés avancées. Pour continuer ta progression en combinatoire, voici les ressources qui complètent ce cours :
- Combinatoire et dénombrement : cours complet — le panorama général du chapitre, avec le vocabulaire de base et l’arbre de décision des formules.
- Permutation, arrangement, combinaison : la méthode — pour ne plus jamais hésiter entre les formules.
- Arrangements en mathématiques — quand l’ordre compte.
- Permutations en mathématiques — le cas particulier \(k = n\), les anagrammes et la factorielle.
- Exercices corrigés de dénombrement (Tle et Prépa) — 20+ exercices progressifs pour t’entraîner.
- Loi binomiale — l’application directe du coefficient binomial en probabilités.
