Les probabilités sont au cœur du programme de mathématiques au lycée et en classes préparatoires. Elles permettent de modéliser l’incertitude, de prendre des décisions éclairées et d’analyser de nombreuses situations concrètes : jeux de hasard, sondages, fiabilité d’un test médical, gestion des risques…

Cette page te donne une vue d’ensemble du chapitre probabilités (définitions, formules clés, idées essentielles)
et te renvoie vers des pages dédiées pour chaque méthode, chaque formule et chaque série d’exercices corrigés.

L’objectif : te donner une méthode claire et rigoureuse pour réussir tes DS, tes examens (brevet, bac) et tes concours de prépa,
en sachant reconnaître rapidement le type de situation, poser les bons événements et rédiger une solution propre.

Accès rapide — Choisis ton objectif

Piège classique : confondre la probabilité d’un événement avec sa fréquence observée sur un petit échantillon.
Une expérience répétée quelques dizaines de fois ne suffit pas toujours à refléter la « vraie » probabilité théorique.

1. Comprendre les probabilités

Définition et intuition du hasard

Les probabilités mesurent la chance qu’un ou plusieurs événements se produisent.

Une probabilité se note sous la forme d’un nombre compris entre 0 et 1 : 0 signifie « impossible », 1 signifie « certain », et 0,5 correspond à une chance sur deux.

L’objectif des probabilités est de traduire le hasard en langage mathématique, pour rendre mesurable ce qui semble incertain.

Exemple intuitif

Lancer une pièce équilibrée présente deux résultats possibles : « Pile » ou « Face ».
La probabilité d’obtenir « Pile » est :

\(P(\text{Pile}) = \displaystyle\frac{1}{2} = 0{,}5\)

Expérience aléatoire et univers des possibles

Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat dépend du hasard et dont l’issue ne peut pas être prévue à l’avance. L’ensemble de toutes les issues possibles s’appelle l’univers, noté \(\Omega\).

On parle d’univers équiprobable lorsque toutes les issues ont la même chance de se produire.

Formule — Probabilité dans un univers équiprobable

\(P(\text{événement}) = \displaystyle\frac{\text{nombre d’issues favorables}}{\text{nombre total d’issues possibles}}\)

Exemples concrets : dé, billes, loto

  • Dé à 6 faces : chaque face a une probabilité de \(\displaystyle\frac{1}{6}\). Obtenir un nombre pair (2, 4 ou 6) donne \(P = \displaystyle\frac{3}{6} = \displaystyle\frac{1}{2}\).
  • Billes dans un sac : avec 3 billes rouges et 2 bleues, la probabilité de tirer une rouge est \(\displaystyle\frac{3}{5}\).
Probabilité de gagner au loto — illustration

Événements : contraires, indépendants et incompatibles

Un événement est un ensemble d’issues correspondant à une situation particulière (par exemple, « obtenir un nombre pair »). Certains événements sont incompatibles (ils ne peuvent pas se produire simultanément), tandis que d’autres peuvent être indépendants (la réalisation de l’un ne modifie pas la probabilité de l’autre). Ces distinctions sont essentielles pour bien appliquer les formules de probabilités.

2. Calcul des probabilités : règles et méthode

Dans cette partie, on rassemble les outils essentiels pour passer d’un énoncé à un calcul propre :
complément, union/intersection, produit (indépendance / conditionnelle) et lecture rapide d’un arbre pondéré.

Calculer une probabilité : méthode en 5 étapes

  1. Identifier l’expérience aléatoire et définir l’univers \(\Omega\) (lister toutes les issues possibles).
  2. Nommer les événements : traduire l’énoncé en événements mathématiques \(A\), \(B\), etc.
  3. Choisir la représentation : tableau, arbre pondéré ou diagramme selon la situation.
  4. Sélectionner la bonne formule : équiprobabilité, union, intersection, conditionnelle, Bayes… (voir le tableau des formules).
  5. Calculer et vérifier : effectuer le calcul, puis vérifier que le résultat est bien entre 0 et 1, et que la somme des probabilités vaut 1.

Formule de l’union et de l’intersection

Pour deux événements \(A\) et \(B\), on évite le double comptage avec :

  • Union (A ou B) : \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)\)
  • Intersection : \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\) si A et B sont indépendants.

Exemple : carte dans un jeu de 52

Quelle est la probabilité d’obtenir une carte rouge (événement \(A\)) ou un roi (événement \(B\)) ?

  • \(P(A) = \displaystyle\frac{26}{52}\) (26 cartes rouges sur 52)
  • \(P(B) = \displaystyle\frac{4}{52}\) (4 rois sur 52)
  • \(P(A \cap B) = \displaystyle\frac{2}{52}\) (2 rois rouges sur 52)

Donc : \(P(A \cup B) = \displaystyle\frac{26}{52} + \displaystyle\frac{4}{52} – \displaystyle\frac{2}{52} = \displaystyle\frac{28}{52} = \displaystyle\frac{7}{13}\)

Principe de multiplication et événements indépendants

Dans une expérience à plusieurs étapes, la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités aux étapes :
\(P(\text{chemin}) = \prod \text{probabilités des branches}\).

Si les événements sont indépendants : \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\).
Exemple : « Pile » puis « 5 » au dé donne \(P = \displaystyle\frac{1}{2} \times \displaystyle\frac{1}{6} = \displaystyle\frac{1}{12}\).

Sans indépendance (ex. tirages sans remise) : \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B \mid A)\).

Probabilité du contraire et complémentarité

Le complémentaire \(\bar{A}\) de \(A\) vérifie : \(P(\bar{A}) = 1 – P(A)\).
Exemple : « ne pas obtenir 6 » au dé donne \(P(\text{pas de } 6) = 1 – \displaystyle\frac{1}{6} = \displaystyle\frac{5}{6}\).

Arbre de probabilité : visualiser les enchaînements

Un arbre de probabilité représente les issues étape par étape. La probabilité d’un scénario final est le produit le long du chemin, puis on additionne les chemins qui réalisent le même événement.

Exemple concret : pièce + dé

On lance une pièce équilibrée (Pile ou Face), puis un dé à 6 faces.

Quelle est la probabilité d’obtenir Pile suivi du nombre 4 ?

Arbre de probabilité : pièce puis dé

\(P(\text{Pile puis 4}) = \displaystyle\frac{1}{2} \times \displaystyle\frac{1}{6} = \displaystyle\frac{1}{12}\)

3. Probabilité conditionnelle, probabilité totale et formule de Bayes

Ces trois notions apparaissent souvent ensemble (tirages successifs, tableaux, arbres, tests médicaux…).
Voici l’idée essentielle de chacune. Pour la méthode complète et les exercices corrigés, utilise les pages dédiées.

Probabilité conditionnelle : « sachant que… »

La probabilité conditionnelle permet de calculer la probabilité qu’un événement \(A\) se produise
sachant qu’un autre événement \(B\) est déjà réalisé.

\(P(A \mid B) = \displaystyle\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\) avec \(P(B)\) > \(0\).

Mini-exemple :

60 % des élèves sont des filles, et 25 % des filles portent des lunettes.
La probabilité qu’un élève porte des lunettes sachant que c’est une fille vaut :
\(P(\text{lunettes} \mid \text{fille}) = 0{,}25\).

Cours complet + exercices :
Probabilité conditionnelle : cours complet P(A|B), exemples et exercices corrigés.

Probabilité totale : additionner plusieurs scénarios

Quand un événement \(A\) peut se produire via plusieurs « scénarios » disjoints
(plusieurs profils, plusieurs urnes, plusieurs branches d’un arbre),
on calcule \(P(A)\) en décomposant l’univers en cas disjoints et en sommant les contributions.

Méthode + exemples + exercices :
Probabilité totale : formule, démonstration et exemples.

Voir aussi : la représentation par
arbre pondéré
aide énormément dans ces situations.

Formule de Bayes : inverser une condition

La formule de Bayes sert à « remonter de l’effet à la cause » :
on veut calculer la probabilité d’une cause (maladie / pas malade, urne 1 / urne 2…)
sachant qu’on a observé un résultat (test positif, boule rouge…).
C’est typiquement le cas des problèmes de dépistage médical et de classification.

Méthode pas à pas + exercices type « test médical » :
Formule de Bayes : théorème, démonstration et exercices corrigés.

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4. Variables aléatoires et lois de probabilité

Les variables aléatoires permettent de relier le hasard au calcul.
Elles associent à chaque issue d’une expérience aléatoire une valeur numérique, ce qui rend possible la modélisation,
les calculs d’espérance ou de variance, et la description de phénomènes aléatoires complexes.

Variable aléatoire et loi de probabilité

Une variable aléatoire (notée \(X\)) est une fonction qui à chaque issue \(\omega \in \Omega\)
associe un nombre réel \(X(\omega)\).
La loi de probabilité de \(X\) décrit comment les probabilités se répartissent sur ses valeurs possibles.

Exemple : au lancer d’un dé, \(X\) = « nombre obtenu » prend les valeurs 1 à 6,
avec \(P(X = k) = \displaystyle\frac{1}{6}\) pour tout \(k\).

Vérification rapide : si la somme des probabilités n’est pas égale à 1, c’est que la loi est incomplète ou qu’un cas a été oublié.
Toujours vérifier \(\sum P(X = x_i) = 1\) avant de calculer espérance ou variance.

Espérance, variance et écart-type

L’espérance \(E(X)\) représente la valeur moyenne théorique attendue après un grand nombre de répétitions.
La variance \(V(X)\) mesure la dispersion autour de l’espérance, et l’écart-type est \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\).

Pour une loi discrète :

\(E(X) = \sum_i x_i \, P(X = x_i)\)
\(V(X) = \sum_i (x_i – E(X))^2 \, P(X = x_i)\)

Exemple :

Un jeu rapporte 10 € avec probabilité 0,2 et 2 € avec probabilité 0,8.
Alors \(E(X) = 10 \times 0{,}2 + 2 \times 0{,}8 = 3{,}6\) €.
Et \(V(X) = (10 – 3{,}6)^2 \times 0{,}2 + (2 – 3{,}6)^2 \times 0{,}8 = 10{,}24\).

Tableau récapitulatif des principales lois

Principales lois de probabilité (lycée → prépa)
Loi Paramètres Formule \(E(X)\) \(V(X)\) Usage
Uniforme discrète \(n\) valeurs \(P(X = k) = \displaystyle\frac{1}{n}\) \(\displaystyle\frac{n+1}{2}\) \(\displaystyle\frac{n^{2}-1}{12}\) Dé équilibré, tirage équitable
Bernoulli \(p\) \(P(X = 1) = p\) \(p\) \(p(1 – p)\) Succès/échec
Binomiale \(n, p\) \(P(X = k) = {n \choose k} \, p^{k}(1 – p)^{n-k}\) \(np\) \(np(1 – p)\) Nombre de succès en \(n\) essais
Géométrique \(p\) \(P(X = k) = (1 – p)^{k-1} p\) \(\displaystyle\frac{1}{p}\) \(\displaystyle\frac{1 – p}{p^{2}}\) Rang du 1er succès
Poisson \(\lambda\) \(P(X = k) = \displaystyle\frac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!}\) \(\lambda\) \(\lambda\) Événements rares (comptages)
Exponentielle \(\lambda\) \(f(x) = \lambda \, e^{-\lambda x}\) \(\displaystyle\frac{1}{\lambda}\) \(\displaystyle\frac{1}{\lambda^{2}}\) Temps d’attente, non-mémoire
Normale (Gauss) \(\mu, \sigma\) \(f(x) = \displaystyle\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \, e^{-\frac{(x – \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}\) \(\mu\) \(\sigma^{2}\) Sommes d’effets, approximation (TCL)

Pour retrouver chaque formule en détail avec des exemples d’application :
Formules de probabilités (tableau complet + exemples).

5. Grands théorèmes : loi des grands nombres et théorème central limite

Loi des grands nombres

La loi des grands nombres explique pourquoi, lorsqu’on répète une même expérience aléatoire un grand nombre de fois,
la fréquence observée d’un événement se rapproche de sa probabilité théorique.

Si \(X_1, X_2, \dots, X_n\) sont des variables aléatoires i.i.d. d’espérance \(\mu\), alors la moyenne empirique
\(\overline{X}_n = \displaystyle\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} X_k\) converge vers \(\mu\) quand \(n\) tend vers l’infini.

Intuition : si la probabilité d’obtenir « Pile » vaut 0,5, alors sur un très grand nombre de lancers,
la fréquence de « Pile » se rapprochera de \(0{,}5\).
La LGN relie la théorie (probabilité) à l’observation (fréquence).

Théorème central limite (TCL)

Le théorème central limite justifie l’omniprésence de la loi normale : la somme (ou la moyenne) d’un grand nombre de variables aléatoires i.i.d. a une distribution proche de la normale, même si chaque variable n’est pas gaussienne.

En pratique, cela permet d’approcher des distributions complexes par une normale et d’utiliser des tables gaussiennes.
Par exemple, pour une loi binomiale \(\mathcal{B}(n,p)\) avec \(n\) grand,
on peut approcher \(P(X \le k)\) par la loi normale \(\mathcal{N}(np, \, np(1-p))\).

6. S’entraîner en probabilités

Méthode pour chaque exercice de probabilités :

  • Définir clairement l’univers \(\Omega\).
  • Nommer les événements importants (\(A\), \(B\), etc.).
  • Représenter la situation par un tableau ou un arbre pondéré si nécessaire.
  • Écrire les probabilités en notation mathématique avant de calculer.
  • Retrouver les formules adaptées à la situation.

Exercices corrigés par niveau

Mini-exercice (diagnostic rapide)

Une urne contient 3 boules rouges, 2 boules bleues et 5 boules vertes. On tire une boule au hasard.

  1. Quelle est la probabilité d’obtenir une boule verte ?
  2. Quelle est la probabilité d’obtenir une boule rouge ou verte ?
▶ Voir la correction

1. L’univers compte \(3 + 2 + 5 = 10\) boules. Les issues sont équiprobables.

\(P(\text{verte}) = \displaystyle\frac{5}{10} = \displaystyle\frac{1}{2}\)

2. Les événements « rouge » et « verte » sont incompatibles (une boule ne peut pas être les deux), donc on additionne :

\(P(\text{rouge ou verte}) = \displaystyle\frac{3}{10} + \displaystyle\frac{5}{10} = \displaystyle\frac{8}{10} = \displaystyle\frac{4}{5}\)

Piège à éviter : ne confonds pas \(P(A \cap B)\) (probabilité « absolue »)
avec \(P(A \mid B)\) (probabilité sachant que \(B\) est réalisé).
Si tu bloques là-dessus : voir le cours sur la probabilité conditionnelle.

7. Questions fréquentes sur les probabilités


C'est quoi une probabilité en maths ?

Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1 qui mesure la chance qu’un événement se produise. 0 signifie « impossible », 1 signifie « certain », et 0,5 correspond à une chance sur deux (par exemple, obtenir Pile en lançant une pièce équilibrée). En mathématiques, on utilise des formules et des modèles pour calculer ce nombre de manière rigoureuse.

Comment calculer une probabilité ?

La méthode dépend de la situation. Dans un univers équiprobable, on divise le nombre de cas favorables par le nombre total de cas possibles. Pour des situations plus complexes (tirages successifs, événements dépendants), on utilise des arbres pondérés, la formule de l’union/intersection ou la probabilité conditionnelle. En 5 étapes : identifier l’expérience, nommer les événements, choisir la représentation, sélectionner la formule, calculer et vérifier.

Quels sont les différents types de probabilités ?

On distingue principalement : les probabilités discrètes (nombre fini ou dénombrable d’issues : dé, carte, urne) et les probabilités continues (variable pouvant prendre toute valeur dans un intervalle : durée de vie, taille). On parle aussi de probabilité classique (cas favorables / cas possibles), de probabilité fréquentiste (fréquence sur un grand nombre d’essais) et de probabilité conditionnelle (sachant qu’un événement est réalisé).

Quelle est la différence entre probabilité et statistique ?

La probabilité part d’un modèle théorique (par exemple : un dé équilibré a \(\displaystyle\frac{1}{6}\) de chance sur chaque face) et en déduit ce qu’on peut observer. La statistique fait l’inverse : elle part d’observations (données réelles) pour estimer le modèle. Les deux disciplines sont complémentaires et utilisent les mêmes outils mathématiques.

Qu'est-ce qu'un arbre de probabilité ?

Un arbre de probabilité (ou arbre pondéré) est un schéma qui représente toutes les étapes d’une expérience aléatoire. Chaque branche porte une probabilité, et la probabilité d’un chemin complet est le produit des probabilités le long du chemin. C’est l’outil indispensable pour les tirages successifs et les problèmes à plusieurs étapes. Voir notre cours sur l’arbre de probabilité.

Qu'est-ce qu'une probabilité conditionnelle ?

La probabilité conditionnelle \(P(A \mid B)\) désigne la probabilité qu’un événement \(A\) se réalise sachant que l’événement \(B\) est déjà réalisé. Par exemple, la probabilité qu’il pleuve sachant que le ciel est couvert. Elle se calcule par \(P(A \mid B) = \displaystyle\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\). Voir notre cours complet sur la probabilité conditionnelle.

Quelle est la différence entre probabilité conditionnelle et probabilité totale ?

La probabilité conditionnelle calcule \(P(A \mid B)\) : la probabilité de \(A\) sachant \(B\). La formule des probabilités totales fait l’inverse : elle calcule \(P(A)\) en décomposant l’univers en scénarios disjoints \(B_1, B_2, \dots, B_n\) et en sommant \(P(A \mid B_i) \times P(B_i)\). La conditionnelle « zoome » sur un scénario, la formule totale « recolle » tous les scénarios.

Comment choisir la bonne formule de probabilité ?

Tout dépend de la situation : si les événements sont incompatibles, on additionne. Si tu cherches « A ou B », utilise la formule de l’union. Si l’expérience comporte plusieurs étapes, utilise un arbre et le produit des probabilités. Si tu as un « sachant que », c’est la probabilité conditionnelle. Si tu dois « remonter de l’effet à la cause », c’est Bayes. Notre tableau récapitulatif des formules t’aide à choisir.


8. Pour aller plus loin

Tu as maintenant une vue d’ensemble complète des probabilités. Pour approfondir chaque notion :

Variables aléatoires et lois classiques

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