Pour progresser en mathématiques, il ne suffit pas de connaître ses formules par cœur : il faut savoir les appliquer, rédiger proprement les calculs de dérivées et identifier les pièges classiques.

Cette page regroupe une sélection d’exercices corrigés sur les dérivées, classés par difficulté croissante. Que tu sois en Première (découverte), en Terminale (fonctions composées) ou en prépa, tu trouveras ici de quoi t’entraîner efficacement.

Avant de commencer :

Assure-toi de maîtriser les bases avec le cours complet sur les dérivées. Si tu as un doute sur une formule, consulte le tableau des dérivées usuelles. Si tu cherches la méthode détaillée pour démarrer, relis la page sur le calcul de dérivées pas à pas.

Parcours recommandé selon ton niveau
Niveau Par où commencer Objectif
Première Série A → Série B → Série C → Série D Taux d’accroissement, règles de base, tangente, variations
Terminale Série E → Série F → Série G Fonctions composées, dérivée seconde, exp/ln
Prépa Problèmes type DS → Bonus Prépa Rigueur, théorèmes, rédaction concours

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📄 +15 exos corrigés pour t’entraîner

Exercices Première : bases de dérivation et tangente

Objectif Première : être à l’aise sur le taux d’accroissement, le calcul de dérivées, la tangente et les variations. Si tu bloques sur une règle, reviens à la méthode de calcul de dérivées.

Série A — Taux d’accroissement et nombre dérivé

Commençons par le fondement de la dérivation : le lien entre le nombre dérivé et la limite du taux d’accroissement.

Exercices

  1. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 3x^2 + 2\). En utilisant le taux d’accroissement, montrer que \(f\) est dérivable en \(a = 1\) et calculer \(f^\prime(1)\).
  2. Soit \(g(x) = \displaystyle\frac{1}{x}\). En revenant à la définition du nombre dérivé, calculer \(g^\prime(2)\).
  3. Soit la courbe représentative d’une fonction \(f\). La tangente à la courbe au point d’abscisse 3 passe par les points A(3 ; 2) et B(4 ; 5). Déterminer \(f(3)\) et \(f^\prime(3)\).
Correction Série A — Exercice 1

Rappel de la définition : Le taux d’accroissement de \(f\) entre \(a\) et \(a+h\) est \(\tau(h) = \displaystyle\frac{f(a+h) – f(a)}{h}\).

Ici, \(a = 1\). Calculons les images :
\(f(1) = 3(1)^2 + 2 = 5\)
\(f(1+h) = 3(1+h)^2 + 2 = 3(1 + 2h + h^2) + 2 = 3h^2 + 6h + 5\)

Formons le taux d’accroissement :
\(\tau(h) = \displaystyle\frac{(3h^2 + 6h + 5) – 5}{h} = \displaystyle\frac{3h^2 + 6h}{h}\)

Pour tout \(h \neq 0\), on peut simplifier par \(h\) :
\(\tau(h) = 3h + 6\)

Calculons la limite quand \(h\) tend vers 0 :
\(\lim_{h \to 0} (3h + 6) = 6\)

Conclusion : La limite est un nombre réel fini. Donc \(f\) est dérivable en 1 et \(f^\prime(1) = 6\).

Correction Série A — Exercice 2

On cherche la limite du taux d’accroissement en \(a = 2\).
\(\tau(h) = \displaystyle\frac{g(2+h) – g(2)}{h} = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{2+h} – \displaystyle\frac{1}{2}}{h}\)

Mettons au même dénominateur le numérateur :
\(\displaystyle\frac{1}{2+h} – \displaystyle\frac{1}{2} = \displaystyle\frac{2 – (2+h)}{2(2+h)} = \displaystyle\frac{-h}{2(2+h)}\)

Donc :
\(\tau(h) = \displaystyle\frac{-h}{2(2+h)} \times \displaystyle\frac{1}{h} = \displaystyle\frac{-1}{2(2+h)}\)

Quand \(h\) tend vers 0 :
\(\lim_{h \to 0} \displaystyle\frac{-1}{2(2+h)} = \displaystyle\frac{-1}{4}\)

Conclusion : \(g^\prime(2) = -0{,}25\).

Correction Série A — Exercice 3

1. Le point A(3 ; 2) appartient à la courbe (car c’est le point de contact de la tangente).
Donc \(f(3) = 2\).

2. Le nombre dérivé \(f^\prime(3)\) correspond au coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse 3.
Calculons la pente entre A et B :
\(m = \displaystyle\frac{y_B – y_A}{x_B – x_A} = \displaystyle\frac{5 – 2}{4 – 3} = \displaystyle\frac{3}{1} = 3\)

Conclusion : \(f^\prime(3) = 3\).

Série B — Calculer des dérivées (niveau 1 puis niveau 2)

Rappel méthode : Pour dériver un polynôme, on dérive terme à terme. N’oublie pas que la dérivée d’une constante est 0.
La dérivée de \(x^n\) est \(nx^{n-1}\).

Exercices

  1. Soit \(f(x) = 3x^2 – 5x + 1\). Calculer \(f^\prime(x)\).
  2. Soit \(g(x) = \displaystyle\frac{2x – 1}{x + 3}\). Donner le domaine, puis calculer \(g^\prime(x)\).
  3. Soit \(h(x) = \sqrt{x}(x^2 + 1)\). Donner le domaine, puis calculer \(h^\prime(x)\).
  4. Soit \(p(x) = (x – 1)^3\). Calculer \(p^\prime(x)\) en identifiant une fonction composée.
  5. Soit \(q(x) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}\). Donner le domaine, puis calculer \(q^\prime(x)\).
Correction Série B — Exercice 1

\(f(x) = 3x^2 – 5x + 1\). On dérive terme à terme : \(f^\prime(x) = 6x – 5\).

Correction Série B — Exercice 2

Domaine : \(x \neq -3\).

Avec \(u(x) = 2x – 1\) et \(v(x) = x + 3\), on a \(u^\prime(x) = 2\) et \(v^\prime(x) = 1\). Par la formule du quotient :

\(g^\prime(x) = \displaystyle\frac{u^\prime v – u v^\prime}{v^2} = \displaystyle\frac{2(x + 3) – (2x – 1) \cdot 1}{(x + 3)^2}\)

Simplification : \(g^\prime(x) = \displaystyle\frac{2x + 6 – 2x + 1}{(x + 3)^2} = \displaystyle\frac{7}{(x + 3)^2}\).

Correction Série B — Exercice 3

Domaine : \(x \in (0, +\infty)\) (fonction racine).

\(h(x) = \sqrt{x}(x^2 + 1)\) est un produit : \(u(x) = \sqrt{x}\), \(v(x) = x^2 + 1\). On a \(u^\prime(x) = \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}}\) et \(v^\prime(x) = 2x\).

\(h^\prime(x) = u^\prime v + u v^\prime = \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}}(x^2 + 1) + \sqrt{x}(2x)\)

On peut factoriser par \(\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}}\) :

\(h^\prime(x) = \displaystyle\frac{x^2 + 1 + 4x^2}{2\sqrt{x}} = \displaystyle\frac{5x^2 + 1}{2\sqrt{x}}\)

Correction Série B — Exercice 4

\(p(x) = (x – 1)^3\) est une composée : \(\varphi(t) = t^3\) et \(u(x) = x – 1\). Alors \(\varphi^\prime(t) = 3t^2\) et \(u^\prime(x) = 1\).

Donc \(p^\prime(x) = 3(x – 1)^2\).

Correction Série B — Exercice 5

Domaine : \(x \in (0, +\infty)\). On écrit \(q(x) = x^{-1/2}\). Donc \(q^\prime(x) = -\displaystyle\frac{1}{2} x^{-3/2}\).

Sous forme « racine » : \(q^\prime(x) = -\displaystyle\frac{1}{2x\sqrt{x}}\).

Série C — Tangente en a : pente, équation et interprétation graphique

Exercices

  1. Soit \(f(x) = x^2 – 4x + 1\). Déterminer l’équation de la tangente en \(a = 1\).
  2. Soit \(g(x) = \displaystyle\frac{1}{x}\). Déterminer la tangente en \(a = 1\). Interpréter le coefficient directeur.
  3. Soit \(h(x) = x^3\). Trouver \(a\) tel que la tangente en \(a\) ait pour pente \(12\).
  4. Soit \(p(x) = x^2 + 2x\). Trouver les points où la tangente est horizontale.
Correction Série C — Exercice 1

\(f^\prime(x) = 2x – 4\) donc \(f^\prime(1) = -2\). Et \(f(1) = 1 – 4 + 1 = -2\).

Tangente en \(1\) : \(y = f(1) + f^\prime(1)(x – 1) = -2 – 2(x – 1)\), donc \(y = -2x\).

Correction Série C — Exercice 2

\(g(x) = x^{-1}\), donc \(g^\prime(x) = -x^{-2} = -\displaystyle\frac{1}{x^2}\). Alors \(g^\prime(1) = -1\) et \(g(1) = 1\).

Tangente : \(y = 1 – 1(x – 1) = 2 – x\).

Interprétation : la pente vaut \(-1\), donc la fonction « descend » d’une unité quand \(x\) augmente d’une unité (localement autour de \(1\)).

Correction Série C — Exercice 3

\(h^\prime(x) = 3x^2\). On veut \(h^\prime(a) = 12\), donc \(3a^2 = 12\) et \(a^2 = 4\). Ainsi \(a = 2\) ou \(a = -2\).

Correction Série C — Exercice 4

Tangente horizontale ⇔ pente nulle ⇔ \(p^\prime(x) = 0\). Or \(p^\prime(x) = 2x + 2\). Donc \(2x + 2 = 0\) et \(x = -1\).

Le point est \((-1, p(-1))\) avec \(p(-1) = 1 – 2 = -1\). Tangente horizontale au point \((-1, -1)\).

Série D — Variations et extremums : méthode complète

Attention au signe moins !

La formule de la dérivée d’un quotient est \(\left(\displaystyle\frac{u}{v}\right)^\prime = \displaystyle\frac{u^\prime v – u v^\prime}{v^2}\).

L’erreur la plus fréquente est d’oublier les parenthèses après le signe moins lors du développement du numérateur.

Exercices

  1. Étudier les variations de \(f(x) = x^3 – 3x + 1\). Donner les extremums locaux.
  2. Étudier les variations de \(g(x) = \displaystyle\frac{x^2 + 1}{x}\) sur son domaine.
  3. Soit \(h(x) = x + \displaystyle\frac{1}{x}\) définie sur \((0, +\infty)\). Montrer qu’elle admet un minimum et le déterminer.
Correction Série D — Exercice 1

\(f^\prime(x) = 3x^2 – 3 = 3(x^2 – 1) = 3(x – 1)(x + 1)\). Points critiques : \(x = -1\) et \(x = 1\).

Signe : \(f^\prime(x)\) > \(0\) si \(|x|\) > \(1\), et \(f^\prime(x)\) < \(0\) si \(|x|\) < \(1\).

Donc \(f\) croît sur \((-\infty, -1)\), décroît sur \((-1, 1)\), puis croît sur \((1, +\infty)\).

Valeurs : \(f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3\) (maximum local), \(f(1) = 1 – 3 + 1 = -1\) (minimum local).

Correction Série D — Exercice 2

Domaine : \(x \neq 0\). On simplifie : \(g(x) = \displaystyle\frac{x^2 + 1}{x} = x + \displaystyle\frac{1}{x}\).

\(g^\prime(x) = 1 – \displaystyle\frac{1}{x^2} = \displaystyle\frac{x^2 – 1}{x^2}\). Signe : le dénominateur est positif, donc le signe vient de \(x^2 – 1\). Ainsi \(g^\prime(x)\) > \(0\) si \(|x|\) > \(1\) et \(g^\prime(x)\) < \(0\) si \(|x|\) < \(1\) (en restant sur le domaine).

On en déduit les variations sur \((-\infty, -1)\), \((-1, 0)\), \((0, 1)\), \((1, +\infty)\).

Correction Série D — Exercice 3

\(h^\prime(x) = 1 – \displaystyle\frac{1}{x^2} = \displaystyle\frac{x^2 – 1}{x^2}\). Sur \((0, +\infty)\), \(h^\prime(x) = 0\) ⇔ \(x = 1\).

Pour \(0\) < \(x\) < \(1\), on a \(x^2 – 1\) < \(0\) donc \(h^\prime(x)\) < \(0\). Pour \(x\) > \(1\), \(h^\prime(x)\) > \(0\).

Donc \(h\) décroît puis croît : minimum en \(x = 1\) avec \(h(1) = 2\).

Exercices Terminale : fonctions composées, dérivée seconde, exp/ln

Objectif Terminale : reconnaître une fonction composée, maîtriser la dérivée seconde, et travailler avec les fonctions exponentielle et logarithme. Le cours complet reste sur la page dédiée aux dérivées.

Série E — Fonctions composées : reconnaître la structure u(x)

Exercices

  1. Soit \(f(x) = (3x – 2)^5\). Calculer \(f^\prime(x)\) en identifiant \(u(x) = 3x – 2\).
  2. Soit \(g(x) = \sqrt{2x + 1}\). Donner le domaine puis calculer \(g^\prime(x)\).
  3. Soit \(h(x) = \displaystyle\frac{1}{(x^2 + 1)^2}\). Calculer \(h^\prime(x)\).
  4. Soit \(p(x) = \displaystyle\frac{(x – 1)^3}{x + 2}\). Donner le domaine puis calculer \(p^\prime(x)\).
Correction Série E — Exercice 1

\(f(x) = (u(x))^5\) avec \(u(x) = 3x – 2\) et \(u^\prime(x) = 3\). Donc \(f^\prime(x) = 5(u(x))^4 \cdot u^\prime(x) = 5(3x – 2)^4 \cdot 3\), soit \(f^\prime(x) = 15(3x – 2)^4\).

Correction Série E — Exercice 2

Domaine : \(2x + 1 \geq 0\), soit \(x \geq -\displaystyle\frac{1}{2}\).

\(g(x) = (2x + 1)^{1/2}\) (fonction composée). On a \(g^\prime(x) = \displaystyle\frac{1}{2}(2x + 1)^{-1/2} \cdot 2 = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2x + 1}}\).

Correction Série E — Exercice 3

Écrire \(h(x) = (x^2 + 1)^{-2}\). Alors \(h^\prime(x) = -2(x^2 + 1)^{-3} \cdot 2x\), donc \(h^\prime(x) = -\displaystyle\frac{4x}{(x^2 + 1)^3}\).

Correction Série E — Exercice 4

Domaine : \(x \neq -2\).

Quotient : \(u(x) = (x – 1)^3\), \(v(x) = x + 2\). On a \(u^\prime(x) = 3(x – 1)^2\) et \(v^\prime(x) = 1\).

\(p^\prime(x) = \displaystyle\frac{u^\prime v – u v^\prime}{v^2} = \displaystyle\frac{3(x – 1)^2(x + 2) – (x – 1)^3}{(x + 2)^2}\)

Factoriser \((x – 1)^2\) : \(p^\prime(x) = \displaystyle\frac{(x – 1)^2\left(3(x + 2) – (x – 1)\right)}{(x + 2)^2} = \displaystyle\frac{(x – 1)^2(2x + 7)}{(x + 2)^2}\).

Série F — Dérivée seconde : sens et calcul

Exercices

  1. Soit \(f(x) = x^3 – 3x\). Calculer \(f^\prime(x)\) puis \(f^{\prime\prime}(x)\).
  2. Soit \(g(x) = \displaystyle\frac{1}{x}\). Calculer \(g^\prime(x)\) puis \(g^{\prime\prime}(x)\).
  3. Soit \(h(x) = x^4 – 4x^2\). Calculer \(h^{\prime\prime}(x)\) et étudier son signe.
Correction Série F — Exercice 1

\(f^\prime(x) = 3x^2 – 3\) puis \(f^{\prime\prime}(x) = 6x\).

Correction Série F — Exercice 2

Domaine : \(x \neq 0\). \(g(x) = x^{-1}\) donc \(g^\prime(x) = -x^{-2} = -\displaystyle\frac{1}{x^2}\). Puis \(g^{\prime\prime}(x) = 2x^{-3} = \displaystyle\frac{2}{x^3}\).

Correction Série F — Exercice 3

\(h^\prime(x) = 4x^3 – 8x\) donc \(h^{\prime\prime}(x) = 12x^2 – 8\).

Signe : \(12x^2 – 8 = 4(3x^2 – 2)\). Ainsi \(h^{\prime\prime}(x) = 0\) ⇔ \(x^2 = \displaystyle\frac{2}{3}\). Donc \(h^{\prime\prime}(x)\) > \(0\) si \(|x|\) > \(\sqrt{\displaystyle\frac{2}{3}}\), et \(h^{\prime\prime}(x)\) < \(0\) si \(|x|\) < \(\sqrt{\displaystyle\frac{2}{3}}\).

Série G — Dérivées de l’exponentielle et du logarithme

Formules essentielles

  • \((e^x)^\prime = e^x\)
  • \((\ln x)^\prime = \displaystyle\frac{1}{x}\) pour \(x\) > \(0\)

Pour les fonctions composées, n’oublie pas la dérivée de la fonction intérieure !

Exercices

  1. Calculer la dérivée de \(g(x) = e^{-x^2 + 3}\).
  2. Soit \(h(x) = \ln(2x – 4)\). Déterminer l’ensemble de définition et dériver.
  3. Calculer la dérivée de \(k(x) = x^2 e^x\).
Correction Série G — Exercice 1

Formule : \((e^u)^\prime = u^\prime e^u\).
Ici \(u(x) = -x^2 + 3\), donc \(u^\prime(x) = -2x\).

Résultat : \(g^\prime(x) = -2x \, e^{-x^2 + 3}\).

Correction Série G — Exercice 2

Ensemble de définition : Il faut \(2x – 4\) > \(0\), soit \(2x\) > \(4\), donc \(x\) > \(2\). \(D_h = {]2 ; +\infty[}\).

Calcul : Formule : \((\ln(u))^\prime = \displaystyle\frac{u^\prime}{u}\). Ici \(u(x) = 2x – 4\) et \(u^\prime(x) = 2\).

Donc \(h^\prime(x) = \displaystyle\frac{2}{2x – 4}\). On peut simplifier par 2 : \(h^\prime(x) = \displaystyle\frac{1}{x – 2}\).

Correction Série G — Exercice 3

On applique la formule du produit \((uv)^\prime = u^\prime v + u v^\prime\) avec \(u(x) = x^2\) et \(v(x) = e^x\).

\(u^\prime(x) = 2x\) et \(v^\prime(x) = e^x\).

\(k^\prime(x) = 2x \times e^x + x^2 \times e^x\)

On factorise par \(e^x\) :
\(k^\prime(x) = e^x(2x + x^2) = x \, e^x(x + 2)\)

Problèmes type DS : étude de fonction de A à Z

Ces exercices sont conçus pour t’entraîner à la rédaction et à la méthode complète. C’est typiquement ce qui fait la différence entre « je sais dériver » et « je gagne des points en DS ».

Problème 1 — Étude complète (domaine, dérivée, variations, tangente)

Énoncé

On considère \(f(x) = \displaystyle\frac{x^2 + 1}{x – 1}\).

  1. Donner le domaine de définition.
  2. Calculer \(f^\prime(x)\) et simplifier.
  3. Étudier le signe de \(f^\prime(x)\), puis donner les variations de \(f\).
  4. Donner l’équation de la tangente en \(a = 2\).
Correction complète — Problème 1

1) Domaine : \(x \neq 1\).

2) Quotient avec \(u(x) = x^2 + 1\), \(v(x) = x – 1\). On a \(u^\prime(x) = 2x\), \(v^\prime(x) = 1\). Donc :

\(f^\prime(x) = \displaystyle\frac{2x(x – 1) – (x^2 + 1) \cdot 1}{(x – 1)^2}\)

Simplification : \(f^\prime(x) = \displaystyle\frac{2x^2 – 2x – x^2 – 1}{(x – 1)^2} = \displaystyle\frac{x^2 – 2x – 1}{(x – 1)^2}\).

3) Le dénominateur \((x – 1)^2\) est strictement positif sur le domaine, donc le signe de \(f^\prime(x)\) est celui du numérateur \(x^2 – 2x – 1\). Ses racines sont \(1 – \sqrt{2}\) et \(1 + \sqrt{2}\).

Donc \(f^\prime(x)\) > \(0\) sur \((-\infty, 1 – \sqrt{2})\) et sur \((1 + \sqrt{2}, +\infty)\), et \(f^\prime(x)\) < \(0\) sur \((1 – \sqrt{2}, 1)\) puis sur \((1, 1 + \sqrt{2})\) (en respectant la rupture en \(1\)).

4) Tangente en \(2\) : \(f(2) = \displaystyle\frac{5}{1} = 5\). Et \(f^\prime(2) = \displaystyle\frac{4 – 4 – 1}{1} = -1\). Tangente : \(y = 5 – 1(x – 2) = 7 – x\).

Problème 2 — Tangente et optimisation (max/min)

Énoncé

Soit \(f(x) = x^2 + \displaystyle\frac{4}{x}\) définie sur \((0, +\infty)\).

  1. Calculer \(f^\prime(x)\).
  2. Déterminer le minimum de \(f\) sur \((0, +\infty)\).
  3. Donner l’équation de la tangente au point où ce minimum est atteint.
Correction complète — Problème 2

1) \(f^\prime(x) = 2x – \displaystyle\frac{4}{x^2}\).

2) Résoudre \(f^\prime(x) = 0\) : \(2x = \displaystyle\frac{4}{x^2}\) donc \(2x^3 = 4\) et \(x^3 = 2\), d’où \(x = \sqrt[3]{2}\).

On vérifie le signe : pour \(x\) petit, \(-\displaystyle\frac{4}{x^2}\) domine donc \(f^\prime(x)\) < \(0\) ; pour \(x\) grand, \(2x\) domine donc \(f^\prime(x)\) > \(0\). Donc \(f\) décroît puis croît : c’est un minimum global en \(\sqrt[3]{2}\).

Valeur minimale : \(f(\sqrt[3]{2}) = (\sqrt[3]{2})^2 + \displaystyle\frac{4}{\sqrt[3]{2}} = 2^{2/3} + 4 \cdot 2^{-1/3} = 2^{-1/3}(2 + 4) = 6 \cdot 2^{-1/3}\).

3) Tangente au point de minimum : la pente vaut \(f^\prime(\sqrt[3]{2}) = 0\), donc la tangente est horizontale : \(y = f(\sqrt[3]{2})\).

Problème 3 — Inégalités et comparaisons via les variations (bonus)

Énoncé

On considère \(g(x) = x – \ln(x) – 1\) définie sur \((0, +\infty)\). Montrer que, pour tout \(x\) > \(0\), on a : \(x – \ln(x) – 1 \geq 0\).

Correction complète — Problème 3

On étudie les variations de \(g\). \(g^\prime(x) = 1 – \displaystyle\frac{1}{x} = \displaystyle\frac{x – 1}{x}\).

Sur \((0, +\infty)\), le signe de \(g^\prime(x)\) est celui de \(x – 1\) : \(g^\prime(x)\) < \(0\) sur \((0, 1)\) et \(g^\prime(x)\) > \(0\) sur \((1, +\infty)\).

Donc \(g\) admet un minimum en \(x = 1\). Or \(g(1) = 1 – \ln(1) – 1 = 0\). Ainsi, pour tout \(x\) > \(0\), \(g(x) \geq 0\), c’est-à-dire \(x – \ln(x) – 1 \geq 0\).

Méthodologie complète pour l’étude de fonction

Ces problèmes type DS t’entraînent à mener une étude de fonction complète à l’aide de la dérivation :

  • Déterminer si une fonction est dérivable sur son domaine
  • Calculer la dérivée (somme, produit, quotient, composée)
  • Étudier le signe de \(f^\prime(x)\) pour déterminer les variations
  • Identifier les extremums locaux et résoudre des inégalités grâce aux variations
  • Interpréter la représentation graphique (tangente, allure de la courbe)

Chaque problème suit la même structure : définir la fonction sur son domaine, calculer sa dérivée, analyser son signe, puis conclure. La correction détaillée te montre la rédaction attendue en DS.

Exercices niveau Prépa : rigueur et théorèmes

Ici, on monte d’un cran : on travaille la rigueur (hypothèses, théorèmes, rédaction). Ce sont exactement les points qui font la différence aux DS et concours.

Exo Prépa 1 — Théorème des accroissements finis : existence, encadrement et rédaction

Énoncé

Soit \(f(x) = \sqrt{x}\) sur l’intervalle \([1, 4]\). Montrer qu’il existe \(c \in (1, 4)\) tel que \(f^\prime(c) = \displaystyle\frac{f(4) – f(1)}{4 – 1}\), et déterminer \(c\).

Correction complète — Exo Prépa 1

\(f\) est continue sur \([1, 4]\) et dérivable sur \((1, 4)\). On peut appliquer le TAF. Il existe donc \(c \in (1, 4)\) tel que \(f^\prime(c) = \displaystyle\frac{f(4) – f(1)}{4 – 1}\).

Calculs : \(f(4) = 2\), \(f(1) = 1\), donc le taux vaut \(\displaystyle\frac{1}{3}\). Or \(f^\prime(x) = \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}}\).

Résoudre \(\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{c}} = \displaystyle\frac{1}{3}\) : \(2\sqrt{c} = 3\) donc \(\sqrt{c} = \displaystyle\frac{3}{2}\) et \(c = \displaystyle\frac{9}{4}\).

Exo Prépa 2 — Rolle : hypothèses, pièges et conclusion

Énoncé

On considère \(f(x) = x^3 – 3x + 1\). Montrer que l’équation \(f(x) = 0\) admet trois solutions réelles distinctes.

Correction complète — Exo Prépa 2

On sait que \(f^\prime(x) = 3x^2 – 3\), donc \(f^\prime(x) = 0\) ⇔ \(x = -1\) ou \(x = 1\). La fonction \(f\) est donc croissante, puis décroissante, puis croissante.

Calculs de valeurs : \(f(-2) = -8 + 6 + 1 = -1\), \(f(-1) = 3\), donc il existe une racine dans \((-2, -1)\).

\(f(0) = 1\) et \(f(1) = -1\), donc il existe une racine dans \((0, 1)\).

\(f(1) = -1\) et \(f(2) = 8 – 6 + 1 = 3\), donc il existe une racine dans \((1, 2)\).

On a donc au moins trois racines réelles distinctes. Or un polynôme de degré \(3\) n’a pas plus de trois racines réelles distinctes. Conclusion : il y en a exactement trois.

(Lecture « Rolle » : si \(f\) avait quatre zéros distincts, le théorème de Rolle impliquerait au moins trois zéros de \(f^\prime\), impossible car \(f^\prime\) est de degré \(2\).)

Exo Prépa 3 — Optimisation et étude fine (niveau concours)

Énoncé

Pour \(x\) > \(0\), on pose \(f(x) = x + \displaystyle\frac{2}{x}\). Déterminer le minimum de \(f\) et donner une interprétation (inégalité).

Correction complète — Exo Prépa 3

\(f^\prime(x) = 1 – \displaystyle\frac{2}{x^2} = \displaystyle\frac{x^2 – 2}{x^2}\). Sur \((0, +\infty)\), \(f^\prime(x) = 0\) ⇔ \(x = \sqrt{2}\).

Pour \(0\) < \(x\) < \(\sqrt{2}\), \(x^2 – 2\) < \(0\) donc \(f^\prime(x)\) < \(0\). Pour \(x\) > \(\sqrt{2}\), \(f^\prime(x)\) > \(0\). Donc minimum en \(\sqrt{2}\).

Valeur minimale : \(f(\sqrt{2}) = \sqrt{2} + \displaystyle\frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}\).

Interprétation : pour tout \(x\) > \(0\), on a \(x + \displaystyle\frac{2}{x} \geq 2\sqrt{2}\).

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Conseils d’utilisation (séances de 30–45 min)

  • 10 min : Série « calcul » (2–3 exos) + correction.
  • 15 min : 1 exercice « tangente » ou « variations ».
  • 10–15 min : 1 mini-problème (type DS) avec rédaction.

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Questions fréquentes sur les dérivées


Comment comprendre facilement les dérivées ?

Retiens l’idée : \(f^\prime(a)\) est la pente de la tangente à la courbe en \(a\). Ensuite, entraîne-toi sur 3 axes : calcul, tangente, variations. Pour le cours complet : cours sur les dérivées.

Quelles sont les formules des dérivées ?

Les formules indispensables : dérivées usuelles + 4 règles (somme, produit, quotient, composée). Pour un mémo : tableau des dérivées usuelles. Pour les méthodes : calcul de dérivées.

Comment calculer une dérivée ?

1) Identifier la forme (somme/produit/quotient/composée). 2) Appliquer la règle. 3) Simplifier. 4) Vérifier le domaine. En cas de doute : méthode détaillée pas à pas.

Qu'est-ce que les dérivées en maths ?

La dérivée décrit la variation instantanée : pente, vitesse locale, croissance/décroissance. C’est l’outil central pour les variations, extrema et tangentes.

Quels sont les 4 types de dérivées (au sens des 4 règles) ?

Les 4 règles « réflexes » : dérivée d’une somme, d’un produit, d’un quotient et d’une composée. C’est exactement ce qu’on travaille dans les séries B et E.

C'est quoi la dérivée de 2x ?

Si \(f(x) = 2x\), alors \(f^\prime(x) = 2\).

Quelle est la dérivée de x² ?

Si \(f(x) = x^2\), alors \(f^\prime(x) = 2x\).

Quelle est la dérivée de 2x² ?

Si \(f(x) = 2x^2\), alors \(f^\prime(x) = 4x\).

Quelle est la dérivée de x³ ?

Si \(f(x) = x^3\), alors \(f^\prime(x) = 3x^2\).


Pour aller plus loin

Tu maîtrises maintenant les exercices fondamentaux sur les dérivées. Pour approfondir :

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