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Tu connais le cercle depuis le collège : c’est l’ensemble des points situés à la même distance d’un point fixe appelé centre. En Seconde, la géométrie analytique te donne un outil puissant pour le décrire dans un repère : une équation reliant les coordonnées \((x\,;\,y)\) de chaque point du cercle au centre et au rayon.
Grâce à cette traduction algébrique, tu peux calculer des intersections, vérifier qu’un point appartient à un cercle, ou résoudre des problèmes géométriques par le calcul. Ce cours, qui fait partie de notre série sur les équations et inéquations, te présente les deux formes de l’équation d’un cercle, les méthodes pour déterminer cette équation dans toutes les situations du programme, et 6 exercices corrigés. Conforme au programme officiel de Seconde et Première 2025-2026.
I. Définition et formule de l’équation d’un cercle
A. Rappel — La distance entre deux points
Avant d’écrire l’équation d’un cercle, tu as besoin d’un outil fondamental : la formule de la distance entre deux points dans un repère orthonormé.
Distance entre deux points
Dans un repère orthonormé, la distance entre \(A(x_A\,;\,y_A)\) et \(B(x_B\,;\,y_B)\) est :
\(AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}\)
Exemple : Soit \(A(1\,;\,3)\) et \(B(4\,;\,7)\).
\(AB = \sqrt{(4 – 1)^2 + (7 – 3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
C’est précisément cette formule qui va transformer la définition géométrique du cercle en équation algébrique.
B. Équation canonique du cercle (forme centrée)
Un cercle de centre \(\Omega(a\,;\,b)\) et de rayon \(r\) est, par définition, l’ensemble des points \(M(x\,;\,y)\) du plan tels que \(\Omega M = r\). En appliquant la formule de distance :
\(\sqrt{(x – a)^2 + (y – b)^2} = r\)Les deux membres étant positifs, on peut élever au carré sans changer l’ensemble des solutions. On obtient la forme canonique de l’équation d’un cercle :
Définition — Équation canonique d’un cercle
Le cercle de centre \(\Omega(a\,;\,b)\) et de rayon \(r\) > \(0\) a pour équation :
\((x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\)
Un point \(M(x\,;\,y)\) appartient au cercle si et seulement si ses coordonnées vérifient cette équation.
Lecture immédiate : dans la forme \((x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\), les coordonnées du centre sont les valeurs retranchées à \(x\) et \(y\), et le rayon est la racine carrée du membre de droite.
Exemple : L’équation \((x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 16\) représente un cercle de centre \(\Omega(3\,;\,-2)\) et de rayon \(r = \sqrt{16} = 4\).
Attention au signe : \((y + 2)^2 = (y – (-2))^2\), donc l’ordonnée du centre est bien \(b = -2\), pas \(+2\).
C. Cas particulier — Cercle centré à l’origine
Quand le centre est l’origine \(O(0\,;\,0)\), l’équation se simplifie considérablement :
Cercle centré à l’origine
\(x^2 + y^2 = r^2\)
Par exemple, \(x^2 + y^2 = 1\) est l’équation du cercle trigonométrique (centre \(O\), rayon \(1\)). Tu le retrouveras dès la Première en trigonométrie.
Maintenant que tu maîtrises la forme canonique, voyons la deuxième forme de l’équation d’un cercle — la forme développée — et comment passer de l’une à l’autre.
II. Les deux formes de l’équation d’un cercle
L’équation d’un cercle s’écrit sous deux formes : la forme canonique (vue au paragraphe précédent) et la forme développée. Savoir passer de l’une à l’autre est une compétence essentielle du programme.
A. De la forme canonique à la forme développée
On développe simplement à l’aide des identités remarquables :
\((x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\) \(x^2 – 2ax + a^2 + y^2 – 2by + b^2 = r^2\) \(x^2 + y^2 – 2ax – 2by + (a^2 + b^2 – r^2) = 0\)En posant \(D = -2a\), \(E = -2b\) et \(F = a^2 + b^2 – r^2\), on obtient :
Forme développée de l’équation d’un cercle
\(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\)
Le coefficient de \(x^2\) et celui de \(y^2\) sont égaux à 1, et il n’y a pas de terme en \(xy\).
Exemple : Développer l’équation du cercle de centre \(\Omega(2\,;\,-1)\) et de rayon \(3\).
Forme canonique : \((x – 2)^2 + (y + 1)^2 = 9\)
On développe : \(x^2 – 4x + 4 + y^2 + 2y + 1 = 9\)
Forme développée : \(x^2 + y^2 – 4x + 2y – 4 = 0\)
B. Reconnaître une équation de cercle sous forme développée
Le passage inverse est la situation la plus fréquente en exercice : on te donne une équation développée et tu dois retrouver le centre et le rayon. La technique s’appelle la complétion du carré (ou « mise sous forme canonique »).
Méthode — Complétion du carré en 4 étapes
- Regrouper les termes en \(x\) d’un côté, les termes en \(y\) de l’autre, et passer la constante à droite.
- Compléter le carré en \(x\) : \(x^2 + Dx = \left(x + \displaystyle\frac{D}{2}\right)^{\!2} – \displaystyle\frac{D^2}{4}\)
- Compléter le carré en \(y\) : \(y^2 + Ey = \left(y + \displaystyle\frac{E}{2}\right)^{\!2} – \displaystyle\frac{E^2}{4}\)
- Réécrire sous la forme \((x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\) et identifier le centre et le rayon.
Exemple détaillé : Déterminer le centre et le rayon du cercle d’équation \(x^2 + y^2 – 6x + 4y – 3 = 0\).
Étape 1 — Regroupement : \((x^2 – 6x) + (y^2 + 4y) = 3\)
Étape 2 — Complétion en \(x\) : \(x^2 – 6x = (x – 3)^2 – 9\)
Étape 3 — Complétion en \(y\) : \(y^2 + 4y = (y + 2)^2 – 4\)
Étape 4 — Substitution :
\((x – 3)^2 – 9 + (y + 2)^2 – 4 = 3\)
\((x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 16\)
Conclusion : C’est un cercle de centre \(\Omega(3\,;\,-2)\) et de rayon \(r = \sqrt{16} = 4\).
C. Tableau récapitulatif et condition d’existence
| Forme canonique | Forme développée | |
|---|---|---|
| Équation | \((x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\) | \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\) |
| Centre | \(\Omega(a\,;\,b)\) (lecture directe) | \(\Omega\!\left(-\displaystyle\frac{D}{2}\,;\,-\displaystyle\frac{E}{2}\right)\) |
| Rayon | \(r = \sqrt{\text{membre de droite}}\) | \(r = \sqrt{\displaystyle\frac{D^2}{4} + \displaystyle\frac{E^2}{4} – F}\) |
| Quand l’utiliser ? | Pour lire instantanément centre et rayon | Pour vérifier l’appartenance d’un point ou développer un calcul |
Condition d’existence du cercle
L’équation \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\) ne représente un cercle que si la quantité \(\displaystyle\frac{D^2}{4} + \displaystyle\frac{E^2}{4} – F\) est strictement positive.
- Si elle est nulle : l’ensemble se réduit à un seul point (le « centre »).
- Si elle est négative : l’ensemble est vide — aucun point du plan ne vérifie l’équation.
Pense toujours à vérifier cette condition avant de conclure !
Tu sais désormais reconnaître une équation de cercle et en extraire le centre et le rayon. Mais comment faire quand c’est toi qui dois écrire cette équation à partir d’informations géométriques ? C’est l’objet de la section suivante.
III. Méthodes — Déterminer l’équation d’un cercle
Selon les données de l’énoncé, tu n’utiliseras pas la même stratégie. Voici un repère rapide avant de détailler chaque cas :
Quelle méthode utiliser ?
- Centre et rayon connus → substitution directe dans la formule canonique (§ A)
- Centre et un point du cercle → calcul du rayon par la distance, puis substitution (§ B)
- Diamètre \([AB]\) connu → milieu + demi-longueur, ou produit scalaire (§ C)
- Forme développée donnée → complétion du carré (voir § II.B)
A. Centre et rayon connus
C’est le cas le plus immédiat : tu remplaces \(a\), \(b\) et \(r\) dans la formule.
Exemple : Écrire l’équation du cercle de centre \(A(1\,;\,-3)\) et de rayon \(5\).
\((x – 1)^2 + (y + 3)^2 = 25\)
Sous forme développée : \(x^2 + y^2 – 2x + 6y – 15 = 0\).
B. Centre et un point du cercle
Si tu connais le centre \(\Omega\) et un point \(A\) situé sur le cercle, le rayon est simplement la distance \(\Omega A\). Tu calcules \(r\), puis tu écris l’équation canonique.
Exemple : Déterminer l’équation du cercle de centre \(\Omega(2\,;\,1)\) passant par \(A(5\,;\,5)\).
Calcul du rayon :
\(r = \Omega A = \sqrt{(5 – 2)^2 + (5 – 1)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
Équation :
\((x – 2)^2 + (y – 1)^2 = 25\)
Astuce : dans la pratique, tu peux éviter de calculer la racine carrée. Comme tu as besoin de \(r^2\) dans l’équation (et non de \(r\)), il suffit de calculer \(\Omega A^2 = (x_A – a)^2 + (y_A – b)^2\) et de l’écrire directement dans le membre de droite. Ici : \(\Omega A^2 = 9 + 16 = 25\), donc l’équation est \((x-2)^2 + (y-1)^2 = 25\).
C. Diamètre [AB] connu
Quand l’énoncé te donne un diamètre \([AB]\), tu disposes de deux méthodes.
Méthode 1 — Milieu et demi-longueur (la plus courante) :
- Le centre est le milieu \(I\) de \([AB]\) : \(I\!\left(\displaystyle\frac{x_A + x_B}{2}\,;\,\displaystyle\frac{y_A + y_B}{2}\right)\).
- Le rayon est \(r = \displaystyle\frac{AB}{2}\) (ou \(r = IA\)).
Méthode 2 — Caractérisation par le produit scalaire :
Propriété — Cercle de diamètre [AB]
Un point \(M\) appartient au cercle de diamètre \([AB]\) si et seulement si :
\(\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0\)
En coordonnées, cela s’écrit :
\((x – x_A)(x – x_B) + (y – y_A)(y – y_B) = 0\)
Cette propriété traduit le fait que l’angle \(\widehat{AMB}\) est droit (théorème de Thalès inscrit dans le cercle).
Exemple : Déterminer l’équation du cercle de diamètre \([AB]\) avec \(A(-1\,;\,3)\) et \(B(5\,;\,-1)\).
Méthode 1 :
Centre : \(I\!\left(\displaystyle\frac{-1+5}{2}\,;\,\displaystyle\frac{3+(-1)}{2}\right) = I(2\,;\,1)\)
Rayon : \(r = IA = \sqrt{(2-(-1))^2 + (1-3)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}\)
Équation : \((x – 2)^2 + (y – 1)^2 = 13\)
Méthode 2 (produit scalaire) :
\((x – (-1))(x – 5) + (y – 3)(y – (-1)) = 0\)
\((x + 1)(x – 5) + (y – 3)(y + 1) = 0\)
\(x^2 – 4x – 5 + y^2 – 2y – 3 = 0\)
\(x^2 + y^2 – 4x – 2y – 8 = 0\)
Vérification : en complétant le carré, \((x-2)^2 – 4 + (y-1)^2 – 1 – 8 = 0\), soit \((x-2)^2 + (y-1)^2 = 13\). On retrouve le même résultat. ✓
Quelle méthode choisir ? La méthode du milieu est plus rapide dans la majorité des exercices. La méthode du produit scalaire est précieuse quand l’énoncé te demande de prouver qu’un point appartient au cercle de diamètre \([AB]\) : il suffit de montrer que \(\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0\).
Il ne reste plus qu’une situation classique à maîtriser : que se passe-t-il quand une droite « rencontre » un cercle ?
IV. Intersection d’une droite et d’un cercle
Déterminer les points communs entre une droite et un cercle est un exercice très fréquent en Seconde et en Première. La méthode repose sur la résolution d’un système, qui se ramène toujours à une équation du second degré.
Méthode en 3 étapes
- Exprimer \(y\) en fonction de \(x\) à l’aide de l’équation de la droite (ou l’inverse).
- Substituer dans l’équation du cercle. On obtient une équation du second degré en \(x\).
- Conclure grâce au discriminant \(\Delta\) de cette équation :
- \(\Delta\) > \(0\) → la droite est sécante (2 points d’intersection).
- \(\Delta = 0\) → la droite est tangente (1 point de contact).
- \(\Delta\) < \(0\) → la droite est extérieure (aucun point commun).
Exemple : Déterminer les points d’intersection du cercle \(\mathcal{C} : (x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 25\) et de la droite \(d : y = x + 2\).
Étape 1 : On remplace \(y\) par \(x + 2\) dans l’équation du cercle :
\((x – 1)^2 + (x + 2 – 2)^2 = 25\)
\((x – 1)^2 + x^2 = 25\)
\(x^2 – 2x + 1 + x^2 = 25\)
\(2x^2 – 2x – 24 = 0 \quad\text{soit}\quad x^2 – x – 12 = 0\)
Étape 2 : \(\Delta = (-1)^2 – 4 \times 1 \times (-12) = 1 + 48 = 49\) > \(0\) : deux solutions.
\(x_1 = \displaystyle\frac{1 + 7}{2} = 4 \qquad x_2 = \displaystyle\frac{1 – 7}{2} = -3\)
Étape 3 : On calcule les ordonnées correspondantes via \(y = x + 2\) :
\(y_1 = 6 \qquad y_2 = -1\)
La droite est sécante au cercle en \(A(4\,;\,6)\) et \(B(-3\,;\,-1)\).
Quand la droite est tangente au cercle (\(\Delta = 0\)), le point de contact unique est lié à la notion d’équation de la tangente à une courbe, que tu approfondiras en Première avec les dérivées.
Fiche de synthèse — Équation d’un cercle
Toutes les formules, méthodes et pièges à éviter résumés en une page imprimable.
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Place maintenant à la pratique pour consolider toutes ces méthodes.
V. Exercices corrigés
Voici 6 exercices classés par difficulté croissante. Essaie de résoudre chaque exercice avant de consulter la correction.
Exercice 1 ★ — Déterminer le centre et le rayon du cercle d’équation \((x + 4)^2 + (y – 1)^2 = 9\).
Voir la correction
On réécrit : \((x – (-4))^2 + (y – 1)^2 = 9\).
Par identification avec \((x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\) :
- Centre : \(\Omega(-4\,;\,1)\)
- Rayon : \(r = \sqrt{9} = 3\)
Exercice 2 ★ — Le point \(A(3\,;\,-1)\) appartient-il au cercle d’équation \((x – 1)^2 + (y + 3)^2 = 8\) ?
Voir la correction
On remplace \(x\) par \(3\) et \(y\) par \(-1\) dans le membre de gauche :
\((3 – 1)^2 + (-1 + 3)^2 = 4 + 4 = 8\)On obtient bien \(8 = r^2\). Donc oui, le point \(A\) appartient au cercle.
Exercice 3 ★★ — Montrer que l’équation \(x^2 + y^2 + 2x – 8y + 8 = 0\) est celle d’un cercle, puis déterminer son centre et son rayon.
Voir la correction
Étape 1 : On regroupe et on passe la constante à droite :
\((x^2 + 2x) + (y^2 – 8y) = -8\)Étape 2 : Complétion du carré en \(x\) : \(x^2 + 2x = (x + 1)^2 – 1\)
Étape 3 : Complétion du carré en \(y\) : \(y^2 – 8y = (y – 4)^2 – 16\)
Étape 4 : On remplace :
\((x + 1)^2 – 1 + (y – 4)^2 – 16 = -8\) \((x + 1)^2 + (y – 4)^2 = 9\)Comme \(9\) > \(0\), c’est bien un cercle de centre \(\Omega(-1\,;\,4)\) et de rayon \(r = 3\).
Exercice 4 ★★ — Écrire l’équation du cercle de centre \(\Omega(-2\,;\,3)\) passant par le point \(A(1\,;\,7)\).
Voir la correction
Calcul du rayon :
\(r^2 = \Omega A^2 = (1 – (-2))^2 + (7 – 3)^2 = 9 + 16 = 25\)Équation canonique :
\((x + 2)^2 + (y – 3)^2 = 25\)Vérification avec le point \(A\) : \((1 + 2)^2 + (7 – 3)^2 = 9 + 16 = 25\) ✓
Exercice 5 ★★★ — Soit \(A(0\,;\,4)\) et \(B(6\,;\,0)\). Déterminer l’équation du cercle \(\mathcal{C}\) de diamètre \([AB]\), puis vérifier que le point \(C(6\,;\,4)\) appartient à \(\mathcal{C}\).
Voir la correction
a) Équation du cercle :
Centre (milieu de \([AB]\)) : \(I\!\left(\displaystyle\frac{0+6}{2}\,;\,\displaystyle\frac{4+0}{2}\right) = I(3\,;\,2)\)
Rayon : \(r = IA = \sqrt{(3-0)^2 + (2-4)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}\)
Équation : \((x – 3)^2 + (y – 2)^2 = 13\)
b) Vérification pour \(C(6\,;\,4)\) :
\((6 – 3)^2 + (4 – 2)^2 = 9 + 4 = 13\) ✓
Le point \(C\) appartient bien au cercle. Cela signifie que le triangle \(ACB\) est rectangle en \(C\) (angle inscrit dans un demi-cercle).
Exercice 6 ★★★ — On considère le cercle \(\mathcal{C}\) d’équation \(x^2 + y^2 + 4x – 6y – 12 = 0\) et la droite \(d\) d’équation \(y = x – 2\).
- Montrer que \(\mathcal{C}\) est un cercle et déterminer son centre et son rayon.
- Calculer les coordonnées des points d’intersection de \(\mathcal{C}\) et \(d\).
Voir la correction
1) Centre et rayon :
\((x^2 + 4x) + (y^2 – 6y) = 12\) \((x + 2)^2 – 4 + (y – 3)^2 – 9 = 12\) \((x + 2)^2 + (y – 3)^2 = 25\)Comme \(25\) > \(0\), c’est un cercle de centre \(\Omega(-2\,;\,3)\) et de rayon \(r = 5\).
2) Intersection :
On substitue \(y = x – 2\) dans \((x + 2)^2 + (y – 3)^2 = 25\) :
\((x + 2)^2 + (x – 2 – 3)^2 = 25\) \((x + 2)^2 + (x – 5)^2 = 25\) \(x^2 + 4x + 4 + x^2 – 10x + 25 = 25\) \(2x^2 – 6x + 4 = 0 \quad\text{soit}\quad x^2 – 3x + 2 = 0\)\(\Delta = 9 – 8 = 1\) > \(0\) : deux solutions.
\(x_1 = \displaystyle\frac{3 + 1}{2} = 2 \quad;\quad x_2 = \displaystyle\frac{3 – 1}{2} = 1\)On calcule les ordonnées : \(y_1 = 2 – 2 = 0\) et \(y_2 = 1 – 2 = -1\).
Les points d’intersection sont \(A(2\,;\,0)\) et \(B(1\,;\,-1)\).
VI. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Voici les erreurs que je corrige le plus souvent sur les copies de mes élèves.
Piège n°1 — Erreur de signe sur le centre
❌ Copie fautive : « L’équation \((x + 3)^2 + (y – 1)^2 = 4\) a pour centre \((3\,;\,1)\). »
Diagnostic : l’élève lit « +3 » et écrit \(a = 3\). Or \((x + 3)^2 = (x – (-3))^2\).
✅ Correction : le centre est \((-3\,;\,1)\).
Règle : les coordonnées du centre sont les valeurs opposées de ce qui apparaît dans les parenthèses.
Piège n°2 — Confondre rayon et rayon au carré
❌ Copie fautive : « \((x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 9\), donc le rayon est \(9\). »
✅ Correction : le membre de droite est \(r^2 = 9\), donc \(r = 3\).
Piège n°3 — Oublier de vérifier la condition d’existence
Quand tu complètes le carré et que tu arrives à \((x – a)^2 + (y – b)^2 = k\), tu dois vérifier que \(k\) > \(0\) avant de conclure que c’est un cercle. Si \(k = 0\), c’est un point ; si \(k\) < \(0\), l’ensemble est vide.
Piège n°4 — Complétion du carré bâclée
❌ Copie fautive : « \(x^2 – 6x = (x – 6)^2\) »
Diagnostic : l’élève oublie de diviser le coefficient par 2 et de retrancher le carré du résultat.
✅ Correction : \(x^2 – 6x = (x – 3)^2 – 9\). On divise \(-6\) par \(2\) → \(-3\), puis on retranche \((-3)^2 = 9\).
Piège n°5 — Confondre cercle et disque
Le cercle est la courbe (ensemble des points à distance \(r\) du centre). Le disque est la surface (ensemble des points à distance inférieure ou égale à \(r\)). L’équation \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\) décrit le cercle ; l’inéquation \((x-a)^2 + (y-b)^2 \leq r^2\) décrit le disque.
VII. Questions fréquentes
Comment trouver l'équation d'un cercle ?
Tout dépend des informations dont tu disposes. Si tu connais le centre \(\Omega(a\,;\,b)\) et le rayon \(r\), tu écris directement \((x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\). Si tu connais le centre et un point du cercle, tu calcules d’abord le rayon par la formule de distance. Si tu connais un diamètre \([AB]\), tu calcules le milieu (= centre) et la demi-longueur (= rayon), ou tu utilises la caractérisation par le produit scalaire \(\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0\).
Quelle est l'équation canonique d'un cercle ?
L’équation canonique (ou « forme centrée ») d’un cercle de centre \(\Omega(a\,;\,b)\) et de rayon \(r\) est \((x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\). Elle permet de lire instantanément les coordonnées du centre et la valeur du rayon. L’autre forme est la forme développée \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\), qui nécessite une complétion du carré pour retrouver le centre et le rayon.
Comment reconnaître si une équation représente un cercle ?
Une équation de la forme \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\) représente un cercle si et seulement si les coefficients de \(x^2\) et \(y^2\) sont égaux (ici tous les deux égaux à 1), il n’y a pas de terme en \(xy\), et la quantité \(\displaystyle\frac{D^2}{4} + \displaystyle\frac{E^2}{4} – F\) est strictement positive. Si elle est nulle, l’ensemble se réduit à un point ; si elle est négative, l’ensemble est vide.
Comment passer de la forme développée à la forme canonique ?
On utilise la technique de complétion du carré : on regroupe les termes en \(x\) et en \(y\), on complète chaque groupe pour obtenir un carré parfait, puis on réarrange pour obtenir \((x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\). Par exemple, \(x^2 + 2x = (x + 1)^2 – 1\). La clé est de diviser le coefficient de \(x\) (ou de \(y\)) par 2 pour trouver la valeur dans la parenthèse.
Comment savoir si un point appartient à un cercle ?
Tu remplaces les coordonnées \((x\,;\,y)\) du point dans l’équation du cercle. Si l’égalité est vérifiée, le point est sur le cercle. Si le membre de gauche est inférieur à \(r^2\), le point est à l’intérieur du disque. S’il est supérieur, le point est à l’extérieur.
Quelle est la différence entre l'équation d'un cercle et l'équation d'une ellipse ?
L’équation canonique d’un cercle est \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\) : les coefficients de \((x-a)^2\) et \((y-b)^2\) sont identiques. L’ellipse est une généralisation du cercle : son équation canonique est \(\displaystyle\frac{(x-a)^2}{\alpha^2} + \displaystyle\frac{(y-b)^2}{\beta^2} = 1\) avec \(\alpha \neq \beta\). Quand \(\alpha = \beta = r\), on retrouve le cercle. L’ellipse apparaît en Terminale spé maths et en prépa.
Comment déterminer l'intersection d'une droite et d'un cercle ?
On résout le système formé par l’équation de la droite et celle du cercle. Concrètement, on exprime \(y\) en fonction de \(x\) à l’aide de l’équation de la droite, puis on substitue dans l’équation du cercle. On obtient une équation du second degré en \(x\). Le discriminant \(\Delta\) indique le nombre de points d’intersection : 2 (sécante), 1 (tangente) ou 0 (extérieure).
VIII. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant l’équation d’un cercle sous ses deux formes, les méthodes pour la déterminer et le cas de l’intersection droite-cercle. Pour approfondir tes compétences en géométrie analytique et en résolution d’équations :
- Équation de droite : formes réduite, cartésienne et paramétrique — pour maîtriser l’outil complémentaire du cercle en géométrie analytique.
- Équation du second degré : cours et méthodes de résolution — indispensable pour résoudre les intersections droite-cercle et bien plus.
- Équation de la tangente à une courbe — pour comprendre le cas tangent (\(\Delta = 0\)) de manière approfondie.
- Équations et inéquations : cours complet — la page chapeau de tout le chapitre, avec un tableau synthétique « Quelle méthode pour quelle équation ? ».
