Intégrale de Riemann : Construction, Propriétés et Exercices Corrigés

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L’intégrale de Riemann fonde rigoureusement le calcul intégral. En CPGE, tu dois comprendre sa construction par sommes de Darboux, maîtriser ses propriétés et savoir les démontrer aux concours. Ce cours détaille la théorie complète — des subdivisions au théorème fondamental de l’analyse — avec les démonstrations exigibles (⋆) et 8 exercices corrigés.

I. Subdivisions et sommes de Darboux

La construction de l’intégrale de Riemann repose sur une idée géométrique simple : encadrer l’aire sous la courbe de \(f\) par des sommes de rectangles. Les sommes de Darboux formalisent cette intuition.

A. Subdivision d’un segment

Deux subdivisions particulières méritent d’être retenues :

• Subdivision régulière à \(n\) sous-intervalles : \(x_i = a + i \cdot \displaystyle\frac{b – a}{n}\) pour \(i \in \{0, 1, \ldots, n\}\). Son pas vaut \(\displaystyle\frac{b-a}{n}\).
• Raffinement : une subdivision \(\sigma^\prime\) est un raffinement de \(\sigma\) si \(\sigma \subset \sigma^\prime\) (on ajoute des points sans en retirer).

B. Sommes de Darboux inférieures et supérieures

On se place dans le cadre suivant : \(f : [a;b] \to \mathbb{R}\) est une fonction bornée. La borne est indispensable : sans elle, les sommes de Darboux n’ont pas de sens.

Géométriquement, \(s(f, \sigma)\) est l’aire totale des rectangles inscrits sous la courbe, et \(S(f, \sigma)\) celle des rectangles circonscrits au-dessus. L’aire réelle — si elle existe — est coincée entre les deux.

C. Comportement par raffinement

Les trois propriétés suivantes sont le socle de toute la construction. Elles disent essentiellement que raffiner une subdivision resserre l’encadrement.

Démonstration (point 2, idée clé). Il suffit de traiter le cas où \(\sigma^\prime\) est obtenue en ajoutant un seul point \(c\) dans un sous-intervalle \([x_k ; x_{k+1}]\). Pour la somme inférieure :

\(\displaystyle \inf_{[x_k ; c]} f \cdot (c – x_k) + \inf_{[c ; x_{k+1}]} f \cdot (x_{k+1} – c) \geq m_k \cdot (c – x_k) + m_k \cdot (x_{k+1} – c) = m_k(x_{k+1} – x_k)\)

car \(\displaystyle\inf_{[x_k ; c]} f \geq m_k\) et \(\displaystyle\inf_{[c ; x_{k+1}]} f \geq m_k\). Tous les autres termes sont inchangés, donc \(s(f, \sigma^\prime) \geq s(f, \sigma)\). Le raisonnement est analogue pour la somme supérieure (dans l’autre sens). On itère pour un nombre fini de points ajoutés.

Démonstration (point 3). Posons \(\sigma = \sigma_1 \cup \sigma_2\) (réunion des points). Alors \(\sigma\) est un raffinement de \(\sigma_1\) et de \(\sigma_2\), donc par le point 2 :

\(s(f, \sigma_1) \leq s(f, \sigma) \leq S(f, \sigma) \leq S(f, \sigma_2)\) \(\quad \blacksquare\)

Ce résultat est fondamental : toute somme inférieure est majorée par toute somme supérieure, quelle que soit la subdivision choisie. C’est ce qui permet de passer à la borne supérieure et inférieure dans la section suivante.

II. Définition de l’intégrale de Riemann

Les sommes de Darboux encadrent l’aire par en dessous et par au-dessus. Il reste à préciser quand ces encadrements convergent vers une valeur unique : c’est exactement la condition d’intégrabilité.

A. Intégrales inférieure et supérieure

La proposition précédente (point 3) garantit que l’ensemble \(\{s(f, \sigma)\}_\sigma\) est majoré (par tout \(S(f, \sigma_2)\)) et que \(\{S(f, \sigma)\}_\sigma\) est minoré. Donc \(\underline{I}(f)\) et \(\overline{I}(f)\) existent, et on a toujours :

\(\underline{I}(f) \leq \overline{I}(f)\)

B. Fonction intégrable au sens de Riemann

C. Critère d’intégrabilité de Riemann ⋆

La définition via \(\underline{I} = \overline{I}\) est conceptuelle mais difficile à vérifier en pratique. Le critère suivant fournit une caractérisation opérationnelle.

Démonstration ⋆.

\((\Leftarrow)\) Supposons le critère vérifié. Soit \(\varepsilon\) > \(0\). Il existe \(\sigma\) telle que \(S(f,\sigma) – s(f,\sigma)\) < \(\varepsilon\). Or :

\(0 \leq \overline{I}(f) – \underline{I}(f) \leq S(f, \sigma) – s(f, \sigma)\) < \(\varepsilon\)

Ceci étant vrai pour tout \(\varepsilon\) > \(0\), on conclut \(\overline{I}(f) = \underline{I}(f)\).

\((\Rightarrow)\) Supposons \(f\) intégrable : \(\underline{I}(f) = \overline{I}(f) = I\). Soit \(\varepsilon\) > \(0\).

• Par définition du \(\sup\), \(\exists \, \sigma_1\) telle que \(s(f, \sigma_1)\) > \(I – \displaystyle\frac{\varepsilon}{2}\).
• Par définition de l’\(\inf\), \(\exists \, \sigma_2\) telle que \(S(f, \sigma_2)\) < \(I + \displaystyle\frac{\varepsilon}{2}\).

Posons \(\sigma = \sigma_1 \cup \sigma_2\). Par raffinement : \(s(f, \sigma) \geq s(f, \sigma_1)\) et \(S(f, \sigma) \leq S(f, \sigma_2)\). Donc :

\(\displaystyle S(f, \sigma) – s(f, \sigma) \leq S(f, \sigma_2) – s(f, \sigma_1)\) < \(\left(I + \displaystyle\frac{\varepsilon}{2}\right) – \left(I – \displaystyle\frac{\varepsilon}{2}\right) = \varepsilon \quad \blacksquare\)

III. Classes de fonctions intégrables

Le critère de Riemann est puissant mais se vérifie au cas par cas. En pratique, les fonctions que tu rencontres en CPGE appartiennent à des classes pour lesquelles l’intégrabilité est automatique.

A. Fonctions en escalier

Une fonction en escalier sur \([a;b]\) est constante sur chaque sous-intervalle ouvert d’une certaine subdivision. Si \(\varphi\) prend la valeur \(c_i\) sur \(]x_i ; x_{i+1}[\), alors \(\varphi \in \mathcal{R}([a;b])\) et :

\(\displaystyle\int_a^b \varphi(x)\,dx = \sum_{i=0}^{n-1} c_i(x_{i+1} – x_i)\)

Ce résultat est immédiat car \(m_i = M_i = c_i\) sur chaque sous-intervalle, d’où \(S = s\).

B. Fonctions continues sur un segment ⋆

Démonstration ⋆. Soit \(f \in \mathcal{C}([a;b], \mathbb{R})\). Par le théorème de Heine, \(f\) est uniformément continue sur le compact \([a;b]\).

Soit \(\varepsilon\) > \(0\). Il existe \(\delta\) > \(0\) tel que :

\(\forall (x,y) \in [a;b]^2, \quad |x – y|\) < \(\delta \Rightarrow |f(x) – f(y)|\) < \(\displaystyle\frac{\varepsilon}{b-a}\)

Prenons une subdivision \(\sigma\) de pas \(\delta(\sigma)\) < \(\delta\). Sur chaque \([x_i ; x_{i+1}]\) de longueur inférieure à \(\delta\), l’oscillation de \(f\) est contrôlée :

\(M_i – m_i\) < \(\displaystyle\frac{\varepsilon}{b – a}\)

D’où :

\(\displaystyle S(f,\sigma) – s(f,\sigma) = \sum_{i=0}^{n-1} (M_i – m_i)(x_{i+1} – x_i)\) < \(\displaystyle\frac{\varepsilon}{b-a} \sum_{i=0}^{n-1}(x_{i+1} – x_i) = \displaystyle\frac{\varepsilon}{b-a} \cdot (b-a) = \varepsilon\)

Le critère de Riemann est vérifié. \(\blacksquare\)

C. Fonctions monotones sur un segment

Démonstration (cas \(f\) croissante). Prenons la subdivision régulière \(\sigma_n\) de pas \(\displaystyle\frac{b-a}{n}\). Comme \(f\) est croissante : \(m_i = f(x_i)\) et \(M_i = f(x_{i+1})\).

\(\displaystyle S(f,\sigma_n) – s(f,\sigma_n) = \sum_{i=0}^{n-1} \bigl(f(x_{i+1}) – f(x_i)\bigr) \cdot \displaystyle\frac{b-a}{n} = \displaystyle\frac{b-a}{n}\bigl(f(b) – f(a)\bigr)\)

Cette quantité tend vers \(0\) quand \(n \to +\infty\), d’où l’intégrabilité. \(\blacksquare\)

D. Fonctions continues par morceaux

C’est le cadre le plus courant en pratique. La quasi-totalité des fonctions que tu intègres en CPGE — fonctions de référence, valeurs absolues, parties entières — entrent dans cette classe.

Tu sais maintenant quelles fonctions sont intégrables. Passons aux propriétés que satisfait l’intégrale ainsi construite.

IV. Propriétés de l’intégrale de Riemann

Les propriétés suivantes sont les outils que tu utiliseras quotidiennement en calcul intégral. Elles découlent toutes de la construction par sommes de Darboux.

A. Linéarité et positivité

Preuve de la croissance : \(g – f \geq 0\), donc \(\int (g-f) \geq 0\) par positivité, puis \(\int g – \int f \geq 0\) par linéarité.

B. Relation de Chasles

On étend la notation par convention : pour \(a\) > \(b\), on pose \(\displaystyle\int_a^b f = -\int_b^a f\), et \(\displaystyle\int_a^a f = 0\). La relation de Chasles est alors valable pour tout triplet \((a, b, c)\).

C. Inégalité triangulaire et majoration

Démonstration. On a \(-|f| \leq f \leq |f|\) sur \([a;b]\). En intégrant (croissance + linéarité) :

\(\displaystyle -\int_a^b |f(x)|\,dx \leq \int_a^b f(x)\,dx \leq \int_a^b |f(x)|\,dx\)

ce qui est exactement \(\displaystyle\left|\int_a^b f(x)\,dx\right| \leq \int_a^b |f(x)|\,dx\). \(\blacksquare\)

Corollaire utile (majoration brute) :

\(\displaystyle\left|\int_a^b f(x)\,dx\right| \leq (b-a) \cdot \sup_{[a;b]} |f|\)

Cette majoration est omniprésente dans les estimations de restes (séries, formule de Taylor avec reste intégral, etc.).

Les propriétés algébriques sont en place. Le résultat le plus profond reste à venir : le théorème fondamental de l’analyse, qui relie intégrale et dérivation.

V. Théorème fondamental de l’analyse

Ce théorème est le pont entre la construction de Riemann (géométrique, par aires) et le calcul effectif des intégrales par primitives. Il affirme que l’intégration est, en un sens précis, l’opération inverse de la dérivation.

A. Énoncé et démonstration ⋆

Démonstration ⋆. Soit \(x \in [a;b]\) et \(h \neq 0\) assez petit pour que \(x + h \in [a;b]\). Par la relation de Chasles :

\(\displaystyle F(x+h) – F(x) = \int_a^{x+h} f(t)\,dt – \int_a^x f(t)\,dt = \int_x^{x+h} f(t)\,dt\)

Estimons le taux d’accroissement :

\(\displaystyle\left|\displaystyle\frac{F(x+h) – F(x)}{h} – f(x)\right| = \left|\displaystyle\frac{1}{h}\int_x^{x+h}\bigl(f(t) – f(x)\bigr)\,dt\right| \leq \displaystyle\frac{1}{|h|}\int_x^{x+h} |f(t) – f(x)|\,dt\)

(en supposant \(h\) > \(0\) ; le cas \(h\) < \(0\) se traite de manière analogue). Par la majoration brute :

\(\displaystyle\leq \sup_{t \in [x, x+h]} |f(t) – f(x)|\)

Par continuité de \(f\) en \(x\), ce supremum tend vers \(0\) quand \(h \to 0\). Donc \(F\) est dérivable en \(x\) et \(F^\prime(x) = f(x)\).

Comme \(f\) est continue, \(F^\prime = f\) est continue : \(F \in \mathcal{C}^1([a;b])\). \(\blacksquare\)

B. Formule de Newton-Leibniz

Preuve rapide : on a \(G = F + C\) avec \(C \in \mathbb{R}\) (deux primitives diffèrent d’une constante), donc \(G(b) – G(a) = F(b) – F(a) = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx – 0 = \int_a^b f(x)\,dx\).

C’est cette formule que tu utilises chaque fois que tu calcules une intégrale via le tableau des primitives ou les techniques d’intégration par parties et de changement de variable.

Le théorème fondamental permet le calcul exact. Mais les sommes de Riemann offrent un outil complémentaire puissant : le calcul de limites de sommes.

VI. Sommes de Riemann et calcul de limites

Les sommes de Riemann constituent l’outil privilégié en CPGE pour transformer une limite de somme en une intégrale — et la calculer. Ce passage est fondé sur le théorème de convergence suivant.

A. Convergence des sommes de Riemann

À la différence des sommes de Darboux, le choix des \(\xi_i\) est libre dans chaque sous-intervalle. On a toujours \(s(f,\sigma) \leq R(f,\sigma,\xi) \leq S(f,\sigma)\).

B. Calcul de limites par reconnaissance de sommes de Riemann

L’application la plus courante est la suivante. On considère la subdivision régulière de \([0;1]\) à \(n\) sous-intervalles et le choix \(\xi_i = \displaystyle\frac{i}{n}\) (borne droite). Alors :

\(\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} f\!\left(\displaystyle\frac{k}{n}\right) \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} \int_0^1 f(x)\,dx\)

Place maintenant à la pratique. Les 8 exercices suivants couvrent les techniques essentielles, du calcul direct par sommes de Darboux aux problèmes de concours.

VII. Exercices corrigés

Chaque exercice est suivi de sa correction détaillée. Essaie de résoudre l’exercice avant de consulter la solution. Pour un entraînement plus complet, consulte nos exercices corrigés sur les primitives et intégrales.

Exercice 1 ★ I — Calcul direct par sommes de Darboux

Calculer \(\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx\) directement par les sommes de Darboux, en utilisant la subdivision régulière à \(n\) sous-intervalles.

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La subdivision régulière donne \(x_i = \displaystyle\frac{i}{n}\). La fonction \(f(x) = x^2\) est croissante sur \([0;1]\), donc \(m_i = f(x_i) = \displaystyle\frac{i^2}{n^2}\) et \(M_i = f(x_{i+1}) = \displaystyle\frac{(i+1)^2}{n^2}\).

\(\displaystyle s(f, \sigma_n) = \sum_{i=0}^{n-1} \displaystyle\frac{i^2}{n^2} \cdot \displaystyle\frac{1}{n} = \displaystyle\frac{1}{n^3}\sum_{i=0}^{n-1} i^2 = \displaystyle\frac{1}{n^3} \cdot \displaystyle\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}\) \(\displaystyle S(f, \sigma_n) = \displaystyle\frac{1}{n^3}\sum_{i=1}^{n} i^2 = \displaystyle\frac{1}{n^3} \cdot \displaystyle\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

Les deux tendent vers \(\displaystyle\frac{1}{3}\) quand \(n \to +\infty\). De plus, \(S – s = \displaystyle\frac{1}{n^3}\bigl(n^2\bigr) \cdot \displaystyle\frac{1}{n} \to 0\) (vérifiable directement). Donc \(\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx = \displaystyle\frac{1}{3}\).

Exercice 2 ★★ — Intégrabilité par le critère de Riemann

Montrer que \(f : x \mapsto \sqrt{x}\) est Riemann-intégrable sur \([0;1]\) en utilisant le critère de Riemann avec la subdivision régulière.

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Subdivision régulière : \(x_i = \displaystyle\frac{i}{n}\). La fonction \(\sqrt{x}\) est croissante, donc \(m_i = \sqrt{x_i}\) et \(M_i = \sqrt{x_{i+1}}\).

\(\displaystyle S(f, \sigma_n) – s(f, \sigma_n) = \displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\left(\sqrt{\displaystyle\frac{i+1}{n}} – \sqrt{\displaystyle\frac{i}{n}}\right) = \displaystyle\frac{1}{n}\left(\sqrt{\displaystyle\frac{n}{n}} – \sqrt{\displaystyle\frac{0}{n}}\right) = \displaystyle\frac{1}{n}\)

C’est une somme télescopique. Puisque \(\displaystyle\frac{1}{n} \to 0\), le critère de Riemann est vérifié : \(f \in \mathcal{R}([0;1])\). \(\blacksquare\)

Exercice 3 ★★ I — Somme de Riemann classique

Calculer \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^{n} \displaystyle\frac{1}{n + k}\).

Voir la correction

On factorise \(n\) au dénominateur :

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \displaystyle\frac{1}{n+k} = \sum_{k=1}^{n} \displaystyle\frac{1}{n} \cdot \displaystyle\frac{1}{1 + \displaystyle\frac{k}{n}}\)

C’est une somme de Riemann pour \(f(x) = \displaystyle\frac{1}{1+x}\) sur \([0;1]\).

\(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} = \int_0^1 \displaystyle\frac{dx}{1+x} = \bigl[\ln(1+x)\bigr]_0^1 = \ln 2\)

Exercice 4 ★★ — Positivité stricte de l’intégrale

Soit \(f \in \mathcal{C}([a;b], \mathbb{R})\) telle que \(f \geq 0\) sur \([a;b]\) et \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = 0\). Montrer que \(f = 0\) sur \([a;b]\).

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Par l’absurde : supposons \(\exists \, c \in [a;b]\) tel que \(f(c)\) > \(0\). Par continuité, \(\exists \, \delta\) > \(0\) tel que pour tout \(x \in [c – \delta ; c + \delta] \cap [a;b]\) :

\(\displaystyle f(x) \geq \displaystyle\frac{f(c)}{2}\) > \(0\)

Par positivité et croissance de l’intégrale :

\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \geq \int_{c-\delta}^{c+\delta} f(x)\,dx \geq \displaystyle\frac{f(c)}{2} \cdot 2\delta\) > \(0\)

Contradiction avec \(\int_a^b f = 0\). Donc \(f = 0\) partout. \(\blacksquare\)

Exercice 5 ★★★ I — Somme de Riemann avec produit

Calculer \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(\prod_{k=1}^{n}\left(1 + \displaystyle\frac{k}{n}\right)\right)^{1/n}\).

Voir la correction

Posons \(\displaystyle P_n = \left(\prod_{k=1}^{n}\left(1 + \displaystyle\frac{k}{n}\right)\right)^{1/n}\). On passe au logarithme :

\(\displaystyle\ln(P_n) = \displaystyle\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\ln\!\left(1 + \displaystyle\frac{k}{n}\right)\)

C’est une somme de Riemann pour \(f(x) = \ln(1+x)\) sur \([0;1]\). Donc :

\(\displaystyle\ln(P_n) \to \int_0^1 \ln(1+x)\,dx\)

Calcul de l’intégrale par intégration par parties (ou primitive directe) :

\(\displaystyle\int_0^1 \ln(1+x)\,dx = \bigl[(1+x)\ln(1+x) – (1+x)\bigr]_0^1 = (2\ln 2 – 2) – (0 – 1) = 2\ln 2 – 1\)

Par continuité de l’exponentielle : \(P_n \to e^{2\ln 2 – 1} = \displaystyle\frac{4}{e}\).

Exercice 6 ★★★ — Intégrabilité de la valeur absolue

Soit \(f \in \mathcal{R}([a;b])\). Montrer que \(|f| \in \mathcal{R}([a;b])\).

Voir la correction

La clé est l’inégalité : pour toute subdivision \(\sigma\) et tout \(i\) :

\(\displaystyle\sup_{[x_i ; x_{i+1}]} |f| – \inf_{[x_i ; x_{i+1}]} |f| \leq \sup_{[x_i ; x_{i+1}]} f – \inf_{[x_i ; x_{i+1}]} f = M_i – m_i\)

En effet, pour tous \(s, t \in [x_i ; x_{i+1}]\) : \(\bigl||f(s)| – |f(t)|\bigr| \leq |f(s) – f(t)| \leq M_i – m_i\) (inégalité triangulaire inverse).

On note \(M_i^\prime, m_i^\prime\) les sup et inf de \(|f|\). Alors \(M_i^\prime – m_i^\prime \leq M_i – m_i\), et donc :

\(\displaystyle S(|f|, \sigma) – s(|f|, \sigma) = \sum (M_i^\prime – m_i^\prime)(x_{i+1} – x_i) \leq \sum (M_i – m_i)(x_{i+1} – x_i) = S(f,\sigma) – s(f,\sigma)\)

Comme \(f\) est intégrable, le membre de droite peut être rendu arbitrairement petit. Le critère de Riemann donne \(|f| \in \mathcal{R}([a;b])\). \(\blacksquare\)

Exercice 7 ★★★ — Encadrement de la somme harmonique

À l’aide de sommes de Riemann de \(f(x) = \displaystyle\frac{1}{x}\) sur \([1; n]\), montrer que :

\(\displaystyle\ln(n) \leq H_n = \sum_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{1}{k} \leq 1 + \ln(n)\)

En déduire un équivalent de \(H_n\).

Voir la correction

La fonction \(f(x) = \displaystyle\frac{1}{x}\) est décroissante sur \([1;+\infty[\). Sur chaque \([k ; k+1]\) :

\(\displaystyle\frac{1}{k+1} \leq \int_k^{k+1} \displaystyle\frac{dx}{x} \leq \displaystyle\frac{1}{k}\)

En sommant pour \(k\) de \(1\) à \(n-1\) :

\(\displaystyle\sum_{k=2}^{n} \displaystyle\frac{1}{k} \leq \int_1^n \displaystyle\frac{dx}{x} = \ln(n) \leq \sum_{k=1}^{n-1}\displaystyle\frac{1}{k}\)

La première inégalité donne \(H_n – 1 \leq \ln(n)\), soit \(H_n \leq 1 + \ln(n)\).

La seconde donne \(\ln(n) \leq H_{n-1} \leq H_n\), soit \(\ln(n) \leq H_n\).

Équivalent : des deux encadrements, \(\displaystyle\frac{H_n}{\ln n} \to 1\), donc \(H_n \sim \ln(n)\) quand \(n \to +\infty\).

Exercice 8 ★★★★ — Concentration de la mesure

Soit \(f \in \mathcal{C}([0;1], \mathbb{R})\). Montrer que \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (n+1)\int_0^1 f(t)\,t^n\,dt = f(1)\).

Voir la correction

Étape 1. On note \(\displaystyle I_n = (n+1)\int_0^1 f(t)\,t^n\,dt\). On a \(\displaystyle(n+1)\int_0^1 t^n\,dt = (n+1) \cdot \displaystyle\frac{1}{n+1} = 1\), donc :

\(\displaystyle I_n – f(1) = (n+1)\int_0^1 \bigl(f(t) – f(1)\bigr) t^n\,dt\)

Étape 2. Soit \(\varepsilon\) > \(0\). Par continuité de \(f\) en \(1\), \(\exists \, \delta \in \,]0;1[\) tel que \(|f(t) – f(1)|\) < \(\varepsilon\) pour tout \(t \in [1-\delta ; 1]\).

Étape 3. On coupe l’intégrale sur \([0; 1-\delta]\) et \([1-\delta; 1]\).

Sur \([1-\delta ; 1]\) : \(\displaystyle(n+1)\left|\int_{1-\delta}^1 (f(t)-f(1))t^n\,dt\right| \leq \varepsilon \cdot (n+1)\int_{1-\delta}^1 t^n\,dt \leq \varepsilon\).

Sur \([0; 1-\delta]\) : posons \(M = 2\sup_{[0;1]}|f|\). Alors :

\(\displaystyle(n+1)\left|\int_0^{1-\delta}(f(t)-f(1))t^n\,dt\right| \leq M(n+1)\int_0^{1-\delta}t^n\,dt = M(n+1)\cdot\displaystyle\frac{(1-\delta)^{n+1}}{n+1} = M(1-\delta)^{n+1}\)

Comme \(0\) < \(1-\delta\) < \(1\), on a \((1-\delta)^{n+1} \to 0\). Donc pour \(n\) assez grand, ce terme est inférieur à \(\varepsilon\).

Conclusion : \(|I_n – f(1)| \leq 2\varepsilon\) pour \(n\) assez grand. Donc \(I_n \to f(1)\). \(\blacksquare\)

VIII. Erreurs fréquentes et pièges classiques

IX. Questions fréquentes

X. Pour aller plus loin

Tu maîtrises la construction et les propriétés de l’intégrale de Riemann. Voici les suites naturelles :

• Intégrales généralisées (impropres) — pour étendre le cadre de Riemann aux intervalles non bornés et aux fonctions non bornées.
• Formule de Taylor avec reste intégral — application fondamentale du théorème fondamental.
• Intégration par parties et changement de variable — les deux techniques opérationnelles de calcul d’intégrales.
• Exercices corrigés sur les primitives et intégrales — pour un entraînement intensif.

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