Tu cherches un tableau de dérivées (ou tableau des dérivées) clair, fiable et utilisable en DS ? Cette page te donne :
- un tableau des dérivées usuelles,
- une version PDF à télécharger / imprimer,
- les formules “en \(u\)” (fonction composée) et “en \(u,v\)” (produit/quotient),
- quelques exemples pour vérifier que tu sais t’en servir .
Pour le cours complet et l’interprétation (tangente, sens de variation, etc.), va plutôt sur notre cours sur les dérivées. Et pour la méthode “pas à pas” (comment reconnaître les formes, organiser le calcul), consulte Calcul de dérivées : méthode pas à pas.
Télécharger le tableau des dérivées (PDF)
Si tu veux une fiche “formulaire” à garder sous la main, voici la version PDF :
Tableau des dérivées usuelles (fonctions de base)
Dans tous les tableaux ci-dessous, la variable est \(x\). Quand une condition de domaine est indiquée, elle doit être respectée pour que la dérivée soit valable (en réel).
| Fonction \(f(x)\) | Domaine (en réel) | Dérivée \(f'(x)\) | Remarques utiles |
|---|---|---|---|
| \(c\) (constante) | \(\mathbb{R}\) | \(0\) | Quel que soit \(c\). |
| \(x\) (identité) | \(\mathbb{R}\) | \(1\) | La brique la plus simple. |
| \(x^n\) (puissance) | Si \(n\geq 0\) : \(\mathbb{R}\) Si \(n\) < \(0\) : \(x\neq 0\) | \(n\,x^{n-1}\) | \(n\) est un entier. Cas particulier : \(\left(\frac{1}{x}\right)’=-\frac{1}{x^2}\). |
| \(\frac{1}{x}\) | \(x\neq 0\) | \(-\frac{1}{x^2}\) | Le signe “\(–\)” est un piège classique. |
| \(\sqrt{x}\) | Fonction définie pour \(x\geq 0\), dérivable pour \(x\) > \(0\) | \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\) | Au voisinage de \(0\), la pente “explose” : attention en étude de fonction. |
| \(|x|\) | \(\mathbb{R}\) (mais pas dérivable en \(0\)) | Pour \(x\neq 0\) : \(\frac{x}{|x|}\) | Non dérivable en \(0\) (point anguleux). |
Astuce révision (très rentable). Une fois par semaine, réécris le tableau de mémoire (au moins les 10 lignes “de base”). Ensuite seulement, ajoute les lignes plus avancées (trigo, réciproques…).
Tableau dérivée exponentielle / logarithme (ln)
| Fonction \(f(x)\) | Domaine (en réel) | Dérivée \(f'(x)\) | Remarques utiles |
|---|---|---|---|
| \(\mathrm{e}^x\) | \(\mathbb{R}\) | \(\mathrm{e}^x\) | La dérivée est la fonction elle-même. |
| \(a^x\) | \(\mathbb{R}\), avec \(a\) > \(0\) et \(a\neq 1\) | \(a^x\ln(a)\) | Très utile si la base n’est pas \(\mathrm{e}\). |
| \(\ln(x)\) | \(x\) > \(0\) | \(\frac{1}{x}\) | En réel, \(\ln(x)\) impose \(x\) > \(0\). |
| \(\ln(|x|)\) | \(x\neq 0\) | \(\frac{1}{x}\) | Classique en prépa : permet d’éviter la contrainte \(x\) > \(0\). |
Tableau des dérivées en trigonométrie
Piège majeur. Les formules de dérivation de \(\sin\), \(\cos\) et \(\tan\) sont valables quand \(x\) est en radians. Si \(x\) est en degrés, il faut convertir (ou introduire un facteur).
| Fonction \(f(x)\) | Domaine (en réel) | Dérivée \(f'(x)\) | Remarques utiles |
|---|---|---|---|
| \(\sin(x)\) | \(\mathbb{R}\) | \(\cos(x)\) | Couple à connaître avec la ligne suivante. |
| \(\cos(x)\) | \(\mathbb{R}\) | \(-\sin(x)\) | Le signe “\(–\)” est fréquent en erreurs. |
| \(\tan(x)\) | \(x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi\), avec \(k\in\mathbb{Z}\) | \(\frac{1}{\cos^2(x)}\) | On peut aussi écrire \(1+\tan^2(x)\). |
Tableau des dérivées des fonctions trigonométriques réciproques
| Fonction \(f(x)\) | Domaine (en réel) | Dérivée \(f'(x)\) | Remarques utiles |
|---|---|---|---|
| \(\arcsin(x)\) | \(x\in[-1,1]\) (dérivable sur \(]-1,1[\)) | \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | Le dénominateur impose \(1-x^2\) > \(0\). |
| \(\arccos(x)\) | \(x\in[-1,1]\) (dérivable sur \(]-1,1[\)) | \(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | Même dénominateur que \(\arcsin\), avec un “\(–\)”. |
| \(\arctan(x)\) | \(\mathbb{R}\) | \(\frac{1}{1+x^2}\) | Très fréquent en exercices d’optimisation / intégration. |
Tableau de dérivation en \(u\) et \(v\) (fonction composée, produit, quotient)
Les requêtes du type “tableau dérivée \(u\)”, “tableau dérivée ln \(u\)” ou “tableau de dérivée \(u\) et \(v\)” renvoient à ces formules : ce sont elles qui permettent de passer de la brique “simple” à une expression réelle de DS.
| Expression | Condition | Dérivée | À retenir |
|---|---|---|---|
| \((u+v)(x)\) | \(u\) et \(v\) dérivables | \((u’+v’)(x)\) | Somme/différence : terme à terme. |
| \((k\,u)(x)\) | \(k\) constant | \(k\,u'(x)\) | Le coefficient sort. |
| \((u\,v)(x)\) | \(u\), \(v\) dérivables | \(u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x)\) | Produit : \(u’v+uv’\). |
| \(\left(\frac{u}{v}\right)(x)\) | \(v(x)\neq 0\) | \(\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{v(x)^2}\) | Quotient : “moins” au numérateur. |
| \((g\circ u)(x)=g(u(x))\) | \(u\) dérivable, \(g\) dérivable | \(g'(u(x))\,u'(x)\) | Fonction composée : \(g’\) en \(u(x)\) puis \(\times u’\). |
Tableau des dérivées “en \(u\)” (formes les plus utilisées)
| Forme | Condition (en réel) | Dérivée | Mots-clés typiques |
|---|---|---|---|
| \((u(x))^n\) | \(n\) entier | \(n\,(u(x))^{n-1}\,u'(x)\) | “tableau dérivation \(u\)” |
| \(\frac{1}{u(x)}\) | \(u(x)\neq 0\) | \(-\frac{u'(x)}{(u(x))^2}\) | dérivée en \(\frac{1}{u}\) |
| \(\sqrt{u(x)}\) | \(u(x)\) > \(0\) | \(\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}\) | “dérivée racine de \(u\)” |
| \(\mathrm{e}^{u(x)}\) | \(u\) dérivable | \(\mathrm{e}^{u(x)}\,u'(x)\) | “tableau dérivée exponentielle” |
| \(\ln(u(x))\) | \(u(x)\) > \(0\) | \(\frac{u'(x)}{u(x)}\) | “tableau dérivée ln \(u\)” |
| \(\sin(u(x))\) | \(u\) dérivable | \(\cos(u(x))\,u'(x)\) | trigo + composée |
| \(\cos(u(x))\) | \(u\) dérivable | \(-\sin(u(x))\,u'(x)\) | attention au “\(–\)” |
| \(\tan(u(x))\) | \(\cos(u(x))\neq 0\) | \(\frac{u'(x)}{\cos^2(u(x))}\) | trigo + quotient implicite |
Exemples : comment utiliser le tableau sans se tromper
Ces exemples sont volontairement courts : l’objectif est de vérifier que tu sais identifier la forme et appliquer la bonne ligne du tableau. Pour une méthode structurée “pas à pas”, voir Calcul de dérivées.
Exemple 1 — Puissance en u(x).
On considère \(f(x)=(3x^2-1)^5\).
Ici \(u(x)=3x^2-1\) et \(f(x)=(u(x))^5\).
Donc \(f'(x)=5⋅(u(x))^{4}⋅u'(x)\).
Or \(u'(x)=6x\).
Ainsi \(f'(x)=5(3x^2-1)^4\cdot 6x=30x(3x^2-1)^4\).
Exemple 2 — Tableau dérivée ln(u).
On considère \(g(x)=\ln(2x+1)\).
Ici \(u(x)=2x+1\) et \(g(x)=\ln(u(x))\).
Donc \(g'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}\) avec \(u'(x)=2\).
Ainsi \(g'(x)=\frac{2}{2x+1}\), valable quand \(2x+1\) > \(0\).
Exemple 3 — Produit (u, v) + exponentielle.
On considère \(h(x)=x⋅\mathrm{e}^{x}\).
Ici \(u(x)=x\) et \(v(x)=\mathrm{e}^{x}\).
Produit : \(h'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\).
Or \(u'(x)=1\) et \(v'(x)=\mathrm{e}^{x}\).
Donc \(h'(x)=1\cdot \mathrm{e}^{x}+x\cdot \mathrm{e}^{x}=(x+1)\mathrm{e}^{x}\).
Exemple 4 — Dérivée de 1/u (fonction inverse).
On considère \(f(x) = \frac{1}{x^2+1}\).
Ici \(u(x) = x^2+1\), donc \(u'(x) = 2x\).
On applique la formule \(\left(\frac{1}{u}\right)’ = -\frac{u’}{u^2}\) :
\(f'(x) = -\frac{2x}{(x^2+1)^2}\)Piège classique : Ne pas oublier le signe « moins » devant la fraction ! La dérivée de \(\frac{1}{u}\) est \(-\frac{u’}{u^2}\), pas \(\frac{u’}{u^2}\).
Exemple 5 — Dérivée de √u (racine carrée).
On considère \(g(x) = \sqrt{3x+5}\).
Ici \(u(x) = 3x+5\), donc \(u'(x) = 3\).
On applique la formule \((\sqrt{u})’ = \frac{u’}{2\sqrt{u}}\) :
\(g'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x+5}}\)Astuce : Pour retrouver cette formule, pense à réécrire \(\sqrt{u} = u^{1/2}\) et applique la formule des puissances \((u^n)’ = n \cdot u^{n-1} \cdot u’\) avec \(n = \frac{1}{2}\).
Erreurs fréquentes (et comment les éviter)
1) Oublier la dérivée de l’intérieur. Si tu dérives \(\ln(u(x))\) et que tu écris \(\frac{1}{u(x)}\) en oubliant \(u'(x)\), tu perds immédiatement des points.
2) Trigonométrie en degrés. Les formules standards supposent \(x\) en radians.
3) Confondre “tableau des dérivées” et “conditions de définition”. La formule est vraie sous des conditions (par exemple \(\ln(u)\) exige \(u\) > \(0\) en réel).
4) Mauvais signe. Les trois lignes les plus “piégeuses” : \(\left(\frac{1}{x}\right)’\), \(
‘\), et la formule du quotient.
FAQ — Tableau des dérivées
À quoi sert un tableau des dérivées ?
Il sert de “répertoire” : tu reconnais une forme (puissance, racine, exponentielle, ln, trigo), tu appliques la bonne ligne, puis tu complètes avec les règles en \(u\) et \(v\) (composée, produit, quotient). Pour la méthode complète d’organisation du calcul, vois aussi Calcul de dérivées : méthode pas à pas.
Quelle est la différence entre “tableau dérivée” et “tableau des dérivées” ?
Aucune différence de fond : ce sont deux façons de désigner le même outil (un tableau de dérivation des fonctions usuelles). L’important est de savoir l’utiliser sans oublier les conditions (domaine) et la dérivée de l’intérieur.
Le tableau des dérivées suffit-il pour tout dériver ?
Il suffit pour la grande majorité des fonctions rencontrées au lycée et en début de prépa, à condition de maîtriser les règles (composée, produit, quotient). Pour des expressions plus avancées (exponentielles de polynômes, compositions multiples, fonctions définies par morceaux…), il faut une méthode de calcul rigoureuse.
Quel lien entre dérivées et primitives (tableau dérivées et primitives) ?
Une primitive \(F\) d’une fonction \(f\) vérifie \(F’=f\). Autrement dit, le tableau des dérivées donne “en sens inverse” beaucoup de primitives usuelles. Mais attention : une primitive n’est pas unique (on ajoute une constante), et il faut gérer les domaines.
Où trouver une version PDF du tableau des dérivées ?
Tu peux la télécharger ici : tableau des dérivées usuelles (PDF).
Pour aller plus loin
- Dérivées : cours complet — définition, interprétation, liens avec tangente et variations.
- Calcul de dérivées : méthode pas à pas — savoir dériver proprement en DS.
- Exercices corrigés sur les dérivées (PDF) — pour t’entraîner immédiatement.
- Exercices sur les dérivées (corrigés) — page HTML.
- Fonctions en maths : cours et méthode d’étude — indispensable pour l’étude de fonctions avec la dérivée.
Objectif concret. Si tu vises une vraie maîtrise (lycée/CPGE), ton standard doit être : reconnaître la forme en 3 secondes, écrire la dérivée sans hésitation, puis simplifier proprement.
Besoin d’aide pour maîtriser les dérivées (lycée ou prépa) ?
Chez Excellence Maths, on travaille la dérivation comme un outil de performance : automatismes, rigueur de rédaction, vitesse en DS, et capacité à enchaîner vers l’étude de fonctions (variations, optimisation, tangentes).
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