Le taux de variation permet de mesurer l’évolution d’une grandeur entre une valeur de départ et une valeur d’arrivée, et de l’interpréter clairement en pourcentage. Sur cette page, tu vas retenir la formule du taux de variation, savoir quand multiplier par 100, et éviter les erreurs qui font perdre des points.
Attention : ici on parle de la variation relative (en %). Pour le taux de variation d’une fonction entre a et b (type \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)) : voir la page dédiée.
Tu veux le cours complet ? Va sur la page pilier : taux de variation (définition, méthode, exemples).
Tu veux la méthode pas à pas ? Voir : calcul du taux de variation.
Tu veux vérifier un résultat ? Voir : calculatrice du taux de variation.
Tu veux t’entraîner ? Voir : exercices corrigés sur le taux de variation.
Accès rapide :
- La formule du taux de variation
- Variation absolue vs variation relative
- Interpréter le résultat (signe, %)
- Exemples rapides
- Pièges classiques
- Lien SES : coefficient multiplicateur, points de %
- Cas d’une fonction (teaser)
- FAQ
La formule du taux de variation (à connaître)
Définition (à retenir). Le taux de variation entre une valeur initiale \(V_i\) et une valeur finale \(V_f\) est la variation relative :
\(t=\frac{V_f-V_i}{V_i}\) (avec \(V_i \neq 0\)).
Cette formule mesure l’évolution en proportion : on compare l’écart \(V_f-V_i\) à la valeur de départ \(V_i\). C’est pour cela qu’on divise par \(V_i\) (et non par \(V_f\)).
Les notations propres : \(V_i\) et \(V_f\)
- \(V_i\) : valeur initiale (valeur de départ).
- \(V_f\) : valeur finale (valeur d’arrivée).
- \(t\) : taux de variation (souvent un nombre décimal).
Écriture équivalente (très utile en SES)
On rencontre aussi une écriture équivalente, pratique quand on manipule des rapports :
\(t=\frac{V_f}{V_i}-1\)
| Écriture | Formule | Quand c’est utile |
|---|---|---|
| Variation relative (forme “différence”) | \(\frac{V_f-V_i}{V_i}\) | La plus directe pour comprendre : “écart / départ”. |
| Forme “rapport − 1” | \(\frac{V_f}{V_i}-1\) | Très fréquente en SES (lien avec coefficient multiplicateur). |
Taux en décimal ou en pourcentage : quand apparaît le « ×100 » ?
La formule donne naturellement un taux en décimal \(t\). Pour l’exprimer en pourcentage, on convertit :
\(t_{\%}=100t\)
Piège classique. Ne mélange pas “taux” et “%”.
- Si \(t=0{,}12\), alors le taux vaut 12% (et pas \(0{,}12\%\)).
- Si tu écris directement une formule “avec 100”, tu obtiens un résultat en %. Sinon, tu obtiens un décimal.
Variation absolue vs variation relative : ne pas confondre
Beaucoup d’erreurs viennent de là : on confond variation absolue et variation relative.
| Nom | Définition | Interprétation |
|---|---|---|
| Variation absolue | \(\Delta V=V_f-V_i\) | “Combien j’ai gagné/perdu” (en euros, points, kg…). |
| Variation relative (taux de variation) | \(t=\frac{V_f-V_i}{V_i}\) | “De combien ça a changé en proportion du départ”. |
Mémo express. La variation relative compare l’écart au départ : “différence / valeur initiale”.
Une relation très utile (notamment en SES) est :
\(V_f=V_i(1+t)\)
Elle dit : “valeur finale = valeur initiale × (1 + taux)”, à condition que \(t\) soit un décimal.
Interpréter correctement le résultat (signe, ordre de grandeur)
Signe : hausse ou baisse
- Si \(t\) > 0, alors \(V_f\) est plus grand que \(V_i\) : augmentation.
- Si \(t\) < 0, alors \(V_f\) est plus petit que \(V_i\) : diminution.
- Si \(t=0\), alors \(V_f=V_i\) : pas de variation.
Lecture en % (sans se tromper)
Exemple de lecture : si \(t=-0{,}08\), alors le taux de variation est −8%. On formule proprement : “la grandeur a diminué de 8%”.
Astuce de vérification. Avant même de calculer précisément, compare \(V_f\) à \(V_i\) :
- si \(V_f\) est plus grand, ton résultat doit être positif ;
- si \(V_f\) est plus petit, ton résultat doit être négatif.
Exemples rapides (2 minutes, sans calculs inutiles)
Exemple 1 — augmentation. Un prix passe de \(50\) à \(62\). Calculer le taux de variation.
\(V_i=50\), \(V_f=62\).
\(t=\frac{62-50}{50}=\frac{12}{50}=0{,}24\).
Donc le prix a augmenté de 24%.
Exemple 2 — diminution. Un effectif passe de \(125\) à \(110\).
\(V_i=125\), \(V_f=110\).
\(t=\frac{110-125}{125}=\frac{-15}{125}=-0{,}12\).
Donc l’effectif a diminué de 12%.
Si tu veux une méthode détaillée (étapes, choix des valeurs, calculatrice, vérifications), va sur : calcul du taux de variation.
Les pièges classiques sur la formule (et comment les éviter)
Piège 1 — le mauvais dénominateur. Le dénominateur est toujours la valeur initiale \(V_i\).
La logique : “écart / départ”. Si tu divises par \(V_f\), tu changes la référence… et tu n’obtiens pas la variation relative standard.
Piège 2 — oublier la conversion en %. La formule donne souvent un décimal \(t\).
- Si \(t=0{,}05\), alors 5%.
- Si \(t=-0{,}2\), alors −20%.
Piège 3 — parenthèses à la calculatrice.
Tape (Vf − Vi) ÷ Vi avec des parenthèses. Sinon, tu risques de calculer \(V_f-\frac{V_i}{V_i}\) au lieu de \(\frac{V_f-V_i}{V_i}\).
Piège 4 — cas interdit : \(V_i=0\).
La formule \(\frac{V_f-V_i}{V_i}\) n’a pas de sens si \(V_i=0\) (division par zéro). Dans ce cas, il faut reformuler le problème (selon le contexte).
Piège 5 — % vs points de pourcentage (SES).
Une hausse d’un taux de chômage de 7% à 9% n’est pas “+2%” : c’est +2 points de pourcentage. Le taux de variation, lui, compare \(9\) à \(7\) : \(\frac{9-7}{7}\) (soit environ +28,6%).
Lien SES : coefficient multiplicateur & points de pourcentage (section courte)
Coefficient multiplicateur
En SES, on passe souvent par le coefficient multiplicateur :
- \(CM=\frac{V_f}{V_i}\)
- et donc \(t=CM-1\) (taux en décimal).
Lecture immédiate. Si \(CM=1{,}12\), alors le taux de variation est \(0{,}12\), soit +12%.
Cas d’une fonction : formule du taux de variation entre \(a\) et \(b\) (teaser)
En maths, le taux de variation d’une fonction \(f\) entre deux nombres \(a\) et \(b\) s’écrit :
\(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
C’est la pente de la sécante entre les points d’abscisses \(a\) et \(b\). Ce point est central en Terminale (lien avec la dérivée).
Pour un cours complet (lecture graphique, interprétation, méthodes, exercices), va sur : taux de variation d’une fonction.
Pour aller plus loin : fonctions (cours complet) • dérivées (cours complet).
FAQ — formule du taux de variation
Faut-il multiplier par 100 dans la formule ?
La formule \(\frac{V_f-V_i}{V_i}\) donne un décimal. Pour l’exprimer en %, on multiplie par 100 : \(t_{\%}=100t\). Certaines fiches écrivent directement une formule “en %” avec 100 : c’est la même idée, mais il ne faut pas mélanger les deux conventions.
Quelle est la différence entre taux de variation et variation relative ?
Dans la plupart des contextes scolaires (SES/lycée), ce sont des synonymes : la variation relative est le taux de variation \(\frac{V_f-V_i}{V_i}\). La variation absolue, elle, vaut \(V_f-V_i\).
Peut-on avoir un taux de variation supérieur à 100% ?
Oui. Par exemple, si une valeur passe de \(40\) à \(100\), alors \(\frac{100-40}{40}=1{,}5\), soit 150%. “Supérieur à 100%” signifie que la valeur a augmenté de plus d’une fois la valeur initiale.
Quel est le dénominateur : \(V_i\) ou \(V_f\) ?
C’est \(V_i\) (la valeur initiale). Le taux de variation compare l’écart à la valeur de départ : “écart / départ”. Diviser par \(V_f\) change la référence et ne correspond plus à la définition standard.
Et pour une fonction, quelle est la formule ?
Entre \(a\) et \(b\), la formule est \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\). Pour une explication complète (pente, sécante, lien avec la dérivée), consulte la page taux de variation d’une fonction.
Quelle différence entre “%” et “points de pourcentage” ?
Les points de pourcentage mesurent un écart entre deux taux (ex : 7% à 9% = +2 points). Le taux de variation compare la nouvelle valeur à l’ancienne (ici \(\frac{9-7}{7}\), soit environ +28,6%).
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