La trigonométrie est l’un des chapitres les plus riches du lycée et de la prépa : elle mêle calcul, géométrie et raisonnement. Pour la maîtriser, il faut s’entraîner — beaucoup.
Voici 20 exercices de trigonométrie classés par difficulté croissante, de la Première jusqu’aux concours (X, Mines, ENS). Chaque exercice est corrigé pas à pas. Que tu prépares un DS, le bac ou un concours de prépa, tu trouveras ici de quoi progresser.
Avant de te lancer, assure-toi de bien connaître les formules de trigonométrie. Si besoin, consulte notre cours complet de trigonométrie.
Rappel des formules essentielles de trigonométrie
Voici les formules indispensables pour aborder les exercices ci-dessous. Tu retrouveras le détail dans notre formulaire complet et notre tableau des valeurs trigonométriques.
| Angle | \(0\) | \(\displaystyle\frac{\pi}{6}\) | \(\displaystyle\frac{\pi}{4}\) | \(\displaystyle\frac{\pi}{3}\) | \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\cos\) | \(1\) | \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\displaystyle\frac{1}{2}\) | \(0\) |
| \(\sin\) | \(0\) | \(\displaystyle\frac{1}{2}\) | \(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(1\) |
| \(\tan\) | \(0\) | \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\) | \(1\) | \(\sqrt{3}\) | — |
Formules clés à connaître
- Identité fondamentale : \(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\)
- Addition : \(\cos(a+b) = \cos a \cos b – \sin a \sin b\) et \(\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b\)
- Duplication : \(\cos(2x) = 2\cos^2(x) – 1 = 1 – 2\sin^2(x)\) et \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\)
- Résolution : \(\cos(x) = a \iff x = \pm \arccos(a) + 2k\pi\) et \(\sin(x) = a \iff x = \arcsin(a) + 2k\pi\) ou \(x = \pi – \arcsin(a) + 2k\pi\)
Exercices d’application directe (★)
Ces sept premiers exercices vérifient que tu maîtrises les formules et les techniques de base. Objectif : aucune hésitation sur ces calculs.
Exercice 1 ★ — 🟢 Première — ~5 min
Calculer les valeurs exactes de \(\cos\!\left(\displaystyle\frac{5\pi}{6}\right)\), \(\sin\!\left(\displaystyle\frac{7\pi}{4}\right)\) et \(\tan\!\left(\displaystyle\frac{2\pi}{3}\right)\).
Voir la correction
Stratégie : on se ramène à un angle du premier quadrant à l’aide des angles associés.
\(\cos\!\left(\displaystyle\frac{5\pi}{6}\right) = \cos\!\left(\pi – \displaystyle\frac{\pi}{6}\right) = -\cos\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{6}\right) = -\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\sin\!\left(\displaystyle\frac{7\pi}{4}\right) = \sin\!\left(2\pi – \displaystyle\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) = -\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\tan\!\left(\displaystyle\frac{2\pi}{3}\right) = \tan\!\left(\pi – \displaystyle\frac{\pi}{3}\right) = -\tan\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}\)Exercice 2 ★ — 🟢 Première — ~3 min
Développer et simplifier \(\cos\!\left(x + \displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\).
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On applique la formule d’addition \(\cos(a+b) = \cos a\cos b – \sin a\sin b\) :
\(\cos\!\left(x + \displaystyle\frac{\pi}{4}\right) = \cos(x)\cos\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) – \sin(x)\sin\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\bigl(\cos(x) – \sin(x)\bigr)\)Exercice 3 ★ — 🟢 Première — ~5 min
Simplifier l’expression \(A = \cos^2(x) – \sin^2(x) + 2\sin(x)\cos(x)\).
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On reconnaît les formules de duplication :
- \(\cos^2(x) – \sin^2(x) = \cos(2x)\)
- \(2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x)\)
Donc : \(A = \cos(2x) + \sin(2x)\).
Exercice 4 ★ — 🟢 Première — ~5 min
Résoudre \(\cos(x) = \displaystyle\frac{1}{2}\) sur \([0\,;2\pi]\).
Voir la correction
On cherche les angles du cercle trigonométrique dont le cosinus vaut \(\displaystyle\frac{1}{2}\).
\(\cos(x) = \displaystyle\frac{1}{2} \iff x = \displaystyle\frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad\text{ou}\quad x = -\displaystyle\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\)Sur \([0\,;2\pi]\) : \(x = \displaystyle\frac{\pi}{3}\) ou \(x = \displaystyle\frac{5\pi}{3}\).
Ensemble des solutions : \(S = \left\{\displaystyle\frac{\pi}{3}\,;\;\displaystyle\frac{5\pi}{3}\right\}\).
Exercice 5 ★ — 🟢 Première — ~5 min
Montrer que pour tout réel \(x\) : \(\cos\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{3} + x\right) + \cos\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{3} – x\right) = \cos(x)\).
Voir la correction
On développe chaque cosinus avec la formule d’addition :
\(\cos\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{3} + x\right) = \displaystyle\frac{1}{2}\cos(x) – \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(x)\) \(\cos\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{3} – x\right) = \displaystyle\frac{1}{2}\cos(x) + \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(x)\)En additionnant, les termes en \(\sin(x)\) s’annulent :
\(\displaystyle\frac{1}{2}\cos(x) + \displaystyle\frac{1}{2}\cos(x) = \cos(x) \quad\text{✓}\)Exercice 6 ★ — 🟡 Terminale — ~5 min
Résoudre \(\sin(2x) = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\) sur \([0\,;2\pi]\).
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On pose \(X = 2x\). On résout \(\sin(X) = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\), soit :
\(X = \displaystyle\frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad\text{ou}\quad X = \pi – \displaystyle\frac{\pi}{4} + 2k\pi = \displaystyle\frac{3\pi}{4} + 2k\pi\)En revenant à \(x = \displaystyle\frac{X}{2}\) :
\(x = \displaystyle\frac{\pi}{8} + k\pi \quad\text{ou}\quad x = \displaystyle\frac{3\pi}{8} + k\pi\)Sur \([0\,;2\pi]\) : \(S = \left\{\displaystyle\frac{\pi}{8}\,;\;\displaystyle\frac{3\pi}{8}\,;\;\displaystyle\frac{9\pi}{8}\,;\;\displaystyle\frac{11\pi}{8}\right\}\).
Exercice 7 ★ — 🟡 Terminale — ~3 min
Linéariser \(\cos^2(x)\), c’est-à-dire l’exprimer sans puissance.
Voir la correction
On part de la formule de duplication : \(\cos(2x) = 2\cos^2(x) – 1\).
On isole \(\cos^2(x)\) :
\(\cos^2(x) = \displaystyle\frac{1 + \cos(2x)}{2}\)Cette formule est fondamentale : elle sert à linéariser et à calculer des primitives de \(\cos^2\).
Exercices d’approfondissement (★★)
La difficulté monte : équations à résoudre sur \(\mathbb{R}\), démonstrations d’identités, inéquations sur le cercle trigonométrique et études de fonctions.
Exercice 8 ★★ — 🟡 Terminale — ~8 min
Résoudre sur \(\mathbb{R}\) l’équation \(2\cos^2(x) – 3\cos(x) + 1 = 0\).
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Stratégie : on pose \(t = \cos(x)\) pour se ramener à une équation du second degré.
\(2t^2 – 3t + 1 = 0\)\(\Delta = 9 – 8 = 1\), donc \(t_1 = \displaystyle\frac{3 + 1}{4} = 1\) et \(t_2 = \displaystyle\frac{3 – 1}{4} = \displaystyle\frac{1}{2}\).
On revient à \(x\) :
- \(\cos(x) = 1 \Rightarrow x = 2k\pi\)
- \(\cos(x) = \displaystyle\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm\displaystyle\frac{\pi}{3} + 2k\pi\)
Ensemble des solutions : \(S = \left\{2k\pi\,;\;\displaystyle\frac{\pi}{3} + 2k\pi\,;\;-\displaystyle\frac{\pi}{3} + 2k\pi,\;\; k \in \mathbb{Z}\right\}\)
Exercice 9 ★★ — 🟡 Terminale — ~10 min
Démontrer que pour tout réel \(x\) : \(\cos(3x) = 4\cos^3(x) – 3\cos(x)\).
Voir la correction
On écrit \(\cos(3x) = \cos(2x + x)\) et on applique la formule d’addition :
\(\cos(3x) = \cos(2x)\cos(x) – \sin(2x)\sin(x)\)On remplace les formules de duplication :
\(= \bigl(2\cos^2(x) – 1\bigr)\cos(x) – 2\sin(x)\cos(x) \cdot \sin(x)\) \(= 2\cos^3(x) – \cos(x) – 2\sin^2(x)\cos(x)\)Or \(\sin^2(x) = 1 – \cos^2(x)\), donc :
\(= 2\cos^3(x) – \cos(x) – 2\bigl(1 – \cos^2(x)\bigr)\cos(x)\) \(= 2\cos^3(x) – \cos(x) – 2\cos(x) + 2\cos^3(x)\) \(= 4\cos^3(x) – 3\cos(x) \quad\text{✓}\)Retiens cette formule : elle réapparaît dans l’exercice 20 (polynômes de Tchebychev).
Exercice 10 ★★ — 🟡 Terminale — ~8 min
Résoudre l’inéquation \(\sin(x) \geq \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\) sur \([0\,;2\pi]\).
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Stratégie : on raisonne sur le cercle trigonométrique. On cherche les angles dont le sinus est supérieur ou égal à \(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\).
\(\sin(x) = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\) pour \(x = \displaystyle\frac{\pi}{4}\) et \(x = \displaystyle\frac{3\pi}{4}\).
Sur le cercle, \(\sin(x) \geq \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\) entre ces deux valeurs :
Ensemble des solutions : \(S = \left[\displaystyle\frac{\pi}{4}\,;\;\displaystyle\frac{3\pi}{4}\right]\).
Exercice 11 ★★ — 🟢 Première — ~8 min
Dans un triangle \(ABC\), on donne \(AB = 5\) cm, \(AC = 7\) cm et \(\widehat{BAC} = \displaystyle\frac{\pi}{3}\). Calculer la longueur \(BC\).
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On applique le théorème d’Al-Kashi (loi des cosinus) :
\(BC^2 = AB^2 + AC^2 – 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\widehat{BAC})\) \(BC^2 = 25 + 49 – 2 \times 5 \times 7 \times \cos\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) = 74 – 70 \times \displaystyle\frac{1}{2} = 74 – 35 = 39\)Conclusion : \(BC = \sqrt{39} \approx 6{,}24\) cm.
Exercice 12 ★★ — 🟡 Terminale — ~15 min
Étudier les variations de la fonction trigonométrique \(f(x) = \cos(2x) + 2\sin(x)\) sur \([0\,;2\pi]\).
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Étape 1 — Dérivée.
\(f^\prime(x) = -2\sin(2x) + 2\cos(x) = -4\sin(x)\cos(x) + 2\cos(x) = 2\cos(x)\bigl(1 – 2\sin(x)\bigr)\)Étape 2 — Recherche des zéros de \(f^\prime\).
\(f^\prime(x) = 0 \iff \cos(x) = 0 \;\text{ ou }\; \sin(x) = \displaystyle\frac{1}{2}\)Sur \([0\,;2\pi]\) : \(x \in \left\{\displaystyle\frac{\pi}{6}\,;\;\displaystyle\frac{\pi}{2}\,;\;\displaystyle\frac{5\pi}{6}\,;\;\displaystyle\frac{3\pi}{2}\right\}\).
Étape 3 — Tableau de signes et variations.
| \(x\) | \(0\) | \(\displaystyle\frac{\pi}{6}\) | \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) | \(\displaystyle\frac{5\pi}{6}\) | \(\displaystyle\frac{3\pi}{2}\) | \(2\pi\) | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f^\prime(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(–\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(–\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(f(x)\) | \(1\) | \(\nearrow\) | \(\displaystyle\frac{3}{2}\) | \(\searrow\) | \(1\) | \(\nearrow\) | \(\displaystyle\frac{3}{2}\) | \(\searrow\) | \(-3\) | \(\nearrow\) | \(1\) |
Maximum : \(\displaystyle\frac{3}{2}\) atteint en \(x = \displaystyle\frac{\pi}{6}\) et \(x = \displaystyle\frac{5\pi}{6}\). Minimum : \(-3\) atteint en \(x = \displaystyle\frac{3\pi}{2}\).
Exercice 13 ★★ — 🟡 Terminale — ~8 min
Résoudre sur \([0\,;2\pi]\) : \(\sin(2x) + \sin(x) = 0\).
Voir la correction
On utilise \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\) pour factoriser :
\(2\sin(x)\cos(x) + \sin(x) = 0 \iff \sin(x)\bigl(2\cos(x) + 1\bigr) = 0\)- \(\sin(x) = 0 \Rightarrow x \in \{0\,;\;\pi\,;\;2\pi\}\)
- \(\cos(x) = -\displaystyle\frac{1}{2} \Rightarrow x \in \left\{\displaystyle\frac{2\pi}{3}\,;\;\displaystyle\frac{4\pi}{3}\right\}\)
Solutions : \(S = \left\{0\,;\;\displaystyle\frac{2\pi}{3}\,;\;\pi\,;\;\displaystyle\frac{4\pi}{3}\,;\;2\pi\right\}\).
Exercice 14 ★★ — 🟡 Terminale — ~10 min
Montrer que pour tout réel \(x\) : \(\bigl(\sin(x) + \cos(x)\bigr)^2 = 1 + \sin(2x)\). En déduire les valeurs maximale et minimale de \(\sin(x) + \cos(x)\).
Voir la correction
Partie 1 — Identité.
\(\bigl(\sin(x) + \cos(x)\bigr)^2 = \sin^2(x) + 2\sin(x)\cos(x) + \cos^2(x) = 1 + \sin(2x) \quad\text{✓}\)Partie 2 — Extrema.
Puisque \(-1 \leq \sin(2x) \leq 1\), on a \(0 \leq 1 + \sin(2x) \leq 2\), donc :
\(0 \leq \bigl(\sin(x) + \cos(x)\bigr)^2 \leq 2\)En prenant la racine : \(-\sqrt{2} \leq \sin(x) + \cos(x) \leq \sqrt{2}\).
Le maximum \(\sqrt{2}\) est atteint quand \(\sin(2x) = 1\), soit \(x = \displaystyle\frac{\pi}{4} + k\pi\).
Le minimum \(-\sqrt{2}\) est atteint quand \(\sin(2x) = -1\), soit \(x = -\displaystyle\frac{\pi}{4} + k\pi\).
Exercices de synthèse — Type bac et concours (★★★)
Ici, on passe aux problèmes longs : type bac pour la Terminale, puis exercices de prépa et de concours. Les corrections incluent les attendus de rédaction.
Exercice 15 ★★★ — 🟡 Type bac — ~15 min
Soit \(f(x) = \sin(x) + \sqrt{3}\,\cos(x)\).
- Écrire \(f(x)\) sous la forme \(R\sin(x + \varphi)\) avec \(R\) > \(0\) et \(\varphi \in [0\,;2\pi[\).
- En déduire l’ensemble des solutions de \(f(x) = \sqrt{2}\) sur \([0\,;2\pi]\).
Voir la correction
a) Mise sous forme harmonique.
On écrit \(f(x) = R\bigl(\sin(x)\cos(\varphi) + \cos(x)\sin(\varphi)\bigr) = R\sin(x + \varphi)\).
Par identification : \(R\cos(\varphi) = 1\) et \(R\sin(\varphi) = \sqrt{3}\).
Donc \(R^2 = 1 + 3 = 4\), soit \(R = 2\), et \(\tan(\varphi) = \sqrt{3}\), soit \(\varphi = \displaystyle\frac{\pi}{3}\).
\(\fbox{f(x) = 2\sin\!\left(x + \displaystyle\frac{\pi}{3}\right)}\)b) Résolution de \(f(x) = \sqrt{2}\).
\(2\sin\!\left(x + \displaystyle\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{2} \iff \sin\!\left(x + \displaystyle\frac{\pi}{3}\right) = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(x + \displaystyle\frac{\pi}{3} = \displaystyle\frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad\text{ou}\quad x + \displaystyle\frac{\pi}{3} = \displaystyle\frac{3\pi}{4} + 2k\pi\) \(x = \displaystyle\frac{\pi}{4} – \displaystyle\frac{\pi}{3} + 2k\pi = -\displaystyle\frac{\pi}{12} + 2k\pi \quad\text{ou}\quad x = \displaystyle\frac{3\pi}{4} – \displaystyle\frac{\pi}{3} + 2k\pi = \displaystyle\frac{5\pi}{12} + 2k\pi\)Sur \([0\,;2\pi]\) : \(S = \left\{\displaystyle\frac{5\pi}{12}\,;\;\displaystyle\frac{23\pi}{12}\right\}\).
Exercice 16 ★★★ — 🟡 Type bac — ~15 min
Résoudre sur \(\mathbb{R}\) : \(\cos(x) + \cos(2x) + \cos(3x) = 0\).
Voir la correction
Stratégie : on regroupe les termes extrêmes à l’aide de la formule de factorisation.
\(\cos(x) + \cos(3x) = 2\cos(2x)\cos(x)\)(formule \(\cos p + \cos q = 2\cos\!\left(\displaystyle\frac{p+q}{2}\right)\cos\!\left(\displaystyle\frac{p-q}{2}\right)\))
L’équation devient :
\(2\cos(2x)\cos(x) + \cos(2x) = 0 \iff \cos(2x)\bigl(2\cos(x) + 1\bigr) = 0\)- \(\cos(2x) = 0 \Rightarrow 2x = \displaystyle\frac{\pi}{2} + k\pi \Rightarrow x = \displaystyle\frac{\pi}{4} + k\displaystyle\frac{\pi}{2}\)
- \(\cos(x) = -\displaystyle\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm\displaystyle\frac{2\pi}{3} + 2k\pi\)
Solutions : \(S = \left\{\displaystyle\frac{\pi}{4} + \displaystyle\frac{k\pi}{2},\; k \in \mathbb{Z}\right\} \cup \left\{\pm\displaystyle\frac{2\pi}{3} + 2k\pi,\; k \in \mathbb{Z}\right\}\).
Exercice 17 ★★★ — 🔴 Prépa — ~12 min
Calculer, pour tout entier \(n \geq 1\) et tout \(\theta \in \mathbb{R} \setminus 2\pi\mathbb{Z}\), la somme :
\(S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \cos(k\theta)\)Voir la correction
Méthode : on passe par les exponentielles complexes.
\(S_n = \mathrm{Re}\!\left(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} e^{ik\theta}\right)\)La somme géométrique de raison \(e^{i\theta} \neq 1\) donne :
\(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} e^{ik\theta} = \displaystyle\frac{1 – e^{i(n+1)\theta}}{1 – e^{i\theta}}\)On factorise numérateur et dénominateur par les demi-angles :
\(= \displaystyle\frac{e^{i(n+1)\theta/2}\bigl(e^{-i(n+1)\theta/2} – e^{i(n+1)\theta/2}\bigr)}{e^{i\theta/2}\bigl(e^{-i\theta/2} – e^{i\theta/2}\bigr)} = e^{in\theta/2} \cdot \displaystyle\frac{\sin\!\left(\displaystyle\frac{(n+1)\theta}{2}\right)}{\sin\!\left(\displaystyle\frac{\theta}{2}\right)}\)En prenant la partie réelle :
\(\fbox{S_n = \displaystyle\frac{\sin\!\left(\displaystyle\frac{(n+1)\theta}{2}\right)\cos\!\left(\displaystyle\frac{n\theta}{2}\right)}{\sin\!\left(\displaystyle\frac{\theta}{2}\right)}}\)Exercice 18 ★★★ — 🔴 Prépa — ~15 min
En utilisant la formule de Moivre, exprimer \(\cos(4x)\) uniquement en fonction de \(\cos(x)\).
Voir la correction
La formule de Moivre donne :
\(\bigl(\cos(x) + i\sin(x)\bigr)^4 = \cos(4x) + i\sin(4x)\)On développe le membre de gauche en posant \(c = \cos(x)\) et \(s = \sin(x)\) :
\((c + is)^4 = c^4 + 4c^3(is) + 6c^2(is)^2 + 4c(is)^3 + (is)^4\) \(= c^4 – 6c^2 s^2 + s^4 + i\bigl(4c^3 s – 4c s^3\bigr)\)La partie réelle donne \(\cos(4x) = c^4 – 6c^2 s^2 + s^4\).
On remplace \(s^2 = 1 – c^2\) :
\(= c^4 – 6c^2(1 – c^2) + (1 – c^2)^2 = c^4 – 6c^2 + 6c^4 + 1 – 2c^2 + c^4\) \(\fbox{\cos(4x) = 8\cos^4(x) – 8\cos^2(x) + 1}\)Vérification : pour \(x = 0\), \(8 – 8 + 1 = 1 = \cos(0)\). Pour \(x = \displaystyle\frac{\pi}{4}\), \(8 \times \displaystyle\frac{1}{4} – 8 \times \displaystyle\frac{1}{2} + 1 = 2 – 4 + 1 = -1 = \cos(\pi)\). ✓
Exercice 19 ★★★ — 🏆 Concours — ~25 min
Intégrales de Wallis. Soit \(I_n = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos^n(x)\,dx\) pour \(n \in \mathbb{N}\).
- Calculer \(I_0\), \(I_1\), \(I_2\) et \(I_3\).
- À l’aide d’une intégration par parties, montrer que pour tout \(n \geq 2\) : \(I_n = \displaystyle\frac{n-1}{n}\,I_{n-2}\).
Voir la correction
a) Calcul direct.
- \(I_0 = \displaystyle\int_0^{\pi/2} 1\,dx = \displaystyle\frac{\pi}{2}\)
- \(I_1 = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos(x)\,dx = \bigl[\sin(x)\bigr]_0^{\pi/2} = 1\)
- \(I_2 = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos^2(x)\,dx = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \displaystyle\frac{1 + \cos(2x)}{2}\,dx = \displaystyle\frac{\pi}{4}\)
- \(I_3 = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos^3(x)\,dx = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos(x)\bigl(1 – \sin^2(x)\bigr)\,dx = \left[\sin(x) – \displaystyle\frac{\sin^3(x)}{3}\right]_0^{\pi/2} = \displaystyle\frac{2}{3}\)
b) Relation de récurrence par IPP.
On pose \(u = \cos^{n-1}(x)\) et \(v^\prime = \cos(x)\), donc \(u^\prime = -(n-1)\cos^{n-2}(x)\sin(x)\) et \(v = \sin(x)\).
\(I_n = \bigl[\cos^{n-1}(x)\sin(x)\bigr]_0^{\pi/2} + (n-1)\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos^{n-2}(x)\sin^2(x)\,dx\)Le crochet vaut \(0\). En remplaçant \(\sin^2(x) = 1 – \cos^2(x)\) :
\(I_n = (n-1)(I_{n-2} – I_n)\) \(I_n + (n-1)I_n = (n-1)I_{n-2}\) \(\fbox{I_n = \displaystyle\frac{n-1}{n}\,I_{n-2}}\)Vérification : \(I_2 = \displaystyle\frac{1}{2}\,I_0 = \displaystyle\frac{\pi}{4}\) ✓ et \(I_3 = \displaystyle\frac{2}{3}\,I_1 = \displaystyle\frac{2}{3}\) ✓.
Exercice 20 ★★★ — 🏆 Concours — ~25 min
Polynômes de Tchebychev. Pour \(x \in [-1\,;1]\) et \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(T_n(x) = \cos\bigl(n\,\arccos(x)\bigr)\).
- Calculer \(T_0(x)\), \(T_1(x)\), \(T_2(x)\) et \(T_3(x)\).
- Montrer que \(T_{n+1}(x) = 2x\,T_n(x) – T_{n-1}(x)\).
- En déduire que \(T_n\) est un polynôme de degré \(n\).
Voir la correction
On pose \(\theta = \arccos(x)\), de sorte que \(x = \cos(\theta)\) et \(T_n(x) = \cos(n\theta)\).
a) Premiers polynômes.
- \(T_0(x) = \cos(0) = 1\)
- \(T_1(x) = \cos(\theta) = x\)
- \(T_2(x) = \cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) – 1 = 2x^2 – 1\)
- \(T_3(x) = \cos(3\theta) = 4\cos^3(\theta) – 3\cos(\theta) = 4x^3 – 3x\)
(On retrouve la formule de l’exercice 9 !)
b) Relation de récurrence.
On utilise la formule de factorisation :
\(\cos\bigl((n+1)\theta\bigr) + \cos\bigl((n-1)\theta\bigr) = 2\cos(\theta)\cos(n\theta)\)Soit : \(T_{n+1}(x) + T_{n-1}(x) = 2x\,T_n(x)\), d’où :
\(\fbox{T_{n+1}(x) = 2x\,T_n(x) – T_{n-1}(x)}\)c) \(T_n\) est un polynôme de degré \(n\).
Par récurrence : \(T_0 = 1\) (degré 0) et \(T_1 = x\) (degré 1) sont des polynômes.
Si \(T_{n-1}\) et \(T_n\) sont des polynômes de degrés \(n-1\) et \(n\), alors \(T_{n+1} = 2x\,T_n – T_{n-1}\) est un polynôme de degré \(n+1\) (le coefficient dominant de \(2x \cdot T_n\) n’est pas annulé par \(T_{n-1}\) qui est de degré inférieur).
Par récurrence, \(T_n\) est un polynôme de degré \(n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). ∎
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Erreurs fréquentes et pièges en trigonométrie
Voici les erreurs que l’on retrouve le plus souvent dans les copies — et comment les éviter.
Piège 1 — Confondre degrés et radians
❌ « cos(60) = −0,952… » (la calculatrice est en mode radians !)
✅ \(\cos(60°) = \cos\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) = \displaystyle\frac{1}{2}\)
En maths, les angles sont toujours en radians sauf mention contraire. Vérifie le mode de ta calculatrice avant chaque calcul.
Piège 2 — Oublier la deuxième famille de solutions
❌ « \(\cos(x) = \displaystyle\frac{1}{2}\) donc \(x = \displaystyle\frac{\pi}{3} + 2k\pi\) » → une seule famille !
✅ \(\cos(x) = \displaystyle\frac{1}{2} \Rightarrow x = \displaystyle\frac{\pi}{3} + 2k\pi\) ou \(x = -\displaystyle\frac{\pi}{3} + 2k\pi\)
L’équation \(\cos(x) = a\) a toujours deux familles de solutions (sauf si \(a = \pm 1\)).
Piège 3 — Appliquer une fausse « linéarité » à cos et sin
❌ « \(\cos(a + b) = \cos(a) + \cos(b)\) »
✅ \(\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) – \sin(a)\sin(b)\)
Les fonctions trigonométriques ne sont pas linéaires. C’est l’erreur la plus fréquente en DS de Première.
Piège 4 — Confondre cos²(x) et cos(x²)
❌ « \(\cos^2\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) = \cos\!\left(\displaystyle\frac{\pi^2}{16}\right)\) »
✅ \(\cos^2\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) = \left(\cos\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\right)^2 = \left(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \displaystyle\frac{1}{2}\)
\(\cos^2(x)\) signifie « le carré de cos(x) », pas « le cosinus de \(x^2\) ».
Questions fréquentes
Comment résoudre une équation trigonométrique ?
La méthode dépend de la forme de l’équation :
- Forme directe (cos(x) = a ou sin(x) = a) : on applique les formules de résolution.
- Forme factorisable (sin(2x) + sin(x) = 0) : on factorise puis on résout chaque facteur.
- Forme quadratique (2cos²(x) – 3cos(x) + 1 = 0) : on pose t = cos(x) et on résout l’équation du second degré.
- Somme a·cos(x) + b·sin(x) : on la met sous forme harmonique R·sin(x + φ).
Tu trouveras la méthode détaillée sur notre page équations trigonométriques.
Quelles formules de trigonométrie faut-il connaître par cœur au lycée ?
Les formules indispensables sont : l’identité fondamentale cos²(x) + sin²(x) = 1, les formules d’addition de cos(a+b) et sin(a+b), les formules de duplication cos(2x) et sin(2x), et les valeurs remarquables (0, π/6, π/4, π/3, π/2). En Terminale, ajoute les formules de linéarisation et de factorisation. Retrouve-les toutes sur notre formulaire complet.
Quelle est la différence entre les exercices de trigo au lycée et en prépa ?
Au lycée, les exercices portent sur les formules d’addition, les équations et les études de fonctions trigonométriques. En prépa, on utilise en plus les exponentielles complexes, la formule de Moivre, les sommes de séries trigonométriques et le calcul intégral (Wallis). Le niveau de rédaction attendu est aussi plus exigeant : chaque affirmation doit être justifiée rigoureusement.
Comment simplifier une expression trigonométrique ?
Trois réflexes : (1) Reconnaître les identités fondamentales (cos² + sin² = 1, formules de duplication). (2) Factoriser en mettant en facteur sin(x) ou cos(x). (3) Utiliser les formules de factorisation cos(p) + cos(q) ou de linéarisation cos²(x), sin²(x). L’exercice 3 de cette page est un bon point de départ.
Pour aller plus loin
Tu as terminé ces 20 exercices ? Voici les prochaines étapes pour consolider tes acquis :
- 📖 Cours complet de trigonométrie — pour revoir la théorie si besoin
- 📐 Le cercle trigonométrique — construction, lecture des valeurs, radians vs degrés
- 📝 Formulaire complet des formules trigonométriques — addition, duplication, linéarisation, angles associés
- 📈 Fonctions trigonométriques : sinus, cosinus, tangente — courbes, dérivées, études de fonctions
- 🔢 Équations trigonométriques : méthodes de résolution — pour approfondir les exercices 8, 13 et 16
- ✏️ Exercices de trigonométrie 3ème (Brevet) — si tu cherches des exercices sur le triangle rectangle
- 🔗 Sinus et cosinus hyperboliques — prolongement CPGE des fonctions circulaires
