Le taux de variation d’une fonction (souvent recherché “taux de variation fonction”) mesure la variation moyenne de \(f(x)\) quand \(x\) passe de \(a\) à \(b\). C’est le point de départ naturel pour comprendre la pente d’une courbe… puis la dérivée.
Dans cette page, tu vas apprendre à : calculer un taux de variation d’une fonction sur \([a,b]\), l’interpréter (pente de la sécante), et éviter les erreurs classiques. Pour le cours complet “général” sur le taux de variation (tous contextes), tu peux aussi lire taux de variation : cours complet.
Pages à consulter du même chapitre
- Formule pure et équivalences : Formule du taux de variation
- Calculs détaillés (dont pourcentages) : Calcul du taux de variation
- Vérifier un résultat rapidement : Calculatrice / calculateur
- S’entraîner : Exercices corrigés
Définition : le taux de variation sur un intervalle
Soit \(f\) une fonction, et deux réels \(a\) et \(b\) avec \(a \neq b\). Le taux de variation de \(f\) entre \(a\) et \(b\) est le nombre qui mesure “combien \(f(x)\) change en moyenne quand \(x\) passe de \(a\) à \(b\)”.
Définition
Le taux de variation de \(f\) entre \(a\) et \(b\) est :
\(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\).
On parle aussi de taux moyen de variation sur l’intervalle \([a,b]\).
À retenir : on compare deux valeurs de la fonction (au numérateur) et deux abscisses (au dénominateur). C’est exactement le schéma mental “variation de \(y\) / variation de \(x\)”.
Formule et notations utiles (sans se disperser)
La forme la plus fréquente en Terminale est \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\). On rencontre aussi la forme avec \(a+h\), très utile pour faire le lien avec la dérivée.
Deux écritures à connaître
- Entre \(a\) et \(b\) : \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
- Entre \(a\) et \(a+h\) (avec \(h \neq 0\)) : \(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)
On peut aussi voir la notation \(\frac{\Delta f}{\Delta x}\) : \(\Delta f\) représente la variation de la fonction (différence des images), et \(\Delta x\) la variation de l’abscisse.
Besoin de la “page formule” (équivalences, vocabulaire, raccourcis) ?
Pour une version purement “formules + interprétation” (sans méthode complète), va sur Formule du taux de variation.
Interprétation graphique : pente de la sécante
Graphiquement, le taux de variation de \(f\) entre \(a\) et \(b\) est le coefficient directeur de la droite qui relie les points \(A(a,f(a))\) et \(B(b,f(b))\) de la courbe. Cette droite s’appelle une sécante.
Interprétation
Le taux de variation entre \(a\) et \(b\) est la pente de la sécante : \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\).
Le signe donne une information simple :
- si le taux de variation est positif, alors la sécante “monte” de gauche à droite ;
- s’il est négatif, elle “descend” ;
- s’il est nul, elle est horizontale (même valeur de la fonction aux deux points).
Méthode : calculer selon ce que l’on te donne
En exercice, on te donne rarement “tout” sous la même forme. L’objectif est donc d’avoir une méthode unique, puis de l’adapter selon que la fonction est donnée par une expression, un tableau ou un graphique.
Checklist (fiable et rapide)
- Identifier les deux abscisses : \(a\) et \(b\) (avec \(a \neq b\)).
- Calculer/recueillir \(f(a)\) et \(f(b)\).
- Appliquer la formule : \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\).
- Interpréter le résultat (signe, unité “par unité de \(x\)”, sens).
1) Si la fonction est donnée par une expression
C’est le cas le plus direct : tu calcules \(f(a)\) et \(f(b)\) en remplaçant \(x\) par \(a\) puis par \(b\), puis tu appliques la formule.
2) Si la fonction est donnée par un tableau
Ici, tu lis \(f(a)\) et \(f(b)\) dans le tableau. Attention : il faut bien repérer les colonnes correspondant à \(a\) et \(b\).
3) Si la fonction est donnée par un graphique
L’idée est la même : lire deux points \(A(a,f(a))\) et \(B(b,f(b))\). Ensuite, tu calcules la pente \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\).
Piège fréquent
Sur un graphique, n’invente pas des valeurs approximatives si l’exercice exige un résultat exact. Choisis de préférence deux points de la courbe dont les coordonnées sont lisibles “pile” sur la grille.
4) Cas particulier utile : fonction affine
Si \(f(x)=mx+p\), alors le taux de variation entre deux points ne dépend pas de l’intervalle : il est constant et vaut \(m\). (C’est cohérent : une droite a toujours la même pente.)
Pour aller plus loin sur les calculs détaillés
Si tu veux une méthode encore plus guidée, avec des cas “pourcentages / transformations / vérifications”, lis : Calcul du taux de variation (et pour vérifier rapidement : calculatrice / calculateur).
Lien avec les variations : ce que le taux “dit” sur la croissance/décroissance
Le taux de variation sur \([a,b]\) décrit une tendance moyenne : est-ce que globalement la fonction a augmenté ou diminué entre \(a\) et \(b\) ?
- Si \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) est positif, alors \(f(b)\) est plus grand que \(f(a)\) lorsque \(b\) est plus grand que \(a\).
- Si le taux est négatif, c’est l’inverse.
Attention : “taux positif” ne signifie pas forcément “fonction croissante” partout
Le taux de variation entre deux points peut être positif même si la fonction monte puis redescend entre temps. Pour étudier la croissance/décroissance “sur tout un intervalle”, on utilise plutôt les outils du chapitre fonctions (tableau de variations, étude de fonction…).
Pont vers la dérivée (niveau +, sans doublon)
Le taux de variation entre \(a\) et \(a+h\) s’écrit \(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\). Quand \(h\) devient très petit, la sécante “se rapproche” de la tangente au point d’abscisse \(a\).
Idée clé
La dérivée (ou nombre dérivé) au point \(a\) se comprend comme la limite du taux de variation quand \(h \to 0\). On passe ainsi de la pente moyenne (sécante) à la pente instantanée (tangente).
Si tu veux maîtriser la dérivation (méthodes, calculs, règles), tu peux poursuivre ici : cours sur les dérivées et, pour t’entraîner au calcul, calcul de dérivées.
Exemples guidés (2–3) pour valider la méthode
Les exemples ci-dessous sont volontairement guidés. Pour une vraie série d’entraînement progressive, va sur exercices corrigés sur le taux de variation.
Exemple 1 — Fonction donnée par une expression
Soit \(f(x)=x^2-3x+1\). Calculer le taux de variation de \(f\) entre \(1\) et \(4\).
Solution rédigée
On calcule d’abord les images : \(f(1)=1^2-3\times 1+1=-1\) et \(f(4)=4^2-3\times 4+1=5\).
Le taux de variation entre \(1\) et \(4\) vaut alors : \(\frac{f(4)-f(1)}{4-1}=\frac{5-(-1)}{3}=\frac{6}{3}=2\).
Interprétation : entre \(x=1\) et \(x=4\), la fonction augmente en moyenne de \(2\) unités de \(f(x)\) quand \(x\) augmente de 1.
Exemple 2 — Fonction donnée par un tableau
On considère la fonction \(f\) définie par le tableau suivant. Calculer le taux de variation entre \(2\) et \(6\).
| Abscisse \(x\) | \(2\) | \(6\) |
|---|---|---|
| Valeur \(f(x)\) | \(-1\) | \(7\) |
Solution rédigée
D’après le tableau, \(f(2)=-1\) et \(f(6)=7\). Le taux de variation entre \(2\) et \(6\) vaut : \(\frac{f(6)-f(2)}{6-2}=\frac{7-(-1)}{4}=\frac{8}{4}=2\).
Exemple 3 — Cas particulier : fonction affine
Soit \(f(x)=3x-5\). Le taux de variation entre n’importe quels \(a\) et \(b\) (avec \(a \neq b\)) vaut \(3\), car la pente de la droite est constante.
Erreurs classiques (ce qui fait perdre des points)
1) Inverser l’ordre de soustraction
Si tu changes \(f(b)-f(a)\) en \(f(a)-f(b)\), tu changes le signe du résultat. Même chose si tu changes \(b-a\) en \(a-b\). Il faut rester cohérent : même ordre en haut et en bas.
2) Confondre “variation” et “taux de variation”
La variation entre \(a\) et \(b\), c’est \(f(b)-f(a)\). Le taux de variation, c’est \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) (on divise par la variation de \(x\)).
3) Mauvaise lecture d’un graphique
Lire \(f(a)\) au mauvais endroit, choisir un point “à peu près” sur la courbe, ou confondre l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées : ce sont les erreurs les plus fréquentes. Si possible, prends des points dont les coordonnées sont clairement lisibles sur la grille.
Astuce de correction
Après ton calcul, demande-toi : “Est-ce que mon signe est logique ?” (si \(f(b)\) est plus grand que \(f(a)\) et \(b\) plus grand que \(a\), le taux devrait être positif). Un rapide contrôle évite beaucoup de points perdus.
FAQ — taux de variation d’une fonction
Quelle différence entre taux de variation et dérivée ?
Le taux de variation entre \(a\) et \(b\) est une pente moyenne (sécante). La dérivée en \(a\) correspond à une pente instantanée (tangente), comprise comme la limite du taux quand \(h \to 0\). Pour la partie dérivées : voir le cours.
Peut-on calculer un taux de variation à partir d’un graphique ?
Oui. Il faut lire deux points \(A(a,f(a))\) et \(B(b,f(b))\) sur la courbe, puis calculer \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\). Choisis des points aux coordonnées lisibles (sinon, tu obtiens une approximation).
Pourquoi parle-t-on de “taux moyen” de variation ?
Parce qu’entre \(a\) et \(b\), la fonction peut varier de façon non uniforme. Le taux de variation résume cette évolution par une seule pente : celle de la sécante reliant les deux points.
Que signifie un taux de variation négatif ?
Sur \([a,b]\) avec \(b\) plus grand que \(a\), un taux négatif signifie que \(f(b)\) est plus petit que \(f(a)\). Graphiquement, la sécante descend de gauche à droite.
Où trouver plus d’exercices corrigés ?
Tu peux t’entraîner avec une progression et des corrections détaillées ici : exercices corrigés sur le taux de variation.
Pour consolider : si tu veux remettre tout le chapitre en perspective (définition générale, liens, méthodes), reviens à Taux de variation : cours complet et au besoin au chapitre Fonctions
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