Le taux de variation d’une fonction mesure la variation moyenne de \(f(x)\) quand \(x\) passe de \(a\) à \(b\). C’est le point de départ naturel pour comprendre la pente d’une courbe… puis la dérivée.
Dans cette page : formule, deux méthodes de calcul (par l’expression et par lecture graphique), exemples corrigés, et le lien avec le nombre dérivé.
Attention : cette page traite du taux de variation d’une fonction (formule \(\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\), une pente). Si tu cherches un taux de variation en pourcentage (valeur initiale → valeur finale), consulte le cours complet taux de variation.
Pages du chapitre :
- 📘 Taux de variation — cours complet (définition, exemples, méthodes)
- 📌 Formule du taux de variation — notations, coefficient multiplicateur, pièges
- 🧠 Calcul du taux de variation — méthode pas à pas (pourcentages)
- 🧮 Calculatrice de taux de variation — résultat en ligne
- ✅ Exercices de taux de variation corrigés — entraînement + PDF
Définition et formule du taux de variation d’une fonction
Soit \(f\) une fonction, et deux réels \(a\) et \(b\) avec \(a \neq b\).
Définition
Le taux de variation de \(f\) entre \(a\) et \(b\) est :
\(\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
On parle aussi de taux moyen de variation sur l’intervalle \([a\,;\,b]\).
Le numérateur \(f(b)-f(a)\) mesure la variation de la fonction (combien \(f\) a changé). Le dénominateur \(b-a\) mesure la variation de l’abscisse. Le rapport donne donc un « changement moyen par unité de \(x\) ».
Deux écritures à connaître
- Entre \(a\) et \(b\) : \(\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
- Entre \(a\) et \(a+h\) (avec \(h \neq 0\)) : \(\displaystyle\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)
La notation \(\displaystyle\frac{\Delta f}{\Delta x}\) est équivalente : \(\Delta f = f(b)-f(a)\), \(\Delta x = b-a\).
Interprétation du signe
- Taux positif → \(f\) augmente en moyenne sur \([a\,;\,b]\).
- Taux négatif → \(f\) diminue en moyenne.
- Taux nul → \(f(a) = f(b)\) (même valeur aux deux bornes).
Attention : un taux positif sur \([a\,;\,b]\) ne signifie pas que \(f\) est croissante partout sur cet intervalle. La fonction peut monter puis redescendre. Le taux de variation mesure une tendance globale, pas le comportement local. Pour étudier la croissance/décroissance sur tout un intervalle, on utilise le tableau de variations.
Comment calculer le taux de variation d’une fonction sur un intervalle ? (2 méthodes)
En exercice, la fonction est donnée soit par une expression (ou un tableau de valeurs), soit par un graphique. La méthode change légèrement selon le cas.
Méthode 1 — Par la formule (expression ou tableau)
Checklist en 4 étapes :
- Identifier \(a\) et \(b\) (les deux abscisses, avec \(a \neq b\)).
- Calculer \(f(a)\) et \(f(b)\) : remplacer \(x\) dans l’expression, ou lire dans le tableau.
- Appliquer la formule : \(\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\).
- Interpréter : signe (hausse/baisse en moyenne) et ordre de grandeur.
Si la fonction est donnée par un tableau, tu lis directement \(f(a)\) et \(f(b)\) dans les colonnes correspondantes. Le reste est identique.
Méthode 2 — Par lecture graphique (pente de la sécante)
Graphiquement, le taux de variation de \(f\) entre \(a\) et \(b\) est le coefficient directeur de la droite passant par \(A(a,\,f(a))\) et \(B(b,\,f(b))\). Cette droite s’appelle la sécante à la courbe.
En pratique (lecture du graphique ci-dessus)
On lit \(A(1\,;\,2)\) et \(B(5\,;\,10)\) sur la courbe de \(f(x) = x^2 – 4x + 5\).
\(\displaystyle\frac{f(5)-f(1)}{5-1} = \displaystyle\frac{10-2}{4} = \displaystyle\frac{8}{4} = 2\).
Interprétation : entre \(x=1\) et \(x=5\), la fonction augmente en moyenne de \(2\) unités quand \(x\) augmente de 1. La sécante a un coefficient directeur de \(2\).
Piège fréquent : sur un graphique, ne choisis pas de valeurs approximatives si l’exercice exige un résultat exact. Prends des points dont les coordonnées tombent pile sur la grille.
Cas particulier : fonction affine
Si \(f(x) = mx + p\), le taux de variation entre n’importe quels \(a\) et \(b\) vaut toujours \(m\) : la pente d’une droite est constante. C’est un bon test de vérification.
Exemples corrigés
Trois cas représentatifs. Pour une série d’entraînement complète : exercices corrigés sur le taux de variation.
Exemple 1 — Fonction donnée par une expression (fonction carrée)
Énoncé. Soit \(f(x) = x^2 – 3x + 1\). Calculer le taux de variation de \(f\) entre \(1\) et \(4\).
Solution.
\(f(1) = 1 – 3 + 1 = -1\) et \(f(4) = 16 – 12 + 1 = 5\).
\(\displaystyle\frac{f(4)-f(1)}{4-1} = \displaystyle\frac{5-(-1)}{3} = \displaystyle\frac{6}{3} = 2\).
Interprétation : entre \(x=1\) et \(x=4\), la fonction augmente en moyenne de \(2\) unités quand \(x\) augmente de 1.
Exemple 2 — Fonction donnée par un tableau
Énoncé. D’après le tableau, calculer le taux de variation de \(f\) entre \(2\) et \(6\).
| \(x\) | \(2\) | \(6\) |
|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(-1\) | \(7\) |
Solution.
\(f(2) = -1\) et \(f(6) = 7\).
\(\displaystyle\frac{f(6)-f(2)}{6-2} = \displaystyle\frac{7-(-1)}{4} = \displaystyle\frac{8}{4} = 2\).
Interprétation : la sécante entre ces deux points a un coefficient directeur de \(2\).
Exemple 3 — Fonction affine (vérification rapide)
Énoncé. Soit \(f(x) = 3x – 5\). Calculer le taux de variation entre \(1\) et \(10\).
Solution.
\(f(1) = -2\) et \(f(10) = 25\).
\(\displaystyle\frac{25-(-2)}{10-1} = \displaystyle\frac{27}{9} = 3\).
Vérification : pour une fonction affine \(f(x) = mx + p\), le taux de variation vaut toujours \(m = 3\), quel que soit l’intervalle.
Taux de variation moyen et taux de variation instantané (lien avec la dérivée)
Le taux de variation tel qu’on l’a défini est un taux de variation moyen : il résume l’évolution de \(f\) sur tout un intervalle \([a\,;\,b]\) par un seul nombre — la pente de la sécante.
Mais que se passe-t-il quand on « resserre » l’intervalle, c’est-à-dire quand \(b\) se rapproche de \(a\) ?
Du taux de variation au nombre dérivé
On écrit \(b = a + h\) avec \(h \neq 0\). Le taux de variation devient \(\displaystyle\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\). Quand \(h\) tend vers \(0\), la sécante « pivote » et se rapproche de la tangente à la courbe au point d’abscisse \(a\). La limite — quand elle existe — est le nombre dérivé de \(f\) en \(a\) :
Idée clé
\(f^\prime(a) = \lim_{h \to 0} \displaystyle\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)
Le taux de variation moyen (sécante) devient le taux de variation instantané (tangente) = la dérivée.
| Taux de variation moyen | Taux de variation instantané (dérivée) | |
|---|---|---|
| Formule | \(\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) | \(\lim_{h \to 0} \displaystyle\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) |
| Graphique | Pente de la sécante | Pente de la tangente |
| Ce qu’il mesure | Variation globale sur \([a\,;\,b]\) | Variation locale en \(a\) |
Pour maîtriser la dérivation (règles de calcul, exercices corrigés) : cours sur les dérivées. Et pour le calcul concret : calcul de dérivées.
Les erreurs classiques (ce qui fait perdre des points)
1) Inverser l’ordre de soustraction
Si tu écris \(f(a)-f(b)\) au lieu de \(f(b)-f(a)\), tu changes le signe. Règle : même ordre en haut et en bas. Si c’est \(f(b)-f(a)\) au numérateur, c’est \(b-a\) au dénominateur.
2) Confondre variation et taux de variation
\(f(b)-f(a)\) est la variation (un écart brut). \(\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) est le taux de variation (un écart rapporté à l’intervalle). Oublier de diviser par \(b-a\) est l’erreur la plus fréquente.
3) Mauvaise lecture graphique
Lire \(f(a)\) au mauvais endroit, confondre l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées, ou choisir un point « à peu près ». Prends toujours des points dont les coordonnées tombent sur la grille.
Contrôle rapide : après ton calcul, vérifie le signe. Si \(f(b)\) > \(f(a)\) et \(b\) > \(a\), le taux doit être positif. Sinon, il y a une erreur.
FAQ — Taux de variation d’une fonction
C'est quoi le taux de variation d'une fonction ?
C’est le nombre \(\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) qui mesure la variation moyenne de \(f(x)\) quand \(x\) passe de \(a\) à \(b\). Graphiquement, c’est la pente de la droite (sécante) reliant les deux points de la courbe.
Comment calculer le taux de variation d'une fonction sur un intervalle ?
Identifie \(a\) et \(b\), calcule \(f(a)\) et \(f(b)\) (par l’expression, le tableau ou le graphique), puis applique \(\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\). Interprète le signe : positif = hausse moyenne, négatif = baisse moyenne.
Quelle différence entre taux de variation et dérivée ?
Le taux de variation entre \(a\) et \(b\) est une pente moyenne (sécante). La dérivée en \(a\) est une pente instantanée (tangente) : c’est la limite du taux quand \(b\) se rapproche de \(a\). Cours complet : les dérivées.
Peut-on calculer un taux de variation à partir d'un graphique ?
Oui. Repère deux points \(A(a,\,f(a))\) et \(B(b,\,f(b))\) sur la courbe (coordonnées lisibles sur la grille), puis calcule \(\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\). C’est le coefficient directeur de la sécante \((AB)\).
Pourquoi parle-t-on de taux moyen de variation ?
Parce que la fonction peut varier de façon non uniforme entre \(a\) et \(b\) (monter puis redescendre, par exemple). Le taux de variation résume cette évolution par un seul nombre : la pente de la sécante.
Que signifie un taux de variation négatif ?
Si \(b\) > \(a\), un taux négatif signifie \(f(b)\) < \(f(a)\) : la fonction a globalement diminué sur \([a\,;\,b]\). La sécante descend de gauche à droite.
Où trouver des exercices corrigés ?
Entraîne-toi ici : exercices corrigés sur le taux de variation (niveau Seconde → Terminale, avec corrections détaillées).
Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant le taux de variation d'une fonction. Pour approfondir :
- Taux de variation — cours complet avec pourcentages et SES
- Exercices corrigés sur le taux de variation — Seconde à Terminale
- Les dérivées — du taux de variation au nombre dérivé
- Tableau de variation d'une fonction
