La notion de fonction traverse tout le cursus (collège → CPGE) : lecture de repères, étude d’évolutions, optimisation, modélisation en sciences. Une fois le réflexe acquis, beaucoup d’exercices deviennent plus lisibles.
Objectif de cette page : poser les bases (vocabulaire + notations), donner une méthode fiable pour les DS / Bac / concours, et proposer quelques exemples concrets.
Qu’est-ce qu’une fonction en maths ?
Définition intuitive : une fonction comme “machine à nombres”
Intuitivement, une fonction est une “machine” : à chaque nombre\(x\), elle associe un unique résultat noté \(f(x)\).
Exemple : “multiplier par 3 puis ajouter 2” revient à poser \(f(x)=3x+2\).
Exemple :
On considère l’application définie par \(f(x)=3x+2\).
- Pour \(x=1\), \(f(1)=3\times 1 + 2 = 5\).
- Pour \(x=-2\), \(f(-2)=3\times(-2)+2=-4\).
À un même nombre de départ correspond un seul résultat.
Définition rigoureuse : ensemble de définition, image, antécédent
Plus rigoureusement, c’est une règle qui associe à chaque élément d’un ensemble de départ un unique élément d’un ensemble d’arrivée.
- Ensemble de définition : valeurs autorisées pour \(x\).
- Image de \(x\) : le nombre \(f(x)\).
- Antécédent de \(y\) : tout \(x\) tel que \(f(x)=y\).
Piège classique :
- “Image de \(x\)” → calculer \(f(x)\).
- “Antécédents de \(y\)” → résoudre \(f(x)=y\).
Notations en mathématiques : f, f(x), flèche x ↦ f(x)
Deux écritures équivalentes :
- Formule : “Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=3x+2\).”
- Flèche : “\(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(x\mapsto 3x+2\).”
Exemple — Retrouver des antécédents
Soit \(f(x)=x^2-4\).
On cherche les antécédents de 5 :
\(x^2-4=5\) donc \(x^2=9\), d’où \(x=-3\) ou \(x=3\).
Exemples concrets au collège et au lycée
- Prix selon une quantité (modèle affine).
- Surface d’un carré selon son côté (carré).
- Distance selon le temps (modèle linéaire/affine).
Exemple (niveau Seconde) :
Un taxi facture un forfait de \(5\) euros plus \(2\) euros par kilomètre.
Si \(x\) est la distance (km), le prix \(P(x)\) est : \(P(x)=2x+5\).
Par exemple, pour 10 km : \(P(10)=25\).
Représenter une fonction : tableaux, graphiques, courbes
Savoir interpréter une représentation, c’est gagner du temps en contrôle : lire une valeur, retrouver un antécédent, résoudre graphiquement une égalité ou une inégalité.
Tableau de valeurs : lire et construire une table
On choisit quelques valeurs de \(x\), on calcule \(f(x)\), puis on place les couples dans un tableau.
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| -1 | \(2\times(-1)-1=-3\) |
| 0 | \(2\times 0 – 1 = -1\) |
| 1 | \(2\times 1 – 1 = 1\) |
| 2 | \(2\times 2 – 1 = 3\) |
Astuce — Bien choisir les abscisses
- Prends des valeurs régulières (au moins 5).
- Ajoute une valeur près d’un changement de signe (autour de \(f(x)=0\)).
Courbe dans un repère
La courbe associée à \(f\) est l’ensemble des points \((x\,;\,f(x))\) lorsque \(x\) parcourt l’ensemble de définition.
- Placer quelques points issus du tableau.
- Relier de manière régulière (sans segments cassés) en respectant la tendance globale.
Lire un graphe : image, antécédent, intersections
- Image : partir de \(x\) sur l’axe horizontal, rejoindre la courbe, puis lire l’ordonnée.
- Antécédent : partir de \(y\) sur l’axe vertical, rejoindre la courbe, puis lire l’abscisse.
Piège — Lecture vs valeur exacte
Un dessin donne une approximation. On note donc \(\approx\) (et non “=”).
Résoudre graphiquement une égalité ou une inégalité
- \(f(x)=0\) : abscisses des intersections avec l’axe horizontal.
- \(f(x)=k\) : intersections avec la droite d’ordonnée \(k\).
- Inégalité : zones où la courbe est au-dessus / au-dessous d’un niveau donné.
Exemple — Avec \(f(x)=x^3-x\)
1) Résoudre \(f(x)=2\) : on trace \(y=2\) et on lit une unique intersection, vers \(x\approx 1{,}5\).
2) Résoudre \(f(x)>-1\) : on trace \(y=-1\) et on observe que la courbe passe au-dessus à partir d’environ \(x\approx -1{,}3\). On obtient donc (graphiquement) : x > -1,3.
Astuce DS :
Avant de calculer, fais un croquis rapide : tu anticipes le nombre de solutions et leur zone.
Les principales familles de fonctions en mathématiques
Au lycée et en CPGE, on retrouve quelques grandes familles. Les reconnaître rapidement (forme + allure) fait gagner beaucoup de temps en exercice.
| Famille | Expression type | Domaine de définition | Allure de la courbe | Niveau d’introduction |
|---|---|---|---|---|
| Affine / linéaire | \(ax + b\) | \(\mathbb{R}\) | Droite (pente \(a\)) | 3ème |
| Carré | \(x^2\) | \(\mathbb{R}\) | Parabole (sommet à l’origine) | Seconde |
| Racine carrée | \(\sqrt{x}\) | \([0 \,;\, +\infty[\) | Demi-parabole couchée | Seconde |
| Inverse | \(\frac{1}{x}\) | \(\mathbb{R}^*\) | Hyperbole (deux branches, asymptotes) | Seconde |
| Polynôme 2nd degré | \(ax^2 + bx + c\) | \(\mathbb{R}\) | Parabole (sommet, axe de symétrie) | Première |
| Exponentielle | \(e^x\) | \(\mathbb{R}\) | Croissance rapide, toujours positive | Première |
| Logarithme népérien | \(\ln(x)\) | \(]0 \,;\, +\infty[\) | Croissance lente, asymptote verticale | Terminale |
| Trigonométriques | \(\sin(x),\, \cos(x),\, \tan(x)\) | Selon la fonction | Courbes périodiques | Première / Terminale |
Fonctions affines et linéaires
Une affine s’écrit \(ax+b\). Le paramètre \(a\) fixe la pente, et \(b\) la valeur à l’origine. Si \(b=0\), on parle de modèle linéaire \(ax\).
Pour le chapitre complet, voir : Fonctions affines et linéaires : cours complet.
Fonctions polynômes du second degré
On étudie \(ax^2+bx+c\) avec \(a\neq 0\). Le tracé est une parabole (sommet, axe de symétrie, signe…). Pour approfondir : Fonctions polynômes du second degré : cours complet.
Fonctions usuelles simples : carré, racine, inverse, rationnelles
- Carré : \(x^2\).
- Racine : \(\sqrt{x}\), définie pour \(x\) ≥ 0.
- Inverse : \(\frac{1}{x}\), définie pour \(x\) non nul.
- Rationnelle simple : \(\frac{ax+b}{cx+d}\).
Exemple — Ensemble de définition
Soit \(f(x)=\frac{x+1}{x^2-4}\).
Le dénominateur ne doit pas s’annuler : \(x^2-4=(x-2)(x+2)\), donc x ≠ 2 et x ≠ -2.
Fonction exponentielle et fonction logarithme népérien
- Exponentielle : \(e^x\) (croissance/décroissance rapide).
- Logarithme : \(\ln(x)\) (défini pour \(x\) > 0).
Pour les méthodes : Fonction exponentielle : cours complet et Fonction logarithme népérien : cours complet.
Piège :
Ne pas confondre croissance exponentielle (\(e^x\)) et croissance polynomiale (\(x^n\)).
Fonctions trigonométriques : sinus, cosinus, tangente
Sinus et cosinus décrivent des phénomènes périodiques ; la tangente intervient dans de nombreuses résolutions. Pour un zoom complet : Fonctions trigonométriques : sinus, cosinus, tangente.
Exemple — Valeurs repères
Pour \(\sin(x)\) : \(\sin(0)=0\), \(\sin(\frac{\pi}{2})=1\), \(\sin(\pi)=0\), \(\sin(\frac{3\pi}{2})=-1\).
Méthode d’étude d’une fonction (DS, Bac, concours)
Checklist d’étude de fonction : les étapes incontournables
Une trame simple (à adapter selon le niveau) :
Checklist (version courte)
- Ensemble de définition (valeurs autorisées).
- Symétries éventuelles (paire / impaire).
- Dérivée et signe de la dérivée.
- Tableau de variations + croquis.
- Si nécessaire : limites et convexité.
Étudier une fonction au lycée : sans et avec dérivée
Sans dérivée (Seconde) : tableau de valeurs, lecture sur dessin, résolutions graphiques simples.
Avec dérivée (Première / Terminale) :
- Calculer \(f'(x)\).
- Résoudre \(f'(x)=0\).
- Étudier le signe de \(f'(x)\) et en déduire la monotonie.
Attention :
\(f'(a)=0\) ne suffit pas : il faut vérifier le changement de signe de la dérivée autour de \(a\).
Étudier une fonction en prépa scientifique
- Limites plus fines (équivalents, comparaisons de croissance).
- Convexité via \(f »\) quand c’est pertinent.
- Rédaction courte et justifiée (chaîne logique).
En prépa :
On note autant la justification que le résultat final. Ne saute pas les étapes (domaine, signes, monotonie).
Erreurs classiques à éviter (ensemble de définition, signe, lecture…)
À éviter
- Oublier une restriction de domaine (inverse, racine, log…).
- Résoudre \(f'(x)=0\) trop vite (solution oubliée).
- Confondre ce que dit \(f’\) (monotonie) et ce que dit \(f\) (signe).
- Prendre une lecture graphique pour une valeur exacte.
Exemple guidé : étude complète d’une fonction type Bac / prépa
Modèle : \(f(x)=x^3-3x\) sur \(\mathbb{R}\).
1) Domaine
Polynôme → défini sur \(\mathbb{R}\).
2) Dérivée
\(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\).
3) Signe de la dérivée
- \(f'(x)>0\) pour x < -1 et pour x > 1.
- \(f'(x)<0\) pour -1 < x < 1.
4) Valeurs aux points critiques
- \(f(-1)=2\)
- \(f(1)=-2\)
5) Tableau de variations et courbe
6) Zéros et signe
\(f(x)=x(x^2-3)\) donc \(f(x)=0\) pour \(x=0\), \(x=\sqrt{3}\) et \(x=-\sqrt{3}\).
- Positive pour x < -√3 et pour 0 < x < √3.
- Négative pour -√3 < x < 0 et pour x > √3.
Synthèse (copie)
On a \(f'(x)=3(x-1)(x+1)\), donc croissance sur ]−∞ ; −1] et [1 ; +∞[, décroissance sur [−1 ; 1].
Les valeurs aux points critiques sont 2 et −2. Les zéros sont \(-\sqrt{3}\), 0, \(\sqrt{3}\).
Ce qu’il faut maîtriser sur les fonctions selon ton niveau
Les exigences changent nettement entre la 3e, le lycée et la CPGE. Voici, niveau par niveau, les points à valider pour être serein en cours, en DS et en devoir maison.
En 3e : comprendre l’idée entrée → sortie et lire un repère
- reconnaître une situation simple à modéliser (prix selon la quantité, distance selon le temps) ;
- construire et exploiter une table de valeurs ;
- sur un tracé, lire une valeur associée à une abscisse (\(f(a)\)) et retrouver un antécédent ;
- repérer un point haut / point bas et décrire une tendance globale ;
- résoudre graphiquement une égalité du type \(f(x)=k\).
Pour être à l’aise en 3e
Si tu sais lire un point dans les deux sens (abscisse → ordonnée, puis ordonnée → abscisse),
tu as déjà une base solide pour la suite.
Pour t’entraîner : Exercices sur les fonctions (3e à Terminale) (partie exercice maths fonction 3e).
Pour un accompagnement : cours particuliers mathématiques collège.
En Seconde : modèle affine et premières variations
- reconnaître \(ax+b\) et interpréter \(a\) (pente) et \(b\) (valeur à l’origine) ;
- résoudre des égalités simples par calcul ;
- compléter un tableau de variations fourni et relier “pente” ↔ sens d’évolution ;
- traduire une situation en expression (prix, vitesse, température).
Erreur fréquente en Seconde
Confondre “le tracé monte” et “les valeurs sont positives”. Une relation peut augmenter tout en restant négative
sur une partie de son domaine.
Pour t’entraîner : Exercices sur les fonctions (3e à Terminale) (partie exercices maths Seconde fonctions).
Pour aller plus loin : Fonctions affines et linéaires : cours complet.
Pour un suivi : cours particuliers maths seconde.
En Première / Terminale : dérivée, monotonie, premières limites
- reconnaître les profils usuels (affine, carré, inverse, racine, exponentielle, logarithme, trigonométrie) ;
- résoudre \(f(x)=k\) sur des cas standards ;
- calculer \(f'(x)\) et en déduire les variations ;
- étudier un signe et résoudre \(f(x)\geq 0\) avec une méthode propre ;
- connaître quelques limites de base pour interpréter le comportement aux bornes (Terminale).
Exemple – Attendu en Terminale
Pour \(f(x)=x^3-3x^2+2\), il faut savoir : déterminer l’ensemble de définition, calculer \(f'(x)\),
résoudre \(f'(x)=0\), dresser un tableau de variations, puis conclure (extremums, signe si demandé).
Pour consolider : Dériver une fonction, Limites (lycée / prépa), et la page d’exercices.
Pour un suivi : cours particuliers maths terminale.
En prépa MPSI / PCSI / ECG : application entre ensembles, théorèmes et rédaction
En CPGE, on formalise l’objet comme une application entre ensembles et on exige une rédaction nette : ensemble de définition, limites, dérivées, variations, convexité, et justification des résultats utilisés.
- mener une analyse complète (domaine, limites, dérivée, signe de la dérivée, variations, convexité) ;
- maîtriser injective, surjective, bijective et les conditions d’inversibilité ;
- utiliser les théorèmes standards (valeurs intermédiaires, bijection sur un intervalle) ;
- raisonner sur une application strictement monotone pour encadrer / localiser une solution.
Exemple (culture prépa) – Un “test” de compréhension
On définit \(D\) sur \(\mathbb{R}\) par :
\(D(x)=1\) si \(x\) est rationnel, et \(D(x)=0\) sinon.
Cet exemple sert surtout d’outil de test : une définition simple ne garantit pas un comportement “dessinable”
dans l’espace du repère.
Astuce prépa – Chaîne logique courte
« Continue sur l’intervalle, strictement monotone, donc bijective ; sa réciproque existe sur l’image. »
Ici, chaque mot-clé (continuité, monotonie, théorème de bijection) doit être justifié.
Pour approfondir : Limites (lycée / prépa), Convexité, et les pages exponentielle / logarithme.
Pour viser haut : cours particuliers prépa scientifique.
Applications concrètes : à quoi servent les fonctions ?
Dès qu’une grandeur dépend d’une autre, on peut la modéliser par une fonction. Le principe est toujours le même : choisir une variable d’entrée, écrire la règle de calcul, puis analyser le comportement (croissance, extremum, limite…).
Trois exemples classiques
Physique : la position d’un objet en chute libre suit
\(x(t) = \frac{1}{2}g\,t^2\) — c’est une fonction du second degré.
Économie : un capital de 1 000 € placé à 3 % par an vaut
\(V(n) = 1000 \times (1{,}03)^n\) après \(n\) années — c’est un modèle exponentiel.
Data : on ajuste souvent un modèle affine \(ax + b\)
à un nuage de points pour dégager une tendance.
Pour aller plus loin sur chaque modèle, consultez les cours dédiés à chaque famille (affine, exponentielle, logarithme…).
Exercices sur les fonctions (3e à Terminale)
Une mini-sélection (un exercice par niveau). Pour aller plus loin, bascule ensuite vers la page dédiée.
Niveau 3e : lecture d’une table
Exercice 1 — On donne une table sur \([0;6]\).
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | \(2\) | \(3\) | \(5\) | \(6\) | \(6\) | \(5\) | \(4\) |
1) Donner \(f(2)\). 2) Donner un antécédent de \(6\).
Correction
\(f(2)=5\). Un antécédent de \(6\) est \(3\) (on a aussi \(4\)).
Niveau Seconde : modèle affine
Exercice 2 — Soit \(f(x)=-2x+5\). Calculer \(f(0)\), puis résoudre \(f(x)=1\).
Correction
\(f(0)=5\).
\(f(x)=1 \iff -2x+5=1 \iff x=2\).
Niveau Première / Terminale : dérivée et variations
Exercice 3 — Soit \(f(x)=x^2-4x+3\). Résoudre \(f(x)=0\), puis donner les variations.
Correction
\(f(x)=(x-1)(x-3)\) donc zéros : \(1\) et \(3\).
\(f'(x)=2x-4\), nul en \(2\) : décroissance puis croissance.
Niveau prépa : point non défini et variations
Exercice 4 — Étudier \(f(x)=x+\frac{1}{x}\) sur \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) : limites en 0, puis variations.
Correction
Quand x → 0+, \(f(x)\to +\infty\) ; quand x → 0−, \(f(x)\to -\infty\).
\(f'(x)=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}\) : signe selon \(x^2-1\) (zéros en \(\pm 1\)).
Sur ]0;+∞[, minimum en \(1\) : \(f(1)=2\).
🔗 Pour un entraînement complet : Exercices sur les fonctions (3e à Terminale) + pages dédiées (affines, exponentielle, trigonométrie).
Questions fréquentes sur les fonctions
C'est quoi une fonction en maths ?
Une fonction associe à chaque valeur d’entrée (appelée variable) un unique résultat en sortie.
Par exemple, la règle « multiplier par 3 puis ajouter 2 » définit la fonction
\(f(x) = 3x + 2\). On parle d’image pour le résultat
et d’antécédent pour la valeur de départ.
Quelle est la différence entre image et antécédent d'une fonction ?
L’image de \(x\) par \(f\), c’est le nombre
\(f(x)\) : on part de \(x\) et on calcule.
L’antécédent de \(y\), c’est tout \(x\) tel que
\(f(x) = y\) : on connaît le résultat et on cherche le point de départ.
Un nombre peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.
Comment trouver l'ensemble de définition d'une fonction ?
Le domaine de définition rassemble toutes les valeurs de \(x\) pour lesquelles
l’expression a un sens. Il faut exclure les valeurs interdites : dénominateur nul,
racine d’un nombre négatif, logarithme d’un nombre négatif ou nul.
Par exemple, \(f(x) = \frac{1}{x-3}\) est définie sur
\(\mathbb{R} \setminus \{3\}\).
Quels sont les principaux types de fonctions ?
Les grandes familles sont : affine (\(ax+b\)),
polynôme du second degré (\(ax^2+bx+c\)),
inverse (\(\frac{1}{x}\)),
racine carrée (\(\sqrt{x}\)),
exponentielle (\(e^x\)),
logarithme népérien (\(\ln(x)\))
et trigonométriques (sinus, cosinus, tangente).
Chacune a une courbe représentative et des propriétés caractéristiques.
Comment lire l'image ou l'antécédent sur un graphique ?
Pour lire l’image : on part de la valeur sur l’axe des abscisses, on monte (ou descend)
jusqu’à la courbe représentative, puis on lit l’ordonnée correspondante.
Pour l’antécédent : on part de la valeur sur l’axe des ordonnées, on trace une horizontale
et on repère les abscisses des points d’intersection. Dans un repère orthonormé,
la précision dépend de l’échelle du graphique.
Comment étudier une fonction étape par étape ?
La méthode classique suit cet ordre : (1) déterminer le domaine de définition,
(2) calculer la dérivée pour trouver le sens de variation,
(3) repérer les extremums (maximum, minimum) et les valeurs critiques,
(4) dresser le tableau de variation,
(5) tracer la courbe et vérifier la cohérence avec les résultats.
Qu'est-ce qu'une fonction affine ?
Une fonction affine s’écrit \(f(x) = ax + b\).
Le coefficient \(a\) est la pente (il fixe le sens de variation)
et \(b\) est l’ordonnée à l’origine.
Si \(b = 0\), on parle de fonction linéaire.
C’est la première famille étudiée au collège, dès la 3ème.
C'est quoi une fonction paire ou impaire ?
Une fonction est paire si \(f(-x) = f(x)\) pour tout
\(x\) de son domaine : sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Elle est impaire si \(f(-x) = -f(x)\) : sa courbe est symétrique
par rapport à l’origine. La fonction carré est paire ; la fonction cube est impaire.
Comment déterminer le sens de variation d'une fonction ?
On calcule la dérivée \(f'(x)\), puis on étudie son signe.
Là où \(f'(x)\) est strictement positive, la fonction est croissante ;
là où elle est strictement négative, la fonction est décroissante.
Les changements de signe correspondent aux extremums.
On résume le tout dans un tableau de variation.
À quoi servent les fonctions dans la vie réelle ?
Elles permettent de modéliser toute relation entre deux grandeurs : prix selon une quantité,
position d’un objet selon le temps, croissance d’un capital avec des intérêts composés,
décroissance radioactive, ou encore ajustement de données par régression.
En résumé, dès qu’une grandeur dépend d’une autre, on utilise une fonction pour la décrire.
