Intégrales Généralisées : Cours, Critères et Exercices Corrigés

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En classe préparatoire, tu seras confronté à des intégrales dont l’intervalle d’intégration n’est plus un segment borné, ou dont l’intégrande explose au voisinage d’une borne. Les intégrales généralisées (aussi appelées intégrales impropres) sont le cadre rigoureux qui donne un sens à ces situations. Elles interviennent dans le calcul de la transformée de Laplace, de l’intégrale de Gauss, des séries de Fourier, et apparaissent dans la quasi-totalité des épreuves de concours (X, Mines-Ponts, Centrale). Maîtriser leurs critères de convergence, c’est s’assurer des points certains le jour J.

Tu trouveras ici la définition formelle, les critères de comparaison et d’Abel, les intégrales classiques (Riemann, Bertrand, Dirichlet, Fresnel), une méthode systématique en 5 étapes, 8 exercices corrigés progressifs et les pièges les plus fréquents en rédaction de concours.

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I. Définition d’une intégrale généralisée

Dans le cours de l’intégrale de Riemann, l’intégrale \(\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt\) est définie pour \(f\) continue par morceaux sur un segment \([a,b]\). Deux situations échappent à ce cadre : lorsqu’une borne est infinie, ou lorsque la fonction n’est pas bornée au voisinage d’une borne. C’est précisément l’objet des intégrales généralisées : étendre la notion d’intégrale au-delà du cadre des segments.

A. Intégrale impropre en borne supérieure infinie

Concrètement, l’idée est simple : on intègre sur \([a, x]\), puis on regarde ce qui se passe quand \(x\) grandit sans borne. Si la « quantité d’aire » se stabilise, l’intégrale converge. Si elle explose ou oscille, l’intégrale diverge.

On définit de manière analogue l’intégrale en borne inférieure infinie :

\(\displaystyle\int_{-\infty}^b f(t)\,dt = \lim_{x \to -\infty} \int_x^b f(t)\,dt\)

B. Intégrale impropre en un point singulier

L’autre situation classique survient quand la fonction n’est pas définie (ou n’est pas bornée) en une borne de l’intervalle.

C. Intégrales doublement impropres

Quand les deux bornes posent problème — par exemple \(\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\,dt\) (prolongement par continuité en \(0\) mais borne \(+\infty\)) ou \(\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{dt}{\sqrt{t}(1+t)}\) (singularité en \(0\) et borne \(+\infty\)) — on coupe l’intervalle en un point intermédiaire \(c\).

D. Propriétés élémentaires des intégrales convergentes

Les intégrales généralisées convergentes héritent de plusieurs propriétés des intégrales sur un segment. Ces propriétés sont utilisées en permanence, souvent implicitement.

Cette propriété est fondamentale : c’est elle qui permet de ramener l’étude d’une intégrale impropre à une autre plus simple. Tu la verras en action dans la preuve des intégrales de Bertrand (section V), avec le changement \(u = \ln t\).

Maintenant que tu sais identifier et définir une intégrale généralisée, il te faut des intégrales de référence dont la nature est connue, pour pouvoir y comparer les autres. C’est le rôle des intégrales de Riemann.

II. Intégrales de Riemann — Les références incontournables

Les intégrales de Riemann jouent, pour les intégrales généralisées, le même rôle que les séries géométriques pour les séries numériques : ce sont les étalons auxquels on compare tout le reste. Tu dois connaître ces résultats instantanément, sans hésitation.

A. Intégrales de Riemann en \(+\infty\)

Démonstration ⋆ (exigible).

Cas \(\alpha \neq 1\) : une primitive de \(t^{-\alpha}\) est \(\frac{t^{1-\alpha}}{1-\alpha}\). On calcule :

\(\displaystyle\int_1^x \frac{dt}{t^\alpha} = \frac{x^{1-\alpha} – 1}{1 – \alpha}\)

• Si \(\alpha\) > \(1\) : l’exposant \(1 – \alpha\) est strictement négatif, donc \(x^{1-\alpha} \to 0\) quand \(x \to +\infty\). L’intégrale converge vers \(\frac{1}{\alpha – 1}\).
• Si \(\alpha\) < \(1\) : l’exposant \(1 – \alpha\) est strictement positif, donc \(x^{1-\alpha} \to +\infty\). L’intégrale diverge.

Cas \(\alpha = 1\) : \(\displaystyle\int_1^x \frac{dt}{t} = \ln(x) \xrightarrow[x \to +\infty]{} +\infty\). Divergence. ∎

B. Intégrales de Riemann en \(0\)

Démonstration. Analogue au cas précédent. Pour \(\alpha \neq 1\) :

\(\displaystyle\int_\varepsilon^1 \frac{dt}{t^\alpha} = \frac{1 – \varepsilon^{1-\alpha}}{1 – \alpha}\)

• Si \(\alpha\) < \(1\) : \(1 – \alpha\) > \(0\), donc \(\varepsilon^{1-\alpha} \to 0\) quand \(\varepsilon \to 0^+\). Convergence vers \(\frac{1}{1-\alpha}\).
• Si \(\alpha\) > \(1\) : \(1 – \alpha\) < \(0\), donc \(\varepsilon^{1-\alpha} \to +\infty\). Divergence.

Pour \(\alpha = 1\) : \(\displaystyle\int_\varepsilon^1 \frac{dt}{t} = -\ln(\varepsilon) \to +\infty\). Divergence. ∎

Les intégrales de Riemann fournissent l’étalon de comparaison pour les fonctions positives. Mais que faire quand la fonction change de signe ? C’est ici qu’entrent en jeu la convergence absolue et la notion de semi-convergence.

III. Convergence absolue et semi-convergence

Les critères de comparaison de la section suivante ne fonctionnent que pour les fonctions positives. Pour traiter les fonctions de signe variable, on dispose de deux outils : la convergence absolue et la règle d’Abel.

A. Intégrabilité et convergence absolue

Démonstration. On décompose \(f = f^+ – f^-\) avec \(f^+ = \max(f, 0) \geq 0\) et \(f^- = \max(-f, 0) \geq 0\). On a \(|f| = f^+ + f^-\), donc \(0 \leq f^+ \leq |f|\) et \(0 \leq f^- \leq |f|\). Si \(\int |f|\) converge, par comparaison de fonctions positives, \(\int f^+\) et \(\int f^-\) convergent. Donc \(\int f = \int f^+ – \int f^-\) converge (différence de deux intégrales convergentes). L’inégalité triangulaire résulte de \(-|f| \leq f \leq |f|\) et de la croissance de l’intégrale. ∎

B. Semi-convergence — un phénomène de compensation

L’exemple archétypique est l’intégrale de Dirichlet \(\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\,dt\) : elle converge (section V), mais \(\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{|\sin t|}{t}\,dt = +\infty\).

C. Règle d’Abel — l’outil des semi-convergentes

Pour traiter les intégrales semi-convergentes, on dispose d’un critère puissant, analogue de la règle d’Abel pour les séries.

En pratique, la règle d’Abel s’utilise surtout avec \(h(t) = \sin t\) ou \(h(t) = \cos t\) (dont les primitives sont bornées) et \(g(t)\) une fonction décroissante tendant vers \(0\).

La convergence absolue et la règle d’Abel traitent les fonctions de signe quelconque. Revenons maintenant au cas positif pour détailler les critères de comparaison — ta boîte à outils principale pour les exercices.

IV. Critères de convergence pour les fonctions positives

Dans cette section, \(f\) et \(g\) désignent des fonctions continues et positives sur \([a, b[\) (avec \(b = +\infty\) ou \(b\) point singulier). Ces critères sont les outils du quotidien en prépa : tu les utiliseras dans pratiquement chaque exercice sur les intégrales généralisées.

A. Comparaison directe (majoration)

C’est l’analogue intégral du théorème de comparaison des séries à termes positifs. La démonstration repose sur la croissance de la fonction \(x \mapsto \int_a^x f(t)\,dt\) (lorsque \(f \geq 0\)), majorée par une fonction convergente.

B. Domination et équivalent

Le critère de domination est une conséquence immédiate du critère de majoration (on applique la majoration \(f \leq Mg\) et la linéarité de l’intégrale). C’est en pratique le critère le plus utilisé, car trouver un \(O\) est souvent plus facile qu’une inégalité exacte.

L’équivalent est plus puissant que la domination : il donne l’information dans les deux sens (convergence et divergence). C’est l’outil à privilégier chaque fois que tu peux obtenir un équivalent simple.

C. Critère de Cauchy

Le critère de Cauchy est surtout utilisé pour démontrer la divergence d’intégrales impropres, ou pour prouver des résultats théoriques sur la convergence.

Autrement dit, pour \(x\) et \(y\) suffisamment proches de la borne \(b\), l’intégrale \(\int_x^y f\) est arbitrairement petite. Ce critère est l’analogue du critère de Cauchy pour les suites : la convergence est caractérisée par le fait que les « morceaux restants » deviennent négligeables.

D. Le critère de Riemann en pratique

En combinant les intégrales de Riemann avec les théorèmes d’équivalent, on obtient la recette fondamentale qui couvre 90 % des exercices.

Les critères de comparaison et le critère de Riemann permettent de traiter la majorité des exercices standard. Il reste à connaître les intégrales classiques qui apparaissent comme exemples fondamentaux — et comme sujets récurrents aux concours.

V. Les classiques de concours — Bertrand, Dirichlet, Fresnel

Ces intégrales reviennent dans quasiment tous les sujets de concours (X, Mines-Ponts, Centrale, CCINP). Connaître leur nature et savoir les démontrer est un investissement à haut rendement. Elles constituent aussi des exercices d’oral classiques.

A. Intégrales de Bertrand

Les intégrales de Bertrand affinent les intégrales de Riemann en introduisant un facteur logarithmique. Elles tranchent les cas limites quand \(\alpha = 1\).

Démonstration.

Cas \(\alpha\) > \(1\) : on a \(\frac{1}{t^\alpha (\ln t)^\beta} = o\!\left(\frac{1}{t^{\alpha^\prime}}\right)\) pour tout \(1\) < \(\alpha^\prime\) < \(\alpha\) (car \((\ln t)^\beta = o(t^{\alpha – \alpha^\prime})\)). L’intégrale de Riemann de référence converge, donc par domination, l’intégrale de Bertrand converge.

Cas \(\alpha\) < \(1\) : de même, \(\frac{1}{t^\alpha (\ln t)^\beta} \geq \frac{C}{t^{\alpha^\prime}}\) pour un \(\alpha^\prime\) < \(1\) et \(t\) assez grand. L’intégrale de Riemann de référence diverge, donc divergence.

Cas \(\alpha = 1\) : le changement de variable \(u = \ln t\) (donc \(du = \frac{dt}{t}\)) donne :

\(\displaystyle\int_2^x \frac{dt}{t(\ln t)^\beta} = \int_{\ln 2}^{\ln x} \frac{du}{u^\beta}\)

C’est une intégrale de Riemann en \(+\infty\) en la variable \(u\) : elle converge si et seulement si \(\beta\) > \(1\). ∎

On peut énoncer un résultat analogue en \(0\) : \(\displaystyle\int_0^{1/2} \frac{dt}{t^\alpha |\ln t|^\beta}\) converge si et seulement si \(\alpha\) < \(1\), ou \(\alpha = 1\) et \(\beta\) > \(1\).

B. Intégrale de Dirichlet

Convergence. L’intégrale est impropre uniquement en \(+\infty\) (pas en \(0\) : \(\frac{\sin t}{t} \to 1\) quand \(t \to 0\), donc la fonction se prolonge par continuité). On utilise une intégration par parties sur \([1, x]\) avec \(u(t) = \frac{1}{t}\) et \(v^\prime(t) = \sin t\) :

\(\displaystyle\int_1^x \frac{\sin t}{t}\,dt = \left[\frac{-\cos t}{t}\right]_1^x – \int_1^x \frac{\cos t}{t^2}\,dt\)

• Le crochet : \(\frac{-\cos x}{x} + \cos 1 \to \cos 1\) quand \(x \to +\infty\). Limite finie.
• L’intégrale restante : \(\left|\frac{\cos t}{t^2}\right| \leq \frac{1}{t^2}\), et \(\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^2}\) converge (Riemann, \(\alpha = 2\)). Donc \(\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{\cos t}{t^2}\,dt\) converge absolument.

Conclusion : \(\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\,dt\) converge. Comme \(\displaystyle\int_0^1 \frac{\sin t}{t}\,dt\) est une intégrale sur un segment (fonction continue), \(\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\,dt\) converge. ∎

Semi-convergence. On montre que \(\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{|\sin t|}{t}\,dt = +\infty\) en minorant : sur chaque intervalle \([k\pi, (k+1)\pi]\), on a \(\displaystyle\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{|\sin t|}{t}\,dt \geq \frac{1}{(k+1)\pi}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}|\sin t|\,dt = \frac{2}{(k+1)\pi}\). La série harmonique \(\displaystyle\sum \frac{2}{(k+1)\pi}\) diverge, d’où \(\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{|\sin t|}{t}\,dt = +\infty\).

Le calcul de la valeur exacte \(\frac{\pi}{2}\) nécessite des techniques plus avancées (théorème des résidus, ou passage par les intégrales de Wallis).

C. Intégrales de Fresnel

Convergence de \(\displaystyle\int_1^{+\infty} \sin(t^2)\,dt\). Le changement de variable \(u = t^2\) (donc \(du = 2t\,dt\), soit \(dt = \frac{du}{2\sqrt{u}}\)) transforme l’intégrale en :

\(\displaystyle\int_1^{+\infty} \sin(t^2)\,dt = \int_1^{+\infty} \frac{\sin u}{2\sqrt{u}}\,du\)

C’est une intégrale de la forme \(\displaystyle\int_1^{+\infty} g(u) \sin u\,du\) avec \(g(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}}\) décroissante tendant vers \(0\). Par la règle d’Abel, l’intégrale converge. ∎

La même démonstration s’applique à \(\displaystyle\int_1^{+\infty} \cos(t^2)\,dt\).

Tu connais désormais les intégrales classiques de la prépa. Voyons maintenant comment organiser tout cela en une méthode systématique, et comment rédiger proprement dans une copie de concours.

VI. Méthode pas à pas et rédaction concours

A. Étudier la convergence — méthode systématique

Voici l’algorithme à appliquer devant toute intégrale généralisée. Le suivre dans l’ordre t’évitera les oublis en DS et en concours.

B. Rédiger proprement en DS et concours

Les rapports de jury de l’X et de Centrale insistent sur la rigueur de rédaction en intégrales généralisées. Voici les attendus explicites du correcteur, point par point.

La théorie et la méthode sont en place. Passons maintenant à la pratique : voici 8 exercices de difficulté croissante pour consolider chaque point du cours.

VII. Exercices corrigés

Essaie chaque exercice avant de lire la correction. La progression va de l’application directe (★) aux classiques de concours (★★★).

Exercice 1 — ★ Application directe

Énoncé : Déterminer la nature de \(\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^3 + 1}\).

Correction

La fonction \(f : t \mapsto \frac{1}{t^3+1}\) est continue et positive sur \([1, +\infty[\). L’intégrale est impropre en \(+\infty\).

En \(+\infty\) : \(\frac{1}{t^3+1} \sim \frac{1}{t^3}\).

Or \(\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^3}\) converge (Riemann, \(\alpha = 3\) > \(1\)).

Par comparaison par équivalent de fonctions positives, \(\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^3+1}\) converge.

Exercice 2 — ★ Singularité en \(0\)

Énoncé : Nature de \(\displaystyle\int_0^{1} \frac{\ln t}{\sqrt{t}}\,dt\).

Correction

L’intégrale est impropre en \(0^+\) (car \(\frac{\ln t}{\sqrt{t}} \to -\infty\)). La fonction est négative sur \(]0,1]\), donc on étudie la convergence absolue : \(\displaystyle\int_0^1 \frac{|\ln t|}{\sqrt{t}}\,dt\).

Pour tout \(\varepsilon\) > \(0\), \(|\ln t| = o(t^{-\varepsilon})\) quand \(t \to 0^+\) (croissances comparées). Donc \(\frac{|\ln t|}{\sqrt{t}} = o\!\left(\frac{1}{t^{1/2 + \varepsilon}}\right)\).

En choisissant \(\varepsilon = \frac{1}{4}\) : \(\frac{|\ln t|}{\sqrt{t}} = o\!\left(\frac{1}{t^{3/4}}\right)\). Or \(\frac{3}{4}\) < \(1\), donc l’intégrale de Riemann en \(0\) converge.

Par domination, \(\displaystyle\int_0^1 \frac{|\ln t|}{\sqrt{t}}\,dt\) converge. Par convergence absolue, l’intégrale initiale converge.

Exercice 3 — ★★ Bertrand

Énoncé : Nature de \(\displaystyle\int_2^{+\infty} \frac{dt}{t \ln t}\) et de \(\displaystyle\int_2^{+\infty} \frac{dt}{t (\ln t)^2}\).

Correction

Ce sont des intégrales de Bertrand avec \(\alpha = 1\).

Première : \(\beta = 1\). Or il faut \(\beta\) > \(1\) pour la convergence quand \(\alpha = 1\). Donc \(\displaystyle\int_2^{+\infty} \frac{dt}{t \ln t}\) diverge.

Vérification directe : le changement \(u = \ln t\) donne \(\displaystyle\int_{\ln 2}^{+\infty} \frac{du}{u} = +\infty\).

Seconde : \(\beta = 2\) > \(1\). Donc \(\displaystyle\int_2^{+\infty} \frac{dt}{t (\ln t)^2}\) converge.

Vérification : \(\displaystyle\int_{\ln 2}^{+\infty} \frac{du}{u^2} = \frac{1}{\ln 2}\).

Exercice 4 — ★★ Double impropriété

Énoncé : Nature de \(\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{dt}{\sqrt{t}(1+t)}\).

Correction

La fonction est continue et positive sur \(]0, +\infty[\). L’intégrale est impropre en \(0^+\) et en \(+\infty\). On coupe en \(1\).

En \(0^+\) : \(\frac{1}{\sqrt{t}(1+t)} \sim \frac{1}{\sqrt{t}} = \frac{1}{t^{1/2}}\). Exposant \(\frac{1}{2}\) < \(1\) : converge.

En \(+\infty\) : \(\frac{1}{\sqrt{t}(1+t)} \sim \frac{1}{t^{3/2}}\). Exposant \(\frac{3}{2}\) > \(1\) : converge.

Les deux morceaux convergent. L’intégrale converge.

(On peut calculer la valeur exacte par le changement \(u = \sqrt{t}\) : \(\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{dt}{\sqrt{t}(1+t)} = 2\int_0^{+\infty} \frac{du}{1+u^2} = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi\).)

Exercice 5 — ★★ Semi-convergence (IPP)

Énoncé : Montrer que \(\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\,dt\) converge.

Correction

La fonction \(\frac{\sin t}{t}\) change de signe. Les critères de comparaison pour fonctions positives ne s’appliquent pas directement. On effectue une IPP avec \(u(t) = \frac{1}{t}\) (donc \(u^\prime(t) = -\frac{1}{t^2}\)) et \(v^\prime(t) = \sin t\) (donc \(v(t) = -\cos t\)) :

\(\displaystyle\int_1^x \frac{\sin t}{t}\,dt = \left[\frac{-\cos t}{t}\right]_1^x – \int_1^x \frac{\cos t}{t^2}\,dt\)

Crochet : \(\frac{-\cos x}{x} – \frac{-\cos 1}{1} \to 0 + \cos 1 = \cos 1\) quand \(x \to +\infty\). Limite finie.

Intégrale restante : \(\left|\frac{\cos t}{t^2}\right| \leq \frac{1}{t^2}\), et \(\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^2}\) converge (Riemann, \(\alpha = 2\)). Par convergence absolue, \(\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{\cos t}{t^2}\,dt\) converge.

Conclusion : \(\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\,dt\) converge (somme de deux termes de limites finies).

Exercice 6 — ★★★ Convergence avec paramètre

Énoncé : Pour quelles valeurs de \(\alpha \in \mathbb{R}\) l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{1} \frac{1 – \cos t}{t^\alpha}\,dt\) converge-t-elle ?

Correction

L’intégrale est impropre en \(0^+\) uniquement. La fonction est positive sur \(]0,1]\) (car \(1 – \cos t \geq 0\)).

En \(0^+\), par développement limité : \(1 – \cos t \sim \frac{t^2}{2}\). Donc :

\(\frac{1 – \cos t}{t^\alpha} \sim \frac{t^2}{2t^\alpha} = \frac{1}{2t^{\alpha – 2}}\)

Par comparaison à une intégrale de Riemann en \(0\), la convergence a lieu si et seulement si \(\alpha – 2\) < \(1\), soit \(\alpha\) < \(3\).

Conclusion : l’intégrale converge \(\iff \alpha\) < \(3\).

Exercice 7 — ★★★ Raisonnement (type concours)

Énoncé : Soit \(f : [0, +\infty[ \to \mathbb{R}\) continue, positive, et telle que \(\displaystyle\int_0^{+\infty} f(t)\,dt\) converge. A-t-on nécessairement \(f(t) \to 0\) quand \(t \to +\infty\) ?

Correction

Non. On construit un contre-exemple explicite.

Pour chaque \(n \in \mathbb{N}^*\), on place un « pic » triangulaire de hauteur \(1\) et de base \(\frac{1}{n^2}\) centré en \(n\), et \(f = 0\) en dehors de ces pics. La fonction \(f\) est bien continue et positive.

L’aire de chaque pic vaut \(\frac{1}{2} \times 1 \times \frac{1}{n^2} = \frac{1}{2n^2}\). Donc :

\(\displaystyle\int_0^{+\infty} f(t)\,dt = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2n^2} = \frac{\pi^2}{12}\)

L’intégrale converge. Or \(f(n) = 1\) pour tout \(n\), donc \(f\) ne tend pas vers \(0\) en \(+\infty\).

Remarque (classique d’oral) : en revanche, si \(f\) est uniformément continue (par exemple \(\mathcal{C}^1\) à dérivée bornée), alors \(\int_0^{+\infty} f(t)\,dt\) convergente implique \(f(t) \to 0\) (c’est le lemme de Barbalat).

Exercice 8 — ★★★ Calcul effectif et lien Gauss

Énoncé : Calculer \(\displaystyle\int_0^{+\infty} t\,e^{-t^2}\,dt\).

Correction

La fonction \(t \mapsto t\,e^{-t^2}\) est continue et positive sur \([0, +\infty[\). L’intégrale est impropre en \(+\infty\).

On reconnaît la forme \(u^\prime(t) \cdot g(u(t))\) avec \(u(t) = t^2\) et \(g(s) = \frac{1}{2}e^{-s}\). Ainsi, une primitive de fonction composée : \(\frac{d}{dt}\!\left(-\frac{1}{2}e^{-t^2}\right) = t\,e^{-t^2}\).

\(\displaystyle\int_0^{x} t\,e^{-t^2}\,dt = \left[-\frac{1}{2}e^{-t^2}\right]_0^x = -\frac{1}{2}e^{-x^2} + \frac{1}{2} \xrightarrow[x \to +\infty]{} \frac{1}{2}\)

Donc \(\displaystyle\int_0^{+\infty} t\,e^{-t^2}\,dt = \frac{1}{2}\).

Remarque : cet exercice contraste avec l’intégrale de Gauss \(\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-t^2}\,dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\), dont le calcul requiert un passage en coordonnées polaires (technique bien plus sophistiquée). La simple présence du facteur \(t\) devant \(e^{-t^2}\) transforme un problème difficile en un exercice élémentaire.

Après avoir pratiqué, il est temps de recenser les erreurs les plus fréquentes. Les connaître à l’avance te fera gagner des points en DS et aux concours.

VIII. Erreurs fréquentes et pièges classiques

Terminons par les questions que les élèves posent le plus souvent sur les intégrales généralisées.

IX. Questions fréquentes

X. Pour aller plus loin

Tu maîtrises maintenant les intégrales généralisées : définitions, critères de convergence, intégrales classiques de concours, méthode systématique et pièges à éviter. Pour continuer à progresser :

• Primitives et Intégrales — Cours complet : le pilier du cocon, avec toutes les propriétés fondamentales et les méthodes de calcul.
• Intégrale de Gauss : l’exemple le plus célèbre d’intégrale généralisée convergente, avec sa démonstration par passage en coordonnées polaires.
• Intégrales de Wallis : la relation de récurrence, l’équivalent asymptotique, et le lien avec la formule de Stirling.
• Intégrale de Riemann — Définition et construction : le cadre théorique sur lequel reposent les intégrales généralisées.
• Intégration par parties (IPP) : la technique clé pour établir la convergence des intégrales semi-convergentes.
• Changement de variable dans une intégrale : indispensable pour ramener les intégrales de Bertrand à des intégrales de Riemann.
• Exercices corrigés — Primitives et Intégrales : le recueil complet pour t’entraîner sur l’ensemble du chapitre.

Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec un niveau de rigueur pensé pour la classe préparatoire. Découvrir le professeur