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Comment approcher n’importe quelle fonction continue par un polynôme, avec une formule explicite et constructive ? La réponse de Sergei Bernstein (1912) est l’une des plus élégantes de l’analyse : elle relie probabilités, polynômes et approximation uniforme. Les polynômes de Bernstein sont aussi la colonne vertébrale des courbes de Bézier de tes logiciels de dessin vectoriel. Dans ce cours, tu vas les définir, démontrer leurs propriétés et reconstruire la preuve du théorème de Weierstrass, un classique des problèmes de concours.
I. Définition et contexte
Avant de parler d’approximation, fixons l’objet de base. Les polynômes de Bernstein forment une famille de polynômes définis sur le segment \([0,1]\), paramétrée par un entier \(n\) (le degré) et un indice \(i\).
Définition — Polynômes de Bernstein de degré n
Soit \(n \in \mathbb{N}\). Pour tout entier \(i\) tel que \(0 \leq i \leq n\), le polynôme de Bernstein d’indice \(i\) et de degré \(n\) est défini, pour tout \(x \in [0,1]\), par :
On reconnaît immédiatement les termes du développement binomial de \((x + (1-x))^n\). Cette parenté avec la formule du binôme de Newton n’est pas un hasard : elle est la clé de presque toutes les propriétés du chapitre.
A. Une lecture probabiliste
L’expression \({n \choose i} x^i (1-x)^{n-i}\) est exactement la probabilité d’obtenir \(i\) succès lors de \(n\) épreuves indépendantes de probabilité de succès \(x\). Autrement dit, si \(X\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(n,x)\), alors :
Cette interprétation, due à Bernstein lui-même, rend plusieurs démonstrations transparentes : la somme des probabilités vaut 1, l’espérance vaut \(nx\), la variance vaut \(nx(1-x)\). Garde-la en tête, elle servira de fil rouge.
B. Premiers cas et base de l’espace des polynômes
Pour \(n = 1\), on obtient deux polynômes : \(B_{0,1}(x) = 1-x\) et \(B_{1,1}(x) = x\). Pour \(n = 2\) :
\(B_{0,2}(x) = (1-x)^2, \quad B_{1,2}(x) = 2x(1-x), \quad B_{2,2}(x) = x^2\)Une base de \(\mathbb{R}_n[X]\) : à \(n\) fixé, la famille \((B_{0,n}, B_{1,n}, \dots, B_{n,n})\) est une famille de \(n+1\) polynômes de degré \(n\), libre, donc une base de l’espace vectoriel \(\mathbb{R}_n[X]\) des polynômes de degré au plus \(n\). C’est la base de Bernstein, alternative à la base canonique \((1, X, \dots, X^n)\).
La liberté se voit facilement par les ordres d’annulation : \(B_{i,n}\) admet \(0\) comme racine de multiplicité \(i\) et \(1\) comme racine de multiplicité \(n-i\) (notion détaillée dans le cours sur les racines et leur multiplicité). Ces ordres d’annulation distincts empêchent toute relation de dépendance linéaire.
II. Propriétés fondamentales
Toutes les propriétés ci-dessous se démontrent à partir de la formule du binôme et des identités sur les coefficients binomiaux. Maîtrise-les : elles tombent régulièrement en colle et en début de problème.
A. Positivité et partition de l’unité
Propriété — Positivité et somme
Pour tout \(x \in [0,1]\) et tout \(i\) tel que \(0 \leq i \leq n\) :
\(B_{i,n}(x) \geq 0 \qquad \text{et} \qquad \sum_{i=0}^{n} B_{i,n}(x) = 1\)
Démonstration. La positivité est immédiate : sur \([0,1]\), les facteurs \(x^i\), \((1-x)^{n-i}\) et \({n \choose i}\) sont positifs. Pour la somme, la formule du binôme de Newton donne :
\(\sum_{i=0}^{n} {n \choose i} x^i (1-x)^{n-i} = \big(x + (1-x)\big)^n = 1^n = 1\)∎
Cette propriété — appelée partition de l’unité — signifie que les polynômes de Bernstein réalisent en chaque point une pondération positive sommant à 1. C’est ce qui leur donne leur stabilité numérique.
B. Relation de symétrie
Propriété — Symétrie
Pour tout \(x \in [0,1]\) : \(B_{i,n}(x) = B_{n-i,n}(1-x)\).
Démonstration. En utilisant \({n \choose i} = {n \choose n-i}\) :
\(B_{n-i,n}(1-x) = {n \choose n-i}(1-x)^{n-i} x^{\,n-(n-i)} = {n \choose i}x^i(1-x)^{n-i} = B_{i,n}(x)\)∎ Graphiquement, échanger \(i \leftrightarrow n-i\) revient à un retournement de la courbe autour de \(x = \displaystyle\frac12\).
C. Relation de récurrence
Propriété — Récurrence sur le degré
Pour \(1 \leq i \leq n-1\) (avec la convention \(B_{-1,m} = B_{m+1,m} = 0\)) :
\(B_{i,n}(x) = (1-x)\,B_{i,n-1}(x) + x\,B_{i-1,n-1}(x)\)
Démonstration. On part de la relation de Pascal \({n \choose i} = {n-1 \choose i} + {n-1 \choose i-1}\) et on factorise :
\((1-x)\,B_{i,n-1}(x) = {n-1 \choose i}x^i(1-x)^{n-i}\) \(x\,B_{i-1,n-1}(x) = {n-1 \choose i-1}x^i(1-x)^{n-i}\)En sommant, le facteur commun \(x^i(1-x)^{n-i}\) donne \(\big({n-1 \choose i}+{n-1 \choose i-1}\big) = {n \choose i}\), c’est-à-dire \(B_{i,n}(x)\). ∎
Cette récurrence est le cœur de l’algorithme de De Casteljau, utilisé pour évaluer numériquement les courbes de Bézier de façon stable (sans calcul explicite des coefficients binomiaux).
D. Dérivée
Propriété — Dérivée d’un polynôme de Bernstein
Pour \(n \geq 1\) : \(B_{i,n}^\prime(x) = n\big(B_{i-1,n-1}(x) – B_{i,n-1}(x)\big)\).
Démonstration. On dérive le produit \(x^i(1-x)^{n-i}\) :
\(B_{i,n}^\prime(x) = {n \choose i}\Big(i\,x^{i-1}(1-x)^{n-i} – (n-i)\,x^i(1-x)^{n-i-1}\Big)\)On utilise alors \({n \choose i}\,i = n{n-1 \choose i-1}\) et \({n \choose i}(n-i) = n{n-1 \choose i}\) :
\(B_{i,n}^\prime(x) = n\Big({n-1 \choose i-1}x^{i-1}(1-x)^{n-i} – {n-1 \choose i}x^i(1-x)^{n-1-i}\Big) = n\big(B_{i-1,n-1}(x) – B_{i,n-1}(x)\big)\)∎ On en déduit en particulier que \(B_{i,n}\) atteint son maximum sur \([0,1]\) en \(x = \displaystyle\frac{i}{n}\).
Toutes les propriétés des polynômes de Bernstein sur une fiche
Définition, positivité, partition de l’unité, symétrie, récurrence, dérivée et les 3 identités de moments : l’essentiel rassemblé pour réviser avant une colle ou un concours.
📄 Télécharger la fiche récapGagne un temps précieux le jour J en citant les formules clés sans hésiter.
III. L’opérateur de Bernstein et les identités de moments
Tout ce qui précède concerne la base. Le vrai sujet du chapitre, c’est l’approximation des fonctions. À chaque fonction on associe un polynôme construit avec la base de Bernstein.
Définition — Polynôme de Bernstein associé à une fonction
Soit \(f : [0,1] \to \mathbb{R}\). Le polynôme de Bernstein d’ordre \(n\) associé à \(f\) est :
L’application \(f \mapsto B_n(f)\) est un opérateur linéaire et positif (si \(f \geq 0\) alors \(B_n(f) \geq 0\), grâce à la positivité de la base). Contrairement à l’interpolation de Lagrange, \(B_n(f)\) ne passe en général pas par les points \(\big(i/n,\, f(i/n)\big)\) : c’est une approximation lissée, pas une interpolation. C’est précisément ce qui lui donne sa robustesse.
A. Les trois identités de moments
Ces trois identités sont le moteur de la preuve de convergence. Elles s’obtiennent en appliquant l’opérateur aux fonctions \(1\), \(x\) et \(x^2\).
Propriété — Moments
\(\sum_{i=0}^{n} B_{i,n}(x) = 1\)
\(\sum_{i=0}^{n} \displaystyle\frac{i}{n}\, B_{i,n}(x) = x\)
\(\sum_{i=0}^{n} \left(\displaystyle\frac{i}{n}\right)^2 B_{i,n}(x) = x^2 + \displaystyle\frac{x(1-x)}{n}\)
Démonstration. La première est la partition de l’unité. Pour la deuxième, on utilise \(i{n \choose i} = n{n-1 \choose i-1}\) :
\(\sum_{i=0}^{n} i\,{n \choose i}x^i(1-x)^{n-i} = nx\sum_{i=1}^{n}{n-1 \choose i-1}x^{i-1}(1-x)^{n-i} = nx\,(x+1-x)^{n-1} = nx\)En divisant par \(n\), on obtient \(\sum \displaystyle\frac{i}{n}B_{i,n}(x) = x\). Pour la troisième, on écrit \(i^2 = i(i-1) + i\) et on utilise \(i(i-1){n \choose i} = n(n-1){n-2 \choose i-2}\) :
\(\sum_{i=0}^{n} i(i-1)B_{i,n}(x) = n(n-1)x^2\)D’où \(\sum i^2 B_{i,n}(x) = n(n-1)x^2 + nx\), puis en divisant par \(n^2\) :
\(\sum_{i=0}^{n}\left(\displaystyle\frac{i}{n}\right)^2 B_{i,n}(x) = \displaystyle\frac{(n-1)x^2 + x}{n} = x^2 + \displaystyle\frac{x(1-x)}{n}\)∎
Le réflexe probabiliste : ces trois identités disent simplement que pour \(X \sim \mathcal{B}(n,x)\), la variable \(Y = \displaystyle\frac{X}{n}\) vérifie \(E(Y) = x\) et \(V(Y) = \displaystyle\frac{x(1-x)}{n}\). Si tu connais espérance et variance de la loi binomiale, tu retrouves tout sans calcul.
B. L’identité clé de concentration
En combinant les trois moments, on obtient l’estimation qui contrôle l’erreur d’approximation :
Démonstration. On développe le carré et on applique les trois identités :
\(\sum \left(\displaystyle\frac{i}{n}-x\right)^2 B_{i,n}(x) = \underbrace{\sum \Big(\displaystyle\frac{i}{n}\Big)^2 B_{i,n}}_{x^2 + \displaystyle\frac{x(1-x)}{n}} – 2x\underbrace{\sum \displaystyle\frac{i}{n}B_{i,n}}_{x} + x^2\underbrace{\sum B_{i,n}}_{1}\) \(= x^2 + \displaystyle\frac{x(1-x)}{n} – 2x^2 + x^2 = \displaystyle\frac{x(1-x)}{n}\)Enfin, \(x(1-x) \leq \displaystyle\frac14\) sur \([0,1]\) (maximum atteint en \(x=\displaystyle\frac12\)). ∎
Plus \(n\) grandit, plus la masse se concentre autour de \(i/n \approx x\). C’est exactement ce dont on a besoin pour faire converger \(B_n(f)\) vers \(f\).
IV. Le théorème de Weierstrass par les polynômes de Bernstein
Voici le résultat phare, et l’une des plus belles démonstrations constructives du programme. Le théorème de Weierstrass affirme que toute fonction continue sur un segment est limite uniforme de polynômes. Bernstein en donne une preuve explicite : il fournit la suite de polynômes.
Théorème (Weierstrass, preuve de Bernstein)
Soit \(f : [0,1] \to \mathbb{R}\) continue. Alors la suite \(\big(B_n(f)\big)_{n \geq 1}\) converge uniformément vers \(f\) sur \([0,1]\) :
\(\big\|B_n(f) – f\big\|_\infty = \sup_{x \in [0,1]} \big|B_n(f)(x) – f(x)\big| \longrightarrow[n \to +\infty]{} 0\)
(Lis la flèche ci-dessus comme une limite quand \(n \to +\infty\).) Décomposons la preuve en étapes claires — c’est ainsi qu’elle doit apparaître sur une copie.
Démonstration.
Étape 1 — Préliminaires. Comme \(f\) est continue sur le segment \([0,1]\), elle est bornée (notons \(M = \|f\|_\infty\)) et uniformément continue (théorème de Heine). Soit \(\varepsilon \gt 0\). Il existe \(\delta \gt 0\) tel que pour tous \(u, v \in [0,1]\) : \(|u-v| \leq \delta \Rightarrow |f(u) – f(v)| \leq \varepsilon\).
Étape 2 — Écriture de l’écart. En utilisant la partition de l’unité, on écrit \(f(x) = \sum_i f(x)B_{i,n}(x)\), donc :
\(B_n(f)(x) – f(x) = \sum_{i=0}^{n}\Big(f\!\big(\displaystyle\frac{i}{n}\big) – f(x)\Big)B_{i,n}(x)\)Par l’inégalité triangulaire et la positivité de la base :
\(\big|B_n(f)(x) – f(x)\big| \leq \sum_{i=0}^{n}\Big|f\!\big(\displaystyle\frac{i}{n}\big) – f(x)\Big|B_{i,n}(x)\)Étape 3 — Découpage de la somme. On sépare les indices selon que \(\big|\displaystyle\frac{i}{n}-x\big|\) est petit ou grand :
- Indices proches (\(\big|\displaystyle\frac{i}{n}-x\big| \leq \delta\)) : alors \(\big|f(\displaystyle\frac{i}{n}) – f(x)\big| \leq \varepsilon\), et leur contribution est majorée par \(\varepsilon \sum_i B_{i,n}(x) \leq \varepsilon\).
- Indices éloignés (\(\big|\displaystyle\frac{i}{n}-x\big|\) > \(\delta\)) : alors \(\big|f(\displaystyle\frac{i}{n}) – f(x)\big| \leq 2M\), et surtout \(1 \leq \displaystyle\frac{(\displaystyle\frac{i}{n}-x)^2}{\delta^2}\).
Étape 4 — Majoration des indices éloignés. La contribution des indices éloignés est majorée par :
\(2M\sum_{\text{éloignés}}\displaystyle\frac{(\displaystyle\frac{i}{n}-x)^2}{\delta^2}B_{i,n}(x) \leq \displaystyle\frac{2M}{\delta^2}\sum_{i=0}^{n}\Big(\displaystyle\frac{i}{n}-x\Big)^2 B_{i,n}(x) = \displaystyle\frac{2M}{\delta^2}\cdot\displaystyle\frac{x(1-x)}{n} \leq \displaystyle\frac{M}{2n\delta^2}\)grâce à l’identité de concentration de la section III.
Étape 5 — Conclusion. En regroupant, pour tout \(x \in [0,1]\) :
\(\big|B_n(f)(x) – f(x)\big| \leq \varepsilon + \displaystyle\frac{M}{2n\delta^2}\)Cette majoration est uniforme en \(x\). Pour \(n \geq \displaystyle\frac{M}{2\varepsilon\delta^2}\), on a \(\|B_n(f) – f\|_\infty \leq 2\varepsilon\). Ceci prouve la convergence uniforme. ∎
Pourquoi cette preuve est-elle si appréciée des jurys ? Elle est constructive (on exhibe les polynômes), quantitative (on a une vitesse en \(1/n\) liée au module de continuité) et elle relie analyse et probabilités. L’étape 4 est, au fond, une inégalité de Bienaymé-Tchebychev déguisée.
Maintenant que la théorie est posée, voyons comment ces polynômes irriguent la pratique : c’est l’objet de l’application la plus célèbre.
V. Application : les courbes de Bézier
Les polynômes de Bernstein ne sont pas qu’un outil théorique : ils sont la base mathématique du dessin vectoriel (Illustrator, fontes TrueType et PostScript, conception assistée par ordinateur). C’est l’élément « effet wow » que les fiches concurrentes oublient souvent de relier au cours.
Définition — Courbe de Bézier
Étant donné \(n+1\) points de contrôle \(P_0, P_1, \dots, P_n\) du plan, la courbe de Bézier associée est la courbe paramétrée :
\(\gamma(t) = \sum_{i=0}^{n} B_{i,n}(t)\,P_i, \qquad t \in [0,1]\)
Les propriétés du cours se traduisent en propriétés géométriques très concrètes :
- Passage par les extrémités : comme \(B_{0,n}(0)=1\) et \(B_{n,n}(1)=1\) (les autres s’annulant), on a \(\gamma(0) = P_0\) et \(\gamma(1) = P_n\).
- Enveloppe convexe : par positivité et partition de l’unité, \(\gamma(t)\) est un barycentre à coefficients positifs des \(P_i\) ; la courbe reste donc dans l’enveloppe convexe des points de contrôle.
- Tangentes : grâce à la formule de dérivation, \(\gamma^\prime(0) = n(P_1 – P_0)\) et \(\gamma^\prime(1) = n(P_n – P_{n-1})\) : la courbe est tangente au polygone de contrôle à ses extrémités.
Exemple : pour une courbe de Bézier cubique (\(n=3\)), la formule devient :
\(\gamma(t) = (1-t)^3 P_0 + 3t(1-t)^2 P_1 + 3t^2(1-t) P_2 + t^3 P_3\)
C’est exactement la formule utilisée par les logiciels de dessin : tu déplaces 4 poignées, et la machine recalcule cette combinaison.
Pour s’entraîner sur tout ce qui précède, place maintenant les mains dans le cambouis.
VI. Exercices corrigés
Difficulté croissante. Les badges indiquent le contexte d’utilisation : 🟠 Prépa, 🔴 Concours/oral exigeant.
Exercice 1 — Calcul direct 🟠 (★)
On pose \(n=3\). Écrire explicitement les quatre polynômes \(B_{0,3}, B_{1,3}, B_{2,3}, B_{3,3}\) et vérifier que leur somme vaut 1.
Voir la correction — Exercice 1
Avec \({3\choose 0}=1,\ {3\choose 1}=3,\ {3\choose 2}=3,\ {3\choose 3}=1\) :
\(B_{0,3}(x) = (1-x)^3,\quad B_{1,3}(x) = 3x(1-x)^2\)
\(B_{2,3}(x) = 3x^2(1-x),\quad B_{3,3}(x) = x^3\)
Somme : \((1-x)^3 + 3x(1-x)^2 + 3x^2(1-x) + x^3 = \big((1-x)+x\big)^3 = 1\) (identité du binôme de Newton). ✓
Exercice 2 — Conservation des fonctions affines 🟠 (★★)
Montrer que pour \(f(x) = ax + b\), on a \(B_n(f) = f\) pour tout \(n \geq 1\). L’opérateur de Bernstein laisse-t-il \(x \mapsto x^2\) invariante ?
Voir la correction — Exercice 2
Par linéarité de l’opérateur : \(B_n(f) = a\,B_n(\mathrm{id}) + b\,B_n(1)\). Or les identités de moments donnent \(B_n(1)(x)=\sum B_{i,n}(x)=1\) et \(B_n(\mathrm{id})(x) = \sum \displaystyle\frac{i}{n}B_{i,n}(x) = x\). Donc \(B_n(f)(x) = ax + b = f(x)\). L’opérateur reproduit exactement les fonctions affines.
En revanche, pour \(g(x)=x^2\) : \(B_n(g)(x) = x^2 + \displaystyle\frac{x(1-x)}{n} \neq x^2\) dès que \(0\) < \(x\) < \(1\). L’invariance s’arrête au degré 1, ce qui explique pourquoi \(B_n(f)\) n’est qu’une approximation pour les fonctions plus complexes.
Exercice 3 — Démontrer la récurrence 🟠 (★★)
Démontrer la relation \(B_{i,n}(x) = (1-x)B_{i,n-1}(x) + xB_{i-1,n-1}(x)\) et expliquer son intérêt algorithmique.
Voir la correction — Exercice 3
On calcule séparément les deux termes du membre de droite :
\((1-x)B_{i,n-1}(x) = {n-1\choose i}x^i(1-x)^{n-i}\)
\(xB_{i-1,n-1}(x) = {n-1\choose i-1}x^i(1-x)^{n-i}\)
La somme vaut \(\big({n-1\choose i}+{n-1\choose i-1}\big)x^i(1-x)^{n-i}\). Par la relation de Pascal, le coefficient vaut \({n\choose i}\), d’où \(B_{i,n}(x)\). ∎
Intérêt : cette récurrence permet d’évaluer \(\gamma(t)\) par interpolations linéaires successives (algorithme de De Casteljau), sans jamais calculer de coefficient binomial — ce qui est numériquement bien plus stable.
Exercice 4 — Les trois moments 🔴 (★★★)
Établir les trois identités de moments, puis en déduire \(\displaystyle\sum_{i=0}^n \left(\displaystyle\frac{i}{n}-x\right)^2 B_{i,n}(x) = \displaystyle\frac{x(1-x)}{n}\).
Voir la correction — Exercice 4
Les calculs sont détaillés dans la section III (identités de moments). Rappel des résultats : \(\sum B_{i,n}=1\), \(\sum \displaystyle\frac{i}{n}B_{i,n}=x\), \(\sum(\displaystyle\frac{i}{n})^2 B_{i,n}=x^2+\displaystyle\frac{x(1-x)}{n}\).
En développant \((\displaystyle\frac{i}{n}-x)^2 = (\displaystyle\frac{i}{n})^2 – 2x\displaystyle\frac{i}{n} + x^2\) et en sommant terme à terme :
\(\Big(x^2+\displaystyle\frac{x(1-x)}{n}\Big) – 2x\cdot x + x^2\cdot 1 = \displaystyle\frac{x(1-x)}{n}\)
Lecture probabiliste : c’est la variance de \(\displaystyle\frac{X}{n}\) pour \(X\sim\mathcal{B}(n,x)\), soit \(\displaystyle\frac{1}{n^2}\cdot nx(1-x)\).
Exercice 5 — Positivité et monotonie de l’opérateur 🔴 (★★★)
Soit \(f,g:[0,1]\to\mathbb{R}\) avec \(f \leq g\). Montrer que \(B_n(f) \leq B_n(g)\). En déduire que si \(f\) est positive, \(B_n(f)\) l’est aussi, et un encadrement de \(B_n(f)\) par les bornes de \(f\).
Voir la correction — Exercice 5
Pour tout \(x\in[0,1]\), les \(B_{i,n}(x)\) sont positifs. Donc :
\(B_n(g)(x) – B_n(f)(x) = \sum_{i=0}^n \Big(g(\displaystyle\frac{i}{n}) – f(\displaystyle\frac{i}{n})\Big)B_{i,n}(x) \geq 0\)
car chaque terme est un produit de deux quantités positives. C’est la monotonie de l’opérateur.
Si \(m \leq f \leq M\), en appliquant la monotonie aux fonctions constantes \(m\) et \(M\) (qui sont reproduites : \(B_n(c)=c\)), on obtient \(m \leq B_n(f) \leq M\). L’approximation ne crée jamais d’oscillation hors des bornes — contrairement à l’interpolation de Lagrange qui peut « exploser » (phénomène de Runge).
Exercice 6 — Tangentes d’une Bézier 🔴 (★★★)
Pour une courbe de Bézier \(\gamma(t)=\sum_{i=0}^n B_{i,n}(t)P_i\), montrer que \(\gamma^\prime(0) = n(P_1 – P_0)\).
Voir la correction — Exercice 6
On dérive : \(\gamma^\prime(t) = \sum_{i=0}^n B_{i,n}^\prime(t)P_i = n\sum_{i=0}^n \big(B_{i-1,n-1}(t) – B_{i,n-1}(t)\big)P_i\).
En \(t=0\), le seul polynôme de base de degré \(n-1\) non nul est \(B_{0,n-1}(0)=1\). Dans la somme télescopique, les termes survivants sont ceux faisant intervenir \(B_{0,n-1}(0)\) : pour \(i=1\) (via \(B_{i-1,n-1}=B_{0,n-1}\)) et pour \(i=0\) (via \(-B_{0,n-1}\)). On obtient :
\(\gamma^\prime(0) = n\big(B_{0,n-1}(0)P_1 – B_{0,n-1}(0)P_0\big) = n(P_1 – P_0)\)
La tangente initiale est donc dirigée par \(P_1 – P_0\) : la courbe « part » vers le deuxième point de contrôle. ∎
VII. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Piège n°1 — Confondre Bernstein et interpolation.
❌ « Le polynôme de Bernstein passe par les points \((i/n, f(i/n))\). »
Diagnostic : faux. C’est l’erreur la plus courante. \(B_n(f)\) n’interpole pas \(f\) (sauf aux extrémités \(0\) et \(1\)). Il approche globalement en lissant.
✅ Correction : pour une vraie interpolation, c’est le polynôme de Lagrange qu’il faut utiliser. Bernstein privilégie la stabilité (enveloppe convexe) à la coïncidence exacte.
Piège n°2 — Oublier le facteur \(n\) dans la dérivée.
❌ « \(B_{i,n}^\prime = B_{i-1,n-1} – B_{i,n-1}\). »
Diagnostic : il manque le facteur \(n\). Une vérification rapide : pour \(B_{1,1}(x)=x\), on a \(B_{1,1}^\prime=1\), et la formule correcte donne \(1\cdot(B_{0,0}-B_{1,0})=1\cdot(1-0)=1\). ✓
✅ Correction : \(B_{i,n}^\prime(x)=n\big(B_{i-1,n-1}(x)-B_{i,n-1}(x)\big)\).
Piège n°3 — Croire que la convergence est rapide.
❌ « B_n(f) converge aussi vite qu’une série de Taylor. »
Diagnostic : non. La vitesse est de l’ordre de \(1/\sqrt{n}\) en général (et \(1/n\) au mieux pour les fonctions régulières). C’est lent. L’intérêt de Bernstein est la généralité (continuité seule suffit) et la stabilité, pas la rapidité.
VIII. Rédaction concours : ce que le correcteur attend
Les polynômes de Bernstein apparaissent régulièrement comme problème de synthèse aux écrits (CCINP, Centrale, Mines) car ils mobilisent à la fois algèbre, analyse et probabilités. Voici les attentes typiques.
- Justifier l’usage de Heine. Sur la convergence uniforme, le correcteur cherche la mention explicite que \(f\) est continue sur un segment, donc uniformément continue. C’est le point qui rapporte les points : ne te contente pas de « f continue ».
- Soigner le découpage de la somme. Dans la preuve de Weierstrass, sépare proprement indices proches et éloignés, en introduisant clairement le \(\delta\) et l’inégalité \(1 \leq (\displaystyle\frac{i}{n}-x)^2/\delta^2\). Une majoration qui ne précise pas sur quel ensemble d’indices elle porte est sanctionnée.
- Affirmer l’uniformité. Conclure par \(\|B_n(f)-f\|_\infty\) et non par une convergence simple « pour chaque \(x\) » : la majoration finale ne dépend pas de \(x\), c’est tout l’enjeu, et il faut le dire.
- Maîtriser les trois identités sans les redécouvrir. Si tu les as bien apprises (ou si tu sais les retrouver par la lecture binomiale), tu gagnes un temps précieux. Cite-les comme lemmes.
Conseil de copie : structure ta preuve en étapes numérotées (Préliminaires → Écart → Découpage → Majoration → Conclusion). Un correcteur attribue les points par étape ; une preuve linéaire et bien jalonnée vaut bien mieux qu’un long paragraphe.
IX. Questions fréquentes
Qu'est-ce que le théorème de Bernstein ?
Dans ce contexte, le théorème de Bernstein affirme que pour toute fonction continue \(f\) sur \([0,1]\), la suite des polynômes \(B_n(f)\) converge uniformément vers \(f\). C’est une démonstration constructive du théorème d’approximation de Weierstrass : Bernstein ne se contente pas de prouver l’existence d’un polynôme proche, il en fournit une formule explicite.
À quoi servent les polynômes de Bernstein ?
Ils ont deux usages majeurs. En analyse, ils approchent uniformément n’importe quelle fonction continue (théorème de Weierstrass). En informatique graphique, ils définissent les courbes de Bézier, utilisées dans tous les logiciels de dessin vectoriel, les polices de caractères et la conception assistée par ordinateur. Leur stabilité numérique (positivité, enveloppe convexe) en fait un outil de choix.
Quelle est la différence entre polynôme de Bernstein et polynôme de Lagrange ?
Le polynôme de Lagrange interpole : il passe exactement par les points imposés, mais peut osciller violemment (phénomène de Runge). Le polynôme de Bernstein approche : il ne passe pas par les points (sauf aux extrémités), mais reste dans l’enveloppe convexe des valeurs et converge uniformément vers toute fonction continue. Lagrange privilégie la coïncidence exacte, Bernstein la stabilité.
Quelles sont les propriétés des polynômes de Bernstein ?
Les principales : positivité sur \([0,1]\), partition de l’unité (\(\sum B_{i,n}=1\)), symétrie \(B_{i,n}(x)=B_{n-i,n}(1-x)\), relation de récurrence sur le degré, formule de dérivation \(B_{i,n}^\prime=n(B_{i-1,n-1}-B_{i,n-1})\), et le fait qu’ils forment une base de l’espace des polynômes de degré au plus \(n\).
Pourquoi la convergence des polynômes de Bernstein est-elle uniforme ?
Parce que la majoration finale \(|B_n(f)(x)-f(x)| \leq \varepsilon + \displaystyle\frac{M}{2n\delta^2}\) ne dépend pas de \(x\). Cette indépendance vient de la continuité uniforme de \(f\) (théorème de Heine sur un segment) et de l’identité de concentration \(\sum(\displaystyle\frac{i}{n}-x)^2 B_{i,n}(x) \leq \displaystyle\frac{1}{4n}\), elle-même uniforme.
Les polynômes de Bernstein sont-ils au programme de prépa ?
Ils ne figurent pas comme chapitre explicite, mais apparaissent très souvent comme sujet de problème ou de DM, notamment pour démontrer le théorème de Weierstrass. Ils croisent l’analyse (convergence uniforme, continuité), l’algèbre (polynômes, base) et les probabilités (loi binomiale), ce qui en fait un excellent exercice de synthèse.
X. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant les polynômes de Bernstein et la preuve de Weierstrass. Pour consolider et élargir :
- Polynôme de Lagrange et interpolation — l’autre grande famille de polynômes d’approximation, à comparer avec Bernstein.
- Racines d’un polynôme et multiplicité — pour comprendre les ordres d’annulation de \(B_{i,n}\) en 0 et 1.
- Les polynômes : cours complet — la page pilier qui resitue Bernstein dans toute la théorie de \(\mathbb{R}[X]\).
- La loi binomiale — la clé probabiliste de toutes les démonstrations de ce cours.
- Exercices corrigés sur les polynômes — pour t’entraîner davantage avec un PDF téléchargeable.
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