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Un polynôme, c’est à la fois un outil de calcul que tu manipules dès la Terminale pour factoriser un cubique, et un objet algébrique qui structure tout un pan de l’algèbre en prépa : division euclidienne, racines, réduction des endomorphismes. Ce cours complet te donne la définition rigoureuse, les méthodes de calcul incontournables et l’accès à toutes les pages spécialisées du chapitre : formules, démonstrations, exercices corrigés et FAQ.
I. Définitions et notions fondamentales
Avant toute manipulation, il faut s’entendre sur les mots. En prépa, on distingue soigneusement le polynôme (objet algébrique formel) de la fonction polynomiale (l’application qu’on évalue en un point). Cette section pose le vocabulaire que tu utiliseras dans tout le chapitre.
Définition — Polynôme à coefficients dans K
Soit \(K\) un corps (typiquement \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\)). Un polynôme à une indéterminée \(X\) est une suite \((a_0, a_1, \ldots, a_n, 0, 0, \ldots)\) d’éléments de \(K\) nuls à partir d’un certain rang, que l’on note \(P = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} a_k X^k\). Les \(a_k\) sont les coefficients de \(P\). L’ensemble des polynômes à coefficients dans \(K\) est noté \(K[X]\).
A. Degré et coefficient dominant
Le degré mesure la « taille » d’un polynôme. C’est la notion la plus utilisée du chapitre, car elle gouverne presque tous les raisonnements (division, racines, comptage).
Définition — Degré, coefficient dominant
Soit \(P = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} a_k X^k\) un polynôme non nul. Le degré de \(P\), noté \(\deg P\), est le plus grand entier \(k\) tel que \(a_k \neq 0\). Le coefficient \(a_{\deg P}\) est le coefficient dominant. Si ce coefficient vaut \(1\), le polynôme est dit unitaire (ou normalisé).
Par convention, on pose \(\deg(0) = -\infty\) pour le polynôme nul. Cette convention n’est pas un caprice : elle rend cohérentes les formules sur le degré d’une somme et d’un produit (voir section II).
Exemple : Considérons \(P = 3X^4 – 5X^2 + 2X – 7\).
Son degré est \(\deg P = 4\), son coefficient dominant est \(3\), son coefficient constant (ou terme constant) est \(-7\). Comme le coefficient dominant n’est pas \(1\), \(P\) n’est pas unitaire. Le polynôme \(\displaystyle\frac{1}{3}P = X^4 – \displaystyle\frac{5}{3}X^2 + \displaystyle\frac{2}{3}X – \displaystyle\frac{7}{3}\) est, lui, unitaire.
B. Monôme, polynôme nul, notations
Un monôme est un polynôme à un seul terme, de la forme \(a_k X^k\). Un polynôme est donc une somme finie de monômes. Le polynôme nul est celui dont tous les coefficients sont nuls : il joue le rôle de zéro dans l’anneau \(K[X]\).
Distinction essentielle : ne confonds pas le polynôme \(P \in K[X]\) (objet formel, une suite de coefficients) et la fonction polynomiale \(x \mapsto P(x)\) (une application de \(K\) dans \(K\)). Sur \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\), deux polynômes égaux donnent la même fonction et réciproquement, mais sur un corps fini ce n’est plus vrai. L’étude des fonctions polynomiales (signe, tableau de variation, parabole) relève d’un autre chapitre : voir le polynôme du second degré.
C. Cas particuliers utiles
- Les polynômes de degré \(0\) sont les constantes non nulles.
- Un polynôme de degré \(1\) est affine (\(aX + b\) avec \(a \neq 0\)).
- Un polynôme réciproque vérifie \(X^n P\!\left(\displaystyle\frac{1}{X}\right) = P(X)\) : ses coefficients se lisent de la même façon dans les deux sens.
II. Opérations et structure de l’anneau K[X]
Maintenant que les objets sont définis, on les fait vivre : addition, multiplication, et la structure d’anneau qui en découle. C’est cette structure qui rend la division euclidienne possible — exactement comme pour les entiers.
A. Somme, produit et degré
L’addition se fait coefficient par coefficient. La multiplication suit la règle de distribution, ce qui donne la formule du produit de Cauchy des coefficients.
Propriété — Degré d’une somme et d’un produit
Pour tous polynômes \(P, Q \in K[X]\) :
\(\deg(P + Q) \leq \max(\deg P, \deg Q)\)
\(\deg(PQ) = \deg P + \deg Q\)
La formule du produit mérite une démonstration, car elle repose sur une propriété forte du corps \(K\).
Démonstration (degré du produit) : notons \(a_p\) et \(b_q\) les coefficients dominants de \(P\) (degré \(p\)) et \(Q\) (degré \(q\)). Le coefficient de \(X^{p+q}\) dans \(PQ\) vaut \(a_p b_q\). Comme \(K\) est un corps, il est intègre : \(a_p \neq 0\) et \(b_q \neq 0\) entraînent \(a_p b_q \neq 0\). Donc le terme de plus haut degré ne s’annule pas, et \(\deg(PQ) = p + q\). ∎
L’inégalité pour la somme est une inégalité (et non une égalité) à cause des compensations possibles : par exemple \(\deg\big((X^2+1) + (-X^2+X)\big) = \deg(X+1) = 1\) < \(2\).
B. Structure d’anneau intègre
Théorème — Structure de K[X]
Muni de l’addition et de la multiplication, \((K[X], +, \times)\) est un anneau commutatif intègre. Ses éléments inversibles sont exactement les constantes non nulles. La famille \((1, X, X^2, \ldots, X^n, \ldots)\) est la base canonique de \(K[X]\) vu comme \(K\)-espace vectoriel.
L’intégrité (pas de diviseurs de zéro) est la pierre angulaire : c’est elle qui garantit que \(PQ = 0 \Rightarrow P = 0 \text{ ou } Q = 0\), propriété sans laquelle ni la division euclidienne ni la théorie des racines ne fonctionneraient. Le sous-espace \(K_n[X]\) des polynômes de degré \(\leq n\) est de dimension \(n+1\), avec \((1, X, \ldots, X^n)\) pour base — un résultat clé en algèbre linéaire.
Toute la théorie des polynômes sur une fiche claire et synthétique
Degré, division euclidienne, racines, multiplicité, polynômes scindés : l’essentiel du chapitre prêt à réviser avant une colle ou un DS.
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III. Division euclidienne, racines et factorisation
Voici le cœur opérationnel du chapitre. La division euclidienne est l’analogue, dans \(K[X]\), de la division entière. Elle ouvre la porte aux racines, à la multiplicité, et à la factorisation complète d’un polynôme.
A. La division euclidienne
Théorème — Division euclidienne dans K[X]
Soient \(A, B \in K[X]\) avec \(B \neq 0\). Il existe un unique couple \((Q, R) \in K[X]^2\) tel que :
\(A = BQ + R \quad \text{avec} \quad \deg R\) < \(\deg B\)
\(Q\) est le quotient et \(R\) le reste. On dit que \(B\) divise \(A\) lorsque \(R = 0\).
La méthode pratique (la « potence ») se déroule étape par étape ; nous la détaillons en profondeur dans la page dédiée à la division euclidienne des polynômes. Cet algorithme est le frère de la division euclidienne des entiers, et c’est ce qui fait de \(K[X]\) un anneau euclidien.
B. Racines et multiplicité
Définition — Racine, multiplicité
Un élément \(\alpha \in K\) est une racine de \(P\) si \(P(\alpha) = 0\). C’est équivalent à : \((X – \alpha)\) divise \(P\). La racine \(\alpha\) est de multiplicité \(m\) lorsque \((X-\alpha)^m\) divise \(P\) mais \((X-\alpha)^{m+1}\) ne le divise pas.
L’équivalence « \(\alpha\) racine \(\Leftrightarrow (X-\alpha)\mid P\) » est un corollaire direct de la division euclidienne : on divise \(P\) par \((X-\alpha)\), le reste est une constante égale à \(P(\alpha)\). Un résultat majeur en découle : un polynôme non nul de degré \(n\) a au plus \(n\) racines comptées avec multiplicité.
Caractérisation par les dérivées : \(\alpha\) est racine de multiplicité \(m\) de \(P\) si et seulement si \(P(\alpha) = P^\prime(\alpha) = \cdots = P^{(m-1)}(\alpha) = 0\) et \(P^{(m)}(\alpha) \neq 0\). Pratique pour tester une racine double sans factoriser.
Pour trouver concrètement les racines (racine évidente, relations coefficients-racines, cas du degré 3), consulte la page complète sur les racines d’un polynôme.
C. Polynôme scindé et théorème de d’Alembert-Gauss
Définition — Polynôme scindé
Un polynôme \(P\) de degré \(n \geq 1\) est scindé sur \(K\) s’il se factorise en produit de facteurs de degré 1 dans \(K[X]\) :
\(P = a \displaystyle\prod_{i=1}^{n}(X – \alpha_i)\)
où \(a\) est le coefficient dominant et les \(\alpha_i\) sont les racines (répétées selon leur multiplicité).
Théorème — d’Alembert-Gauss
Tout polynôme non constant de \(\mathbb{C}[X]\) admet au moins une racine dans \(\mathbb{C}\). Conséquence : tout polynôme de \(\mathbb{C}[X]\) est scindé. Le corps \(\mathbb{C}\) est dit algébriquement clos.
Sur \(\mathbb{R}\), en revanche, \(X^2 + 1\) n’a pas de racine : il n’est pas scindé. Les polynômes irréductibles de \(\mathbb{R}[X]\) sont exactement les degrés 1 et les degrés 2 à discriminant strictement négatif. Cette distinction scindé / irréductible est approfondie sur la page polynôme scindé, irréductible et unitaire, et le lien avec les racines de l’unité éclaire le cas complexe.
IV. Polynômes classiques et réduction des endomorphismes
Au-delà de la structure générale, certaines familles de polynômes reviennent constamment aux concours, et le polynôme devient un outil central de l’algèbre linéaire en deuxième année. Cette section sert de carte du chapitre : chaque sujet a sa page dédiée.
A. Interpolation et familles remarquables
Le polynôme interpolateur de Lagrange répond à une question naturelle : existe-t-il un polynôme passant par \(n+1\) points imposés ? Oui, et il est unique de degré \(\leq n\). La construction, élégante, est détaillée sur la page polynôme de Lagrange.
D’autres familles structurent l’analyse et la physique : les polynômes de Tchebychev (liés à \(\cos(n\theta)\)), de Legendre, de Hermite, de Bernstein. Ces familles, souvent orthogonales pour un produit scalaire intégral, sont des vitrines classiques de l’exigence concours.
B. Le polynôme au service de la réduction (Spé) 🔴
🔴 Prépa Spé — La trinité de la réduction. En deuxième année, le polynôme devient l’outil pour comprendre les endomorphismes :
- Le polynôme caractéristique \(\chi_A(X) = \det(X I_n – A)\) : ses racines sont les valeurs propres. Voir le polynôme caractéristique.
- Le théorème de Cayley-Hamilton : toute matrice annule son polynôme caractéristique, \(\chi_A(A) = 0\). Voir le théorème de Cayley-Hamilton.
- Le polynôme minimal : il caractérise la diagonalisabilité (scindé à racines simples). Voir le polynôme minimal et annulateur.
Ces notions s’articulent avec la diagonalisation et le calcul des valeurs propres, que tu retrouveras côté algèbre linéaire sous l’angle calculatoire.
C. Tableau de progression par niveau
Le polynôme change de nature au fil de ta scolarité. Voici comment ce cocon t’accompagne, du lycée à la Spé.
| Niveau | Ce que tu maîtrises | Pages à travailler |
|---|---|---|
| 🔵 Terminale | Factorisation d’un cubique, racine évidente, division par \((X-a)\) | Factoriser degré 3, Racines (entrée) |
| 🟠 Prépa Sup | Structure de \(K[X]\), division euclidienne, racines et multiplicité, scindé / irréductible, interpolation, fractions rationnelles | Division, Racines, Scindé, Lagrange, Fractions rationnelles |
| 🔴 Prépa Spé | Réduction (caractéristique, Cayley-Hamilton, minimal), polynômes classiques avancés | Caractéristique, Cayley-Hamilton, Minimal, Tchebychev, Legendre |
V. Exercices corrigés
Place à la pratique. Les exercices montent en difficulté, du calcul de degré (★) au raisonnement structurel (★★★). Essaie systématiquement avant de déplier la correction.
A. Application directe (★)
Exercice 1 (★) — Degré et coefficient dominant. Déterminer le degré et le coefficient dominant de \(P = (2X^3 – X + 1)(X^2 + 3)\) sans développer entièrement.
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D’après la formule du degré d’un produit, \(\deg P = 3 + 2 = 5\). Le coefficient dominant de \(P\) est le produit des coefficients dominants des deux facteurs : \(2 \times 1 = 2\). Donc \(\deg P = 5\) et le coefficient dominant vaut \(2\). (Le terme dominant est \(2X^5\).)
Exercice 2 (★) — Division euclidienne. Effectuer la division euclidienne de \(A = X^3 – 2X + 1\) par \(B = X – 1\).
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On pose la division. \(X^3 = (X-1)\cdot X^2 + X^2\), puis on continue avec \(X^2 – 2X + 1\) : \(X^2 = (X-1)\cdot X + X\), reste \(-X + 1\), enfin \(-X+1 = (X-1)\cdot(-1) + 0\). On obtient :
\(A = (X-1)(X^2 + X – 1) + 0\)Le reste est nul : \(1\) est racine de \(A\) (en effet \(A(1) = 1 – 2 + 1 = 0\)), ce qui confirme que \((X-1)\) divise \(A\). Quotient \(Q = X^2 + X – 1\), reste \(R = 0\).
B. Approfondissement (★★)
Exercice 3 (★★) — Factorisation d’un cubique. Factoriser complètement \(P = X^3 – 6X^2 + 11X – 6\) dans \(\mathbb{R}[X]\).
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On cherche une racine évidente parmi les diviseurs du terme constant (\(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\)). \(P(1) = 1 – 6 + 11 – 6 = 0\) : \(1\) est racine. On factorise par \((X-1)\) : la division donne \(P = (X-1)(X^2 – 5X + 6)\). Le trinôme \(X^2 – 5X + 6\) a pour racines \(2\) et \(3\). Finalement :
\(P = (X-1)(X-2)(X-3)\)Le polynôme est scindé à racines simples sur \(\mathbb{R}\). Méthode détaillée sur la page factoriser un polynôme de degré 3.
Exercice 4 (★★) — Racine double. Montrer que \(2\) est racine double de \(P = X^4 – 4X^3 + 4X^2\) et factoriser.
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Mettons \(X^2\) en facteur : \(P = X^2(X^2 – 4X + 4) = X^2(X-2)^2\). On lit directement la factorisation : \(0\) est racine double et \(2\) est racine double. Vérifions par les dérivées pour \(2\) : \(P(2) = 0\) ; \(P^\prime(X) = 4X^3 – 12X^2 + 8X\) donc \(P^\prime(2) = 32 – 48 + 16 = 0\) ; \(P^{\prime\prime}(X) = 12X^2 – 24X + 8\) donc \(P^{\prime\prime}(2) = 48 – 48 + 8 = 8 \neq 0\). La multiplicité de \(2\) est bien \(2\).
C. Synthèse / raisonnement (★★★)
Exercice 5 (★★★) — Relations coefficients-racines. Soit \(P = X^3 – 7X^2 + 14X – 8\), dont on admet qu’il est scindé à racines simples \(\alpha, \beta, \gamma\) dans \(\mathbb{R}\). Sans calculer les racines, déterminer \(\alpha + \beta + \gamma\), \(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha\) et \(\alpha\beta\gamma\). Puis les calculer.
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Les relations de Viète donnent, pour \(P = X^3 – 7X^2 + 14X – 8\) (unitaire) :
\(\alpha + \beta + \gamma = 7\), \(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 14\), \(\alpha\beta\gamma = 8\).
(Les signes alternent : \(+7\) vient de \(-(-7)\), puis \(+14\), puis \(-(-8) = 8\).) Pour identifier les racines, on cherche trois entiers de produit \(8\) et de somme \(7\) : \(1, 2, 4\) conviennent (\(1+2+4=7\), \(1\cdot2\cdot4=8\), \(1\cdot2+2\cdot4+4\cdot1 = 2+8+4 = 14\)). Donc \(\{\alpha,\beta,\gamma\} = \{1,2,4\}\). Approfondissement sur la page racines d’un polynôme.
Exercice 6 (★★★) — Raisonnement. Soit \(P \in \mathbb{R}[X]\) tel que \(P(X) = P(X+1)\) pour tout réel \(X\). Montrer que \(P\) est constant.
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Supposons \(P\) non constant, de degré \(n \geq 1\) et de coefficient dominant \(a \neq 0\). Posons \(Q = P(X+1) – P(X)\). Le terme \(aX^n\) de \(P(X+1)\) vaut \(a(X+1)^n = aX^n + naX^{n-1} + \cdots\) : les termes \(aX^n\) se compensent dans \(Q\), et le terme de plus haut degré restant est \(naX^{n-1}\) (non nul car \(n \geq 1\) et \(a \neq 0\)). Donc \(\deg Q = n – 1 \geq 0\), et \(Q \neq 0\). Or l’hypothèse impose \(Q = 0\) : contradiction. Donc \(P\) est constant. ∎
Ce type de raisonnement « par le degré » est emblématique de la prépa : on exploite la structure de \(K[X]\) sans jamais calculer les valeurs.
Pour t’entraîner davantage, notamment sur les endomorphismes et la réduction, la page d’exercices corrigés sur les polynômes propose 25 exercices de niveau concours.
VI. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Voici les fautes les plus pénalisées en colle et en concours. Les repérer maintenant t’évitera de les commettre sous pression.
❌ Copie fautive : « \(\deg(P+Q) = \max(\deg P, \deg Q)\) ».
Diagnostic : c’est une inégalité, pas une égalité. Si les termes dominants se compensent, le degré chute.
✅ Correction : \(\deg(P+Q) \leq \max(\deg P, \deg Q)\), avec égalité garantie seulement si \(\deg P \neq \deg Q\).
❌ Copie fautive : « \(P\) a \(n\) racines distinctes car \(\deg P = n\) ».
Diagnostic : confusion entre « au plus \(n\) racines » et « exactement \(n\) racines distinctes ». Une racine peut être multiple, et sur \(\mathbb{R}\) certaines racines manquent.
✅ Correction : un polynôme de degré \(n\) a au plus \(n\) racines comptées avec multiplicité ; il en a exactement \(n\) dans \(\mathbb{C}\) (avec multiplicité), car \(\mathbb{C}\) est algébriquement clos.
❌ Copie fautive : oublier le coefficient dominant dans la forme scindée, écrire \(P = \prod (X – \alpha_i)\) alors que \(P\) n’est pas unitaire.
Diagnostic : deux polynômes proportionnels ont les mêmes racines, mais ne sont pas égaux.
✅ Correction : \(P = a\displaystyle\prod_{i=1}^{n}(X – \alpha_i)\) où \(a\) est le coefficient dominant.
Rédaction concours : quand tu invoques l’intégrité de \(K[X]\) (par exemple pour conclure d’un produit nul à un facteur nul), nomme-la explicitement. Le correcteur attend que tu justifies pourquoi \(PQ = 0 \Rightarrow P=0 \text{ ou } Q=0\) — ce n’est vrai que parce que \(K[X]\) est intègre.
VII. Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'un polynôme, avec un exemple simple ?
Un polynôme est une somme finie de termes de la forme « coefficient fois puissance de l’inconnue ». Par exemple \(P = 4X^3 – 2X + 5\) est un polynôme de degré 3. Chaque terme (\(4X^3\), \(-2X\), \(5\)) est un monôme, et le degré est la plus grande puissance qui apparaît.
Quelle est la différence entre un monôme et un polynôme ?
Un monôme est un polynôme à un seul terme, comme \(3X^2\). Un polynôme est une somme finie de monômes, comme \(3X^2 – X + 1\). Autrement dit, tout monôme est un polynôme, mais un polynôme n’est un monôme que s’il n’a qu’un seul terme.
Comment savoir si une expression est un polynôme ?
Une expression est un polynôme si elle s’écrit uniquement avec des additions, soustractions et multiplications de l’inconnue, et que les exposants de l’inconnue sont des entiers naturels. Ainsi \(4X + 2 + 3X + 7\) est un polynôme (il se simplifie en \(7X + 9\)). En revanche \(\sqrt{X}\) ou \(\displaystyle\frac{1}{X}\) n’en sont pas, car les exposants ne sont pas des entiers positifs.
Quelle est la différence entre un polynôme et une fonction polynôme ?
Le polynôme \(P \in K[X]\) est un objet algébrique formel : une suite de coefficients. La fonction polynôme \(x \mapsto P(x)\) est l’application obtenue en évaluant ce polynôme. Sur \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\), les deux notions se correspondent parfaitement, mais l’étude de la fonction (signe, variations, courbe) relève du chapitre sur les fonctions, pas de l’algèbre des polynômes.
Combien de racines a un polynôme de degré n ?
Au plus \(n\) racines comptées avec leur multiplicité. Dans \(\mathbb{C}\), il en a exactement \(n\) (toujours avec multiplicité), car tout polynôme y est scindé : c’est le théorème de d’Alembert-Gauss. Dans \(\mathbb{R}\), il peut en avoir moins, comme \(X^2 + 1\) qui n’a aucune racine réelle.
Qu'est-ce qu'un polynôme unitaire ?
C’est un polynôme dont le coefficient du terme de plus haut degré vaut \(1\). Par exemple \(X^3 – 2X + 5\) est unitaire, mais \(2X^3 – 2X + 5\) ne l’est pas. On peut toujours rendre un polynôme unitaire en le divisant par son coefficient dominant ; on parle alors de normalisation.
Comment trouver une racine évidente ?
On teste les diviseurs entiers du terme constant (et, plus généralement, les rationnels \(\displaystyle\frac{p}{q}\) avec \(p\mid\) terme constant et \(q\mid\) coefficient dominant). Pour \(X^3 – 6X^2 + 11X – 6\), on essaie \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\) : \(1\) annule le polynôme, c’est une racine évidente. On factorise ensuite par \((X – 1)\).
VIII. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant le socle des polynômes : définition, degré, division euclidienne, racines et factorisation. Pour approfondir chaque brique, explore les pages spécialisées du cocon :
- Division euclidienne des polynômes — la méthode de la potence pas à pas.
- Racines d’un polynôme — multiplicité, relations de Viète, recherche pratique.
- Factoriser un polynôme de degré 3 — la méthode complète niveau Terminale.
- Polynôme de Lagrange — interpolation et unicité.
- Polynôme scindé, irréductible et unitaire — factorisation dans \(\mathbb{R}[X]\) et \(\mathbb{C}[X]\).
- Fractions rationnelles — décomposition en éléments simples.
- Polynôme de Tchebychev — la vitrine concours.
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