La division euclidienne permet de diviser un entier par un autre et d’obtenir un quotient (combien de paquets complets) et un reste (ce qu’il reste). C’est une méthode incontournable du collège au lycée, et la base de la divisibilité et du calcul du PGCD.

Définition (à connaître).
Soient \(a\) et \(b\) deux entiers, avec \(b\) > \(0\). On cherche deux entiers \(q\) (quotient) et \(r\) (reste) tels que :

\(a = bq + r\) avec \(0 \leq r\) < \(b\).

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Définition (quotient, reste, vocabulaire)

Vocabulaire : dividende, diviseur, quotient, reste

Vocabulaire de base
Mot Ce que c’est Où il apparaît
Dividende Le nombre qu’on divise \(a\) dans \(a = bq + r\)
Diviseur Le nombre par lequel on divise \(b\) dans \(a = bq + r\)
Quotient Le résultat « principal » (combien de paquets complets) \(q\) dans \(a = bq + r\)
Reste Ce qu’il reste après les paquets complets \(r\) dans \(a = bq + r\)

La condition sur le reste (le point qui fait gagner des points)

La condition la plus importante est celle-ci : le reste doit être plus petit que le diviseur.

Autrement dit : \(0 \leq r\) < \(b\).

Vérification express (10 secondes).

  • Est-ce que \(a = bq + r\) est vrai ?
  • Est-ce que \(0 \leq r\) < \(b\) ?

Si une des deux réponses est « non », tu as une erreur.

Exemple flash. \(187 = 23 \times 8 + 3\).
On a bien \(0 \leq 3\) < \(23\). Donc quotient \(8\) et reste \(3\).

Comment faire une division euclidienne (méthode pas à pas)

Il existe deux façons de trouver \(q\) et \(r\) :

  • Méthode 1 : tu poses la division (la méthode à maîtriser en 6e).
  • Méthode 2 : tu cherches le plus grand multiple (très pratique pour vérifier).

Méthode 1 — La division posée (pas à pas, niveau 6e)

1) Comprendre la « potence » (le dessin)

Sur la potence :

  • le dividende (le nombre à diviser) est à gauche,
  • le diviseur est à droite,
  • le quotient s’écrit en haut.
dividende │ diviseur
──────────┼────────
quotient  │

2) Les étapes (toujours dans le même ordre)

  1. Choisis le début du dividende. Prends 1 chiffre si ça suffit, sinon 2 chiffres (ou plus) pour obtenir un nombre ≥ au diviseur.
  2. Cherche « combien de fois ça rentre ». Trouve le plus grand chiffre possible, sans dépasser.
  3. Multiplie puis soustrais. Tu enlèves un « paquet complet ».
  4. Abaisse le chiffre suivant. Tu recommences avec le nouveau nombre obtenu.
  5. Tu t’arrêtes quand il n’y a plus de chiffre à abaisser. Le nombre du bas est le reste.

Comment savoir si c’est fini ?

  • Tu as abaissé tous les chiffres du dividende.
  • Le reste final est strictement plus petit que le diviseur.

Si ton reste est ≥ au diviseur, tu peux encore diviser : il y a une erreur (ou tu n’as pas terminé).

Exemple très guidé : 73 divisé par 8

Objectif : trouver \(q\) et \(r\) tels que \(73 = 8q + r\) avec \(0 \leq r\) < \(8\).

1) On cherche combien de fois 8 « rentre » dans 73.
\(8 \times 9 = 72\) (ça passe) et \(8 \times 10 = 80\) (ça dépasse). Donc on écrit 9 au quotient.

  73 │ 8
- 72 │ 9
─────┼──
   1 │

2) On lit le résultat.
Quotient : 9 ; reste : 1.
Vérification : \(73 = 8 \times 9 + 1\) et \(0 \leq 1\) < \(8\).

Exemple avec diviseur à 2 chiffres : 648 divisé par 56

On cherche \(q\) et \(r\) tels que \(648 = 56q + r\) avec \(0 \leq r\) < \(56\).

1) On commence avec 64 (car 6 est trop petit).
\(56 \times 1 = 56\) (ça passe), \(56 \times 2 = 112\) (trop grand) : on écrit 1.

  648 │ 56
- 56  │ 1
──────┼──
   88 │

2) On recommence avec 88.
\(56 \times 1 = 56\) (ça passe), \(56 \times 2 = 112\) (trop grand) : on écrit encore 1.

  648 │ 56
- 56  │ 11
──────┼──
   88
- 56
──────
   32

Donc quotient 11, reste 32. Vérification : \(648 = 56 \times 11 + 32\) et \(0 \leq 32\) < \(56\).

Méthode 2 — Sans poser : chercher le plus grand multiple (rapide)

Quand les nombres sont « raisonnables », tu peux gagner du temps :

  1. Trouve le plus grand multiple de \(b\) qui ne dépasse pas \(a\) : c’est \(bq\).
  2. Calcule le reste : \(r = a – bq\).

Réflexe utile. Si tu as un doute sur une division posée, refais juste le contrôle avec « plus grand multiple » : tu repères vite une erreur de quotient.

Exemple. Pour \(89\) divisé par \(12\) :
\(12 \times 7 = 84\) (ça passe) et \(12 \times 8 = 96\) (trop grand). Donc \(q = 7\) et \(r = 89 – 84 = 5\).
Conclusion : \(89 = 12 \times 7 + 5\).

Quotient et reste : bien interpréter le résultat

Le calcul n’a d’intérêt que si tu sais l’interpréter :

  • Le quotient \(q\) : le nombre de paquets complets (ou la taille d’un paquet, selon l’énoncé).
  • Le reste \(r\) : ce qui n’entre pas dans les paquets complets.

Exemple. Tu as \(17\) bonbons et tu fais des sachets de \(5\).
\(17 = 5 \times 3 + 2\) : tu fais 3 sachets complets, il reste 2 bonbons.

Divisibilité : quand le reste vaut 0

Reste nul. Si \(a = bq + r\) et \(r = 0\), alors \(a = bq\). On dit :

  • \(a\) est multiple de \(b\),
  • \(a\) est divisible par \(b\),
  • \(b\) est un diviseur de \(a\).

Pour les critères de divisibilité (2, 3, 5, 9, 10, etc.), consulte la page dédiée : critères de divisibilité. Et pour les applications à l’arithmétique : nombres premiers et décomposition en facteurs premiers.

Connexion au PGCD. L’algorithme d’Euclide repose sur des divisions euclidiennes successives. Quand tu seras prêt : PGCD et PPCM.

Applications classiques

La division euclidienne revient souvent sous forme de problèmes : partage, conversions, ou décomposition en base 10.

Partages équitables (paquets, rangements)

Répartir \(a\) objets par paquets de \(b\) : \(q\) = nombre de paquets complets, \(r\) = objets restants.

Conversions de durée (minutes → heures/minutes)

Exemple. Convertir \(125\) minutes.
On écrit \(125 = 60 \times 2 + 5\) : cela fait 2 heures et 5 minutes.

Décomposition en base 10 (dizaines, unités)

Diviser un entier \(n\) par \(10\) : \(n = 10q + r\). Alors \(q\) est le nombre de dizaines, et \(r\) est le chiffre des unités.

À relier à l’arithmétique. Les restes interviennent ensuite dans : nombres premiers et décomposition en facteurs premiers.

Exemples commentés (6e → 3e)

Exemple 1 (diviseur à 1 chiffre)

Diviser \(156\) par \(7\).
On repère \(7 \times 22 = 154\). Donc \(156 = 7 \times 22 + 2\).

Exemple 2 (diviseur à 2 chiffres, raisonnement par multiples)

Diviser \(863\) par \(24\).
\(24 \times 35 = 840\) et \(863 – 840 = 23\). Donc \(863 = 24 \times 35 + 23\).

Exemple 3 (interpréter le reste)

Problème. Ranger \(98\) livres dans des cartons de \(12\).
\(98 = 12 \times 8 + 2\) : 8 cartons pleins et 2 livres restants. Pour tout ranger, il faut donc 9 cartons au total.

Exercices corrigés sur la division euclidienne

Cette mini-série couvre les cas essentiels. Pour des séries plus longues (et PDF) : exercices nombres entiers (multi-niveaux) et exercices nombres entiers 6ème (PDF).

Consigne. Fais les exercices sans corrigé, puis déplie la correction pour vérifier. Pense toujours à la vérification : \(a = bq + r\) et \(0 \leq r\) < \(b\).

Exercice 1. Donner le quotient et le reste de \(215\) divisé par \(7\).

▶ Voir la correction

\(7 \times 30 = 210\) et \(215 – 210 = 5\). Donc \(215 = 7 \times 30 + 5\). Quotient : 30, reste : 5.

Exercice 2. Donner le quotient et le reste de \(999\) divisé par \(12\).

▶ Voir la correction

\(12 \times 83 = 996\) et \(999 – 996 = 3\). Donc \(999 = 12 \times 83 + 3\). Quotient : 83, reste : 3.

Exercice 3. Trouver \(q\) et \(r\) tels que \(73 = 9q + r\) avec \(0 \leq r\) < \(9\).

▶ Voir la correction

\(9 \times 8 = 72\) et \(73 – 72 = 1\). Donc \(73 = 9 \times 8 + 1\). Quotient : 8, reste : 1.

Exercice 4. On répartit \(146\) feuilles par paquets de \(20\). Combien de paquets complets ? Combien restent ?

▶ Voir la correction

\(146 = 20 \times 7 + 6\) : 7 paquets complets et 6 feuilles restantes.

Exercice 5. Convertir \(367\) minutes en heures et minutes.

▶ Voir la correction

\(367 = 60 \times 6 + 7\) : 6 heures et 7 minutes.

Exercice 6. Vrai ou faux : \(47 = 5 \times 8 + 7\) est une écriture correcte de la division euclidienne de \(47\) par \(5\) ? Justifier.

▶ Voir la correction

Faux. Le « reste » vaut 7 et \(7 \geq 5\) (le reste n’est pas strictement inférieur au diviseur). L’écriture correcte est \(47 = 5 \times 9 + 2\).

Pièges classiques à éviter

Piège n°1 — Reste trop grand. Il faut toujours \(r\) < \(b\). Si ton reste est ≥ au diviseur, tu n’as pas terminé.

Piège n°2 — Confusion quotient / reste. Reformule : « combien de paquets complets ? » (quotient) / « combien restent ? » (reste).

Piège n°3 — Oublier la vérification. Refaire \(a = bq + r\) évite beaucoup d’erreurs.

Piège n°4 — Division par \(0\). Impossible (aucun sens mathématique).

Outils pour vérifier (calculatrice, Python, Excel)

Calculatrice : quoi vérifier ?

Une calculatrice te donne souvent directement quotient et reste. Vérifie surtout : \(a = bq + r\) et \(0 \leq r\) < \(b\).

Python : quotient et reste en une ligne

Pour des entiers positifs, Python donne directement :

a = 47
b = 5
q = a // b
r = a % b
print(q, r)   # 9 2

Cas des nombres négatifs. En programmation, les conventions peuvent varier selon les langages. Si tu veux la convention mathématique \(0 \leq r\) < \(|b|\), vérifie toujours le résultat.

Excel / Sheets : QUOTIENT et MOD

  • QUOTIENT(a; b) : quotient
  • MOD(a; b) : reste

Pour aller plus loin (lycée) : nombres négatifs et convention du reste

Au lycée, on peut étendre la division euclidienne à tous les entiers relatifs \(\mathbb{Z}\) (nombres négatifs inclus). L’idée est de garder un reste « bien encadré ».

Convention dans \(\mathbb{Z}\). Pour \(a\) et \(b \neq 0\), il existe un unique couple (\(q\), \(r\)) tel que :

\(a = bq + r\) avec \(0 \leq r\) < \(|b|\).

Exemple 1. \(-17 = 5 \times (-4) + 3\) (reste 3, bien compris entre 0 et 5).

Exemple 2. \(23 = (-7) \times (-3) + 2\) (ici \(|-7| = 7\), et 2 est bien < 7).

Pour travailler les signes plus globalement : entiers relatifs. Et pour la suite logique côté arithmétique : PGCD et PPCM.

FAQ — Division euclidienne


Comment effectuer une division euclidienne ?

Tu peux soit poser la division (méthode de la potence), soit chercher le plus grand multiple du diviseur qui ne dépasse pas le dividende. Puis tu vérifies : \(a = bq + r\) et \(0 \leq r\) < \(b\).

Qu'est-ce qu'une division euclidienne ?

C’est l’écriture \(a = bq + r\) avec un quotient entier \(q\) et un reste \(r\) qui vérifie \(0 \leq r\) < \(b\) (si \(b\) > \(0\)). On reste dans les nombres entiers.

C'est quoi une division euclidienne en 6ème ?

En 6e, on apprend surtout à poser la division, identifier quotient et reste, et résoudre des problèmes de partage. Le réflexe clé : le reste doit être strictement inférieur au diviseur.

Quelle est la différence entre division et division euclidienne ?

La division « classique » peut donner un résultat décimal (ex. \(7 \div 2 = 3{,}5\)). La division euclidienne reste dans les entiers : on obtient un quotient entier et un reste (ex. \(7 = 2 \times 3 + 1\)).

Peut-on faire une division euclidienne avec des nombres négatifs ?

Oui, au lycée et en prépa. La convention est de garder un reste positif : \(0 \leq r\) < \(|b|\). Par exemple \(-17 = 5 \times (-4) + 3\). Voir la section « Pour aller plus loin ».

Où trouver plus d'exercices corrigés sur la division euclidienne ?

Sur les pages du cocon : exercices nombres entiers (multi-niveaux) et exercices nombres entiers 6ème (PDF à imprimer).


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