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On te donne quelques points du plan, et on te demande de faire passer une courbe « propre » par chacun d’eux. C’est exactement le problème d’interpolation polynomiale, et le polynôme de Lagrange en donne la solution explicite et unique. Cette méthode est un classique de prépa (MPSI, PCSI, PTSI) : elle sert à la fois d’outil de calcul et de preuve d’existence d’un polynôme à contraintes. Dans cet article, tu vas apprendre à construire ce polynôme en 4 étapes, à le démontrer rigoureusement, à éviter les pièges du concours et à savoir quand l’utiliser plutôt qu’une autre technique.
I. Le problème d’interpolation et la formule de Lagrange
Commençons par poser proprement le problème, car toute la méthode en découle. On travaille sur \(\mathbb{K}\) (égal à \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\)), et on note \(\mathbb{K}_n[X]\) l’espace des polynômes de degré inférieur ou égal à \(n\).
Problème d’interpolation polynomiale
On se donne \(n+1\) points \((x_0, y_0), \ldots, (x_n, y_n)\) dont les abscisses \(x_0, \ldots, x_n\) sont deux à deux distinctes. On cherche un polynôme \(P\) de degré inférieur ou égal à \(n\) tel que :
\(\forall i \in \{0, \ldots, n\}, \quad P(x_i) = y_i.\)
La clé de la construction est une famille de polynômes auxiliaires, conçus pour « s’allumer » sur une seule abscisse et « s’éteindre » sur toutes les autres.
A. Les polynômes de la base de Lagrange
Définition — Polynômes de Lagrange
Pour \(i \in \{0, \ldots, n\}\), on appelle \(i\)-ième polynôme de Lagrange associé aux abscisses \(x_0, \ldots, x_n\) le polynôme :
\(L_i(X) = \displaystyle\prod_{0 \leq j \leq n,\ j \neq i} \displaystyle\frac{X – x_j}{x_i – x_j}.\)
Chaque \(L_i\) est un produit de \(n\) facteurs de degré 1 : c’est donc un polynôme de degré exactement \(n\). Le dénominateur \(x_i – x_j\) est non nul précisément parce que les abscisses sont distinctes — c’est là que cette hypothèse est utilisée. La propriété fondamentale est la suivante :
Propriété cardinale : \(L_i(x_j) = \delta_{i,j}\), c’est-à-dire \(L_i(x_i) = 1\) et \(L_i(x_j) = 0\) pour \(j \neq i\).
En effet, en remplaçant \(X\) par \(x_j\) avec \(j \neq i\), le facteur \(X – x_j\) s’annule ; et en remplaçant \(X\) par \(x_i\), chaque facteur vaut \(\displaystyle\frac{x_i – x_j}{x_i – x_j} = 1\).
B. Le polynôme interpolateur
Théorème — Existence et unicité du polynôme interpolateur de Lagrange
Il existe un unique polynôme \(P \in \mathbb{K}_n[X]\) vérifiant \(P(x_i) = y_i\) pour tout \(i\). Il est donné par :
\(P(X) = \displaystyle\sum_{i=0}^{n} y_i \, L_i(X).\)
La démonstration mérite d’être connue par cœur : elle tombe régulièrement aux concours et au début de chaque chapitre sur les polynômes.
Démonstration.
Existence. Posons \(P = \displaystyle\sum_{i=0}^{n} y_i L_i\). Comme combinaison de polynômes de degré \(n\), on a \(P \in \mathbb{K}_n[X]\). Pour tout \(k\) :
\(P(x_k) = \displaystyle\sum_{i=0}^{n} y_i \, L_i(x_k) = \sum_{i=0}^{n} y_i \, \delta_{i,k} = y_k.\)
Donc \(P\) convient.
Unicité. Soient \(P\) et \(Q\) deux solutions dans \(\mathbb{K}_n[X]\). Le polynôme \(P – Q\) appartient à \(\mathbb{K}_n[X]\) et admet \(x_0, \ldots, x_n\) pour racines, soit \(n+1\) racines distinctes. Or un polynôme non nul de degré inférieur ou égal à \(n\) possède au plus \(n\) racines. Donc \(P – Q = 0\), c’est-à-dire \(P = Q\). ∎
Un point souvent négligé : le degré de \(P\) est inférieur ou égal à \(n\), pas nécessairement égal. Si les points sont alignés, l’interpolant est une droite, même avec dix points. La famille \((L_0, \ldots, L_n)\) forme par ailleurs une base de l’espace vectoriel \(\mathbb{K}_n[X]\), dont la dimension est \(n+1\) : les coordonnées d’un polynôme \(Q\) dans cette base sont simplement \((Q(x_0), \ldots, Q(x_n))\).
II. Quand utiliser l’interpolation de Lagrange ?
Avant de se lancer dans les calculs, il faut savoir reconnaître que c’est bien cette méthode qu’il faut employer — et quand une autre serait préférable. L’interpolation de Lagrange n’est qu’une technique parmi d’autres pour « approcher » ou reconstruire une fonction par un polynôme.
| Méthode | Quand l’utiliser | Atout principal | Limite |
|---|---|---|---|
| Lagrange | Points fixés, peu nombreux ; preuve d’existence/unicité | Formule explicite, idéale pour la théorie | Tout recalculer si on ajoute un point ; instable pour \(n\) grand |
| Newton (différences divisées) | Ajout incrémental de points | Mise à jour facile sans tout refaire | Moins direct pour les preuves |
| Formule de Taylor | Approcher \(f\) près d’un seul point | Utilise les dérivées successives | Information locale, exige \(f\) dérivable |
| Moindres carrés | Données bruitées à ajuster | Robuste au bruit expérimental | N’interpole pas exactement les points |
| Splines | Beaucoup de points, courbe lisse | Évite les oscillations (Runge) | Polynôme par morceaux, pas un seul |
Le réflexe à avoir : Lagrange et Taylor répondent à deux questions différentes. Lagrange impose des valeurs en plusieurs points ; Taylor impose des dérivées en un seul point. Ne confonds jamais les deux, même si le nom « Lagrange » apparaît dans les deux contextes (cf. l’inégalité de Taylor-Lagrange, qui est un objet d’analyse, pas d’interpolation).
La méthode du polynôme de Lagrange en fiche recto-verso
Les 4 étapes, la démonstration d’unicité et les pièges du concours, condensés sur une fiche prête à réviser avant l’épreuve.
📄 Télécharger la fiche méthodeRédigée par un professeur diplômé de Polytechnique.
III. La méthode pas à pas en 4 étapes
Une fois le problème identifié comme une interpolation, la construction est mécanique. Voici la marche à suivre, valable quel que soit le nombre de points.
- Vérifier les hypothèses et fixer le degré. Contrôle que les abscisses \(x_i\) sont deux à deux distinctes. Compte les points : \(n+1\) points donnent un polynôme de degré au plus \(n\).
- Construire chaque polynôme de Lagrange \(L_i\). Au numérateur, le produit des \((X – x_j)\) pour \(j \neq i\) ; au dénominateur, la même chose évaluée en \(x_i\), soit le produit des \((x_i – x_j)\).
- Combiner avec les ordonnées. Forme \(P = \displaystyle\sum_i y_i L_i\). Les \(y_i\) nuls font disparaître des termes — autant de calculs en moins.
- Développer ou laisser factorisé. Si on demande la forme développée \(aX^2 + bX + c\), on développe ; si on veut seulement évaluer \(P\) en un point, on garde la forme produit.
Astuce de vérification : à la fin, vérifie toujours que \(P(x_i) = y_i\) sur au moins deux points. C’est instantané et cela élimine la quasi-totalité des erreurs de signe au dénominateur.
IV. Exemples résolus
Passons à la pratique avec trois exemples de difficulté croissante, du calcul direct à la manipulation théorique de la base.
A. 🔵 Interpoler trois points
Énoncé. Trouver le polynôme \(P\) de degré au plus 2 tel que \(P(0) = 1\), \(P(1) = 2\) et \(P(2) = 5\).
Étape 1. Trois points, abscisses \(0, 1, 2\) distinctes, donc \(\deg P \leq 2\).
Étape 2. On construit les trois polynômes de Lagrange :
\(L_0(X) = \displaystyle\frac{(X-1)(X-2)}{(0-1)(0-2)} = \displaystyle\frac{(X-1)(X-2)}{2}\)
\(L_1(X) = \displaystyle\frac{(X-0)(X-2)}{(1-0)(1-2)} = -X(X-2)\)
\(L_2(X) = \displaystyle\frac{(X-0)(X-1)}{(2-0)(2-1)} = \displaystyle\frac{X(X-1)}{2}\)
Étape 3. On combine avec \(y_0 = 1\), \(y_1 = 2\), \(y_2 = 5\) :
\(P(X) = \displaystyle\frac{(X-1)(X-2)}{2} – 2X(X-2) + \displaystyle\frac{5X(X-1)}{2}.\)
Étape 4. Après développement :
\(P(X) = X^2 + 1.\)
Vérification : \(P(0)=1\), \(P(1)=2\), \(P(2)=5\). ✓
B. 🟠 La somme des polynômes de Lagrange vaut 1
Énoncé. Montrer que \(\displaystyle\sum_{i=0}^{n} L_i(X) = 1\).
Idée. On reconnaît un polynôme interpolateur déguisé. Considérons la fonction constante égale à \(1\) : c’est un polynôme de degré \(0 \leq n\) qui prend la valeur \(1\) en chaque \(x_i\).
D’une part, le polynôme constant \(1\) interpole les points \((x_i, 1)\). D’autre part, la formule de Lagrange appliquée aux ordonnées \(y_i = 1\) donne l’interpolant \(\displaystyle\sum_{i=0}^{n} 1 \cdot L_i = \sum_{i=0}^{n} L_i\).
Par unicité du polynôme interpolateur dans \(\mathbb{K}_n[X]\), ces deux polynômes sont égaux :
\(\displaystyle\sum_{i=0}^{n} L_i(X) = 1. \quad ∎\)
Cette propriété est très demandée (requête fréquente « somme des polynômes de Lagrange ») : elle illustre le raisonnement « par unicité » qui est le cœur de la puissance de la méthode.
C. 🔴 Décomposer dans la base de Lagrange (type concours)
Énoncé. Soit \(x_0, \ldots, x_n\) distincts et \((L_i)\) la base de Lagrange associée. Montrer que pour tout entier \(k\) tel que \(0 \leq k \leq n\) :
\(\displaystyle\sum_{i=0}^{n} x_i^{\,k} \, L_i(X) = X^k.\)
Démonstration. Le polynôme \(X^k\) appartient à \(\mathbb{K}_n[X]\) car \(k \leq n\). Comme \((L_0, \ldots, L_n)\) est une base de \(\mathbb{K}_n[X]\) et que les coordonnées d’un polynôme \(Q\) dans cette base sont \((Q(x_i))_{0 \leq i \leq n}\), on décompose \(X^k\) selon :
\(X^k = \displaystyle\sum_{i=0}^{n} \big(x_i^{\,k}\big) \, L_i(X),\)
puisque la valeur de \(X^k\) en \(x_i\) est précisément \(x_i^{\,k}\). Le cas \(k = 0\) redonne l’identité de l’exemple précédent. ∎
Tu maîtrises les calculs ? Pour t’entraîner dans les conditions du concours avec des corrigés détaillés par un polytechnicien, jette un œil aux exercices corrigés sur les polynômes.
V. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Voici les trois fautes qui coûtent le plus de points, présentées sous forme de copie commentée.
A. Le dénominateur évalué au mauvais endroit
❌ Copie fautive : pour \(L_1\) avec \(x_0=0, x_1=1, x_2=2\), l’élève écrit \(L_1(X) = \displaystyle\frac{(X-0)(X-2)}{(1-0)(2-1)}\).
🔍 Diagnostic : au dénominateur, tous les facteurs doivent être évalués en \(x_1 = 1\), donc \((x_1 – x_0)(x_1 – x_2) = (1-0)(1-2)\). Ici le second facteur a été écrit \((2-1)\) au lieu de \((1-2)\) : une erreur de signe.
✅ Correction : \(L_1(X) = \displaystyle\frac{(X-0)(X-2)}{(1-0)(1-2)} = -X(X-2)\).
B. Croire que le degré est exactement n
❌ Copie fautive : « J’ai 4 points donc \(P\) est de degré 3. »
🔍 Diagnostic : faux. Avec 4 points alignés, l’interpolant est une droite (degré 1). Le théorème affirme \(\deg P \leq n\), pas l’égalité.
✅ Correction : on annonce toujours « degré inférieur ou égal à \(n\) ».
C. Oublier l’hypothèse des abscisses distinctes
Piège théorique : si deux abscisses coïncident, un dénominateur \(x_i – x_j\) s’annule et la formule n’a plus de sens. C’est l’unique hypothèse indispensable — la mentionner explicitement est attendu par le correcteur. Pour interpoler aussi des dérivées en des points répétés, on passe à l’interpolation d’Hermite, hors programme de Sup.
VI. Exercices d’application
À toi de jouer. Cherche chaque exercice avant de dérouler la correction.
Exercice 1 — ★ Calcul direct. Déterminer le polynôme \(P\) de degré au plus 2 tel que \(P(-1) = 0\), \(P(0) = 1\), \(P(1) = 4\).
Voir la correction
Abscisses \(-1, 0, 1\) distinctes, \(\deg P \leq 2\).
\(L_{-1} = \displaystyle\frac{X(X-1)}{(-1)(-2)} = \displaystyle\frac{X(X-1)}{2}\), avec \(y=0\) ce terme disparaît.
\(L_0 = \displaystyle\frac{(X+1)(X-1)}{(1)(-1)} = -(X^2-1)\), coefficient \(y=1\).
\(L_1 = \displaystyle\frac{(X+1)X}{(2)(1)} = \displaystyle\frac{X^2+X}{2}\), coefficient \(y=4\).
\(P(X) = -(X^2-1) + 4 \cdot \displaystyle\frac{X^2+X}{2} = -X^2 + 1 + 2X^2 + 2X = X^2 + 2X + 1 = (X+1)^2.\)Vérification : \(P(-1)=0\), \(P(0)=1\), \(P(1)=4\). ✓
Exercice 2 — ★★ Raisonnement. Soit \(x_0, \ldots, x_n\) distincts. Montrer que \(\displaystyle\sum_{i=0}^{n} x_i \, L_i(X) = X\), puis en déduire \(\displaystyle\sum_{i=0}^{n} x_i \, L_i(0)\).
Voir la correction
Le polynôme \(X\) est dans \(\mathbb{K}_n[X]\) (degré \(1 \leq n\) dès que \(n \geq 1\)). Sa valeur en \(x_i\) est \(x_i\). Par décomposition dans la base de Lagrange :
\(X = \displaystyle\sum_{i=0}^{n} x_i \, L_i(X).\)En évaluant en \(0\) : \(\displaystyle\sum_{i=0}^{n} x_i \, L_i(0) = 0\) (puisque le membre de gauche vaut \(X\) évalué en 0). ✓
Exercice 3 — ★★★ Vers le concours. Soit \(P \in \mathbb{K}_n[X]\) et \(x_0, \ldots, x_n\) distincts. Démontrer que pour tout \(X\) : \(P(X) = \displaystyle\sum_{i=0}^{n} P(x_i) \, L_i(X)\). En quoi est-ce une généralisation de la formule de Lagrange ?
Voir la correction
Posons \(Q = \displaystyle\sum_{i=0}^{n} P(x_i) L_i\). Alors \(Q \in \mathbb{K}_n[X]\) et pour tout \(k\), \(Q(x_k) = \displaystyle\sum_i P(x_i)\delta_{i,k} = P(x_k)\). Donc \(P\) et \(Q\) sont deux éléments de \(\mathbb{K}_n[X]\) coïncidant en \(n+1\) points distincts : par unicité du polynôme interpolateur, \(P = Q\).
C’est exactement la formule de Lagrange dans laquelle on a remplacé les données \(y_i\) par les valeurs \(P(x_i)\) : tout polynôme de degré \(\leq n\) est son propre interpolant sur \(n+1\) points. ✓
VII. Rédaction concours : ce que le correcteur attend
Sur une question d’interpolation, les points ne se gagnent pas seulement par le calcul, mais par la rigueur de la justification. Voici la checklist du correcteur.
Les 4 réflexes qui rapportent des points :
- Énoncer l’hypothèse des abscisses distinctes avant d’écrire la moindre fraction. C’est ce qui légitime les dénominateurs non nuls.
- Pour l’existence, ne pas juste « poser » la formule : vérifier que \(P(x_k) = y_k\) en utilisant \(L_i(x_k) = \delta_{i,k}\). La phrase « par construction » sans justification est sanctionnée.
- Pour l’unicité, invoquer le bon théorème : « un polynôme de \(\mathbb{K}_n[X]\) ayant \(n+1\) racines distinctes est nul ». Voir le cours sur les racines d’un polynôme pour ce résultat clé.
- Distinguer existence et unicité : ce sont deux démonstrations séparées. Beaucoup de copies traitent l’une en croyant traiter l’autre.
L’erreur de rédaction la plus pénalisée : écrire que \((L_i)\) est une base « car il y a \(n+1\) polynômes ». Il faut justifier la liberté (par exemple en évaluant une combinaison nulle en chaque \(x_j\)), puis conclure par l’argument de dimension \(\dim \mathbb{K}_n[X] = n+1\).
Note culturelle utile aux oraux : l’interpolation de Lagrange souffre du phénomène de Runge. Lorsque le degré augmente avec des nœuds équirépartis, l’interpolant peut osciller violemment près des bords de l’intervalle. C’est pourquoi, en pratique numérique, on lui préfère les nœuds de Tchebychev (cf. polynômes de Tchebychev) ou les splines. Mentionner ce point montre une vraie maturité.
VIII. Questions fréquentes
Quelle est la formule du polynôme de Lagrange ?
Pour \(n+1\) points \((x_i, y_i)\) d’abscisses distinctes, le polynôme interpolateur est \(P(X) = \displaystyle\sum_{i=0}^{n} y_i L_i(X)\), où \(L_i(X) = \displaystyle\prod_{j \neq i} \displaystyle\frac{X – x_j}{x_i – x_j}\) est le \(i\)-ième polynôme de Lagrange. C’est l’unique polynôme de degré inférieur ou égal à \(n\) passant par tous ces points.
Pourquoi le polynôme interpolateur est-il unique ?
Si deux polynômes \(P\) et \(Q\) de degré \(\leq n\) passent par les mêmes \(n+1\) points, leur différence \(P – Q\) possède \(n+1\) racines distinctes tout en étant de degré \(\leq n\). Or seul le polynôme nul a strictement plus de racines que son degré : donc \(P = Q\).
Quelle est la différence entre l'interpolation de Lagrange et la formule de Taylor-Lagrange ?
Ce sont deux objets distincts qui partagent le nom de Lagrange. L’interpolation de Lagrange construit un polynôme prenant des valeurs imposées en plusieurs points : c’est de l’algèbre. L’inégalité de Taylor-Lagrange majore l’erreur d’approximation d’une fonction par son développement de Taylor en un seul point : c’est de l’analyse. Voir l’inégalité de Taylor-Lagrange.
Combien de points faut-il pour un polynôme de degré n ?
Il faut exactement \(n+1\) points à abscisses distinctes pour déterminer un polynôme de degré au plus \(n\). Attention : le degré obtenu peut être strictement inférieur à \(n\) (par exemple une droite si les points sont alignés).
Pourquoi parle-t-on de « base de Lagrange » ?
Les \(n+1\) polynômes \(L_0, \ldots, L_n\) forment une base de \(\mathbb{K}_n[X]\), espace de dimension \(n+1\). Dans cette base, les coordonnées d’un polynôme \(Q\) sont tout simplement ses valeurs \((Q(x_0), \ldots, Q(x_n))\), ce qui rend la décomposition immédiate.
Quel est le principal défaut de l'interpolation de Lagrange ?
Le phénomène de Runge : avec un grand nombre de nœuds équirépartis, l’interpolant oscille fortement près des bords. En pratique, on choisit des nœuds de Tchebychev ou on utilise des splines. La forme de Lagrange a aussi le défaut de devoir tout recalculer si l’on ajoute un point — la forme de Newton corrige ce point.
IX. Pour aller plus loin
Tu sais désormais construire, démontrer et critiquer l’interpolant de Lagrange. Pour consolider, explore les notions voisines du cocon :
- Racines d’un polynôme : multiplicité et relations coefficients-racines — le résultat clé qui fonde l’unicité.
- Division euclidienne des polynômes — l’outil pour factoriser et manipuler \(\mathbb{K}[X]\).
- Polynômes de Tchebychev — les nœuds optimaux qui tuent le phénomène de Runge.
- Les polynômes : cours complet — la vue d’ensemble du chapitre.
