La fonction carré, la fonction cube et la fonction racine carrée sont trois fonctions de référence incontournables en mathématiques. Étudiées dès la classe de seconde, elles reviennent constamment dans les chapitres suivants — tableaux de variation, résolution d’équations, études de fonctions — et jusqu’en classe préparatoire.
Dans ce cours, tu trouveras pour chacune de ces trois fonctions : la définition précise, le sens de variation avec son tableau, la courbe représentative, les propriétés essentielles (parité, signe), les pièges classiques à éviter, et des exercices corrigés progressifs. Tu découvriras aussi comment ces fonctions se comparent entre elles grâce à l’étude de leurs positions relatives.
1. La fonction carré
1.1 Définition et notation
Définition — Fonction carré
La fonction carré est la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\(f(x) = x^2\)
Elle associe à tout nombre réel \(x\) son carré \(x^2 = x \times x\).
Exemples de calcul d’images :
- L’image de \(3\) par la fonction carré est \(3^2 = 9\).
- L’image de \(-4\) est \((-4)^2 = 16\).
- L’image de \(0\) est \(0^2 = 0\).
- L’image de \(\sqrt{2}\) est \((\sqrt{2})^2 = 2\).
Remarque importante : la fonction carré donne toujours un résultat positif ou nul. Pour tout réel \(x\), on a \(x^2 \geq 0\). En effet, le produit de deux nombres de même signe est toujours positif.
1.2 Sens de variation et tableau de variation
Propriété — Variations de la fonction carré
La fonction carré est strictement décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\) et strictement croissante sur \([0\,;\,+\infty[\).
Son minimum est atteint en \(x = 0\), avec \(f(0) = 0\).
Tableau de variation :
![Tableau de variation de la fonction carré : décroissante sur ]-∞ ; 0] puis croissante sur [0 ; +∞[](https://www.excellence-maths.fr/wp-content/uploads/2026/02/tableau-variation-fonction-carre.png)
Pour une méthode complète de construction des tableaux de variation, consulte notre page dédiée : tableau de variation d’une fonction.
Conséquence pour les comparaisons :
- Si \(a\) et \(b\) sont deux réels positifs avec \(a\) < \(b\), alors \(a^2\) < \(b^2\) (l’ordre est conservé).
- Si \(a\) et \(b\) sont deux réels négatifs avec \(a\) < \(b\), alors \(a^2\) > \(b^2\) (l’ordre est inversé).
Exemple — Encadrement de \(x^2\)
On sait que \(x \in [2\,;\,5]\). Comme \(2\) et \(5\) sont positifs et que la fonction carré est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\), on en déduit : \(4 \leq x^2 \leq 25\).
1.3 Courbe représentative : la parabole
La courbe représentative de la fonction carré dans un repère orthonormé est une parabole de sommet \(O(0\,;\,0)\), tournée vers le haut.
Voici quelques points remarquables de cette courbe :
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x) = x^2\) | \(9\) | \(4\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(4\) | \(9\) |
On remarque que les points \((-1\,;\,1)\) et \((1\,;\,1)\) sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées. C’est la conséquence directe de la parité de la fonction carré.
1.4 Parité : la fonction carré est paire
Pour tout réel \(x\), on a \((-x)^2 = (-x) \times (-x) = x \times x = x^2\), donc :
\(f(-x) = f(x)\)
Propriété
La fonction carré est une fonction paire. Sa courbe admet l’axe des ordonnées comme axe de symétrie.
Pour approfondir la notion de parité et d’imparité, consulte la page : fonctions paires et impaires.
1.5 Résolution d’équations et d’inéquations avec \(x^2\)
Équation \(x^2 = a\)
Trois cas se présentent selon le signe de \(a\) :
| Valeur de \(a\) | Solutions de \(x^2 = a\) |
|---|---|
| \(a\) < \(0\) | Aucune solution (un carré est toujours positif) |
| \(a = 0\) | Une seule solution : \(x = 0\) |
| \(a\) > \(0\) | Deux solutions : \(x = \sqrt{a}\) et \(x = -\sqrt{a}\) |
Exemple — Résoudre \(x^2 = 25\).
Comme \(25\) > \(0\), l’équation admet deux solutions : \(x = \sqrt{25} = 5\) et \(x = -\sqrt{25} = -5\).
Inéquation \(x^2 \leq a\) (avec \(a \geq 0\))
L’inéquation \(x^2 \leq a\) équivaut à \(-\sqrt{a} \leq x \leq \sqrt{a}\), c’est-à-dire \(x \in [-\sqrt{a}\,;\,\sqrt{a}]\).
Inéquation \(x^2 \geq a\) (avec \(a \geq 0\))
L’inéquation \(x^2 \geq a\) équivaut à \(x \leq -\sqrt{a}\) ou \(x \geq \sqrt{a}\), c’est-à-dire \(x \in ]-\infty\,;\,-\sqrt{a}] \cup [\sqrt{a}\,;\,+\infty[\).
Piège classique — \(\sqrt{x^2}\) n’est pas toujours égal à \(x\)
Beaucoup d’élèves écrivent \(\sqrt{x^2} = x\). C’est faux lorsque \(x\) est négatif ! La formule correcte est :
\(\sqrt{x^2} = |x|\)
Par exemple : \(\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 = |-3|\), et non \(-3\).
2. La fonction cube
2.1 Définition et notation
Définition — Fonction cube
La fonction cube est la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\(g(x) = x^3\)
Elle associe à tout nombre réel \(x\) son cube \(x^3 = x \times x \times x\).
Exemples :
- \(g(2) = 2^3 = 8\)
- \(g(-3) = (-3)^3 = -27\)
- \(g(0{,}5) = (0{,}5)^3 = 0{,}125\)
Contrairement à la fonction carré, le signe de \(x^3\) est le même que celui de \(x\) : un cube de nombre négatif reste négatif, un cube de nombre positif reste positif.
2.2 Sens de variation et tableau de variation
Propriété — Variations de la fonction cube
La fonction cube est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) tout entier. Elle n’admet aucun extremum (ni maximum, ni minimum).
Tableau de variation :
Conséquence : comme la fonction cube est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), elle conserve toujours l’ordre. Si \(a\) < \(b\), alors \(a^3\) < \(b^3\), quels que soient les signes de \(a\) et \(b\).
Astuce
La croissance de la fonction cube simplifie beaucoup les comparaisons : pas besoin de distinguer les cas positif et négatif (contrairement à la fonction carré).
2.3 Courbe représentative de la fonction cube
La courbe de la fonction cube passe par l’origine \(O(0\,;\,0)\) et présente un point d’inflexion en ce même point.
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(g(x) = x^3\) | \(-8\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(8\) |
2.4 Imparité : la fonction cube est impaire
Pour tout réel \(x\), on a \((-x)^3 = (-x)(-x)(-x) = -(x^3)\), donc :
\(g(-x) = -g(x)\)
Propriété
La fonction cube est une fonction impaire. Sa courbe admet l’origine du repère comme centre de symétrie.
Pour comprendre la différence entre fonctions paires et impaires, consulte : fonctions paires et impaires.
2.5 Résolution de l’équation \(x^3 = k\)
Contrairement à l’équation \(x^2 = a\), l’équation \(x^3 = k\) admet toujours une solution unique pour tout réel \(k\). Cette solution est la racine cubique de \(k\), notée \(\sqrt[3]{k}\).
Exemples :
\(x^3 = 8\) donne \(x = 2\).
\(x^3 = -27\) donne \(x = -3\).
Piège classique
Ne pas confondre carré et cube avec les signes : \((-x)^2 = x^2\) (le signe disparaît) mais \((-x)^3 = -x^3\) (le signe est conservé). C’est la conséquence directe de la parité (carré = paire) et de l’imparité (cube = impaire).
3. La fonction racine carrée
3.1 Définition et ensemble de définition
Définition — Fonction racine carrée
La fonction racine carrée est la fonction \(h\) définie sur \([0\,;\,+\infty[\) par :
\(h(x) = \sqrt{x}\)
Elle associe à tout réel positif \(x\) l’unique nombre positif dont le carré vaut \(x\).
L’ensemble de définition de la fonction racine carrée est \([0\,;\,+\infty[\) : on ne peut pas calculer la racine carrée d’un nombre négatif (dans \(\mathbb{R}\)).
Exemples :
- \(\sqrt{9} = 3\) car \(3^2 = 9\) et \(3 \geq 0\).
- \(\sqrt{0} = 0\).
- \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\).
Piège — La racine carrée est toujours positive
Par définition, \(\sqrt{x} \geq 0\). Ainsi, \(\sqrt{9} = 3\) et non \(\pm 3\). La confusion vient de l’équation \(x^2 = 9\) qui, elle, admet bien deux solutions (\(3\) et \(-3\)).
3.2 Sens de variation et tableau de variation
Propriété — Variations de la fonction racine carrée
La fonction racine carrée est strictement croissante sur \([0\,;\,+\infty[\).
Tableau de variation :
Démonstration de la croissance (pour les élèves de Première et au-delà) :
Soient \(a\) et \(b\) deux réels positifs avec \(a\) < \(b\). On utilise l’expression conjuguée :
\(\sqrt{b} – \sqrt{a} = \frac{b – a}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}\)
Comme \(b – a\) > \(0\) et \(\sqrt{b} + \sqrt{a}\) > \(0\), le quotient est strictement positif. Donc \(\sqrt{b}\) > \(\sqrt{a}\) : la fonction est bien croissante.
Astuce pour les comparaisons
Comme la fonction racine carrée est croissante, si \(0 \leq a\) < \(b\), alors \(\sqrt{a}\) < \(\sqrt{b}\). L’ordre est toujours conservé (pas de piège de signe comme avec la fonction carré).
3.3 Courbe représentative
La courbe de la fonction racine carrée est une demi-parabole couchée. Elle part de l’origine et croît de plus en plus lentement.
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(4\) | \(9\) | \(16\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(h(x) = \sqrt{x}\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
3.4 Propriétés de calcul sur les racines carrées
Pour tous réels positifs \(a\) et \(b\) :
| Propriété | Formule | Condition |
|---|---|---|
| Produit | \(\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\) | \(a \geq 0,\; b \geq 0\) |
| Quotient | \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) | \(a \geq 0,\; b\) > \(0\) |
| Carré d’une racine | \((\sqrt{x})^2 = x\) | \(x \geq 0\) |
| Racine d’un carré | \(\sqrt{x^2} = |x|\) | Pour tout \(x \in \mathbb{R}\) |
Piège majeur — La racine d’une somme
On n’a pas le droit d’écrire \(\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}\). C’est faux en général !
Contre-exemple : \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), mais \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7 \neq 5\).
La racine carrée se distribue sur le produit et le quotient, jamais sur la somme ou la différence.
3.5 Résolution de l’équation \(\sqrt{x} = k\)
Pour résoudre \(\sqrt{x} = k\), on distingue deux cas :
- Si \(k\) < \(0\) : aucune solution (la racine carrée est toujours positive).
- Si \(k \geq 0\) : on élève au carré. La solution unique est \(x = k^2\), à condition que \(x \geq 0\) (ce qui est automatiquement vérifié puisque \(k^2 \geq 0\)).
Exemple — Résoudre \(\sqrt{x} = 3\).
Comme \(3 \geq 0\), on élève au carré : \(x = 3^2 = 9\). Vérification : \(\sqrt{9} = 3\) ✓
4. Lien entre fonction carré et fonction racine carrée
4.1 Fonctions réciproques l’une de l’autre sur \(\mathbb{R}^+\)
Sur l’intervalle \([0\,;\,+\infty[\), la fonction carré et la fonction racine carrée se « compensent » mutuellement :
- Si on applique la fonction carré puis la racine carrée : \(\sqrt{x^2} = x\) (pour \(x \geq 0\)).
- Si on applique la racine carrée puis la fonction carré : \((\sqrt{x})^2 = x\) (pour \(x \geq 0\)).
Propriété — Fonctions réciproques
Sur \([0\,;\,+\infty[\), la fonction carré et la fonction racine carrée sont réciproques l’une de l’autre. Graphiquement, leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite \(y = x\).
4.2 Attention aux domaines
La relation de réciprocité ne fonctionne que sur \([0\,;\,+\infty[\). En dehors de ce domaine, il faut faire attention :
- \(\sqrt{x^2} = |x|\) pour tout réel \(x\) (et non \(x\)).
- \((\sqrt{x})^2 = x\) uniquement si \(x \geq 0\) (sinon \(\sqrt{x}\) n’existe pas).
Moyen mnémotechnique
Retiens : « La racine carrée donne toujours un résultat positif. Pour retrouver le signe, il faut la valeur absolue. »
5. Positions relatives des courbes
5.1 Comparaison de \(x^2\), \(x^3\), \(x\) et \(\sqrt{x}\) sur \(\mathbb{R}^+\)
Lorsqu’on superpose les courbes des quatre fonctions \(x \mapsto \sqrt{x}\), \(x \mapsto x\), \(x \mapsto x^2\) et \(x \mapsto x^3\) sur l’intervalle \([0\,;\,+\infty[\), on observe un changement d’ordre au point \(x = 1\) :
| Intervalle | Ordre des fonctions (de la plus petite à la plus grande) |
|---|---|
| \(0\) < \(x\) < \(1\) | \(x^3\) < \(x^2\) < \(x\) < \(\sqrt{x}\) |
| \(x = 1\) | \(x^3 = x^2 = x = \sqrt{x} = 1\) |
| \(x\) > \(1\) | \(\sqrt{x}\) < \(x\) < \(x^2\) < \(x^3\) |
5.2 Justification algébrique
On peut justifier ces résultats en étudiant les signes de certaines différences :
Comparaison \(x^2\) et \(x\) : On étudie \(x^2 – x = x(x – 1)\). Ce produit est négatif si \(0\) < \(x\) < \(1\) (donc \(x^2\) < \(x\)) et positif si \(x\) > \(1\) (donc \(x^2\) > \(x\)).
Comparaison \(x\) et \(\sqrt{x}\) : On étudie \(x – \sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x} – 1)\). Ce produit est négatif si \(0\) < \(x\) < \(1\) (donc \(x\) < \(\sqrt{x}\)) et positif si \(x\) > \(1\) (donc \(x\) > \(\sqrt{x}\)).
Comparaison \(x^3\) et \(x^2\) : On étudie \(x^3 – x^2 = x^2(x – 1)\). Comme \(x^2 \geq 0\), le signe dépend de \((x – 1)\) : négatif si \(x\) < \(1\), positif si \(x\) > \(1\).
Moyen mnémotechnique
Entre 0 et 1, « plus la puissance est élevée, plus la valeur est petite ». Après 1, c’est l’inverse : « plus la puissance est élevée, plus la valeur est grande ». Toutes les courbes se croisent au point \((1\,;\,1)\).
6. Tableau récapitulatif des trois fonctions
| Fonction carré | Fonction cube | Fonction racine carrée | |
|---|---|---|---|
| Notation | \(f(x) = x^2\) | \(g(x) = x^3\) | \(h(x) = \sqrt{x}\) |
| Ensemble de définition | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}\) | \([0\,;\,+\infty[\) |
| Signe | Toujours \(\geq 0\) | Même signe que \(x\) | Toujours \(\geq 0\) |
| Parité | Paire | Impaire | Ni paire, ni impaire |
| Variations | ↘ sur \(]-\infty\,;\,0]\) puis ↗ sur \([0\,;\,+\infty[\) | ↗ sur \(\mathbb{R}\) | ↗ sur \([0\,;\,+\infty[\) |
| Courbe | Parabole (sommet à l’origine) | Cubique (point d’inflexion à l’origine) | Demi-parabole couchée |
| Points particuliers | \(f(0) = 0,\; f(1) = 1\) | \(g(0) = 0,\; g(1) = 1\) | \(h(0) = 0,\; h(1) = 1\) |
Pour retrouver l’ensemble des fonctions de référence, consulte la page : fonctions usuelles et de référence.
7. Pour aller plus loin (Première / Terminale)
7.1 Dérivées de \(x^2\), \(x^3\) et \(\sqrt{x}\)
En classe de Première, on apprend à calculer la dérivée d’une fonction. Voici les dérivées des trois fonctions étudiées :
| Fonction | Dérivée | Ensemble de dérivabilité |
|---|---|---|
| \(f(x) = x^2\) | \(f'(x) = 2x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(g(x) = x^3\) | \(g'(x) = 3x^2\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(h(x) = \sqrt{x}\) | \(h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\) | \(]0\,;\,+\infty[\) |
On retrouve bien les résultats du cours : \(f'(x) = 2x\) est négatif pour \(x\) < \(0\) et positif pour \(x\) > \(0\), ce qui confirme que la fonction carré est décroissante puis croissante.
Pour le tableau des dérivées usuelles complet et la méthode de calcul de dérivées, consulte le cocon dédié.
7.2 Convexité
En Terminale, on étudie la convexité des fonctions :
- La fonction carré est convexe sur \(\mathbb{R}\) (sa courbe est « tournée vers le haut »).
- La fonction cube possède un point d’inflexion en \(x = 0\) : elle est concave sur \(]-\infty\,;\,0]\) et convexe sur \([0\,;\,+\infty[\).
- La fonction racine carrée est concave sur \(]0\,;\,+\infty[\) (sa courbe est « tournée vers le bas »).
7.3 Transformations de courbes
En Première, on apprend à transformer les courbes des fonctions de référence : translations verticales (\(f(x) + k\)), translations horizontales (\(f(x – h)\)) et dilatations (\(a \cdot f(x)\)). Par exemple, la courbe de \(y = (x – 3)^2 + 1\) est la parabole de la fonction carré translatée de 3 unités vers la droite et de 1 unité vers le haut.
Pour les détails sur les transformations, consulte la page pilier sur les fonctions.
8. Exercices corrigés
Voici une sélection d’exercices progressifs sur les trois fonctions de référence. Chaque correction est détaillée étape par étape.
8.1 Exercices sur la fonction carré
Exercice 1 — Comparaison d’images (⭐)
Comparer, sans calculatrice, les nombres suivants :
a) \((-3{,}2)^2\) et \((-2{,}7)^2\) b) \(1{,}01^2\) et \(1{,}1^2\) c) \((-5)^2\) et \(3^2\)
Voir la correction
a) \(-3{,}2\) et \(-2{,}7\) sont négatifs. La fonction carré est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\). Comme \(-3{,}2\) < \(-2{,}7\), on en déduit \((-3{,}2)^2\) > \((-2{,}7)^2\).
b) \(1{,}01\) et \(1{,}1\) sont positifs. La fonction carré est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\). Comme \(1{,}01\) < \(1{,}1\), on en déduit \(1{,}01^2\) < \(1{,}1^2\).
c) Les deux nombres ne sont pas de même signe, on calcule directement : \((-5)^2 = 25\) et \(3^2 = 9\), donc \((-5)^2\) > \(3^2\).
Exercice 2 — Encadrement (⭐)
On sait que \(x \in [-3\,;\,5]\). Déterminer un encadrement de \(x^2\).
Voir la correction
L’intervalle \([-3\,;\,5]\) contient \(0\), donc il faut séparer l’étude :
Sur \([-3\,;\,0]\), la fonction carré est décroissante : \(x^2\) varie de \(9\) à \(0\).
Sur \([0\,;\,5]\), la fonction carré est croissante : \(x^2\) varie de \(0\) à \(25\).
Le minimum est donc \(0\) (atteint en \(x = 0\)) et le maximum est \(25\) (atteint en \(x = 5\)).
Conclusion : \(0 \leq x^2 \leq 25\).
Exercice 3 — Résolution d’inéquation (⭐⭐)
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation \(x^2\) < \(16\).
Voir la correction
\(x^2\) < \(16\) équivaut à \(x^2\) < \(4^2\), soit \(-4\) < \(x\) < \(4\).
L’ensemble des solutions est \(]-4\,;\,4[\).
Exercice 4 — Résolution d’équation (⭐⭐)
Résoudre \(3x^2 – 12 = 0\).
Voir la correction
\(3x^2 – 12 = 0 \iff 3x^2 = 12 \iff x^2 = 4\).
Comme \(4\) > \(0\), les solutions sont \(x = 2\) et \(x = -2\).
8.2 Exercices sur la fonction cube
Exercice 5 — Comparaison d’images (⭐)
Comparer sans calculatrice : a) \((-2)^3\) et \((-1{,}5)^3\) b) \(0{,}4^3\) et \(0{,}7^3\)
Voir la correction
La fonction cube est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), elle conserve donc toujours l’ordre.
a) \(-2\) < \(-1{,}5\) donc \((-2)^3\) < \((-1{,}5)^3\), soit \(-8\) < \(-3{,}375\). ✓
b) \(0{,}4\) < \(0{,}7\) donc \(0{,}4^3\) < \(0{,}7^3\). ✓
Exercice 6 — Résolution (⭐)
Résoudre \(x^3 = -64\).
Voir la correction
On cherche le nombre dont le cube vaut \(-64\). Comme \((-4)^3 = -64\), la solution unique est \(x = -4\).
Exercice 7 — Signe de la fonction cube (⭐⭐)
Déterminer le signe de \(g(x) = x^3\) selon les valeurs de \(x\).
Voir la correction
Le cube d’un nombre a le même signe que ce nombre :
- Si \(x\) > \(0\) alors \(x^3\) > \(0\).
- Si \(x = 0\) alors \(x^3 = 0\).
- Si \(x\) < \(0\) alors \(x^3\) < \(0\).
8.3 Exercices sur la fonction racine carrée
Exercice 8 — Ensemble de définition (⭐)
Déterminer l’ensemble de définition de \(f(x) = \sqrt{2x – 6}\).
Voir la correction
L’expression sous la racine doit être positive ou nulle : \(2x – 6 \geq 0 \iff 2x \geq 6 \iff x \geq 3\).
L’ensemble de définition est \([3\,;\,+\infty[\).
Exercice 9 — Comparaison (⭐)
Comparer sans calculatrice \(\sqrt{7}\) et \(\sqrt{11}\).
Voir la correction
La fonction racine carrée est strictement croissante sur \([0\,;\,+\infty[\). Comme \(7\) < \(11\), on en déduit \(\sqrt{7}\) < \(\sqrt{11}\).
Exercice 10 — Résolution d’équation (⭐⭐)
Résoudre \(\sqrt{x} = 5\).
Voir la correction
Comme \(5 \geq 0\), on peut élever au carré : \(x = 5^2 = 25\).
Vérification : \(\sqrt{25} = 5\) ✓. La solution est \(x = 25\).
Exercice 11 — Simplification (⭐⭐)
Simplifier les expressions suivantes :
a) \(\sqrt{49}\) b) \(\sqrt{(-5)^2}\) c) \(\sqrt{12}\) d) \((\sqrt{7})^2\)
Voir la correction
a) \(\sqrt{49} = 7\).
b) \(\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 = |-5|\). Attention : le résultat est \(5\), pas \(-5\).
c) \(\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\).
d) \((\sqrt{7})^2 = 7\) (par définition de la racine carrée).
8.4 Exercices de synthèse : comparer les trois fonctions
Exercice 12 — Positions relatives (⭐⭐)
Soit \(x = 0{,}5\). Classer dans l’ordre croissant les quatre nombres : \(x^3\), \(x^2\), \(x\), \(\sqrt{x}\).
Voir la correction
\(x = 0{,}5\) est compris entre 0 et 1. D’après les positions relatives :
\(x^3\) < \(x^2\) < \(x\) < \(\sqrt{x}\)
Vérifions : \((0{,}5)^3 = 0{,}125\), \((0{,}5)^2 = 0{,}25\), \(0{,}5 = 0{,}5\), \(\sqrt{0{,}5} \approx 0{,}707\).
On a bien \(0{,}125\) < \(0{,}25\) < \(0{,}5\) < \(0{,}707\). ✓
Exercice 13 — Intersection de courbes (⭐⭐⭐)
Déterminer les valeurs de \(x\) positives pour lesquelles \(x^2 = \sqrt{x}\).
Voir la correction
On résout \(x^2 = \sqrt{x}\) pour \(x \geq 0\).
En élevant au carré les deux membres (licite car les deux sont positifs) : \(x^4 = x\), soit \(x^4 – x = 0\), soit \(x(x^3 – 1) = 0\).
Donc \(x = 0\) ou \(x^3 = 1\), c’est-à-dire \(x = 1\).
Les courbes de \(x^2\) et \(\sqrt{x}\) se coupent en \(x = 0\) et \(x = 1\).
Pour t’entraîner davantage, consulte nos pages d’exercices sur les fonctions en seconde et d’exercices sur les fonctions en 3ème.
9. Questions fréquentes
Quelle est la définition de la fonction carré ?
La fonction carré est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) qui, à tout réel \(x\), associe \(x^2 = x \times x\). C’est une fonction paire, positive ou nulle, dont la courbe est une parabole de sommet à l’origine. Elle est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\) et croissante sur \([0\,;\,+\infty[\).
Comment calculer la fonction cube ?
Pour calculer l’image d’un nombre \(x\) par la fonction cube, il suffit de multiplier \(x\) par lui-même trois fois : \(x^3 = x \times x \times x\). Par exemple, \(4^3 = 64\) et \((-2)^3 = -8\). Le signe du résultat est toujours le même que celui de \(x\).
Quel est le domaine de définition de la fonction racine carrée ?
La fonction racine carrée est définie sur \([0\,;\,+\infty[\), c’est-à-dire pour tous les réels positifs ou nuls. On ne peut pas calculer la racine carrée d’un nombre négatif dans \(\mathbb{R}\). Pour une expression comme \(\sqrt{2x – 3}\), il faut résoudre \(2x – 3 \geq 0\) pour trouver l’ensemble de définition.
La fonction carré est-elle paire ou impaire ?
La fonction carré est paire. Cela signifie que pour tout réel \(x\), on a \(f(-x) = f(x)\), c’est-à-dire \((-x)^2 = x^2\). Graphiquement, la parabole est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. En revanche, la fonction cube est impaire.
La fonction cube est-elle paire ou impaire ?
La fonction cube est impaire. Pour tout réel \(x\), on a \((-x)^3 = -x^3\), soit \(g(-x) = -g(x)\). Sa courbe est symétrique par rapport à l’origine du repère. Pour en savoir plus, consulte notre page sur les fonctions paires et impaires.
Est-ce que √(x²) est égal à x ?
Non, pas toujours ! L’égalité \(\sqrt{x^2} = x\) n’est vraie que si \(x \geq 0\). La formule correcte est \(\sqrt{x^2} = |x|\) (valeur absolue de \(x\)). Par exemple, \(\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 = |-3|\), et non \(-3\). C’est l’un des pièges les plus fréquents en mathématiques.
Comment comparer deux carrés ou deux racines carrées ?
Pour comparer deux carrés, il faut utiliser les variations de la fonction carré. Si les deux nombres sont positifs, le plus grand a le plus grand carré (la fonction est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\)). Si les deux sont négatifs, c’est l’inverse (la fonction est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\)). Pour les racines carrées, c’est plus simple : la fonction racine carrée est toujours croissante, donc l’ordre est toujours conservé.
Quelle est la différence entre fonction carré et fonction racine carrée ?
La fonction carré (\(x \mapsto x^2\)) est définie sur \(\mathbb{R}\) entier et élève un nombre au carré. La fonction racine carrée (\(x \mapsto \sqrt{x}\)) est définie uniquement sur \([0\,;\,+\infty[\) et effectue l’opération inverse. Sur les réels positifs, ces deux fonctions sont réciproques l’une de l’autre : \((\sqrt{x})^2 = x\) et \(\sqrt{x^2} = x\) (pour \(x \geq 0\)).
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