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Trouver un nombre inconnu à partir d’une égalité : voilà le cœur des équations, l’un des outils les plus puissants des mathématiques. De la 4e à la prépa, elles interviennent dans chaque chapitre — étude de fonctions, géométrie analytique, probabilités. Tu trouveras ici les définitions essentielles, les grandes familles d’équations et d’inéquations, un tableau récapitulatif des méthodes de résolution, des exemples résolus et les pièges classiques à éviter.
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I. Définitions et vocabulaire fondamental
A. Définition — Qu’est-ce qu’une équation ?
Définition — Équation
Une équation est une égalité mathématique contenant une ou plusieurs valeurs inconnues, qu’il s’agit de déterminer. Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs de l’inconnue qui rendent l’égalité vraie. Chacune de ces valeurs est une solution (ou racine) de l’équation.
Exemple. Dans l’équation \(2x + 3 = 7\), l’inconnue est \(x\). En remplaçant \(x\) par \(2\), on obtient \(2 \times 2 + 3 = 7\) : l’égalité est vérifiée. La valeur \(x = 2\) est donc l’unique solution de cette équation.
Interprétation graphique. Résoudre \(f(x) = 0\) revient à chercher les abscisses des points où la courbe de \(f\) coupe l’axe des abscisses. C’est le lien fondamental entre équations et fonctions : chaque fonction a ses propres « zéros », et les trouver, c’est résoudre une équation.
Le nombre de solutions dépend du type d’équation : une seule pour le premier degré, zéro à deux pour le second degré, un intervalle entier pour les inéquations. Voyons cela en détail.
B. Le vocabulaire des équations
Pour manipuler correctement une équation, il faut maîtriser les termes suivants :
| Terme | Définition | Exemple avec \(3x – 1 = 2x + 5\) |
|---|---|---|
| Membre de gauche | Expression à gauche du signe \(=\) | \(3x – 1\) |
| Membre de droite | Expression à droite du signe \(=\) | \(2x + 5\) |
| Inconnue | Lettre représentant la valeur cherchée | \(x\) |
| Solution (racine) | Valeur de l’inconnue qui vérifie l’égalité | \(x = 6\) |
| Ensemble de solutions | L’ensemble \(S\) de toutes les solutions | \(S = \{6\}\) |
Principe fondamental de résolution : on peut ajouter, soustraire, multiplier ou diviser les deux membres d’une équation par un même nombre (non nul pour la multiplication et la division), sans changer l’ensemble des solutions. C’est ce principe qui permet d’isoler l’inconnue étape par étape.
C. Équation et inéquation : quelle différence ?
Une équation utilise le signe \(=\) et exprime une égalité. Une inéquation utilise un signe d’inégalité (<, >, \(\leq\) ou \(\geq\)) et exprime une comparaison. La différence majeure porte sur la nature des solutions :
| Équation | Inéquation | |
|---|---|---|
| Signe | \(=\) | < , > , \(\leq\) , \(\geq\) |
| Solutions | Valeur(s) isolée(s) (en général) | Intervalle ou réunion d’intervalles |
| Exemple | \(2x + 1 = 5\) → \(S = \{2\}\) | \(2x + 1\) > \(5\) → \(S = ]2 \,;\, +\infty[\) |
Maintenant que les bases sont posées, passons en revue les grandes familles d’équations que tu rencontreras au fil de ta scolarité.
II. Les familles d’équations algébriques
Les équations algébriques sont celles où l’inconnue apparaît dans des expressions polynomiales. Elles forment le socle de la résolution d’équations, du collège au lycée. Leur résolution repose sur le calcul littéral — développer, factoriser, simplifier — et chaque méthode avancée se ramène, in fine, à résoudre des équations plus simples.
A. Équations du premier degré
🟢 Collège (4e–3e)
L’équation du premier degré est la première que tu apprends à résoudre. Elle se ramène toujours à la forme \(ax + b = 0\) avec \(a \neq 0\).
Propriété — Solution d’une équation du premier degré
L’équation \(ax + b = 0\) (avec \(a \neq 0\)) admet une unique solution :
\(x = -\displaystyle\frac{b}{a}\)
Exemple : \(5x – 3 = 0\) donne \(x = \displaystyle\frac{3}{5}\).
Les équations du premier degré incluent aussi celles avec des fractions, des parenthèses ou des termes à regrouper de chaque côté du signe \(=\). La résolution du premier degré est le fondement de toutes les autres méthodes : substitution, combinaison, élimination reviennent toujours à résoudre une équation du premier degré en dernière étape.
👉 Cours complet : équation du premier degré · Exercices 4e · Exercices 3e
B. Équations du second degré et discriminant
🟡 Seconde – Première
L’équation du second degré a la forme \(ax^2 + bx + c = 0\) avec \(a \neq 0\). Sa résolution repose sur le discriminant \(\Delta = b^2 – 4ac\), qui détermine le nombre de solutions réelles :
| Signe de \(\Delta\) | Nombre de solutions | Formule |
|---|---|---|
| \(\Delta\) > \(0\) | Deux solutions distinctes | \(x_{1,2} = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\) |
| \(\Delta = 0\) | Une solution double | \(x_0 = -\displaystyle\frac{b}{2a}\) |
| \(\Delta\) < \(0\) | Aucune solution réelle | — |
Le second degré est l’une des équations les plus fondamentales du lycée. La forme canonique \(a(x – \alpha)^2 + \beta\) donne directement le sommet de la parabole et permet d’étudier le signe du trinôme. Les cas particuliers (équation bicarrée, équation en facteur de \(x\)) se ramènent au second degré classique par un changement de variable.
👉 Cours complet : équation du second degré
Au-delà du second degré : les équations de degré 3 ou plus n’ont pas de formule de résolution systématique. On les résout par factorisation (en cherchant une racine évidente) ou par des méthodes numériques. Ces techniques sont approfondies en prépa.
C. Équations produit nul et quotient
🟢 Seconde
Lorsqu’un produit de facteurs est égal à zéro, au moins l’un des facteurs est nul. C’est la règle du produit nul :
Si \(A \times B = 0\), alors \(A = 0\) ou \(B = 0\).
Cette règle est le pont direct entre factorisation et résolution d’équations : on factorise l’expression, puis on résout chaque facteur séparément. C’est aussi la clé des équations du second degré quand on peut factoriser directement (identités remarquables, facteur commun).
L’équation quotient fonctionne sur le même principe : \(\displaystyle\frac{A}{B} = 0\) si et seulement si \(A = 0\) et \(B \neq 0\). Oublier la condition \(B \neq 0\) est un piège récurrent.
👉 Cours complet : équation produit nul et quotient
D. Systèmes d’équations à plusieurs inconnues
🟢 3e – Seconde
Quand un problème fait intervenir deux grandeurs inconnues, on le modélise par un système d’équations :
\(\begin{cases} ax + by = e \\ cx + dy = f \end{cases}\)
Deux méthodes principales de résolution :
- Substitution : on exprime une inconnue en fonction de l’autre, puis on remplace dans la seconde équation.
- Combinaison linéaire : on multiplie les équations par des coefficients bien choisis pour éliminer une inconnue.
Ces systèmes s’appuient intensivement sur le calcul littéral. En prépa, on les généralise aux systèmes linéaires à \(n\) inconnues résolus par le pivot de Gauss.
👉 Cours complet : équation à deux inconnues et systèmes
III. Équations géométriques et inéquations
Au-delà des équations purement algébriques, d’autres types d’équations interviennent en géométrie analytique (pour décrire des courbes dans le plan), dans les comparaisons d’expressions (inéquations) et en arithmétique (équations diophantiennes).
A. Équation de droite, du cercle et de la tangente
🟡 Seconde – Terminale
En géométrie analytique, chaque courbe du plan est décrite par une équation reliant les coordonnées \((x \,;\, y)\) de ses points :
- Droite : forme réduite \(y = mx + p\) ou forme cartésienne \(ax + by + c = 0\). → Équation de droite
- Cercle : \((x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\) pour un cercle de centre \((a \,;\, b)\) et de rayon \(r\). → Équation du cercle
- Tangente à une courbe : \(y = f^\prime(a)(x – a) + f(a)\), qui relie les équations au calcul des dérivées. → Équation de la tangente
L’intersection de deux courbes (par exemple une droite et un cercle) se calcule en résolvant le système formé par leurs équations — ce qui revient souvent à une équation du second degré.
B. Résoudre une inéquation
🟢 Seconde – Première
Une inéquation se résout avec les mêmes techniques qu’une équation, à une règle cruciale près : quand on multiplie ou divise les deux membres par un nombre négatif, le sens de l’inégalité s’inverse. C’est l’erreur la plus fréquente en contrôle.
Les deux grandes catégories au lycée :
- Inéquations du premier degré : résolution directe ou à l’aide d’un tableau de signes. → Cours complet : inéquations
- Inéquations du second degré : on calcule les racines du trinôme, puis on étudie le signe grâce au tableau de signes du trinôme. → Inéquation du second degré
C. Équations diophantiennes
🔴 Prépa
Une équation diophantienne est une équation à coefficients entiers dont on cherche les solutions dans \(\mathbb{Z}\) (les entiers relatifs). L’exemple classique est \(ax + by = c\) avec \((a, b, c) \in \mathbb{Z}^3\). Le théorème de Bézout, fondé sur le PGCD et l’algorithme d’Euclide, donne la condition d’existence de solutions et la structure de l’ensemble complet des solutions.
👉 Cours complet : équation diophantienne
Autres familles d’équations (hors périmètre de ce cours) : les équations exponentielles (\(e^x = k\)), trigonométriques (\(\cos(x) = a\)) et complexes relèvent de chapitres spécifiques. Les équations différentielles forment un domaine à part entière.
IV. Quelle méthode pour quel type d’équation ?
Tu connais désormais les principales familles d’équations. L’étape clé face à un exercice : identifier le type d’équation pour choisir immédiatement la bonne méthode. Le tableau ci-dessous te donne la correspondance directe — il couvre les 11 types étudiés de la 4e à la prépa.
| Type d’équation | Forme générale | Méthode de résolution | Niveau |
|---|---|---|---|
| Premier degré | \(ax + b = 0\) | Isoler \(x\) par opérations élémentaires | 4e |
| Second degré | \(ax^2 + bx + c = 0\) | Discriminant \(\Delta = b^2 – 4ac\) | 2de |
| Produit nul | \(A \times B = 0\) | Factoriser → \(A = 0\) ou \(B = 0\) | 2de |
| Quotient nul | \(\displaystyle\frac{A}{B} = 0\) | \(A = 0\) et \(B \neq 0\) | 2de |
| Système (2 inconnues) | \(\begin{cases} ax + by = e \\ cx + dy = f \end{cases}\) | Substitution ou combinaison linéaire | 3e |
| Inéquation 1er degré | \(ax + b \leq 0\) | Isoler \(x\) (inverser le sens si négatif) | 2de |
| Inéquation 2nd degré | \(ax^2 + bx + c \leq 0\) | Racines + tableau de signes du trinôme | 1re |
| Équation de droite | \(y = mx + p\) | Identifier pente \(m\) et ordonnée à l’origine \(p\) | 2de |
| Équation du cercle | \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\) | Identifier centre et rayon, ou compléter le carré | 2de |
| Équation tangente | \(y = f^\prime(a)(x-a) + f(a)\) | Calculer \(f(a)\) et \(f^\prime(a)\) | 1re |
| Diophantienne | \(ax + by = c\) dans \(\mathbb{Z}\) | Théorème de Bézout + solution particulière | Prépa |
Réflexe de résolution : face à une équation que tu ne sais pas classifier, commence par la simplifier — développe, réduis, factorise. La forme obtenue te guidera vers la bonne ligne du tableau.
Vérifier tes résultats : remplace toujours l’inconnue par la valeur trouvée dans l’équation de départ. Tu peux aussi utiliser un solveur en ligne comme WolframAlpha — mais un solveur ne remplace jamais la compréhension de la méthode.
V. Exemples d’application
Mettons ces méthodes en pratique avec trois exemples résolus, couvrant les types d’équations les plus fréquents.
Exemple 1 ★ — Équation du premier degré
Résoudre \(4x – 7 = 2x + 3\).
Solution. On regroupe les termes en \(x\) à gauche et les constantes à droite :
\(4x – 2x = 3 + 7\), soit \(2x = 10\), donc \(x = 5\).
Vérification : \(4 \times 5 – 7 = 13\) et \(2 \times 5 + 3 = 13\) ✓
Exemple 2 ★ — Équation du second degré
Résoudre \(x^2 – 5x + 6 = 0\).
Solution. On identifie \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\).
Discriminant : \(\Delta = (-5)^2 – 4 \times 1 \times 6 = 25 – 24 = 1\) > \(0\) → deux solutions distinctes.
\(x_1 = \displaystyle\frac{5 – 1}{2} = 2\) et \(x_2 = \displaystyle\frac{5 + 1}{2} = 3\)
L’ensemble de solutions est \(S = \{2 \,;\, 3\}\).
Exemple 3 ★ — Inéquation du premier degré
Résoudre \(3x + 2 \leq 8\).
Solution. On isole \(x\) :
\(3x \leq 8 – 2 = 6\), donc \(x \leq 2\).
L’ensemble de solutions est \(S = ]-\infty \,;\, 2]\).
Tu veux t’entraîner davantage ? Découvre nos exercices corrigés d’équations (4e) et nos exercices corrigés d’équations (3e).
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VI. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Les trois erreurs suivantes coûtent des points à chaque contrôle. Elles sont simples à corriger une fois identifiées — mais elles piègent des milliers d’élèves chaque année.
Piège n°1 — Oublier d’inverser le sens de l’inégalité
En résolvant une inéquation, si tu multiplies ou divises les deux membres par un nombre négatif, le sens de l’inégalité s’inverse.
❌ Copie fautive : « \(-2x \leq 6\), donc \(x \leq -3\) »
✅ Correction : on divise par \(-2\) < \(0\), donc le sens change : \(x \geq -3\).
Piège n°2 — Diviser par une expression contenant l’inconnue
Diviser les deux membres par une expression qui contient \(x\) fait disparaître des solutions.
❌ Copie fautive : « \(x^2 = 3x\) → je divise par \(x\) → \(x = 3\) »
✅ Correction : \(x^2 – 3x = 0\), soit \(x(x – 3) = 0\) (produit nul), donc \(x = 0\) ou \(x = 3\). La solution \(x = 0\) avait été perdue !
Piège n°3 — Mal conclure quand \(\Delta\) < \(0\)
Si le discriminant est strictement négatif, l’équation du second degré n’a pas de solution réelle. Écris : « \(\Delta\) < \(0\), donc l’équation n’admet aucune solution dans \(\mathbb{R}\) » — et non simplement « pas de solution » (car il en existe dans \(\mathbb{C}\) en prépa).
VII. Questions fréquentes sur les équations
Qu'est-ce qu'une équation en maths ?
Une équation est une égalité mathématique contenant une ou plusieurs inconnues. Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs de l’inconnue qui rendent l’égalité vraie. Par exemple, dans \(2x + 1 = 7\), la solution est \(x = 3\) car \(2 \times 3 + 1 = 7\).
Quels sont les principaux types d'équations ?
Les grandes familles sont : les équations du premier degré, les équations du second degré, les équations produit nul et quotient, les systèmes d’équations, les équations géométriques (droite, cercle, tangente), les inéquations et les équations diophantiennes. Consulte le tableau des méthodes pour identifier la bonne technique.
Comment résoudre une équation pas à pas ?
Cela dépend du type. Pour une équation du premier degré : (1) regrouper les termes en \(x\) d’un côté, (2) regrouper les constantes de l’autre, (3) diviser par le coefficient de \(x\). Pour une équation du second degré : calculer le discriminant \(\Delta = b^2 – 4ac\) et appliquer les formules. Identifie d’abord le type de ton équation dans le tableau récapitulatif.
C'est quoi une équation, avec un exemple ?
Une équation est une égalité avec une inconnue. Exemple : \(3x – 5 = 10\). On ajoute 5 aux deux membres : \(3x = 15\). On divise par 3 : \(x = 5\). C’est bien la solution car \(3 \times 5 – 5 = 10\).
Quelle est la différence entre une équation et une inéquation ?
Une équation contient le signe \(=\) (égalité) et ses solutions sont des valeurs précises. Une inéquation contient un signe d’inégalité (\(\leq\), \(\geq\), <, >) et ses solutions forment un intervalle. Par exemple : \(x + 1 = 3\) a pour solution \(x = 2\), tandis que \(x + 1\) < \(3\) a pour solutions \(x \in ]-\infty \,;\, 2[\).
Quelle est la différence entre une équation et une identité ?
Une équation n’est vraie que pour certaines valeurs de l’inconnue. Une identité est vraie pour toutes les valeurs. Par exemple, \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) est une identité remarquable (vraie quels que soient \(a\) et \(b\)), tandis que \(x^2 = 4\) n’est vraie que pour \(x = 2\) ou \(x = -2\).
À partir de quelle classe apprend-on les équations ?
Les équations du premier degré sont introduites en 4e. En 3e, on aborde les systèmes et la mise en équation de problèmes. En Seconde et Première, on étudie le second degré, les inéquations et les équations géométriques. En prépa, on approfondit avec les équations diophantiennes et l’algèbre linéaire.
Pour aller plus loin
Tu as maintenant une vue d’ensemble complète des équations et inéquations. Pour approfondir chaque type, voici tous les cours détaillés du cocon :
- Collège : Équation du premier degré · Exercices 4e · Exercices 3e
- Lycée : Équation du second degré · Produit nul et quotient · Systèmes d’équations · Équation de droite · Équation de la tangente · Équation du cercle
- Inéquations : Résoudre une inéquation · Inéquation du second degré
- Prépa : Équations diophantiennes
Chapitres connexes :
- Calcul littéral — développer, factoriser, simplifier : le prérequis indispensable
- Factorisation — pour appliquer la règle du produit nul et résoudre les équations
- Dérivées — indispensables pour l’équation de la tangente et l’étude de fonctions
- Fonctions — résoudre \(f(x) = 0\), c’est trouver les zéros d’une fonction
- Nombres entiers — PGCD, algorithme d’Euclide et théorème de Bézout pour les équations diophantiennes
