La fonction logarithme népérien, notée ln, est l’une des fonctions en mathématiques les plus importantes du programme de Terminale et de prépa. Réciproque de la fonction exponentielle, elle intervient dans la résolution d’équations, l’étude de fonctions composées, les croissances comparées et de nombreuses applications scientifiques.
Ce cours complet couvre l’intégralité du programme : définition, propriétés algébriques, dérivée, limites et méthodes de résolution. Chaque notion est accompagnée d’exemples détaillés, de points méthode et de pièges à éviter. Pour vous entraîner, retrouvez nos exercices corrigés sur le logarithme népérien.
Qu’est-ce que la fonction logarithme népérien ?
Définition : la réciproque de la fonction exponentielle
La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), à valeurs dans \(]0\,;\,+\infty[\). D’après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel \(a\) strictement positif, l’équation \(e^x = a\) admet une unique solution dans \(\mathbb{R}\).
Définition — Logarithme népérien
Pour tout réel \(a\) strictement positif, on appelle logarithme népérien de \(a\) l’unique solution de l’équation \(e^x = a\). On la note \(\ln a\).
La fonction logarithme népérien, notée \(\ln\), est définie sur \(]0\,;\,+\infty[\) par :
\(y = \ln x \iff x = e^y\)
Les fonctions \(\exp\) et \(\ln\) sont réciproques l’une de l’autre. Leurs courbes représentatives sont symétriques par rapport à la droite d’équation \(y = x\).
En d’autres termes, appliquer le logarithme népérien revient à « annuler » l’exponentielle, et inversement. Cette relation fondamentale se traduit par deux identités essentielles :
- Pour tout \(x\) strictement positif : \(e^{\ln x} = x\)
- Pour tout réel \(x\) : \(\ln(e^x) = x\)
Notations et valeurs remarquables
Les conséquences immédiates de la définition sont à connaître par cœur :
| Expression | Valeur | Justification |
|---|---|---|
| \(\ln 1\) | \(0\) | car \(e^0 = 1\) |
| \(\ln e\) | \(1\) | car \(e^1 = e\) |
| \(\ln\!\left(\frac{1}{e}\right)\) | \(-1\) | car \(e^{-1} = \frac{1}{e}\) |
| \(\ln(e^n)\) | \(n\) | pour tout entier relatif \(n\) |
Mémo rapide — Le logarithme népérien « extrait l’exposant » : \(\ln(e^x) = x\). Réciproquement, l’exponentielle « élève en puissance de \(e\) » : \(e^{\ln x} = x\). Toutes les formules de ce chapitre découlent de ce principe.
Différence entre ln et log — quelle notation utiliser ?
En France et dans le programme scolaire, la notation ln désigne le logarithme népérien (de base \(e\)), tandis que log (sans indice) désigne le logarithme décimal (de base 10). Cette convention est celle utilisée sur les calculatrices scientifiques françaises.
Il existe aussi le logarithme en base quelconque : \(\log_a(x) = \frac{\ln x}{\ln a}\), pour \(a\) > 0 et \(a \neq 1\).
Attention à la convention internationale — Dans les publications anglo-saxonnes et en informatique, « log » désigne souvent le logarithme népérien (et non décimal). Vérifiez toujours la convention utilisée dans votre contexte, notamment lors des concours.
Propriétés algébriques de la fonction logarithme
Relation fonctionnelle : ln(ab) = ln(a) + ln(b)
La propriété fondamentale du logarithme népérien est de transformer les produits en sommes. C’est d’ailleurs la raison historique de l’invention des logarithmes par John Napier au XVIIe siècle.
Relation fonctionnelle
Pour tous réels \(a\) et \(b\) strictement positifs :
\(\ln(a \times b) = \ln a + \ln b\)
Démonstration : On a \(e^{\ln(ab)} = ab = e^{\ln a} \times e^{\ln b} = e^{\ln a + \ln b}\). Par injectivité de la fonction exponentielle, on conclut que \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\).
Formules essentielles (quotient, puissance, racine, inverse)
Toutes les propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien découlent de la relation fonctionnelle. Pour tous réels \(a\) et \(b\) strictement positifs :
- Logarithme de l’inverse : \(\ln\!\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln a\)
- Logarithme d’un quotient : \(\ln\!\left(\frac{a}{b}\right) = \ln a – \ln b\)
- Logarithme d’une puissance : \(\ln(a^n) = n\ln a\) pour tout entier relatif \(n\)
- Logarithme d’une racine : \(\ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2}\ln a\)
Exemple — Simplifier \(\ln 8 – 3\ln 2\)
On écrit \(8 = 2^3\), donc \(\ln 8 = \ln(2^3) = 3\ln 2\).
Ainsi : \(\ln 8 – 3\ln 2 = 3\ln 2 – 3\ln 2 = 0\).
Exemple — Simplifier \(A = 2\ln 3 + \ln 5 – \ln 45\)
\(A = \ln(3^2) + \ln 5 – \ln 45 = \ln 9 + \ln 5 – \ln 45 = \ln(9 \times 5) – \ln 45 = \ln 45 – \ln 45 = 0\).
Tableau récapitulatif des propriétés de ln
| Propriété | Formule | Conditions |
|---|---|---|
| Produit → somme | \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\) | \(a, b\) > 0 |
| Quotient → différence | \(\ln\!\left(\frac{a}{b}\right) = \ln a – \ln b\) | \(a, b\) > 0 |
| Inverse | \(\ln\!\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln a\) | \(a\) > 0 |
| Puissance entière | \(\ln(a^n) = n\ln a\) | \(a\) > 0, \(n \in \mathbb{Z}\) |
| Racine carrée | \(\ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2}\ln a\) | \(a\) > 0 |
| Réciprocité avec exp | \(\ln(e^x) = x\) et \(e^{\ln x} = x\) | \(x \in \mathbb{R}\) ; \(x\) > 0 |
Piège classique — ln(a + b) ≠ ln(a) + ln(b)
Erreur n°1 — La plus fréquente en DS
Il n’existe aucune formule pour simplifier \(\ln(a + b)\). En particulier :
\(\ln(a + b) \neq \ln a + \ln b\)
Contre-exemple : \(\ln(1 + 1) = \ln 2 \approx 0{,}69\), mais \(\ln 1 + \ln 1 = 0 + 0 = 0\).
Autres erreurs classiques :
- Confondre \(\ln(x^2)\) (qui vaut \(2\ln x\)) et \((\ln x)^2\) (qui est le carré du logarithme).
- Oublier la condition \(x\) > 0 dans les résolutions d’équations.
- Écrire \(\ln(a – b) = \ln a – \ln b\) (faux ! la formule ne vaut que pour un quotient).
Étude complète de la fonction logarithme népérien
Ensemble de définition
La fonction logarithme népérien est définie sur \(]0\,;\,+\infty[\). Elle n’est définie ni en 0, ni pour les réels négatifs. Avant toute étude de fonction ou résolution d’équation, il est indispensable de vérifier que l’argument du logarithme est strictement positif.
Pour approfondir cette notion, consultez notre cours sur l’ensemble de définition d’une fonction.
Dérivée de ln(x) — démonstration et interprétation
Dérivée du logarithme népérien
La fonction \(\ln\) est dérivable sur \(]0\,;\,+\infty[\) et pour tout \(x\) > 0 :
\((\ln x)’ = \frac{1}{x}\)
Démonstration : Posons \(f(x) = e^{\ln x} = x\) pour tout \(x\) > 0. En dérivant les deux membres, on obtient \((\ln x)’ \times e^{\ln x} = 1\), soit \((\ln x)’ \times x = 1\), d’où \((\ln x)’ = \frac{1}{x}\).
Géométriquement, la dérivée \(\frac{1}{x}\) représente la pente de la tangente à la courbe de \(\ln\) au point d’abscisse \(x\). Au point \(x = 1\), cette pente vaut 1 : la tangente a pour équation \(y = x – 1\).
Retrouvez cette formule dans le tableau des dérivées usuelles.
Sens de variation et signe de ln
Pour tout \(x\) > 0, on a \(\frac{1}{x}\) > 0 : la dérivée est strictement positive sur tout le domaine de définition. La fonction logarithme népérien est donc strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\).
Cette propriété fondamentale entraîne deux conséquences directes :
Conséquences de la croissance de ln
Pour tous réels \(a\) et \(b\) strictement positifs :
- \(\ln a = \ln b \iff a = b\) (injectivité)
- \(\ln a\) < \(\ln b \iff a\) < \(b\) (conservation de l’ordre)
Pour le signe de ln, on retient :
- Si 0 < \(x\) < 1, alors \(\ln x\) < 0
- Si \(x = 1\), alors \(\ln x = 0\)
- Si \(x\) > 1, alors \(\ln x\) > 0
Concavité et courbe représentative
La dérivée seconde de la fonction logarithme népérien est \((\ln x) » = -\frac{1}{x^2}\), qui est strictement négative sur \(]0\,;\,+\infty[\). La fonction \(\ln\) est donc strictement concave sur tout son domaine.
La courbe représentative de la fonction \(\ln\) est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes. Elle passe par le point \((1\,;\,0)\) et admet l’axe des ordonnées \((x = 0)\) comme asymptote verticale.
Tableau de variation de la fonction ln
Voici le tableau de variation complet de la fonction logarithme népérien :
La fonction \(\ln\) réalise une bijection de \(]0\,;\,+\infty[\) sur \(\mathbb{R}\).
Limites et croissances comparées
Limites aux bornes du domaine
Limites de la fonction ln
\(\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty\)
La première limite signifie que la droite d’équation \(x = 0\) (l’axe des ordonnées) est asymptote verticale à la courbe. La seconde confirme que la fonction croît indéfiniment, mais de plus en plus lentement.
Croissances comparées — les trois résultats à connaître
Les résultats de croissances comparées sont parmi les plus utiles du programme. Ils expriment une idée simple : la fonction logarithme croît beaucoup plus lentement que n’importe quelle fonction puissance.
Théorèmes de croissances comparées
Pour tout entier \(n \geq 1\) :
\(\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0 \qquad \text{(ln est négligeable devant toute puissance)}\)
\(\lim_{x \to 0^+} x^n \ln x = 0 \qquad \text{(la puissance l’emporte sur ln en 0)}\)
En particulier, pour \(n = 1\) :
\(\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0 \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0\)
Comment retenir ? — « L’exponentielle bat toujours le logarithme, et les puissances aussi. » En cas de forme indéterminée impliquant \(\ln\), c’est toujours le terme polynomial ou exponentiel qui « gagne ».
Piège : la forme indéterminée \(0 \times (-\infty)\)
La limite \(\lim_{x \to 0^+} x\ln x\) est une forme indéterminée \(0 \times (-\infty)\). L’erreur fréquente est de « deviner » que le résultat est \(-\infty\). En réalité, c’est \(x\) (qui tend vers 0) qui l’emporte : la limite vaut 0.
Résoudre des équations et inéquations avec ln
Méthode — résoudre une équation contenant ln
La résolution d’une équation logarithmique suit toujours la même démarche :
- Déterminer le domaine de validité : tous les arguments de ln doivent être strictement positifs.
- Utiliser les propriétés algébriques pour ramener l’équation à la forme \(\ln A = \ln B\) ou \(\ln A = k\).
- Conclure : si \(\ln A = \ln B\), alors \(A = B\) (par injectivité). Si \(\ln A = k\), alors \(A = e^k\).
- Vérifier que la solution appartient au domaine de validité.
Exemple — Résoudre \(\ln(2x – 1) = \ln(x + 3)\)
Domaine : \(2x – 1\) > 0 et \(x + 3\) > 0, soit \(x\) > \(\frac{1}{2}\) et \(x\) > \(-3\). Le domaine est \(x\) > \(\frac{1}{2}\).
Résolution : Par injectivité de ln : \(2x – 1 = x + 3\), d’où \(x = 4\).
Vérification : \(4\) > \(\frac{1}{2}\) ✓. La solution est \(x = 4\).
Exemple — Résoudre \(e^{2x} = 5\)
On applique \(\ln\) aux deux membres : \(2x = \ln 5\), d’où \(x = \frac{\ln 5}{2}\).
Méthode — résoudre une inéquation contenant ln
La démarche est similaire, en exploitant la croissance stricte de la fonction ln :
- Si \(\ln A \leq \ln B\) avec \(A\) > 0 et \(B\) > 0, alors \(A \leq B\).
- Si \(\ln A \leq k\) avec \(A\) > 0, alors \(A \leq e^k\).
Exemple — Résoudre \(\ln(3 – x)\) > \(1\)
Domaine : \(3 – x\) > 0, soit \(x\) < 3.
Résolution : \(\ln(3 – x)\) > \(1 = \ln e\), donc par croissance de ln : \(3 – x\) > \(e\), soit \(x\) < \(3 – e\).
Conclusion : L’ensemble des solutions est \(]-\infty\,;\,3-e[\), soit environ \(]-\infty\,;\,0{,}28[\).
Ne jamais oublier le domaine — Dans l’exemple ci-dessus, la condition \(x\) < 3 est automatiquement satisfaite car \(3 – e \approx 0{,}28\) < 3. Mais ce n’est pas toujours le cas : il faut systématiquement intersecter la solution avec le domaine de validité.
Dérivée de ln(u) et études de fonctions
Formule de dérivation de ln(u(x))
Dérivée de ln(u)
Si \(u\) est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle \(I\), alors la fonction \(\ln \circ\, u : x \mapsto \ln(u(x))\) est dérivable sur \(I\) et :
\([\ln(u(x))]’ = \frac{u'(x)}{u(x)}\)
Pour approfondir les techniques de calcul de dérivées de fonctions composées, consultez notre page dédiée.
Méthode pratique — Pour dériver \(\ln(u)\) : écrire au numérateur la dérivée de ce qui est « à l’intérieur » (\(u’\)) et au dénominateur ce qui est « à l’intérieur » (\(u\)). C’est le principe de la « dérivée logarithmique ».
Exemple d’étude — f(x) = x ln(x)
Étude de \(f(x) = x\ln x\)
Domaine : \(D_f = ]0\,;\,+\infty[\).
Prolongement en 0 : Par croissances comparées, \(\lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0\). On peut prolonger \(f\) par continuité en posant \(f(0) = 0\).
Dérivée : \(f'(x) = \ln x + x \times \frac{1}{x} = \ln x + 1\).
Signe de \(f’\) : \(f'(x) = 0 \iff \ln x = -1 \iff x = e^{-1} = \frac{1}{e}\).
- Pour 0 < \(x\) < \(\frac{1}{e}\) : \(f'(x)\) < 0 (décroissante)
- Pour \(x\) > \(\frac{1}{e}\) : \(f'(x)\) > 0 (croissante)
Minimum : \(f\!\left(\frac{1}{e}\right) = \frac{1}{e} \times (-1) = -\frac{1}{e}\).
Limites : \(\lim_{x \to +\infty} x\ln x = +\infty\).
![Tableau de variation de f(x) = x ln(x) : décroissante sur ]0, 1/e[, minimum -1/e, croissante sur ]1/e, +∞[](https://www.excellence-maths.fr/wp-content/uploads/2026/02/tableau-variation-xlnx.png)
Exemple d’étude — f(x) = ln(x) / x
Étude de \(f(x) = \frac{\ln x}{x}\)
Domaine : \(D_f = ]0\,;\,+\infty[\).
Dérivée : On utilise la formule du quotient : \(f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \times x – \ln x \times 1}{x^2} = \frac{1 – \ln x}{x^2}\).
Signe de \(f’\) : \(f'(x) = 0 \iff \ln x = 1 \iff x = e\).
- Pour 0 < \(x\) < \(e\) : \(f'(x)\) > 0 (croissante)
- Pour \(x\) > \(e\) : \(f'(x)\) < 0 (décroissante)
Maximum : \(f(e) = \frac{\ln e}{e} = \frac{1}{e}\).
Limites : \(\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{x} = -\infty\) (car \(\ln x \to -\infty\) et \(\frac{1}{x} \to +\infty\)) ; \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0\) (par croissances comparées).
![Tableau de variation de f(x) = ln(x)/x : croissante sur ]0, e[, maximum 1/e, décroissante sur ]e, +∞[](https://www.excellence-maths.fr/wp-content/uploads/2026/02/tableau-variation-lnx-sur-x.png)
S’entraîner sur le logarithme népérien
Maîtriser la fonction logarithme népérien passe par la pratique régulière. Nous avons réuni une banque complète d’exercices progressifs, classés par compétence et par niveau de difficulté :
- Simplification d’expressions avec ln
- Résolution d’équations et d’inéquations
- Calculs de limites et croissances comparées
- Dérivation de fonctions avec ln
- Études de fonctions complètes (type bac)
- Suites et logarithme
- Applications concrètes (décibels, intérêts composés)
- Exercices de niveau prépa
Chaque exercice est accompagné de sa correction détaillée et de pièges à éviter.
Accéder aux exercices corrigés sur le logarithme népérien →
FAQ — Fonction logarithme
Comment expliquer la fonction logarithme ?
La fonction logarithme népérien (notée ln) est la réciproque de la fonction exponentielle. Concrètement, \(\ln(a)\) est la puissance à laquelle il faut élever le nombre \(e \approx 2{,}718\) pour obtenir \(a\). Par exemple, \(\ln(e^3) = 3\) car il faut élever \(e\) à la puissance 3 pour obtenir \(e^3\). La fonction ln est définie sur \(]0\,;\,+\infty[\), strictement croissante, et ses propriétés algébriques permettent de transformer des produits en sommes.
Quelle est la différence entre ln et log ?
En France, ln désigne le logarithme népérien (de base \(e\)) et log le logarithme décimal (de base 10). La relation est : \(\log(x) = \frac{\ln x}{\ln 10} \approx \frac{\ln x}{2{,}303}\). Dans le programme de Terminale, c’est surtout le logarithme népérien (ln) qui est étudié. Le logarithme décimal (log) intervient principalement en physique-chimie (pH, décibels).
Quelles sont les propriétés de la fonction logarithme ?
Les propriétés essentielles pour tous réels \(a\) et \(b\) strictement positifs : \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\) (produit en somme) ; \(\ln(a/b) = \ln a – \ln b\) (quotient en différence) ; \(\ln(a^n) = n\ln a\) (puissance en produit). La fonction est strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\), sa dérivée est \(\frac{1}{x}\), et elle vérifie \(\ln 1 = 0\) et \(\ln e = 1\).
Comment calculer une fonction logarithmique ?
Pour calculer avec des logarithmes, il faut appliquer les propriétés algébriques pour simplifier les expressions (transformer les produits en sommes, etc.), puis utiliser les valeurs remarquables (\(\ln 1 = 0\), \(\ln e = 1\)) ou la calculatrice. Pour résoudre une équation contenant \(\ln\), on commence par déterminer le domaine, puis on utilise l’injectivité de \(\ln\) ou le passage à la forme exponentielle. Retrouvez nos exercices corrigés pour mettre ces techniques en pratique.
Est-ce que ln(0) existe ?
Non. La fonction logarithme népérien n’est pas définie en 0. Cependant, on a \(\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty\) : quand \(x\) se rapproche de 0 par valeurs positives, \(\ln x\) tend vers \(-\infty\). L’axe des ordonnées (\(x = 0\)) est une asymptote verticale de la courbe.
Pourquoi ln(x) est-il toujours négatif entre 0 et 1 ?
Car \(\ln 1 = 0\) et la fonction \(\ln\) est strictement croissante. Pour 0 < \(x\) < 1, on a \(x\) < 1, donc \(\ln x\) < \(\ln 1 = 0\). Autrement dit, si le nombre est « plus petit que 1 mais positif », son logarithme est négatif.
Quelle est la dérivée de ln ?
La dérivée de la fonction \(\ln\) est \((\ln x)’ = \frac{1}{x}\) pour tout \(x\) > 0. Pour une fonction composée, si \(u\) est dérivable et strictement positive : \([\ln(u)]’ = \frac{u’}{u}\). Retrouvez toutes les formules dans notre tableau des dérivées usuelles.
Quel est le lien entre la courbe de ln et celle de exp ?
Les courbes de \(\ln\) et de \(\exp\) sont symétriques par rapport à la droite d’équation \(y = x\). C’est une conséquence directe du fait que ces deux fonctions sont réciproques l’une de l’autre : \(y = \ln x \iff x = e^y\). Pour tracer la courbe de \(\ln\), on peut « retourner » celle de \(\exp\) autour de cette droite.
Besoin d’aide sur la fonction logarithme ?
La fonction logarithme népérien est un chapitre essentiel du programme de Terminale et de prépa : elle intervient dans les études de fonctions, les résolutions d’équations, les calculs de limites et de nombreuses épreuves de concours.
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