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Tu as calculé une limite et tu obtiens « \(+\infty – \infty\) » ou « \(\displaystyle\frac{0}{0}\) » ? C’est une forme indéterminée (FI) — les théorèmes opératoires ne suffisent plus. Il faut une technique spécifique pour conclure. Tu trouveras ici un arbre de décision, une méthode en 4 étapes, 5 exemples résolus et 4 exercices corrigés pour lever toutes les FI au programme de Terminale.
I. Les formes indéterminées et les techniques de levée
Quand tu calcules une limite, tu commences par appliquer les théorèmes opératoires : limite d’une somme, d’un produit, d’un quotient. Dans la plupart des cas, ces règles donnent directement le résultat. Mais certaines combinaisons sont ambiguës : le résultat dépend de la « vitesse » à laquelle chaque terme tend vers sa limite. Ce sont les formes indéterminées. Pour un rappel complet des théorèmes opératoires, consulte le cours sur les limites de fonctions.
A. Les 7 formes indéterminées
Définition — Forme indéterminée
Une forme indéterminée (FI) est une expression obtenue lors du calcul d’une limite qui ne permet pas de conclure avec les seuls théorèmes opératoires. Le résultat final peut être n’importe quel réel, \(+\infty\), \(-\infty\), ou même ne pas exister — tout dépend des fonctions en jeu.
| Forme indéterminée | Opération | Exemple type | Niveau |
|---|---|---|---|
| \(+\infty – \infty\) | Somme / Différence | \(x^2 – x\) quand \(x \to +\infty\) | 🟢 Terminale |
| \(0 \times (\pm\infty)\) | Produit | \(\displaystyle\frac{1}{x} \times x^2\) quand \(x \to +\infty\) | 🟢 Terminale |
| \(\displaystyle\frac{0}{0}\) | Quotient | \(\displaystyle\frac{x^2 – 1}{x – 1}\) quand \(x \to 1\) | 🟢 Terminale |
| \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\) | Quotient | \(\displaystyle\frac{2x^2 + 1}{x^2 – 3}\) quand \(x \to +\infty\) | 🟢 Terminale |
| \(0^{0}\) | Puissance | \(x^x\) quand \(x \to 0^+\) | 🟡 Prépa |
| \(1^{\infty}\) | Puissance | \(\left(1 + \displaystyle\frac{1}{x}\right)^{x}\) quand \(x \to +\infty\) | 🟡 Prépa |
| \(\infty^{0}\) | Puissance | \(x^{1/x}\) quand \(x \to +\infty\) | 🟡 Prépa |
Attention — ce qui n’est PAS une FI : le cas \(\displaystyle\frac{\ell}{0}\) avec \(\ell \neq 0\) n’est pas une forme indéterminée. C’est une limite infinie (le quotient tend vers \(+\infty\) ou \(-\infty\) selon le signe). Ne confonds jamais \(\displaystyle\frac{3}{0}\) (pas une FI) avec \(\displaystyle\frac{0}{0}\) (FI).
En Terminale, tu rencontreras principalement les 4 premières formes (marquées 🟢). Les 3 dernières (puissances) apparaissent en prépa et se traitent toujours par un passage en exponentielle : \(f^g = e^{g \ln f}\).
B. Quelle technique pour quelle FI ?
Voici le cœur de cet article : un tableau qui t’indique immédiatement quelle technique utiliser selon le type de FI et le contexte de l’expression.
| FI rencontrée | Contexte / Ce que tu vois | Technique à utiliser |
|---|---|---|
| \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\) | Quotient de polynômes | Factoriser numérateur et dénominateur par \(x^n\) (plus haut degré) |
| \(+\infty – \infty\) | Différence de polynômes | Factoriser par \(x^n\) (terme dominant) |
| \(+\infty – \infty\) | Racines carrées dans une différence | Expression conjuguée : multiplier par \(\displaystyle\frac{a + b}{a + b}\) |
| \(\displaystyle\frac{0}{0}\) | Quotient de polynômes s’annulant en \(a\) | Factoriser par \((x – a)\) et simplifier |
| \(\displaystyle\frac{0}{0}\) | Expression du type \(\displaystyle\frac{f(x) – f(a)}{x – a}\) | Reconnaître un taux d’accroissement → dérivée \(f^\prime(a)\) |
| \(0 \times \infty\) | Produit de deux termes | Réécrire en quotient pour se ramener à \(\displaystyle\frac{0}{0}\) ou \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\) |
| \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\) ou \(0 \times \infty\) | Présence de \(e^x\) ou \(\ln x\) | Croissance comparée : l’exponentielle domine tout polynôme |
| Toutes FI | Encadrement de l’expression connu | Théorème des gendarmes |
Si tu retiens cet arbre de décision, tu sauras toujours par où commencer face à une FI.
II. Méthode pas à pas en 4 étapes
Face à n’importe quel calcul de limite, applique systématiquement ces 4 étapes. C’est la démarche qui fonctionne à chaque fois — et qui te rapporte tous les points sur une copie.
A. Étape 1 — Substituer et identifier la forme
Remplace \(x\) par la valeur vers laquelle il tend (un réel \(a\), \(+\infty\) ou \(-\infty\)) dans chaque terme de l’expression. Si le résultat est défini, c’est terminé : la limite est trouvée. Sinon, écris explicitement la FI obtenue.
Réflexe de rédaction : écris toujours la FI sur ta copie. Par exemple : « On obtient la forme indéterminée \(\displaystyle\frac{0}{0}\) ». Le correcteur voit que tu as identifié le problème — et que tu ne « devines » pas le résultat.
B. Étape 2 — Choisir la technique adaptée
Regarde le type de FI et le contexte de l’expression (polynômes ? racines carrées ? exponentielle ? logarithme ?). Consulte le tableau comparatif ou l’arbre de décision ci-dessus. En Terminale, cinq techniques couvrent la quasi-totalité des cas :
- Factorisation par \(x^n\) — pour les polynômes et quotients de polynômes en \(\pm\infty\).
- Expression conjuguée — dès qu’une racine carrée apparaît dans une différence.
- Factorisation par \((x – a)\) — pour les quotients qui s’annulent en un point.
- Croissance comparée — quand \(e^x\) ou \(\ln x\) sont en jeu (voir limites de l’exponentielle et limites du logarithme).
- Réécriture en quotient — pour transformer un produit \(0 \times \infty\) en une fraction.
C. Étape 3 — Transformer et simplifier
Applique la technique choisie pour réécrire l’expression sous une forme où les théorèmes opératoires fonctionnent enfin. Deux repères utiles :
- Polynômes : après factorisation par \(x^n\), les termes en \(\displaystyle\frac{1}{x}\), \(\displaystyle\frac{1}{x^2}\), etc. tendent vers \(0\). Il ne reste que les coefficients dominants.
- Racines carrées : après multiplication par la conjuguée, l’identité remarquable \((a – b)(a + b) = a^2 – b^2\) élimine la racine au numérateur.
D. Étape 4 — Conclure
Une fois la FI levée, tu obtiens une expression dont la limite se calcule directement par les théorèmes opératoires. Rédige la conclusion avec une phrase complète :
« Donc \(\lim_{x \to \ldots} f(x) = \ldots\) »
Piège fréquent : ne saute jamais l’étape 1, même si tu « vois » le résultat. Commencer par identifier la FI sur ta copie, c’est la base d’une rédaction rigoureuse — et le correcteur le vérifie systématiquement.
III. 5 exemples résolus
Chaque exemple suit la méthode en 4 étapes et couvre un type de FI différent. La difficulté est croissante.
🔵 Exemple 1 — Lycée ★
Calculer \(\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{2x^2 – 3x + 1}{x^2 + 5}\).
Étape 1 : Quand \(x \to +\infty\), le numérateur tend vers \(+\infty\) et le dénominateur vers \(+\infty\). On obtient la FI \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\).
Étape 2 : Quotient de polynômes → factoriser par \(x^2\) (le plus haut degré).
Étape 3 :
\(\displaystyle\frac{2x^2 – 3x + 1}{x^2 + 5} = \displaystyle\frac{x^2\!\left(2 – \displaystyle\frac{3}{x} + \displaystyle\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\!\left(1 + \displaystyle\frac{5}{x^2}\right)} = \displaystyle\frac{2 – \displaystyle\frac{3}{x} + \displaystyle\frac{1}{x^2}}{1 + \displaystyle\frac{5}{x^2}}\)
Quand \(x \to +\infty\), les termes \(\displaystyle\frac{3}{x}\), \(\displaystyle\frac{1}{x^2}\) et \(\displaystyle\frac{5}{x^2}\) tendent tous vers \(0\).
Étape 4 : Donc \(\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{2x^2 – 3x + 1}{x^2 + 5} = \displaystyle\frac{2}{1} = 2\).
La fiche méthode « Formes indéterminées » en PDF recto-verso
Arbre de décision, les 7 FI, les 5 techniques et les erreurs à éviter — tout sur une fiche à glisser dans ton classeur.
📄 Télécharger la fiche méthodeLe réflexe parfait pour ne plus bloquer sur une limite le jour du bac.
🔵 Exemple 2 — Lycée ★★
Calculer \(\lim_{x \to 2} \displaystyle\frac{x^2 – 4}{x – 2}\).
Étape 1 : Si \(x = 2\), le numérateur vaut \(4 – 4 = 0\) et le dénominateur vaut \(0\). On obtient la FI \(\displaystyle\frac{0}{0}\).
Étape 2 : Le numérateur est un polynôme qui s’annule en \(x = 2\) → factoriser par \((x – 2)\).
Étape 3 : On reconnaît l’identité remarquable \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\) :
\(x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2)\)
Donc pour \(x \neq 2\) :
\(\displaystyle\frac{x^2 – 4}{x – 2} = \displaystyle\frac{(x – 2)(x + 2)}{x – 2} = x + 2\)
Étape 4 : Donc \(\lim_{x \to 2} \displaystyle\frac{x^2 – 4}{x – 2} = 2 + 2 = 4\).
🔵 Exemple 3 — Lycée ★★
Calculer \(\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + 3x} – x\right)\).
Étape 1 : \(\sqrt{x^2 + 3x} \to +\infty\) et \(x \to +\infty\). On obtient la FI \(+\infty – \infty\).
Étape 2 : Racine carrée dans une différence → multiplier par l’expression conjuguée.
Étape 3 : On multiplie et on divise par \(\sqrt{x^2 + 3x} + x\) :
\(\sqrt{x^2 + 3x} – x = \displaystyle\frac{\left(\sqrt{x^2 + 3x} – x\right)\left(\sqrt{x^2 + 3x} + x\right)}{\sqrt{x^2 + 3x} + x} = \displaystyle\frac{x^2 + 3x – x^2}{\sqrt{x^2 + 3x} + x} = \displaystyle\frac{3x}{\sqrt{x^2 + 3x} + x}\)
Pour \(x\) > \(0\), on a \(\sqrt{x^2 + 3x} = x\sqrt{1 + \displaystyle\frac{3}{x}}\), donc :
\(\displaystyle\frac{3x}{x\sqrt{1 + \displaystyle\frac{3}{x}} + x} = \displaystyle\frac{3}{\sqrt{1 + \displaystyle\frac{3}{x}} + 1}\)
Étape 4 : Quand \(x \to +\infty\), \(\displaystyle\frac{3}{x} \to 0\), donc \(\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + 3x} – x\right) = \displaystyle\frac{3}{1 + 1} = \displaystyle\frac{3}{2}\).
🔵 Exemple 4 — Lycée ★★★
Calculer \(\lim_{x \to +\infty} x^2 \, e^{-x}\).
Étape 1 : \(x^2 \to +\infty\) et \(e^{-x} \to 0\). On obtient la FI \(+\infty \times 0\).
Étape 2 : Présence de \(e^x\) → croissance comparée.
Étape 3 : On réécrit le produit en quotient :
\(x^2 \, e^{-x} = \displaystyle\frac{x^2}{e^x}\)
Par croissance comparée, la fonction exponentielle croît plus vite que tout polynôme : pour tout entier \(n\), \(\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{x^n}{e^x} = 0\).
Étape 4 : Donc \(\lim_{x \to +\infty} x^2 \, e^{-x} = 0\). L’exponentielle « l’emporte » sur le polynôme.
🟠 Exemple 5 — Prépa ★★★
Calculer \(\lim_{x \to 0} \displaystyle\frac{e^x – 1 – x}{x^2}\).
Étape 1 : Si \(x = 0\), le numérateur vaut \(1 – 1 – 0 = 0\) et le dénominateur vaut \(0\). FI \(\displaystyle\frac{0}{0}\).
Étape 2 : Aucune factorisation polynomiale simple n’est possible. En prépa, on utilise un développement limité (DL) ou des équivalents.
Étape 3 : Le DL de \(e^x\) à l’ordre 2 en \(0\) donne :
\(e^x = 1 + x + \displaystyle\frac{x^2}{2} + o(x^2)\)
Donc :
\(e^x – 1 – x = \displaystyle\frac{x^2}{2} + o(x^2)\)
D’où :
\(\displaystyle\frac{e^x – 1 – x}{x^2} = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{x^2}{2} + o(x^2)}{x^2} = \displaystyle\frac{1}{2} + o(1)\)
Étape 4 : Donc \(\lim_{x \to 0} \displaystyle\frac{e^x – 1 – x}{x^2} = \displaystyle\frac{1}{2}\).
IV. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Ces trois erreurs reviennent sur plus de la moitié des copies. Apprends à les reconnaître pour ne jamais les commettre.
Erreur n°1 — Traiter une FI comme une opération définie
❌ Copie fautive :
« \(\lim_{x \to +\infty} (x^2 – x) = +\infty – \infty = 0\) »
Diagnostic : L’élève traite \(+\infty – \infty\) comme s’il s’agissait d’un calcul ordinaire. Mais \(\infty\) n’est pas un nombre ! La « différence de deux infinis » peut donner n’importe quelle valeur.
✅ Correction : On factorise par \(x\) (terme dominant) :
\(x^2 – x = x(x – 1)\)
Quand \(x \to +\infty\) : \(x \to +\infty\) et \((x – 1) \to +\infty\), donc \(x(x-1) \to +\infty\).
La limite est \(+\infty\), pas \(0\).
Erreur n°2 — Confondre \(\displaystyle\frac{\ell}{0}\) et \(\displaystyle\frac{0}{0}\)
❌ Copie fautive :
« \(\lim_{x \to 2} \displaystyle\frac{x + 1}{x – 2}\). Le dénominateur vaut \(0\). Forme indéterminée \(\displaystyle\frac{0}{0}\). »
Diagnostic : Le dénominateur tend bien vers \(0\), mais le numérateur tend vers \(3\), pas vers \(0\). Ce n’est donc pas la FI \(\displaystyle\frac{0}{0}\), mais le cas \(\displaystyle\frac{3}{0}\) — une limite infinie, pas une FI.
✅ Correction : On étudie le signe de \((x – 2)\) au voisinage de \(2\) :
- Quand \(x \to 2^+\), \((x – 2) \to 0^+\) et \((x + 1) \to 3\) > \(0\), donc la limite est \(+\infty\).
- Quand \(x \to 2^-\), \((x – 2) \to 0^-\), donc la limite est \(-\infty\).
Erreur n°3 — Inverser le sens de la croissance comparée
❌ Copie fautive :
« \(\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\). La fonction \(\ln\) croît plus vite que \(\sqrt{x}\), donc la limite est \(+\infty\). »
Diagnostic : C’est exactement l’inverse ! La croissance comparée dit que \(\ln x\) croît moins vite que toute puissance positive de \(x\), y compris \(\sqrt{x} = x^{1/2}\).
✅ Correction : Par croissance comparée : pour tout \(\alpha\) > \(0\), \(\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{\ln x}{x^{\alpha}} = 0\).
Avec \(\alpha = \displaystyle\frac{1}{2}\) : \(\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{\ln x}{\sqrt{x}} = 0\).
Retiens : l’exponentielle bat tout, tout bat le logarithme. C’est la « hiérarchie de la croissance » : \(\ln \ll x^{\alpha} \ll e^x\).
V. Exercices d’application corrigés
Teste ta maîtrise des FI avec ces 4 exercices progressifs. Essaie de résoudre chaque limite avant de consulter la correction.
Exercice 1 ★
Calculer \(\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{3x^3 – 2x}{x^3 + 4x^2 – 1}\).
Voir la correction
Étape 1 : FI \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\) (quotient de polynômes de degré 3).
Étape 2 : Factoriser par \(x^3\).
Étape 3 :
\(\displaystyle\frac{3x^3 – 2x}{x^3 + 4x^2 – 1} = \displaystyle\frac{x^3\!\left(3 – \displaystyle\frac{2}{x^2}\right)}{x^3\!\left(1 + \displaystyle\frac{4}{x} – \displaystyle\frac{1}{x^3}\right)} = \displaystyle\frac{3 – \displaystyle\frac{2}{x^2}}{1 + \displaystyle\frac{4}{x} – \displaystyle\frac{1}{x^3}}\)Étape 4 : Quand \(x \to +\infty\), tous les termes en \(\displaystyle\frac{1}{x^k}\) tendent vers \(0\).
\(\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{3x^3 – 2x}{x^3 + 4x^2 – 1} = \displaystyle\frac{3}{1} = 3\)Exercice 2 ★★
Calculer \(\lim_{x \to 1} \displaystyle\frac{x^3 – 1}{x^2 – 1}\).
Voir la correction
Étape 1 : Si \(x = 1\), numérateur \(= 0\) et dénominateur \(= 0\). FI \(\displaystyle\frac{0}{0}\).
Étape 2 : Les deux polynômes s’annulent en \(x = 1\) → factoriser par \((x – 1)\).
Étape 3 :
- Numérateur : \(x^3 – 1 = (x – 1)(x^2 + x + 1)\) (identité remarquable \(a^3 – b^3\))
- Dénominateur : \(x^2 – 1 = (x – 1)(x + 1)\)
Pour \(x \neq 1\) :
\(\displaystyle\frac{x^3 – 1}{x^2 – 1} = \displaystyle\frac{(x-1)(x^2 + x + 1)}{(x-1)(x+1)} = \displaystyle\frac{x^2 + x + 1}{x + 1}\)Étape 4 : \(\lim_{x \to 1} \displaystyle\frac{x^2 + x + 1}{x + 1} = \displaystyle\frac{1 + 1 + 1}{1 + 1} = \displaystyle\frac{3}{2}\).
Exercice 3 ★★
Calculer \(\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{4x^2 + 1} – 2x\right)\).
Voir la correction
Étape 1 : \(\sqrt{4x^2 + 1} \to +\infty\) et \(2x \to +\infty\). FI \(+\infty – \infty\).
Étape 2 : Racine carrée dans une différence → expression conjuguée.
Étape 3 : On multiplie et on divise par \(\sqrt{4x^2 + 1} + 2x\) :
\(\sqrt{4x^2 + 1} – 2x = \displaystyle\frac{4x^2 + 1 – 4x^2}{\sqrt{4x^2 + 1} + 2x} = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{4x^2 + 1} + 2x}\)Étape 4 : Quand \(x \to +\infty\), le dénominateur tend vers \(+\infty\).
\(\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{4x^2 + 1} – 2x\right) = 0\)Exercice 4 ★★★
Calculer \(\lim_{x \to +\infty} (2x – 1) \, e^{-x}\).
Voir la correction
Étape 1 : \((2x – 1) \to +\infty\) et \(e^{-x} \to 0\). FI \(+\infty \times 0\).
Étape 2 : Présence de \(e^x\) → réécrire en quotient et appliquer la croissance comparée.
Étape 3 :
\((2x – 1) \, e^{-x} = \displaystyle\frac{2x – 1}{e^x}\)Or \(2x – 1\) est un polynôme de degré 1. Par croissance comparée, \(\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{x^n}{e^x} = 0\) pour tout entier \(n\).
Étape 4 : \(\lim_{x \to +\infty} (2x – 1) \, e^{-x} = 0\).
L’exponentielle décroît plus vite que le polynôme ne croît : le produit tend vers \(0\).
Pour t’entraîner davantage, consulte notre banque de 25+ exercices sur les limites de fonctions avec corrections détaillées en PDF.
VI. Pour aller plus loin — lever les FI en prépa
En classe préparatoire (MPSI, PCSI), tu disposes d’un outil puissant qui unifie toutes les techniques vues ci-dessus : les équivalents. L’idée est de remplacer chaque terme par une expression plus simple qui se comporte de la même façon au voisinage de la valeur limite.
Équivalents usuels en \(0\)
- \(\sin x \sim x\)
- \(e^x – 1 \sim x\)
- \(\ln(1 + x) \sim x\)
- \(1 – \cos x \sim \displaystyle\frac{x^2}{2}\)
- \(\tan x \sim x\)
- \((1 + x)^{\alpha} – 1 \sim \alpha x\)
Retrouve ces résultats et bien d’autres dans le tableau des limites usuelles.
Exemple avec équivalents : reprenons l’exemple 5. En notant que \(e^x – 1 – x \sim \displaystyle\frac{x^2}{2}\) en \(0\) :
\(\displaystyle\frac{e^x – 1 – x}{x^2} \sim \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{x^2}{2}}{x^2} = \displaystyle\frac{1}{2}\)Une seule ligne, au lieu de cinq. C’est la puissance des équivalents : ils transforment un calcul délicat en un réflexe.
Ce que le correcteur attend en concours :
- Citer explicitement l’équivalent utilisé et préciser « en \(0\) » ou « en \(+\infty\) ».
- Justifier que les termes négligés sont bien de l’ordre annoncé (par exemple \(o(x^2)\)).
- Ne jamais additionner ou soustraire des équivalents — c’est l’erreur qui coûte le plus cher en concours. Utiliser un DL si une somme ou une différence est en jeu.
Pour aller plus loin sur les limites de fonctions composées et les limites trigonométriques, consulte les pages dédiées du cours.
VII. Questions fréquentes
Quelles sont les formes indéterminées en maths ?
Il existe 7 formes indéterminées au total : \(+\infty – \infty\), \(0 \times \infty\), \(\displaystyle\frac{0}{0}\), \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\), \(0^0\), \(1^{\infty}\) et \(\infty^0\). En Terminale, on en rencontre principalement 4 (les quatre premières). Les trois formes de puissances (\(0^0\), \(1^{\infty}\), \(\infty^0\)) sont étudiées en prépa et se ramènent au passage en exponentielle : \(f^g = e^{g \ln f}\).
Quelle est la limite d'une forme indéterminée 0/0 ?
La forme \(\displaystyle\frac{0}{0}\) ne donne pas de résultat fixe — c’est justement pour cela qu’elle est « indéterminée ». Le résultat dépend des fonctions en jeu. Par exemple : \(\lim_{x \to 0} \displaystyle\frac{x}{x} = 1\), \(\lim_{x \to 0} \displaystyle\frac{x^2}{x} = 0\) et \(\lim_{x \to 0} \displaystyle\frac{x}{x^2} = +\infty\). Il faut lever la FI (par factorisation, taux d’accroissement, conjuguée, etc.) pour trouver la vraie limite.
Comment savoir quelle technique utiliser pour lever une FI ?
Le choix dépend du type de FI et du contexte de l’expression. Avec des polynômes, factorise par la plus haute puissance de \(x\). Avec des racines carrées, utilise l’expression conjuguée. Avec \(e^x\) ou \(\ln x\), applique la croissance comparée. Pour un produit \(0 \times \infty\), réécris-le en quotient. Consulte l’arbre de décision de cet article pour un guide visuel complet.
Quelle est la différence entre une forme indéterminée et une limite qui n'existe pas ?
Ce sont deux notions distinctes. Une forme indéterminée signifie que les théorèmes opératoires ne suffisent pas pour conclure, mais la limite peut très bien exister — il faut juste une technique adaptée pour la trouver. Une limite qui n’existe pas, c’est quand la fonction n’admet aucune limite finie ni infinie (par exemple, \(\sin x\) quand \(x \to +\infty\) oscille sans converger). En résumé : une FI est un problème de calcul, pas un verdict sur l’existence de la limite.
0 × ∞ est-il une forme indéterminée ?
Oui, \(0 \times (+\infty)\) est bien une forme indéterminée. Le résultat peut être n’importe quelle valeur. Par exemple : \(\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{1}{x} \times x^2 = +\infty\), mais \(\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{1}{x^2} \times x = 0\). Pour lever cette FI, la technique la plus courante est de réécrire le produit sous forme de quotient (en passant l’un des facteurs au dénominateur) pour se ramener à \(\displaystyle\frac{0}{0}\) ou \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\).
VIII. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant la méthode pour lever les formes indéterminées. Pour approfondir chaque technique et t’entraîner davantage :
- Limites de fonctions : cours complet (Terminale) — théorèmes opératoires, asymptotes et méthodologie générale
- Limites de la fonction exponentielle — croissances comparées détaillées et ROC
- Limites de la fonction logarithme népérien — croissances comparées avec \(\ln\)
- Théorème des gendarmes : méthode et exercices — quand l’encadrement résout la FI
- Limites des fonctions composées — les FI dans les compositions
- Tableau des limites de fonctions usuelles — toutes les limites de référence en un tableau
- Exercices corrigés sur les limites (PDF) — 25+ exercices classés par difficulté
