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Le changement de variable est l’une des techniques les plus puissantes du calcul intégral — et l’une des plus mal maîtrisées en concours. Une substitution bien choisie transforme une intégrale inabordable en un calcul élémentaire. Tu trouveras ici le théorème complet avec sa démonstration, une méthode en 4 étapes, 5 exemples résolus de difficulté croissante et des conseils de rédaction concours.
📚 Tout le cours « Intégrales & Primitives »
- 📖 Primitives et Intégrales : Cours Complet
- → Tableau des Primitives Usuelles
- → Intégration par Parties (IPP)
- → Primitive de ln x
- → Primitives de Fonctions Composées
- → Changement de Variable dans une Intégrale (cette page)
- → Intégrale de Gauss
- → Intégrales Généralisées
- → Intégrales de Wallis
- → Intégrale de Riemann
- → Formule de Taylor avec Reste Intégral
- ✏️ Exercices Corrigés Primitives et Intégrales
I. Le théorème de changement de variable
Tout repose sur un seul résultat. Le maîtriser — énoncé, hypothèses, preuve — est un prérequis absolu avant toute application.
A. Énoncé du théorème
Théorème — Changement de variable dans une intégrale
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I\) et \(\varphi : [\alpha ; \beta] \to I\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \([\alpha ; \beta]\). Alors :
\(\displaystyle\int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)} f(x)\,dx = \displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} f\bigl(\varphi(t)\bigr)\,\varphi^\prime(t)\,dt\)
Lecture pratique : on pose \(x = \varphi(t)\), d’où \(dx = \varphi^\prime(t)\,dt\). L’intégrale en \(x\) se transforme en une intégrale en \(t\). Les bornes se transforment aussi : la borne \(x = \varphi(\alpha)\) devient \(t = \alpha\) et la borne \(x = \varphi(\beta)\) devient \(t = \beta\).
Point crucial sur les hypothèses : le théorème n’exige ni bijectivité, ni monotonie de \(\varphi\). Il suffit que \(\varphi\) soit \(\mathcal{C}^1\) et que \(f\) soit continue. Vérifier inutilement l’injectivité en concours est une perte de temps et un signal de compréhension partielle.
B. Démonstration ⋆ (exigible aux concours)
La preuve exploite la règle de dérivation composée et le théorème fondamental de l’analyse.
Puisque \(f\) est continue sur \(I\), elle admet une primitive \(F\) sur \(I\). Posons :
\(G = F \circ \varphi\)
\(F\) est dérivable sur \(I\) et \(\varphi\) est dérivable sur \([\alpha;\beta]\). Par la règle de dérivation composée :
\(\forall\,t \in [\alpha;\beta],\quad G^\prime(t) = F^\prime\bigl(\varphi(t)\bigr) \cdot \varphi^\prime(t) = f\bigl(\varphi(t)\bigr) \cdot \varphi^\prime(t)\)
Ainsi \(G\) est une primitive de \(t \mapsto f\bigl(\varphi(t)\bigr)\,\varphi^\prime(t)\) sur \([\alpha;\beta]\). Le théorème fondamental de l’analyse donne :
\(\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} f\bigl(\varphi(t)\bigr)\,\varphi^\prime(t)\,dt = G(\beta) – G(\alpha) = F\bigl(\varphi(\beta)\bigr) – F\bigl(\varphi(\alpha)\bigr) = \displaystyle\int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)} f(x)\,dx\)
∎
Le théorème posé, reste la question essentielle en pratique : quand utiliser cette technique, et quelle substitution choisir ?
II. Quand utiliser le changement de variable — et lequel choisir ?
Le changement de variable n’est qu’un outil parmi d’autres. L’utiliser quand une primitive composée ou une intégration par parties suffirait est une perte de temps. Le tableau suivant te permet de trancher.
| Tu vois dans l’intégrande… | Technique adaptée | Référence |
|---|---|---|
| La forme \(u^\prime(x) \cdot g\bigl(u(x)\bigr)\) directement reconnaissable | Primitive composée — plus rapide, pas besoin de CDV | Composées |
| La primitive figure directement dans le tableau usuel | Primitive directe | Tableau |
| Un produit \(P(x)\,e^x\), \(x^n\ln x\), \(\arctan x\)… | Intégration par parties | IPP |
| \(\sqrt{x}\), \(e^x\) imbriqué, fractions rationnelles en \(\sin/\cos\) | Changement de variable | Cette page |
| Fraction rationnelle en \(x\) (sans fonctions transcendantes) | Décomposition en éléments simples | — |
Règle de décision rapide : si tu « vois » \(u^\prime\) en facteur dans l’intégrande, c’est une primitive composée déguisée — inutile de poser un changement de variable formel. Le CDV complet est réservé aux cas où cette reconnaissance directe est impossible.
Une fois la décision prise d’utiliser un CDV, il reste à choisir lequel. Voici les substitutions classiques à connaître par cœur.
| L’intégrande contient | Substitution | Transformations clés |
|---|---|---|
| \(\sqrt{x}\) ou \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}\) | \(u = \sqrt{x}\) | \(x = u^2\), \(dx = 2u\,du\) |
| \(\sqrt[n]{x}\) ou \(x^{1/n}\) | \(u = x^{1/n}\) | \(x = u^n\), \(dx = nu^{n-1}\,du\) |
| Fonctions de \(e^x\) non triviales | \(u = e^x\) | \(du = e^x\,dx\), soit \(dx = \displaystyle\frac{du}{u}\) |
| \(\sqrt{a^2 – x^2}\) | \(x = a\sin\theta\) | \(dx = a\cos\theta\,d\theta\), \(\sqrt{a^2 – x^2} = a\cos\theta\) |
| \(\sqrt{x^2 + a^2}\) | \(x = a\,\mathrm{sh}\,t\) | \(dx = a\,\mathrm{ch}\,t\,dt\), \(\sqrt{x^2 + a^2} = a\,\mathrm{ch}\,t\) |
| \(\sqrt{x^2 – a^2}\) (avec \(x\) > \(a\)) | \(x = a\,\mathrm{ch}\,t\) | \(dx = a\,\mathrm{sh}\,t\,dt\), \(\sqrt{x^2 – a^2} = a\,\mathrm{sh}\,t\) |
| Fraction rationnelle en \(\sin x, \cos x\) | \(t = \tan\!\left(\displaystyle\frac{x}{2}\right)\) (Weierstrass) | \(\cos x = \displaystyle\frac{1 – t^2}{1 + t^2}\), \(\sin x = \displaystyle\frac{2t}{1 + t^2}\), \(dx = \displaystyle\frac{2\,dt}{1 + t^2}\) |
Substitution de Weierstrass (ou substitution universelle) : elle linéarise toute fraction rationnelle en \(\sin\) et \(\cos\), mais donne souvent des calculs lourds. Avant de l’utiliser, vérifie si un changement plus simple (comme \(u = \cos x\) quand \(\sin x\) apparaît en facteur) ne suffit pas.
Tu sais maintenant quand utiliser le CDV et quelle substitution choisir. Passons à la mise en œuvre concrète.
III. Méthode pas à pas en 4 étapes
Quelle que soit la substitution, la démarche est invariable. Applique ces 4 étapes dans l’ordre — chaque encadré « À écrire sur la copie » te donne le modèle de rédaction.
Étape 1 — Identifier la substitution adaptée
Repère la forme dominante de l’intégrande : présence de \(\sqrt{x}\) ? D’un \(e^x\) imbriqué ? D’une fraction en \(\sin/\cos\) sans facteur exploitable ? La substitution est dictée par cette forme (consulte le tableau de la section II).
À écrire sur la copie :
« On effectue le changement de variable \(u = \varphi(x)\). La fonction \(\varphi\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \([\alpha;\beta]\). »
Étape 2 — Calculer \(du\) et transformer les bornes
Exprime \(du\) en fonction de \(dx\) (ou inversement, selon le sens le plus commode). Puis calcule les nouvelles bornes d’intégration : si l’intégrale initiale va de \(a\) à \(b\) en \(x\), les nouvelles bornes sont \(\varphi^{-1}(a)\) et \(\varphi^{-1}(b)\) en \(u\).
À écrire sur la copie :
« On a \(du = \varphi^\prime(x)\,dx\), soit \(dx = \ldots\,du\). »
« Nouvelles bornes : pour \(x = a\), \(u = \varphi(a) = \ldots\) ; pour \(x = b\), \(u = \varphi(b) = \ldots\) »
Piège n°1 : ne jamais garder les anciennes bornes après un changement de variable. Si tu poses \(u = \sqrt{x}\) dans \(\displaystyle\int_1^4 \ldots\,dx\), les nouvelles bornes sont \(u = 1\) et \(u = 2\), pas \(1\) et \(4\).
Étape 3 — Substituer intégralement
Remplace simultanément :
- toute occurrence de \(x\) par son expression en \(u\),
- \(dx\) par son expression en \(du\),
- les bornes par les nouvelles bornes.
Après substitution, il ne doit rester aucune trace de la variable \(x\) dans l’intégrale. Si c’est le cas, la substitution est incomplète ou inadaptée.
À écrire sur la copie :
« Par le théorème de changement de variable :
\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \displaystyle\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} \ldots\,du\) »
Étape 4 — Calculer la nouvelle intégrale et conclure
La nouvelle intégrale doit être plus simple que l’originale. Calcule-la à l’aide des techniques standard (primitives usuelles, IPP, linéarisation…). Donne le résultat final sous forme simplifiée.
À écrire sur la copie :
« Donc \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \ldots\) »
Voyons maintenant cette méthode en action sur 5 intégrales de difficulté croissante.
IV. 5 exemples résolus
Exemple 1 — Changement affine (Lycée)
Calculer \(\displaystyle\int_0^1 (2x + 1)^3\,dx\)
Étape 1 : L’intégrande est une puissance d’une fonction affine. On pose \(u = 2x + 1\).
Étape 2 : \(du = 2\,dx\), soit \(dx = \displaystyle\frac{du}{2}\). Nouvelles bornes : \(x = 0 \Rightarrow u = 1\) ; \(x = 1 \Rightarrow u = 3\).
Étape 3 :
\(\displaystyle\int_0^1 (2x + 1)^3\,dx = \displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_1^3 u^3\,du\)
Étape 4 :
\(\displaystyle\frac{1}{2}\left[\displaystyle\frac{u^4}{4}\right]_1^3 = \displaystyle\frac{1}{8}(81 – 1) = 10\)
Remarque : cet exemple se traite aussi par reconnaissance directe d’une primitive composée : on identifie \(\displaystyle\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (2x+1)^3\) et on écrit immédiatement la primitive \(\displaystyle\frac{(2x+1)^4}{8}\). Sur une copie, la méthode la plus rapide prime.
Exemple 2 — Substitution \(u = \sqrt{x}\) (Prépa)
Calculer \(\displaystyle\int_1^4 \displaystyle\frac{dx}{\sqrt{x}\,(1 + \sqrt{x})}\)
Étape 1 : La présence de \(\sqrt{x}\) au dénominateur invite à poser \(u = \sqrt{x}\).
Étape 2 : \(x = u^2\), donc \(dx = 2u\,du\). Bornes : \(x = 1 \Rightarrow u = 1\) ; \(x = 4 \Rightarrow u = 2\).
Étape 3 :
\(\displaystyle\int_1^4 \displaystyle\frac{dx}{\sqrt{x}\,(1 + \sqrt{x})} = \displaystyle\int_1^2 \displaystyle\frac{2u\,du}{u\,(1 + u)} = 2\displaystyle\int_1^2 \displaystyle\frac{du}{1 + u}\)
Les \(u\) se simplifient. L’intégrale se ramène à une primitive de référence.
Étape 4 :
\(2\bigl[\ln(1 + u)\bigr]_1^2 = 2(\ln 3 – \ln 2) = 2\ln\displaystyle\frac{3}{2}\)
Exemple 3 — Substitution \(u = e^x\) (Prépa)
Calculer \(\displaystyle\int_0^{\ln 2} \displaystyle\frac{e^x}{1 + e^{2x}}\,dx\)
Étape 1 : L’intégrande est une fraction en \(e^x\). On pose \(u = e^x\).
Étape 2 : \(du = e^x\,dx\). Bornes : \(x = 0 \Rightarrow u = 1\) ; \(x = \ln 2 \Rightarrow u = 2\).
Étape 3 : On note que \(e^{2x} = u^2\) et que le \(e^x\,dx\) du numérateur donne directement \(du\) :
\(\displaystyle\int_0^{\ln 2} \displaystyle\frac{e^x}{1 + e^{2x}}\,dx = \displaystyle\int_1^2 \displaystyle\frac{du}{1 + u^2}\)
Étape 4 :
\(\bigl[\arctan u\bigr]_1^2 = \arctan 2 – \displaystyle\frac{\pi}{4}\)
Exemple 4 — Substitution de Weierstrass (Concours)
Calculer \(\displaystyle\int_0^{\pi/2} \displaystyle\frac{dx}{2 + \cos x}\)
Étape 1 : L’intégrande est une fraction rationnelle en \(\cos x\), mais \(\sin x\) n’apparaît pas en facteur — la substitution \(u = \cos x\) est donc inutile. On utilise la substitution de Weierstrass : \(t = \tan\!\left(\displaystyle\frac{x}{2}\right)\).
Étape 2 : Les formules de Weierstrass donnent :
\(\cos x = \displaystyle\frac{1 – t^2}{1 + t^2},\qquad dx = \displaystyle\frac{2\,dt}{1 + t^2}\)
Bornes : \(x = 0 \Rightarrow t = 0\) ; \(x = \displaystyle\frac{\pi}{2} \Rightarrow t = \tan\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) = 1\).
Étape 3 :
\(\displaystyle\int_0^{\pi/2} \displaystyle\frac{dx}{2 + \cos x} = \displaystyle\int_0^1 \displaystyle\frac{1}{2 + \displaystyle\frac{1 – t^2}{1 + t^2}} \cdot \displaystyle\frac{2\,dt}{1 + t^2}\)
Simplifions le dénominateur :
\(2 + \displaystyle\frac{1 – t^2}{1 + t^2} = \displaystyle\frac{2(1 + t^2) + 1 – t^2}{1 + t^2} = \displaystyle\frac{3 + t^2}{1 + t^2}\)
D’où :
\(\displaystyle\int_0^1 \displaystyle\frac{1 + t^2}{3 + t^2} \cdot \displaystyle\frac{2\,dt}{1 + t^2} = \displaystyle\int_0^1 \displaystyle\frac{2\,dt}{3 + t^2}\)
Étape 4 : On reconnaît la primitive de \(\displaystyle\frac{1}{a^2 + t^2}\) avec \(a = \sqrt{3}\) :
\(\displaystyle\frac{2}{\sqrt{3}}\left[\arctan\displaystyle\frac{t}{\sqrt{3}}\right]_0^1 = \displaystyle\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \arctan\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}} = \displaystyle\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \displaystyle\frac{\pi}{6} = \displaystyle\frac{\pi}{3\sqrt{3}} = \displaystyle\frac{\pi\sqrt{3}}{9}\)
Exemple 5 — Symétrie par changement de variable (Concours)
Ce dernier exemple illustre une technique redoutable en concours : utiliser un CDV non pas pour « simplifier » l’intégrande, mais pour exploiter une symétrie cachée et obtenir la valeur de l’intégrale.
Calculer \(I = \displaystyle\int_0^{\pi} \displaystyle\frac{x\,\sin x}{1 + \cos^2 x}\,dx\)
Étape 1 : L’intégrale porte sur \([0;\pi]\), intervalle symétrique par rapport à \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\). On pose \(u = \pi – x\), de sorte que \(du = -dx\).
Étape 2 : Bornes : \(x = 0 \Rightarrow u = \pi\) ; \(x = \pi \Rightarrow u = 0\).
Propriétés utiles : \(\sin(\pi – u) = \sin u\) et \(\cos(\pi – u) = -\cos u\), donc \(\cos^2(\pi – u) = \cos^2 u\).
Étape 3 :
\(I = \displaystyle\int_{\pi}^{0} \displaystyle\frac{(\pi – u)\,\sin u}{1 + \cos^2 u}\,(-du) = \displaystyle\int_0^{\pi} \displaystyle\frac{(\pi – u)\,\sin u}{1 + \cos^2 u}\,du\)
En développant :
\(I = \pi\displaystyle\int_0^{\pi} \displaystyle\frac{\sin u}{1 + \cos^2 u}\,du – I\)
D’où : \(2I = \pi\displaystyle\int_0^{\pi} \displaystyle\frac{\sin u}{1 + \cos^2 u}\,du\)
Étape 4 : Pour l’intégrale restante, on pose \(v = \cos u\), \(dv = -\sin u\,du\). Bornes : \(u = 0 \Rightarrow v = 1\) ; \(u = \pi \Rightarrow v = -1\).
\(\displaystyle\int_0^{\pi} \displaystyle\frac{\sin u}{1 + \cos^2 u}\,du = -\displaystyle\int_1^{-1} \displaystyle\frac{dv}{1 + v^2} = \displaystyle\int_{-1}^{1} \displaystyle\frac{dv}{1 + v^2} = \bigl[\arctan v\bigr]_{-1}^{1} = \displaystyle\frac{\pi}{4} – \left(-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) = \displaystyle\frac{\pi}{2}\)
Conclusion :
\(2I = \pi \cdot \displaystyle\frac{\pi}{2} = \displaystyle\frac{\pi^2}{2}\)
Résultat : \(\boxed{I = \displaystyle\frac{\pi^2}{4}}\)
Technique à retenir : la substitution \(u = a – x\) sur \([0;a]\) est un réflexe essentiel en concours. Elle fait apparaître \(I\) des deux côtés d’une égalité, permettant d’isoler sa valeur sans calculer de primitive explicite. Tu retrouves ce principe dans le calcul de certaines intégrales de Wallis.
La méthode du changement de variable en recto-verso
Les 4 étapes, le tableau des substitutions classiques et les pièges à éviter — sur une fiche prête à glisser dans ton classeur.
📄 Télécharger la fiche méthode (PDF)
Un recto-verso qui t’évite de chercher dans ton cours le jour du concours.
Ces exemples montrent la puissance du CDV. Mais en concours, la technique ne suffit pas : il faut aussi éviter les erreurs qui coûtent des points.
V. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Erreur 1 — Oublier de transformer les bornes
Copie fautive :
« On pose \(u = \sqrt{x}\). Alors \(\displaystyle\int_1^4 \displaystyle\frac{dx}{\sqrt{x}\,(1+\sqrt{x})} = \displaystyle\int_1^4 \displaystyle\frac{2\,du}{1+u}\). »
Diagnostic : les bornes \(1\) et \(4\) sont celles de la variable \(x\), pas de \(u\). Avec \(u = \sqrt{x}\) : \(x = 1 \Rightarrow u = 1\) et \(x = 4 \Rightarrow u = 2\).
✅ Correction :
« \(\displaystyle\int_1^{\mathbf{2}} \displaystyle\frac{2\,du}{1 + u}\) »
Erreur 2 — Substituer \(dx\) de manière incomplète
Copie fautive :
« On pose \(u = e^x\). Alors \(\displaystyle\int \displaystyle\frac{e^x}{1 + e^{2x}}\,dx = \displaystyle\int \displaystyle\frac{u}{1 + u^2}\,du\). »
Diagnostic : on a \(du = e^x\,dx\), soit \(dx = \displaystyle\frac{du}{u}\). Le facteur \(e^x\) du numérateur est « absorbé » par la transformation \(e^x\,dx = du\). Le résultat correct a un \(u\) de moins au numérateur.
✅ Correction :
« \(\displaystyle\int \displaystyle\frac{u}{1 + u^2} \cdot \displaystyle\frac{du}{u} = \displaystyle\int \displaystyle\frac{du}{1 + u^2}\) »
Erreur 3 — Mauvaise gestion du signe lors de l’inversion des bornes
Copie fautive :
« On pose \(u = \cos x\) dans \(\displaystyle\int_0^{\pi} \displaystyle\frac{\sin x}{1 + \cos^2 x}\,dx\). On a \(du = -\sin x\,dx\), donc :
\(\displaystyle\int_1^{-1} \displaystyle\frac{-du}{1 + u^2}\). L’intégrande est impaire, donc l’intégrale vaut \(0\). »
Diagnostic : l’intégrande \(\displaystyle\frac{1}{1 + u^2}\) est paire, pas impaire. Et surtout, le signe \(–\) devant \(du\) sert à retourner les bornes proprement :
\(-\displaystyle\int_1^{-1} \displaystyle\frac{du}{1 + u^2} = \displaystyle\int_{-1}^{1} \displaystyle\frac{du}{1 + u^2} = \displaystyle\frac{\pi}{2}\)
✅ Règle : applique le théorème mécaniquement. Le signe de \(\varphi^\prime(t)\) et l’ordre des bornes se compensent toujours naturellement. Ne « simplifie » jamais les signes dans ta tête avant d’avoir écrit la formule complète.
Maintenant que tu connais les pièges, entraîne-toi. Essaie chaque exercice avant de consulter la correction.
VI. Exercices d’application
Exercice 1 ★★ — Calculer \(\displaystyle\int_0^4 \displaystyle\frac{dx}{1 + \sqrt{x}}\).
▶ Voir la correction
On pose \(u = \sqrt{x}\), donc \(x = u^2\) et \(dx = 2u\,du\). Bornes : \(x = 0 \Rightarrow u = 0\) ; \(x = 4 \Rightarrow u = 2\).
\(\displaystyle\int_0^4 \displaystyle\frac{dx}{1 + \sqrt{x}} = \displaystyle\int_0^2 \displaystyle\frac{2u\,du}{1 + u}\)
On effectue la division euclidienne : \(\displaystyle\frac{u}{1 + u} = 1 – \displaystyle\frac{1}{1 + u}\). D’où :
\(2\displaystyle\int_0^2 \left(1 – \displaystyle\frac{1}{1 + u}\right)du = 2\bigl[u – \ln(1 + u)\bigr]_0^2 = 2(2 – \ln 3) = 4 – 2\ln 3\)
Exercice 2 ★★ — Calculer \(\displaystyle\int_1^e \displaystyle\frac{(\ln x)^2}{x}\,dx\).
▶ Voir la correction
On pose \(u = \ln x\), donc \(du = \displaystyle\frac{dx}{x}\). Bornes : \(x = 1 \Rightarrow u = 0\) ; \(x = e \Rightarrow u = 1\).
\(\displaystyle\int_1^e \displaystyle\frac{(\ln x)^2}{x}\,dx = \displaystyle\int_0^1 u^2\,du = \left[\displaystyle\frac{u^3}{3}\right]_0^1 = \displaystyle\frac{1}{3}\)
Remarque : on peut aussi reconnaître une primitive composée : \(\displaystyle\frac{(\ln x)^2}{x} = (\ln x)^\prime \cdot (\ln x)^2\), de primitive \(\displaystyle\frac{(\ln x)^3}{3}\).
Exercice 3 ★★★ — Calculer \(\displaystyle\int_0^{\pi/2} \displaystyle\frac{\sin x}{1 + \cos^2 x}\,dx\).
▶ Voir la correction
On pose \(u = \cos x\), donc \(du = -\sin x\,dx\). Bornes : \(x = 0 \Rightarrow u = 1\) ; \(x = \displaystyle\frac{\pi}{2} \Rightarrow u = 0\).
\(\displaystyle\int_0^{\pi/2} \displaystyle\frac{\sin x}{1 + \cos^2 x}\,dx = -\displaystyle\int_1^0 \displaystyle\frac{du}{1 + u^2} = \displaystyle\int_0^1 \displaystyle\frac{du}{1 + u^2} = \bigl[\arctan u\bigr]_0^1 = \displaystyle\frac{\pi}{4}\)
Exercice 4 ★★★ (Raisonnement) — Soit \(f\) une fonction continue sur \([0;1]\). Démontrer que :
\(\displaystyle\int_0^{\pi/2} f(\sin x)\,dx = \displaystyle\int_0^{\pi/2} f(\cos x)\,dx\)
▶ Voir la correction
On effectue le changement de variable \(u = \displaystyle\frac{\pi}{2} – x\) dans l’intégrale de gauche. La fonction \(u \mapsto \displaystyle\frac{\pi}{2} – u\) est \(\mathcal{C}^1\) sur \(\left[0;\displaystyle\frac{\pi}{2}\right]\).
\(du = -dx\). Bornes : \(x = 0 \Rightarrow u = \displaystyle\frac{\pi}{2}\) ; \(x = \displaystyle\frac{\pi}{2} \Rightarrow u = 0\).
Par le théorème de changement de variable, en utilisant \(\sin\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{2} – u\right) = \cos u\) :
\(\displaystyle\int_0^{\pi/2} f(\sin x)\,dx = \displaystyle\int_{\pi/2}^{0} f(\cos u)\,(-du) = \displaystyle\int_0^{\pi/2} f(\cos u)\,du\)
Par changement de nom de la variable muette \(u \to x\), on obtient bien \(\displaystyle\int_0^{\pi/2} f(\cos x)\,dx\). ∎
Tu veux t’entraîner davantage ? Découvre nos exercices corrigés sur les primitives et intégrales, classés par difficulté.
Au-delà du calcul, c’est la qualité de la rédaction qui fait la différence en concours. Voici les standards attendus.
VII. Rédaction concours — Ce que le correcteur attend
A. Modèle de rédaction
Voici la rédaction type d’un CDV telle qu’elle est attendue dans une copie de concours (X, Mines-Ponts, Centrale). Chaque ligne a un rôle précis.
Rédaction modèle
« On effectue le changement de variable \(u = \varphi(x)\). La fonction \(\varphi\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \([a;b]\) à valeurs dans \(I\), et \(f\) est continue sur \(I\).
On a \(du = \varphi^\prime(x)\,dx\), soit \(dx = \ldots\,du\).
Nouvelles bornes : pour \(x = a\), \(u = \varphi(a) = \ldots\) ; pour \(x = b\), \(u = \varphi(b) = \ldots\).
Par le théorème de changement de variable :
\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \displaystyle\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} \ldots\,du\) »
Les trois éléments indispensables : (1) citer que \(\varphi\) est \(\mathcal{C}^1\) et \(f\) continue, (2) expliciter les nouvelles bornes, (3) nommer le théorème de changement de variable.
B. Ce qui est pénalisé
| Erreur de rédaction | Impact estimé |
|---|---|
| Ne pas mentionner que \(\varphi\) est \(\mathcal{C}^1\) | Perte de rigueur : \(-0{,}5\) à \(-1\) pt |
| Ne pas expliciter les nouvelles bornes | Calcul non justifié : \(-1\) pt |
| Écrire « on pose \(u = \ldots\) » sans citer le théorème | Toléré mais le jury apprécie la mention explicite |
| Garder des \(x\) après la substitution | Incohérence mathématique : jusqu’à \(-2\) pts |
| Bornes en \(x\) avec intégrande en \(u\) | Erreur grave : calcul annulé |
Conseil de correcteur : un changement de variable rédigé en 3 lignes propres vaut mieux qu’un calcul correct noyé dans un brouillon illisible. La clarté de la rédaction est un signal de maîtrise que le correcteur valorise, même inconsciemment. Investis 30 secondes de plus sur la mise en forme — elles rapportent des points.
VIII. Questions fréquentes
Quelle est la différence entre changement de variable et primitive composée ?
La primitive composée est un cas particulier du changement de variable où la substitution est « transparente » : on reconnaît directement la forme \(u^\prime(x) \cdot g\bigl(u(x)\bigr)\) et on écrit la primitive sans poser de CDV formel. Le CDV complet est nécessaire quand cette reconnaissance directe ne suffit pas — par exemple quand \(u^\prime\) n’apparaît pas tel quel dans l’intégrande, ou quand l’expression en \(u\) nécessite des simplifications non triviales.
Faut-il vérifier que la substitution est bijective ?
Non. Le théorème de changement de variable n’exige pas la bijectivité de \(\varphi\) — il suffit que \(\varphi\) soit de classe \(\mathcal{C}^1\) et que \(f\) soit continue. Vérifier l’injectivité est une perte de temps en concours et trahit une compréhension partielle de l’énoncé du théorème.
Comment choisir le bon changement de variable ?
Repère la forme dominante de l’intégrande. Présence de \(\sqrt{x}\) → pose \(u = \sqrt{x}\). Fonctions imbriquées de \(e^x\) → pose \(u = e^x\). Fraction en \(\sin, \cos\) sans facteur exploitable → substitution de Weierstrass \(t = \tan(x/2)\). Termes en \(\sqrt{a^2 – x^2}\) → substitution trigonométrique ou hyperbolique. Le tableau des substitutions classiques (section II) récapitule les cas courants.
Peut-on enchaîner un changement de variable et une IPP ?
Oui, c’est fréquent en concours. Par exemple, pour calculer \(\displaystyle\int \sqrt{1 – x^2}\,dx\), on effectue d’abord le CDV \(x = \sin\theta\), ce qui donne \(\displaystyle\int \cos^2\theta\,d\theta\), puis on traite cette dernière par linéarisation ou par une intégration par parties. La clé est de bien séparer les étapes et de justifier chaque technique.
Le changement de variable fonctionne-t-il pour les intégrales généralisées ?
Oui, sous les mêmes hypothèses de régularité. Pour une intégrale impropre (borne infinie ou intégrande non borné), on applique le CDV à l’intégrale tronquée \(\displaystyle\int_a^M\) puis on passe à la limite \(M \to +\infty\). Le passage en coordonnées polaires pour calculer l’intégrale de Gauss \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2}\,dt = \sqrt{\pi}\) est un exemple célèbre de CDV appliqué à une intégrale généralisée.
Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant le changement de variable dans une intégrale. Pour approfondir tes techniques de calcul intégral :
- Primitives et intégrales : cours complet — la vue d’ensemble du chapitre
- Intégration par parties (IPP) — l’autre technique majeure de calcul intégral
- Intégrale de Gauss — un CDV en dimension 2 (passage en coordonnées polaires)
- Intégrales de Wallis — formules et démonstrations exploitant le CDV
- Exercices corrigés primitives et intégrales — entraînement complet, du lycée au concours
