Dans ce cours sur les équations différentielles, tu vas apprendre à reconnaître les principaux types rencontrés au lycée et en prépa (équations du premier ordre, du second ordre à coefficients constants), à trouver leur solution générale puis la solution particulière qui vérifie les conditions initiales. L’objectif est de te donner une méthode claire, structurée et facilement réutilisable en DS et aux concours.
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- Équation différentielle d’ordre 1 (Terminale) — méthode + exemples types (et exercices).
- Équation différentielle d’ordre 2 — équation caractéristique, solution homogène, méthode complète.
- Solution particulière (ordre 2) — méthode + cas classiques (polynôme, exponentielle, sinus/cosinus, résonance).
- Exercices corrigés (Terminale → Prépa) — s’entraîner avec corrigés détaillés.
- Application : circuit RC (physique) — modélisation + résolution de l’ED + interprétation.
Introduction : Qu’est-ce qu’une équation différentielle ?
Définition simple
Définition. Une équation différentielle est une équation mathématique qui relie une fonction inconnue à ses propres dérivées. Autrement dit, elle décrit comment une quantité évolue en fonction d’elle-même ou de ses variations.
Par exemple : \(y'(x)=a\,y(x)\) signifie que la dérivée de \(y\) est proportionnelle à \(y\).
La solution générale est alors : \(y(x)=C\,e^{ax}\) où \(C\) est une constante réelle.
À retenir. Une équation différentielle demande de trouver une fonction (souvent une famille de fonctions), pas seulement un nombre. On termine presque toujours par utiliser une (ou plusieurs) conditions initiales pour déterminer les constantes.
Pourquoi apprendre les équations différentielles ?
Les équations différentielles sont partout. Que vous soyez lycéen ou étudiant en prépa, voici quelques bonnes raisons de les maîtriser :
- Applications pratiques en sciences : elles décrivent des phénomènes physiques, chimiques ou biologiques.
- En économie et finance : elles modélisent l’évolution de grandeurs (croissance, dynamiques, etc.).
- Concours et examens : elles sont incontournables en Terminale et en classes préparatoires.
Exemples concrets d’applications quotidiennes
Exemples concrets.
- Refroidissement du café ou du thé : la vitesse de variation de la température suit une équation différentielle (loi de Newton du refroidissement).
- Charge et décharge d’une batterie (circuit RC) : la tension/charge peut se modéliser par une équation différentielle simple du premier ordre. Pour une application guidée, voir : circuit RC et équation différentielle.
Les grandes familles d’équations différentielles
Lorsqu’on étudie les équations différentielles, il est essentiel de bien comprendre leurs différents types. Chaque famille possède ses propres méthodes de résolution.
Équation différentielle du premier ordre
Les équations différentielles du premier ordre sont celles dans lesquelles n’apparaît que la dérivée première de la fonction recherchée. La forme générale (linéaire) s’écrit :
\(y'(x)+a(x)\,y(x)=b(x)\), où \(a(x)\) et \(b(x)\) sont des fonctions connues.
Exemple simple : \(y'(x)-5y(x)=3\sin(x)\)
Si vous êtes en Terminale : les cas les plus fréquents sont ceux à coefficients constants (du type \(y’=ay\) ou \(y’=ay+b\)). Pour la méthode complète, voir : équation différentielle d’ordre 1.
Équation différentielle du second ordre
Les équations différentielles du second ordre sont celles où apparaît la dérivée seconde. On les retrouve souvent en mécanique (oscillateurs, vibrations) ou en électronique. Elles s’écrivent généralement sous la forme :
\(y »(x)+a\,y'(x)+b\,y(x)=f(x)\)Exemple classique (oscillateur harmonique) : \(y »(x)+\omega^2 y(x)=0\)
Pour la méthode complète (équation caractéristique, cas des racines, etc.) : équation différentielle d’ordre 2.
Équations différentielles linéaires et non linéaires
Équations différentielles linéaires : une équation différentielle est dite linéaire si la fonction inconnue et ses dérivées apparaissent uniquement à la puissance 1 (sans produits entre elles).
Exemple : \(y'(x)+3y(x)=e^{-x}\)
Équations différentielles non linéaires : une équation différentielle est dite non linéaire si la fonction inconnue ou ses dérivées apparaissent avec des puissances ou des produits.
Exemple : \((y'(x))^2+(y(x))^2=1\)
Piège classique. “Linéaire” ne veut pas dire “facile” : une équation linéaire peut demander une méthode précise (facteur intégrant, équation caractéristique, gestion de la résonance), et une rédaction rigoureuse.
Résolution des équations différentielles : les méthodes incontournables
Savoir résoudre une équation différentielle signifie maîtriser des méthodes structurées et rigoureuses. Ici, vous avez une vue d’ensemble (résumé). Pour les méthodes complètes et l’entraînement, utilisez les pages dédiées du cocon.
Résolution d’une équation différentielle d’ordre 1 : méthode pas à pas (résumé)
On considère une équation différentielle linéaire du premier ordre : \(y'(x)+a(x)\,y(x)=b(x)\)
L’idée est simple : on commence par résoudre l’équation homogène, puis on traite le second membre.
Étape 1 — Résoudre l’équation homogène associée
On ignore le second membre et on résout : \(y'(x)+a(x)\,y(x)=0\)
La solution générale de l’homogène s’écrit : \(y_h(x)=C\,e^{-\int a(x)\,dx},\quad C\in\mathbb{R}\)
Étape 2 — Trouver une solution de l’équation complète
On utilise un facteur intégrant : \(\mu(x)=e^{\int a(x)\,dx}\) ce qui permet d’écrire : \((\mu(x)\,y(x))’=\mu(x)\,b(x)\)
En intégrant, on obtient : \(y(x)=e^{-\int a(x)\,dx}\left(C+\int b(x)\,e^{\int a(x)\,dx}\,dx\right)\)
Pour la méthode complète (cas Terminale + exercices corrigés) : cours sur les équations différentielles d’ordre 1.
Résolution d’une équation différentielle d’ordre 2 : méthode (résumé)
Au lycée / en prépa, on rencontre très souvent des équations différentielles linéaires d’ordre 2 à coefficients constants, de la forme : \(y »(x)+a\,y'(x)+b\,y(x)=g(x)\)
La résolution suit toujours la même logique : solution homogène + solution particulière, puis utilisation des conditions initiales si elles sont données.
Étape 1 — Résoudre l’équation homogène (équation caractéristique)
On commence par l’équation homogène associée : \(y »(x)+a\,y'(x)+b\,y(x)=0\)
On cherche une solution sous la forme \(y(x)=e^{rx}\), ce qui conduit à l’équation caractéristique : \(r^2+a\,r+b=0\)
Selon les racines (réelles distinctes, double, ou complexes), on obtient une expression de la solution homogène \(y_h(x)\).
Méthode complète + exemples : équation différentielle d’ordre 2.
Étape 2 — Trouver une solution particulière (et gérer la résonance)
On cherche ensuite une solution particulière \(y_p(x)\) de l’équation complète. Dans la majorité des exercices, on essaie une forme qui dépend de \(g(x)\) (polynôme / exponentielle / sinus-cosinus, etc.). Le point clé est la résonance : si la forme testée est déjà solution de l’homogène, il faut la multiplier par \(x\) (ou \(x^2\)) pour obtenir une vraie particulière.
Tableau des cas + méthode pas à pas : solution particulière (ordre 2).
Tableau récapitulatif des formes usuelles (vue d’ensemble)
| Type d’équation | Forme générale | Idée de méthode |
|---|---|---|
| 1er ordre linéaire | \(y’+a(x)\,y=b(x)\) | Facteur intégrant, puis conditions initiales. |
| 2e ordre homogène (coeff. constants) | \(y »+a\,y’+b\,y=0\) | Équation caractéristique \(r^2+a\,r+b=0\) puis cas selon les racines. |
| 2e ordre avec second membre | \(y »+a\,y’+b\,y=g(x)\) | Solution générale = homogène + particulière (attention à la résonance). |
Équations différentielles au lycée (niveau Terminale)
Ce que dit le programme officiel
Le programme de Terminale spécialité Maths attend que les élèves sachent :
- Comprendre et savoir résoudre une équation différentielle du premier ordre simple.
- Interpréter la solution dans des contextes simples (physique, économie, etc.).
En particulier, l’équation type ressemble souvent à : \(y'(x)+a\,y(x)=b\) avec \(a\) et \(b\) constants.
Exemple d’exercice type Bac (corrigé guidé).
Résoudre l’équation différentielle : \(y'(x)+2y(x)=4\) puis déterminer la solution vérifiant \(y(0)=5\).
Étape 1 — Équation homogène.
Équation homogène associée : \(y'(x)+2y(x)=0\) donc \(y_h(x)=C\,e^{-2x}\).
Étape 2 — Solution particulière.
Le second membre est constant, on essaie \(y_p(x)=A\). Alors \(y_p'(x)=0\) et l’équation donne \(2A=4\), donc \(A=2\).
Étape 3 — Solution générale puis condition initiale.
\(y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C\,e^{-2x}+2\). Avec \(y(0)=5\), on obtient \(C+2=5\), donc \(C=3\).
Conclusion : \(y(x)=3e^{-2x}+2\).
Envie de t’entraîner (niveau Bac → Prépa) ? Va sur la page dédiée : exercices corrigés d’équations différentielles.
Équations différentielles en prépa
En classes préparatoires scientifiques et économiques, la maîtrise des équations différentielles est essentielle. Elles apparaissent régulièrement dans les concours, notamment en maths sup et maths spé.
Ce que vous devez connaître en Maths Sup
- Équations différentielles linéaires du premier ordre (variation de la constante, facteur intégrant).
- Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants (méthode caractéristique).
- Modélisations simples (radioactivité, mécanique simple, circuits RC).
Ce que vous devez connaître en Maths Spé
- Systèmes différentiels.
- Approche d’équations non linéaires par des méthodes numériques (Euler, Runge-Kutta).
Piège concours. En prépa, la clarté de la rédaction compte autant que le résultat : annonce la forme de la solution, justifie la méthode (caractéristique / particulière), et utilise proprement les conditions initiales.
Ressources pour réviser (cours & exercices)
Voici les pages les plus utiles du cocon pour apprendre et s’entraîner efficacement :
- 🔖 Équations différentielles d’ordre 1 : cours + méthode — cas Terminale (et techniques essentielles).
- 🔖 Équations différentielles d’ordre 2 : cours complet — équation caractéristique, solution homogène, méthode.
- 🔖 Solution particulière (ordre 2) : méthode + cas types — le point clé qui tombe tout le temps en exercices.
- 🔖 Exercices corrigés : équations différentielles — entraînement guidé (Terminale → Prépa).
- 🔖 Application : circuit RC et équation différentielle — modélisation + résolution + interprétation.
Exercices supplémentaires corrigés sur les équations différentielles
Astuce méthode (équations linéaires du 1er ordre) :
- identifier l’équation homogène associée ;
- résoudre l’équation homogène ;
- chercher une solution particulière de l’équation complète ;
- écrire la solution générale comme « homogène + particulière » ;
- utiliser les conditions initiales pour déterminer la constante.
Exercice 1 — Équation différentielle linéaire : \(y’=y+2\)
On considère l’équation différentielle : \(y'(x)=y(x)+2\).
- Résoudre l’équation homogène associée.
- Trouver une solution particulière.
- En déduire la solution générale.
- Déterminer la solution vérifiant \(y(0)=1\).
Correction.
1) L’homogène associée est : \(y’_h=y_h\) donc \(y_h(x)=C\,e^{x},\quad C\in\mathbb{R}\).
2) On cherche une particulière. Comme le second membre est constant, on essaie \(y_p(x)=k\). Alors \(y_p'(x)=0\) et l’équation donne \(0=k+2\), donc \(k=-2\). Ainsi \(y_p(x)=-2\).
3) Solution générale : \(y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C\,e^{x}-2\).
4) Condition initiale : \(y(0)=C-2=1\), donc \(C=3\) et \(y(x)=3e^{x}-2\).
Exercice 2 — Équation différentielle d’ordre 2 : \(y »-y=0\)
On considère : \(y »(x)-y(x)=0\).
- Déterminer l’équation caractéristique associée.
- En déduire la solution générale.
- Déterminer la solution vérifiant \(y(0)=1\) et \(y'(0)=0\).
Rappel. Pour une équation du second ordre à coefficients constants \(a\,y »+b\,y’+c\,y=0\) (avec \(a\neq 0\)), on associe l’équation caractéristique \(a\,r^2+b\,r+c=0\).
Correction.
1) Équation caractéristique : \(r^2-1=0\), donc \(r_1=1\) et \(r_2=-1\).
2) Racines réelles distinctes, donc : \(y(x)=A\,e^{x}+B\,e^{-x},\quad A,B\in\mathbb{R}\).
3) Conditions initiales : \(y(0)=A+B=1\). De plus, \(y'(x)=A\,e^{x}-B\,e^{-x}\), donc \(y'(0)=A-B=0\). On obtient : \(\left\{\begin{array}{l} A+B=1\\ A-B=0 \end{array}\right.\) d’où \(A=\frac{1}{2}\) et \(B=\frac{1}{2}\).
Conclusion : \(y(x)=\frac{1}{2}e^{x}+\frac{1}{2}e^{-x}\).
Piège. Sur une équation du second ordre, il faut en général deux conditions initiales (sur \(y\) et sur \(y’\)) pour déterminer complètement la solution.
Pour aller plus loin : j’ai regroupé 15+ exercices corrigés d’équations différentielles (Terminale → Prépa) sur une page dédiée.
FAQ : équations différentielles
Qu’est-ce qu’une équation différentielle du premier ordre ?
C’est une équation reliant une fonction \(y\) et sa dérivée \(y’\). Exemple : \(y’=ay+b\) (souvent avec \(a\) et \(b\) constants en Terminale).
Comment résoudre une équation différentielle du type y’ = ay + b ?
Si \(a\neq 0\) (avec \(a\) et \(b\) constants), une forme classique est : \(y(x)=C\,e^{ax}-\frac{b}{a}\). Puis on utilise la condition initiale pour déterminer \(C\). Si \(a=0\), l’équation devient \(y’=b\) donc \(y(x)=bx+C\).
Quelle différence entre solution générale et solution particulière ?
La solution générale contient une constante (ou plusieurs) et décrit toutes les solutions. Une solution particulière est une solution précise (souvent sans constante) et la solution finale s’écrit souvent « homogène + particulière », puis on ajuste avec les conditions initiales.
Comment vérifier une solution d’équation différentielle ?
On dérive la fonction proposée, puis on remplace dans l’équation et on vérifie que l’égalité est vraie. C’est un réflexe utile pour repérer une erreur de signe ou un mauvais choix de particulière.
À quoi servent les équations différentielles ?
Elles modélisent de nombreux phénomènes : mécanique, circuits électriques, chimie, croissance, ingénierie… Elles servent à relier une loi d’évolution à la grandeur étudiée (et à ses dérivées).
Où trouver des exercices corrigés (Terminale → Prépa) ?
Sur la page dédiée : exercices corrigés d’équations différentielles. Tu y trouveras une progression et des corrigés détaillés.
