Intégrales de Wallis : cours complet et exercices corrigés

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L’étude des suites d’intégrales est un thème central en classe préparatoire, et les intégrales de Wallis en sont l’exemple le plus emblématique. Introduites par le mathématicien anglais John Wallis en 1655 dans son Arithmetica Infinitorum, elles relient de manière surprenante les suites récurrentes, l’intégration par parties et le nombre \(\pi\). Ce cours couvre tous les résultats exigibles sur les intégrales de Wallis en CPGE : relation de récurrence, formules explicites, équivalent asymptotique et formule produit, avec des démonstrations détaillées et des exercices corrigés de niveau concours. Il s’inscrit dans le cadre plus large de l’étude des primitives et intégrales.

I. Définition et premières propriétés des intégrales de Wallis

A. Définition

L’intégrande \(\sin^n(t)\) est continue et positive sur \(\left[0 ; \displaystyle\frac{\pi}{2}\right]\), donc \(W_n\) est bien définie et strictement positive pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

Cette symétrie est très utile en pratique : dans un calcul, tu peux librement remplacer \(\sin\) par \(\cos\) sous l’intégrale de Wallis.

B. Valeurs initiales \(W_0\), \(W_1\) et \(W_2\)

Le calcul direct des premières intégrales de Wallis est indispensable : ce sont les conditions initiales de la récurrence que l’on établira au paragraphe suivant.

Calcul de \(W_0\) :

\(\displaystyle W_0 = \int_0^{\pi/2} \sin^0(t) \, dt = \int_0^{\pi/2} 1 \, dt = \displaystyle\frac{\pi}{2}\)

Calcul de \(W_1\) :

\(\displaystyle W_1 = \int_0^{\pi/2} \sin(t) \, dt = \Big[-\cos(t)\Big]_0^{\pi/2} = -\cos\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) + \cos(0) = 0 + 1 = 1\)

Calcul de \(W_2\) : On utilise la linéarisation \(\sin^2(t) = \displaystyle\frac{1 – \cos(2t)}{2}\) :

\(\displaystyle W_2 = \int_0^{\pi/2} \displaystyle\frac{1 – \cos(2t)}{2} \, dt = \displaystyle\frac{1}{2}\left[t – \displaystyle\frac{\sin(2t)}{2}\right]_0^{\pi/2} = \displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{\pi}{2} = \displaystyle\frac{\pi}{4}\)

C. Monotonie et convergence vers 0

Démonstration.

1. Pour tout \(t \in \left]0 ; \displaystyle\frac{\pi}{2}\right[\), on a \(\sin(t)\) > \(0\), donc \(\sin^n(t)\) > \(0\). L’intégrale d’une fonction continue, positive et non identiquement nulle sur \(\left[0 ; \displaystyle\frac{\pi}{2}\right]\) est strictement positive : \(W_n\) > \(0\).

2. Pour tout \(t \in \left]0 ; \displaystyle\frac{\pi}{2}\right[\), on a \(0\) < \(\sin(t)\) < \(1\), donc :

\(\displaystyle \sin^{n+1}(t) = \sin^n(t) \cdot \sin(t)\) < \(\displaystyle \sin^n(t)\)

Par intégration d’une inégalité stricte entre fonctions continues, on obtient \(W_{n+1}\) < \(W_n\).

3. Soit \(\varepsilon \in \left]0 ; \displaystyle\frac{\pi}{2}\right[\). On découpe l’intégrale :

\(\displaystyle W_n = \int_0^{\pi/2 – \varepsilon} \sin^n(t) \, dt + \int_{\pi/2 – \varepsilon}^{\pi/2} \sin^n(t) \, dt\)

Sur \(\left[0 ; \displaystyle\frac{\pi}{2} – \varepsilon\right]\), on a \(\sin(t) \leq \sin\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{2} – \varepsilon\right) = \cos(\varepsilon)\) < \(1\), donc :

\(\displaystyle \int_0^{\pi/2 – \varepsilon} \sin^n(t) \, dt \leq \left(\displaystyle\frac{\pi}{2} – \varepsilon\right) \cos^n(\varepsilon) \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0\)

Sur \(\left[\displaystyle\frac{\pi}{2} – \varepsilon ; \displaystyle\frac{\pi}{2}\right]\), on majore \(\sin^n(t) \leq 1\), d’où :

\(\displaystyle \int_{\pi/2 – \varepsilon}^{\pi/2} \sin^n(t) \, dt \leq \varepsilon\)

Ainsi, pour \(n\) assez grand : \(0\) < \(W_n \leq \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon\). Comme \(\varepsilon\) est arbitraire, \(W_n \to 0\). □

Le graphique ci-dessus illustre l’intuition : quand \(n\) croît, la courbe de \(\sin^n(t)\) s’aplatit vers 0, sauf au voisinage de \(t = \displaystyle\frac{\pi}{2}\) où \(\sin(t) \approx 1\). L’aire sous la courbe — c’est-à-dire \(W_n\) — tend donc vers 0.

Maintenant que les propriétés fondamentales sont établies, passons à l’outil central de l’étude des intégrales de Wallis : la relation de récurrence, obtenue par intégration par parties.

II. Relation de récurrence par intégration par parties

La relation de récurrence est le résultat le plus important du chapitre. Elle permet de relier \(W_n\) à \(W_{n-2}\) et conduit à toutes les formules explicites. Sa démonstration par IPP est exigible à l’oral et à l’écrit des concours.

A. Énoncé

B. Démonstration détaillée

Démonstration. Soit \(n \geq 2\). On écrit \(\sin^n(t) = \sin^{n-1}(t) \cdot \sin(t)\) et on applique une intégration par parties en posant :

La formule d’intégration par parties donne :

\(\displaystyle W_n = \Big[\sin^{n-1}(t) \cdot (-\cos(t))\Big]_0^{\pi/2} + \int_0^{\pi/2} (n-1)\sin^{n-2}(t)\cos(t) \cdot \cos(t) \, dt\)

Calcul du crochet :

• En \(t = \displaystyle\frac{\pi}{2}\) : \(\sin^{n-1}\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) \cdot \left(-\cos\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\right) = 1 \times 0 = 0\)
• En \(t = 0\) : \(\sin^{n-1}(0) \cdot (-\cos(0)) = 0 \times (-1) = 0\)

Le crochet est nul. Il reste :

\(\displaystyle W_n = (n-1) \int_0^{\pi/2} \sin^{n-2}(t) \cos^2(t) \, dt\)

On utilise l’identité fondamentale \(\cos^2(t) = 1 – \sin^2(t)\) :

\(\displaystyle W_n = (n-1) \int_0^{\pi/2} \sin^{n-2}(t) \left(1 – \sin^2(t)\right) dt = (n-1) \left(\int_0^{\pi/2} \sin^{n-2}(t) \, dt – \int_0^{\pi/2} \sin^n(t) \, dt\right)\)

On reconnaît \(W_{n-2}\) et \(W_n\) :

\(\displaystyle W_n = (n-1)(W_{n-2} – W_n) = (n-1) W_{n-2} – (n-1) W_n\)

En regroupant les termes en \(W_n\) :

\(\displaystyle W_n + (n-1) W_n = (n-1) W_{n-2} \quad \Longrightarrow \quad n \, W_n = (n-1) \, W_{n-2}\)

Ce qui donne bien \(W_n = \displaystyle\frac{n-1}{n} \, W_{n-2}\) pour tout \(n \geq 2\). □

C. Formules explicites (indices pairs et impairs)

En itérant la relation de récurrence depuis \(W_0\) ou \(W_1\), on obtient des formules closes pour \(W_n\). Les indices pairs et impairs se traitent séparément car la récurrence relie \(W_n\) à \(W_{n-2}\), avec deux suites extraites indépendantes.

Cas pair : \(n = 2p\) avec \(p \geq 1\)

\(\displaystyle W_{2p} = \displaystyle\frac{2p-1}{2p} \cdot \displaystyle\frac{2p-3}{2p-2} \cdots \displaystyle\frac{3}{4} \cdot \displaystyle\frac{1}{2} \cdot W_0 = \prod_{k=1}^{p} \displaystyle\frac{2k-1}{2k} \cdot \displaystyle\frac{\pi}{2}\)

En utilisant les notations factorielles :

où \({2p \choose p} = \displaystyle\frac{(2p)!}{(p!)^2}\) est le coefficient binomial central.

Cas impair : \(n = 2p+1\) avec \(p \geq 1\)

\(\displaystyle W_{2p+1} = \displaystyle\frac{2p}{2p+1} \cdot \displaystyle\frac{2p-2}{2p-1} \cdots \displaystyle\frac{4}{5} \cdot \displaystyle\frac{2}{3} \cdot W_1 = \prod_{k=1}^{p} \displaystyle\frac{2k}{2k+1}\)

Les formules explicites sont utiles pour les calculs ponctuels, mais l’information la plus puissante sur la suite \((W_n)\) est son comportement asymptotique, que nous allons établir maintenant.

III. Équivalent asymptotique et formule produit de Wallis

Cette section contient les deux résultats les plus profonds sur les intégrales de Wallis : l’équivalent \(W_n \sim \sqrt{\displaystyle\frac{\pi}{2n}}\) et la formule produit donnant \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) comme produit infini. Les démonstrations sont exigibles aux concours.

A. Le produit \(W_n W_{n+1}\) et le rapport \(\displaystyle\frac{W_{n+1}}{W_n}\)

L’idée centrale est de calculer le produit \(W_n W_{n+1}\) par télescopage, puis de montrer que le rapport \(\displaystyle\frac{W_{n+1}}{W_n}\) tend vers 1.

Démonstration. Posons \(P_n = W_n \, W_{n+1}\). D’après la relation de récurrence appliquée à \(W_{n+2}\) :

\(\displaystyle W_{n+2} = \displaystyle\frac{n+1}{n+2} \, W_n\)

Donc :

\(\displaystyle P_{n+1} = W_{n+1} \, W_{n+2} = W_{n+1} \cdot \displaystyle\frac{n+1}{n+2} \, W_n = \displaystyle\frac{n+1}{n+2} \, P_n\)

Par télescopage :

\(\displaystyle P_n = P_0 \cdot \prod_{k=0}^{n-1} \displaystyle\frac{k+1}{k+2} = P_0 \cdot \displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{2}{3} \cdots \displaystyle\frac{n}{n+1} = \displaystyle\frac{P_0}{n+1}\)

Or \(P_0 = W_0 \, W_1 = \displaystyle\frac{\pi}{2} \cdot 1 = \displaystyle\frac{\pi}{2}\). Ainsi :

\(\displaystyle W_n \, W_{n+1} = \displaystyle\frac{\pi}{2(n+1)}\) □

Passons maintenant au rapport \(\displaystyle\frac{W_{n+1}}{W_n}\) :

Démonstration. La suite \((W_n)\) est strictement décroissante, donc pour tout \(n \geq 1\) :

\(\displaystyle W_{n+1} \leq W_n \leq W_{n-1}\)

En divisant par \(W_{n+1}\) > \(0\) :

\(\displaystyle 1 \leq \displaystyle\frac{W_n}{W_{n+1}} \leq \displaystyle\frac{W_{n-1}}{W_{n+1}}\)

Or, d’après la récurrence appliquée à \(W_{n+1}\) : \((n+1) W_{n+1} = n \, W_{n-1}\), soit \(\displaystyle\frac{W_{n-1}}{W_{n+1}} = \displaystyle\frac{n+1}{n}\).

On obtient l’encadrement :

\(\displaystyle 1 \leq \displaystyle\frac{W_n}{W_{n+1}} \leq \displaystyle\frac{n+1}{n}\)

Par le théorème des gendarmes, \(\displaystyle\frac{W_n}{W_{n+1}} \to 1\), et donc \(\displaystyle\frac{W_{n+1}}{W_n} \to 1\). □

B. Équivalent de \(W_n\)

Démonstration. D’après le lemme précédent, \(W_{n+1} \sim W_n\), donc :

\(\displaystyle W_n \, W_{n+1} \sim W_n^2\)

Or on a montré que \(W_n \, W_{n+1} = \displaystyle\frac{\pi}{2(n+1)} \sim \displaystyle\frac{\pi}{2n}\).

Par transitivité de l’équivalence :

\(\displaystyle W_n^2 \sim \displaystyle\frac{\pi}{2n}\)

Comme \(W_n\) > \(0\), on en déduit :

\(\displaystyle W_n \sim \sqrt{\displaystyle\frac{\pi}{2n}}\) □

C. Formule produit de Wallis

L’équivalent conduit naturellement à l’un des résultats les plus élégants de l’analyse : une expression de \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) comme produit infini.

Démonstration. On part du rapport \(\displaystyle\frac{W_{2p}}{W_{2p+1}}\) et on utilise les formules explicites :

\(\displaystyle \displaystyle\frac{W_{2p}}{W_{2p+1}} = \displaystyle\frac{\displaystyle\prod_{k=1}^{p} \displaystyle\frac{2k-1}{2k} \cdot \displaystyle\frac{\pi}{2}}{\displaystyle\prod_{k=1}^{p} \displaystyle\frac{2k}{2k+1}} = \displaystyle\frac{\pi}{2} \cdot \prod_{k=1}^{p} \displaystyle\frac{(2k-1)(2k+1)}{(2k)^2} = \displaystyle\frac{\pi}{2} \cdot \prod_{k=1}^{p} \displaystyle\frac{4k^2-1}{4k^2}\)

Or, d’après le lemme : \(\displaystyle\frac{W_{2p}}{W_{2p+1}} \to 1\) quand \(p \to +\infty\).

Donc :

\(\displaystyle 1 = \displaystyle\frac{\pi}{2} \cdot \prod_{k=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{4k^2-1}{4k^2}\)

soit :

\(\displaystyle \displaystyle\frac{\pi}{2} = \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\prod_{k=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{4k^2-1}{4k^2}} = \prod_{k=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{4k^2}{4k^2-1}\) □

IV. Tableau récapitulatif des résultats

Voici un résumé de tous les résultats essentiels à connaître sur les intégrales de Wallis. Ce tableau peut servir de fiche de révision rapide pour les concours.

Le symbole ⋆ signale les résultats dont la démonstration est exigible aux concours (oral et écrit).

V. Exercices corrigés

Voici six exercices classiques sur les intégrales de Wallis, classés par difficulté croissante. Essaie de résoudre chaque exercice avant de consulter la correction. Pour davantage d’entraînement, consulte nos exercices corrigés sur les primitives et intégrales.

Exercice 1 (★★) — Calculs directs

Calculer \(W_4\), \(W_5\) et \(W_6\) par la relation de récurrence.

Exercice 2 (★★★) — Intégrale sur \([0 ; \pi]\)

Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \(\displaystyle \int_0^{\pi} \sin^n(t) \, dt = 2 \, W_n\).

Exercice 3 (★★★) — Intégrale mixte

Calculer \(\displaystyle I = \int_0^{\pi/2} \sin^4(t) \cos^2(t) \, dt\).

Exercice 4 (★★★★) — Changement de variable et équivalent

Soit \(\displaystyle I_n = \int_0^{1} x^n \sqrt{1-x^2} \, dx\).

1. Exprimer \(I_n\) en fonction de \(W_n\).
2. En déduire un équivalent de \(I_n\) quand \(n \to +\infty\).

Exercice 5 (★★★★, I — Incontournable) — Limite classique

Démontrer que \(\displaystyle n \, W_n^2 \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} \displaystyle\frac{\pi}{2}\).

Exercice 6 (★★★★★) — Suite liée aux intégrales de Wallis

On pose, pour \(n \geq 1\) : \(\displaystyle u_n = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}} \cdot \displaystyle\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\), où \((2n)!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n) = 2^n \, n!\) et \((2n-1)!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1) = \displaystyle\frac{(2n)!}{2^n \, n!}\).

Montrer que la suite \((u_n)\) converge et déterminer sa limite.

VI. Rédaction concours et erreurs fréquentes

Savoir démontrer un résultat est une chose ; le rédiger de manière à obtenir tous les points en est une autre. Voici les attentes des correcteurs et les pièges les plus fréquents.

A. Ce que le correcteur attend

Les intégrales de Wallis apparaissent dans de nombreux sujets (X, Mines-Ponts, Centrale, CCINP, EDHEC/EM). Voici les points de rédaction sur lesquels les correcteurs sont vigilants :

1. La démonstration de la récurrence par IPP.

Le correcteur attend :

• L’identification explicite de \(u\) et \(v^\prime(t)\) (ne pas écrire « on fait une IPP » sans détailler).
• Le calcul du crochet \([uv]_0^{\pi/2}\) avec vérification que les deux bornes donnent 0.
• L’utilisation de \(\cos^2 = 1 – \sin^2\) pour faire apparaître \(W_{n-2}\) et \(W_n\).
• La conclusion encadrée : \(nW_n = (n-1)W_{n-2}\).

2. L’encadrement pour le rapport \(W_{n+1}/W_n\).

Le correcteur attend que tu justifies l’encadrement \(1 \leq \displaystyle\frac{W_n}{W_{n+1}} \leq \displaystyle\frac{n+1}{n}\) en citant explicitement la monotonie et la récurrence, puis que tu conclues par le théorème des gendarmes (nommé).

3. L’équivalent.

L’argument « \(W_{n+1} \sim W_n\) donc \(W_n W_{n+1} \sim W_n^2\) » doit être justifié. En concours, il suffit d’écrire : « Comme \(W_{n+1}/W_n \to 1\) et \(W_n \to 0\), on a \(W_{n+1} = W_n \cdot (W_{n+1}/W_n) \sim W_n\), donc \(W_n W_{n+1} \sim W_n^2\). »

B. Erreurs classiques à éviter

VII. Questions fréquentes

VIII. Pour aller plus loin

Tu maîtrises maintenant les intégrales de Wallis et leurs résultats fondamentaux. Pour prolonger cette étude, voici les pistes les plus naturelles :

• Intégration par parties : la technique d’IPP utilisée dans la récurrence de Wallis est un outil omniprésent en analyse. Retrouve la méthode complète et d’autres exemples résolus sur notre page intégration par parties.
• Intégrale de Gauss : autre intégrale classique faisant intervenir \(\sqrt{\pi}\), calculée par un passage en polaires. Voir le cours sur l’intégrale de Gauss.
• Intégrales généralisées : la convergence des intégrales sur des intervalles non bornés ou de fonctions non bornées, avec des critères et des exemples fondamentaux. Consulte le cours sur les intégrales généralisées.
• Formule de Taylor avec reste intégral : un outil qui utilise aussi l’IPP itérée, avec des applications en développements limités et en approximations. Voir la formule de Taylor avec reste intégral.
• Suites récurrentes et équivalents : la suite \((W_n)\) est un modèle d’étude de suite définie par une relation de récurrence d’ordre 2. Les techniques d’équivalents et d’encadrements se généralisent à d’autres suites numériques.
• Fonction Bêta et fonction Gamma : les intégrales de Wallis sont un cas particulier de la fonction Bêta : \(W_n = \displaystyle\frac{1}{2} \, B\!\left(\displaystyle\frac{n+1}{2}, \displaystyle\frac{1}{2}\right)\). Ce lien avec les fonctions spéciales dépasse le programme de CPGE mais enrichit considérablement la compréhension du sujet (programme de L3/M1).

Pour t’entraîner davantage, retrouve nos exercices corrigés sur les primitives et intégrales, avec des problèmes de niveau Terminale à concours.