Suite arithmétique ou géométrique ? C’est la question qui revient le plus souvent en contrôle, au bac et en début de prépa. Les deux types de suites se ressemblent (une raison, un terme général, une formule de somme), mais la méthode change du tout au tout selon qu’on additionne ou qu’on multiplie. Niveau : Première & Terminale (utilisable aussi en prépa pour réviser les bases).
Ici : un tableau comparatif complet (formules, sommes, limites), la méthode en 2 étapes pour trancher rapidement, les pièges classiques et des mini-exercices corrigés.
Comment utiliser cette page
- Tu cherches uniquement les suites arithmétiques ? → cours complet suites arithmétiques
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Ressources complémentaires du cocon :
- Exercices corrigés suites arithmétiques — 20 exercices progressifs + PDF.
- Somme d’une suite arithmétique — Formules, méthode, exemples.
- Trouver la raison (r) — 4 méthodes selon l’énoncé.
- Exercices corrigés suites géométriques — Entraînement + corrigés détaillés.
- Somme d’une suite géométrique — Formule, démonstration et exemples.
Tableau comparatif : suite arithmétique vs suite géométrique
Voici la synthèse ultime pour tes révisions. Si tu ne dois retenir qu’une seule chose, c’est ce tableau.
| Concept | Suite arithmétique | Suite géométrique |
|---|---|---|
| L’idée clé | On ajoute toujours le même nombre (la raison \(r\)) | On multiplie toujours par le même nombre (la raison \(q\)) |
| Relation de récurrence | \(u_{n+1} = u_n + r\) | \(u_{n+1} = q \times u_n\) |
| Formule du terme général | \(u_n = u_0 + n \times r\) | \(u_n = u_0 \times q^n\) |
| Comment reconnaître | La différence \(u_{n+1} – u_n\) est constante | Le quotient \(\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}\) est constant (si \(u_n \ne 0\)) |
| Variation | Croissante si \(r\) > \(0\), décroissante si \(r\) < \(0\) | Croissante si \(q\) > \(1\), décroissante si \(0\) < \(q\) < \(1\) |
| Représentation graphique | Points alignés sur une droite | Croissance ou décroissance exponentielle |
| Formule de la somme | \(S_n = \displaystyle\frac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2}\) | \(S_n = u_0 \times \displaystyle\frac{1 – q^{n+1}}{1 – q}\) (si \(q \ne 1\)) |
| Limite | \(+\infty\) si \(r\) > \(0\), \(-\infty\) si \(r\) < \(0\) | \(+\infty\) si \(q\) > \(1\), \(0\) si \(|q|\) < \(1\), diverge si \(q \le -1\) |
| Cours complet | Suite arithmétique : cours et méthodes | Suite géométrique : cours complet |
Comment savoir si une suite est arithmétique ou géométrique (méthode en 2 étapes)
Étape 1 : le test rapide — addition ou multiplication ?
Si l’énoncé donne des valeurs successives :
- Teste les différences \(u_{n+1} – u_n\) : si elles sont constantes, la suite est arithmétique.
- Teste les quotients \(\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}\) (si \(u_n \ne 0\)) : s’ils sont constants, la suite est géométrique.
Exemple (suite arithmétique)
\(3, 7, 11, 15, \ldots\)
Différences : \(7 – 3 = 4\), \(11 – 7 = 4\), \(15 – 11 = 4\). Elles sont constantes, donc c’est une suite arithmétique de raison \(r = 4\).
Exemple (suite géométrique)
\(2, 6, 18, 54, \ldots\)
Quotients : \(\displaystyle\frac{6}{2} = 3\), \(\displaystyle\frac{18}{6} = 3\), \(\displaystyle\frac{54}{18} = 3\). Ils sont constants, donc c’est une suite géométrique de raison \(q = 3\).
Étape 2 : la preuve rigoureuse (méthode attendue en contrôle)
Tester sur quelques valeurs ne suffit pas pour une rédaction. Pour prouver qu’une suite est arithmétique ou géométrique, il faut travailler avec le terme général \(u_n\).
La méthode de la preuve
- Calcule la différence \(u_{n+1} – u_n\). Si tu trouves un nombre constant (indépendant de \(n\)), la suite est arithmétique et ce nombre est la raison \(r\).
- Si la différence dépend de \(n\), essaie le quotient \(\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}\). Si tu trouves un nombre constant, la suite est géométrique et ce nombre est la raison \(q\).
Exemple guidé : identifier la nature d’une suite
Soit la suite définie par \(u_n = 3 \times 2^n\). Quelle est sa nature ?
Test arithmétique : calculons \(u_{n+1} – u_n = 3 \times 2^{n+1} – 3 \times 2^n = 3 \times 2^n(2 – 1) = 3 \times 2^n\). Le résultat dépend de \(n\) : la suite n’est pas arithmétique.
Test géométrique : calculons \(\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n} = \displaystyle\frac{3 \times 2^{n+1}}{3 \times 2^n} = 2\). Le quotient est constant, donc c’est une suite géométrique de raison \(q = 2\).
Pièges classiques à connaître
Les 3 pièges fréquents
- Suite constante : une suite constante (non nulle) est à la fois arithmétique (raison \(r = 0\)) et géométrique (raison \(q = 1\)).
- Raison \(q\) négative : si \(q\) < \(0\), la suite géométrique alterne de signe. L’intuition « ça monte / ça descend » ne fonctionne plus.
- Terme nul : si un terme vaut 0, le quotient \(\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}\) est impossible à calculer. Il faut repartir de la relation de récurrence \(u_{n+1} = q \, u_n\).
Cas des écritures trompeuses
Une suite comme \(\displaystyle\frac{1}{2}, \displaystyle\frac{4}{8}, 16\) n’est pas automatiquement géométrique parce qu’il y a des fractions. On simplifie d’abord : \(\displaystyle\frac{4}{8} = \displaystyle\frac{1}{2}\), donc la suite est \(\displaystyle\frac{1}{2}, \displaystyle\frac{1}{2}, 16\). Ni les différences ni les quotients ne sont constants : ce n’est ni arithmétique ni géométrique.
Formule de la somme : arithmétique ou géométrique ?
L’objectif ici n’est pas de refaire le cours sur les sommes (tu as des pages dédiées), mais de ne pas te tromper de formule.
Quelle formule selon le type de suite ?
Somme d’une suite arithmétique
Si \(S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n\), alors :
\(S_n = \displaystyle\frac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2}\)
C’est la moyenne du premier et du dernier terme, multipliée par le nombre de termes. Cours complet et méthode anti-pièges : somme d’une suite arithmétique.
Somme d’une suite géométrique
Si \(S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n\) et \(q \ne 1\), alors :
\(S_n = u_0 \times \displaystyle\frac{1 – q^{n+1}}{1 – q}\)
Cours complet et démonstration : somme d’une suite géométrique.
Deux exemples de calcul de somme
Somme arithmétique
\(u_0 = 3\), \(r = 2\). On veut \(S_4 = u_0 + u_1 + u_2 + u_3 + u_4\).
On calcule \(u_4 = u_0 + 4r = 3 + 8 = 11\), puis \(S_4 = \displaystyle\frac{5(3 + 11)}{2} = 35\).
Somme géométrique
\(u_0 = 2\), \(q = 3\). On veut \(S_3 = u_0 + u_1 + u_2 + u_3\).
\(S_3 = 2 \times \displaystyle\frac{1 – 3^{4}}{1 – 3} = 2 \times \displaystyle\frac{1 – 81}{-2} = 80\).
Mini-exercices : suite arithmétique ou géométrique ?
Ces exercices entraînent le réflexe « différences / quotients ». Pour un entraînement complet avec corrections détaillées : exercices corrigés suites arithmétiques et exercices corrigés suites géométriques.
Série 1 — Reconnaître le type de suite
Identifie la nature de chaque suite :
- A : \(5, 9, 13, 17, \ldots\)
- B : \(81, 27, 9, 3, \ldots\)
- C : \(-2, 1, -\displaystyle\frac{1}{2}, \displaystyle\frac{1}{4}, \ldots\)
- D : \(\displaystyle\frac{1}{2}, \displaystyle\frac{4}{8}, 16\)
- E : \(0, 0, 0, 0, \ldots\)
▶ Voir la correction
- A : Arithmétique. Différences constantes : \(9 – 5 = 4\), donc raison \(r = 4\).
- B : Géométrique. Quotients constants : \(\displaystyle\frac{27}{81} = \displaystyle\frac{1}{3}\), donc raison \(q = \displaystyle\frac{1}{3}\).
- C : Géométrique. \(\displaystyle\frac{1}{-2} = -\displaystyle\frac{1}{2}\) et \(\displaystyle\frac{-1/2}{1} = -\displaystyle\frac{1}{2}\), donc raison \(q = -\displaystyle\frac{1}{2}\).
- D : Ni l’un ni l’autre. Après simplification : \(\displaystyle\frac{4}{8} = \displaystyle\frac{1}{2}\), donc la suite est \(\displaystyle\frac{1}{2}, \displaystyle\frac{1}{2}, 16\). Différences et quotients non constants.
- E : Suite constante nulle. Arithmétique avec \(r = 0\). Pour le test géométrique, la relation \(u_{n+1} = q \, u_n\) est vérifiée pour tout \(q\) puisque les deux membres valent 0.
Série 2 — Trouver la raison \(r\) ou \(q\)
Exercice F — Suite arithmétique telle que \(u_3 = 12\) et \(u_7 = 28\). Trouve \(r\) et \(u_0\).
▶ Voir la correction
\(u_7 – u_3 = 4r\), donc \(28 – 12 = 16 = 4r\), soit \(r = 4\).
Puis \(u_3 = u_0 + 3r\), donc \(12 = u_0 + 12\), soit \(u_0 = 0\).
Pour d’autres cas-types : trouver la raison d’une suite arithmétique.
Exercice G — Suite géométrique telle que \(u_2 = 9\) et \(u_5 = 243\). Trouve \(q\) et \(u_0\).
▶ Voir la correction
\(\displaystyle\frac{u_5}{u_2} = q^3\), donc \(\displaystyle\frac{243}{9} = 27 = q^3\), soit \(q = 3\).
Puis \(u_2 = u_0 \, q^2 = 9 \, u_0\), donc \(u_0 = 1\).
Exercice H — On donne \(u_{n+1} = u_n – 3\) et \(u_0 = 10\). De quel type est la suite ? Quelle est la raison ?
▶ Voir la correction
La relation \(u_{n+1} = u_n + r\) avec \(r = -3\) est exactement la définition d’une suite arithmétique.
Série 3 — Calculer une somme (arithmétique ou géométrique ?)
Exercice I — Suite arithmétique : \(u_1 = 5\), \(r = 3\). Calcule \(u_1 + u_2 + \cdots + u_{10}\).
▶ Voir la correction
\(u_{10} = 5 + 9 \times 3 = 32\). Il y a 10 termes.
\(S = \displaystyle\frac{10}{2}(5 + 32) = 5 \times 37 = 185\).
Méthode complète : somme d’une suite arithmétique.
Exercice J — Suite géométrique : \(u_0 = 4\), \(q = 2\). Calcule \(u_0 + u_1 + \cdots + u_5\).
▶ Voir la correction
\(S = 4 \times \displaystyle\frac{1 – 2^6}{1 – 2} = 4 \times \displaystyle\frac{1 – 64}{-1} = 4 \times 63 = 252\).
Méthode complète : somme d’une suite géométrique.
Et si c’est ni arithmétique, ni géométrique ? La suite arithmético-géométrique
Parfois, l’énoncé donne une relation de récurrence qui mélange multiplication et addition : \(u_{n+1} = a \times u_n + b\) (avec \(a \ne 1\) et \(b \ne 0\)). C’est une suite arithmético-géométrique.
Définition
La suite \((u_n)\) est arithmético-géométrique si \(u_{n+1} = a \, u_n + b\) avec \(a \ne 1\) et \(b \ne 0\).
Exemple : \(u_{n+1} = 0{,}5 \, u_n + 2\) (on multiplie par 0,5 puis on ajoute 2).
Attention : cette suite n’est ni arithmétique, ni géométrique. Aucune des formules du tableau comparatif ne s’applique directement. Il faut utiliser la méthode du point fixe et poser une suite auxiliaire géométrique.
La méthode complète (point fixe, suite auxiliaire, formule explicite) et des exercices corrigés sont sur la page dédiée :
suite arithmético-géométrique : méthode, formule et exercices.
FAQ — Suite arithmétique et géométrique
Quelle est la différence entre une suite arithmétique et une suite géométrique ?
Dans une suite arithmétique, on ajoute toujours le même nombre \(r\) : la différence \(u_{n+1} – u_n\) est constante. Dans une suite géométrique, on multiplie toujours par le même nombre \(q\) : le quotient \(\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}\) est constant. Le tableau comparatif ci-dessus résume toutes les formules.
Comment savoir si une suite est arithmétique ou géométrique ?
Fais un test rapide (différences ou quotients sur les premiers termes), puis justifie avec une relation vraie pour tout \(n\). En rédaction, il ne suffit pas de vérifier sur deux ou trois valeurs : il faut montrer que \(u_{n+1} – u_n\) ou \(\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}\) est indépendant de \(n\).
Comment reconnaître une suite arithmétique ?
On calcule \(u_{n+1} – u_n\). Si le résultat est un nombre constant (qui ne dépend pas de \(n\)), la suite est arithmétique et ce nombre est la raison \(r\). Pour le cours complet : suites arithmétiques.
Quelles sont les formules d'une suite arithmétique et d'une suite géométrique ?
Suite arithmétique : \(u_n = u_0 + n \times r\) (terme général) et \(S_n = \displaystyle\frac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2}\) (somme). Suite géométrique : \(u_n = u_0 \times q^n\) et \(S_n = u_0 \times \displaystyle\frac{1 – q^{n+1}}{1 – q}\) (somme).
Qu'est-ce qu'une suite arithmético-géométrique ?
C’est une suite définie par \(u_{n+1} = a \, u_n + b\) (avec \(a \ne 1\) et \(b \ne 0\)). Elle n’est ni arithmétique, ni géométrique. On la résout par la méthode du point fixe : \(u_n = \ell + (u_0 – \ell) \, a^n\) avec \(\ell = \displaystyle\frac{b}{1 – a}\). Voir : cours complet SAG.
1/2, 4/8, 16 : est-ce une suite arithmétique ou géométrique ?
On simplifie : \(\displaystyle\frac{4}{8} = \displaystyle\frac{1}{2}\). La suite devient \(\displaystyle\frac{1}{2}, \displaystyle\frac{1}{2}, 16\). Les différences ne sont pas constantes, les quotients non plus : ce n’est ni arithmétique ni géométrique.
Pour aller plus loin
Toutes les ressources du cocon « suites »
- Suites arithmétiques : cours complet · exercices corrigés · somme · raison
- Suites géométriques : cours complet · exercices corrigés · somme
- Suite arithmético-géométrique : méthode du point fixe + exercices
Tu veux progresser plus vite sur les suites ? Découvre les cours particuliers Excellence Maths pour la Terminale, dispensés par des professeurs diplômés de Polytechnique.
