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Le sujet de Mathématiques B de l’épreuve X/ENS (ESPCI) 2026, filières MP et MPI, a été proposé le mardi 14 avril 2026 pour une durée de 4 heures, sans calculatrice. Il s’articule autour d’un préliminaire et de quatre parties thématiquement liées : la distribution spectrale de matrices tridiagonales, une preuve du théorème d’approximation de Weierstrass, et une introduction à la loi du demi-cercle de Wigner en théorie des matrices aléatoires. Le sujet est ambitieux, techniquement exigeant, et d’un niveau globalement élevé à très élevé, en particulier dans sa dernière partie.
| Partie du sujet | Thème | Niveau | Notions mobilisées |
|---|---|---|---|
| Préliminaire (Q1) | Suite récurrente linéaire d’ordre 2 | Accessible | Équation caractéristique, distinction de cas, racines complexes |
| Partie I (Q2–4b) | Sommes de Riemann et loi de l’arcsinus | Accessible à Élevé | Intégrales généralisées, changement de variable, convergence en loi |
| Partie II (Q5a–9b) | Spectre des matrices tridiagonales | Élevé | Polynôme caractéristique, diagonalisation, distribution spectrale asymptotique |
| Partie III (Q10–12) | Théorème d’approximation de Weierstrass | Élevé | Convergence uniforme, approximation polynomiale, fonctions en escalier |
| Partie IV (Q13–17b) | Loi du demi-cercle de Wigner | Très élevé | Matrices aléatoires, moments spectraux, convergence en probabilité |
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Structure et thèmes du sujet
Préliminaire (Question 1). Le sujet débute par l’étude d’une suite récurrente linéaire d’ordre 2 : \(u_n = \alpha u_{n-1} – u_{n-2}\) avec \(u_0 = 0\) et \(u_1 = 1\). Le candidat doit résoudre cette récurrence en distinguant quatre cas selon la valeur de \(\alpha\). Ce résultat sera réinvesti dans la Partie II pour exprimer le polynôme caractéristique de la matrice tridiagonale.
Partie I (Questions 2 à 4b). On étudie d’abord la convergence de sommes de Riemann non standard (Q2), puis une intégrale généralisée de type arcsinus (Q3a–3c) : \(I(f) = \displaystyle\frac{1}{\pi}\int_{-2}^{2}\displaystyle\frac{f(x)}{\sqrt{4 – x^2}}\,\mathrm{d}x\). Les questions 3b–3c demandent le calcul des moments \(I(f_n)\) avec \(f_n(x) = x^n\), qui se ramènent aux intégrales de Wallis. Les questions 4a–4b établissent la convergence en loi d’une suite de variables aléatoires discrètes vers la distribution arcsinus.
Partie II (Questions 5a à 9b). Cœur algébrique du sujet. On étudie la matrice tridiagonale symétrique \(T_n\) à diagonale nulle et sous/sur-diagonales égales à 1. Les questions 5a–5d exploitent la récurrence du polynôme caractéristique (directement liée au préliminaire) pour établir une formule explicite des valeurs propres : \(2\cos\!\left(\displaystyle\frac{k\pi}{n+1}\right)\). La question 7 montre que la mesure spectrale empirique de \(T_n\) converge vers la distribution arcsinus. Les questions 8–9 généralisent au cas \(T_n(a,b,c)\) et établissent la distribution spectrale asymptotique correspondante.
Partie III (Questions 10 à 12). Partie indépendante consacrée à une démonstration originale du théorème de Weierstrass par approximation de la fonction de Heaviside. On construit les polynômes \(Q_n = (1-X^n)^{2^n}\), puis \(P_n = Q_n((1-X)/2)\), et on montre qu’ils convergent uniformément vers la fonction échelon en dehors d’un voisinage de zéro. L’argument se conclut en approchant toute fonction continue par des combinaisons linéaires de translations de la fonction de Heaviside, puis en remplaçant chacune par un polynôme.
Partie IV (Questions 13 à 17b). Aboutissement du sujet : la loi du demi-cercle de Wigner. On considère une matrice aléatoire symétrique \(X_n\) dont les coefficients sont des variables aléatoires iid centrées réduites, normalisées par \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}\). Sous l’hypothèse \((H_k)\) (convergence des moments spectraux), on démontre que la mesure spectrale empirique converge en probabilité vers \(\Sigma(f) = \displaystyle\frac{1}{2\pi}\int_{-2}^{2} f(x)\sqrt{4-x^2}\,\mathrm{d}x\), densité du demi-cercle de Wigner.
Notions et chapitres testés
- Suites récurrentes linéaires d’ordre 2 : équation caractéristique, discriminant, racines complexes conjuguées, cas dégénérés (racine double).
- Intégration : sommes de Riemann et théorème de convergence, changement de variable \(x = 2\cos\theta\), intégrales de Wallis, intégrales généralisées (convergence au voisinage des bornes singulières).
- Algèbre linéaire et réduction : polynôme caractéristique, diagonalisation, développement par rapport à une ligne/colonne, spectre de matrices tridiagonales.
- Analyse fonctionnelle élémentaire : continuité sur un segment, convergence uniforme de suites de polynômes, théorème de Weierstrass.
- Probabilités : espérance, variance, inégalité de Markov, convergence en loi, convergence en probabilité, variables aléatoires discrètes uniformes.
Niveau de difficulté et comparaison aux années précédentes
Ce sujet se situe dans la tranche haute des sujets Maths B de l’X pour la filière MP/MPI. Par comparaison avec les éditions 2023–2025, la Partie IV (loi de Wigner) introduit un niveau de sophistication conceptuelle rarement atteint : les candidats doivent manipuler des traces de puissances de matrices aléatoires et articuler convergence des moments, inégalité de Markov et approximation polynomiale.
La Partie III, bien que classique dans l’esprit (Weierstrass), propose une démonstration non standard qui requiert une bonne maîtrise de la convergence uniforme et de la construction explicite d’approximations. Les Parties I et II, plus guidées, restent néanmoins techniques en raison des formules trigonométriques et de la manipulation de polynômes caractéristiques récurrents.
Globalement, un candidat solide pouvait espérer traiter les questions 1 à 7, la Partie III (Q10–12), et entamer la Partie IV (Q13a–13c). Les questions 14 à 17b constituent un objectif ambitieux, réservé aux candidats les plus aguerris.
Pièges et points techniques délicats
Question 1 — Oubli des cas limites. La tentation est de ne traiter que le cas général \(\vert\alpha\vert \neq 2\). Or l’énoncé demande explicitement les cas \(\alpha = 2\) et \(\alpha = -2\) (racine double \(r = \pm 1\)). Il faut écrire \(u_n = n(\pm 1)^{n-1}\) dans ces cas.
Question 2 — Sommes de Riemann décalées. Les sommes \(v_n\) et \(w_n\) ne sont pas des sommes de Riemann standards car les points d’évaluation sont \(\displaystyle\frac{k}{n+1}\) et \(\displaystyle\frac{2k}{2n+1}\) au lieu de \(\displaystyle\frac{k}{n}\). Il faut comparer avec les sommes de Riemann classiques et utiliser la continuité uniforme de \(f\) sur \([0,1]\) pour contrôler l’écart.
Question 3c — Intégrales de Wallis. Le calcul de \(I(f_n)\) se ramène à \(\displaystyle\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}(2\cos\theta)^n\,\mathrm{d}\theta\). Pour \(n\) impair, l’intégrale est nulle par symétrie. Pour \(n = 2m\), le résultat fait intervenir le coefficient binomial central \(C_{2m}^{m}\). Un piège fréquent est d’oublier le facteur \(2^n\) lors du changement de variable.
Question 5c — Domaine de validité. La formule est donnée pour \(\vert\alpha\vert < 2\) (racines complexes conjuguées sur le cercle unité). Il faut bien relier cette formule au résultat du préliminaire en posant \(\alpha = 2\cos\theta\) et identifier \(\chi_n(\alpha) = \displaystyle\frac{\sin((n+1)\theta)}{\sin\theta}\).
Question 8c — Passage au cas symétrique. L’indication suggère de se ramener au cas \(b = c\). La conjugaison par une matrice diagonale \(D = \mathrm{diag}((b/c)^{k/2})\) transforme \(T_n(0,b,c)\) en \(\sqrt{bc}\,T_n\), ce qui donne les valeurs propres. Attention à bien justifier la similitude.
Questions 14–15 — Borne de Markov itérée. L’inégalité \(\mathbb{P}(S_n(g_{k,B}) \geq \varepsilon) \leq \displaystyle\frac{\mathbb{E}(S_n(f_{2k}))}{\varepsilon B^k}\) nécessite d’observer que \(g_{k,B}(x) \leq \displaystyle\frac{x^{2k}}{B^k}\) pour \(\vert x\vert > B\), puis d’appliquer l’inégalité de Markov. Le passage à la limite utilise l’hypothèse \((H_{2k})\).
Méthodes attendues et stratégies de résolution
Q1. Résoudre l’équation caractéristique \(r^2 – \alpha r + 1 = 0\) de discriminant \(\Delta = \alpha^2 – 4\). Pour \(\vert\alpha\vert < 2\), écrire les racines sous forme trigonométrique et utiliser les conditions initiales. La formule générale fait intervenir \(\sin(n\theta)/\sin(\theta)\) avec \(\alpha = 2\cos\theta\).
Q2. Encadrer \(v_n\) et \(w_n\) par des sommes de Riemann de la forme \(\displaystyle\frac{1}{n}\sum f(k/n)\) en exploitant la continuité uniforme de \(f\) sur \([0,1]\). Les deux suites convergent vers \(\int_0^1 f(t)\,\mathrm{d}t\).
Q3a–3c. Effectuer le changement de variable \(x = 2\cos\theta\) pour transformer l’intégrale impropre en intégrale classique sur \([0,\pi]\). Pour les moments, utiliser les formules de linéarisation de \(\cos^n\theta\) ou les intégrales de Wallis.
Q4a–4b. Reconnaître que \(\mathbb{E}\!\left(f\!\left(2\cos\displaystyle\frac{\pi U_n}{n+1}\right)\right) = \displaystyle\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} f\!\left(2\cos\displaystyle\frac{k\pi}{n+1}\right)\) est une somme de Riemann pour l’intégrale \(\displaystyle\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} f(2\cos\theta)\,\mathrm{d}\theta\), puis appliquer Q2 et Q3a. Pour Q4b, appliquer Q4a à la fonction \(f = \mathbf{1}_{]-\infty,y[}\) après régularisation.
Q5–6. Développer \(\chi_n\) par rapport à la dernière ligne pour obtenir la récurrence \(\chi_n(X) = X\chi_{n-1}(X) – \chi_{n-2}(X)\). Identifier avec le préliminaire pour obtenir les racines. Les valeurs propres de \(T_n\) sont les zéros de \(\sin((n+1)\theta)/\sin\theta\), soit \(\theta = k\pi/(n+1)\).
Q7. Application directe de Q4a avec les valeurs propres de Q6 : la mesure spectrale empirique de \(T_n\) converge vers la distribution arcsinus.
Q10–12. Pour Q10a, majorer \((1-x^n)^{2^n}\) sur les intervalles appropriés en utilisant l’inégalité \(1-t \leq e^{-t}\). Pour Q11, utiliser le théorème des valeurs intermédiaires et la continuité uniforme. Pour Q12, remplacer chaque Heaviside par le polynôme \(P_n\) et choisir \(\eta\) assez petit.
Q13–17b. Pour Q13c, \((H_0)\) et \((H_1)\) sont immédiates. Pour \((H_2)\), développer \(\mathrm{Tr}(X_n^2) = \sum_{i,j} (X_n)_{i,j}^2\) et utiliser l’indépendance et les hypothèses de moments. Les questions 14–17 combinent l’inégalité de Markov, l’hypothèse \((H_k)\), le théorème de Weierstrass (Partie III) et une troncature spectrale pour conclure la convergence en probabilité de la mesure spectrale empirique vers la loi du demi-cercle.
Conseils pour les futurs candidats
Maîtriser les suites récurrentes linéaires. Le préliminaire alimente tout le reste du sujet. Une résolution rapide et sans erreur de la Q1 (avec les quatre cas) est indispensable. Entraînez-vous sur les récurrences d’ordre 2 à paramètres, en particulier le passage aux racines complexes et la forme trigonométrique.
Intégrales de Wallis et changements de variable trigonométriques. Les intégrales \(\int_0^{\pi}\cos^n\theta\,\mathrm{d}\theta\) reviennent régulièrement. Avoir les formules prêtes et savoir les relier aux coefficients binomiaux centraux est un gain de temps décisif.
Algèbre spectrale des matrices tridiagonales. Ce type de matrices apparaît fréquemment aux concours X/ENS. Savoir développer leur déterminant par récurrence et relier le polynôme caractéristique aux polynômes de Tchebychev est un classique à connaître parfaitement.
Convergence uniforme et approximation. La Partie III demande de prouver Weierstrass sans l’utiliser : c’est un exercice d’analyse pure. Travaillez les preuves de convergence uniforme sur des compacts et la construction explicite d’approximations polynomiales (Bernstein, convolution, etc.).
Probabilités et matrices aléatoires. La Partie IV est un avant-goût de la théorie des matrices aléatoires, sujet en plein essor. Pour s’y préparer, révisez les inégalités de concentration (Markov, Bienaymé-Tchebychev), la méthode des moments, et entraînez-vous à calculer des traces de puissances de matrices aléatoires. Une bonne compréhension de la notion de convergence en probabilité et en loi est essentielle.
Enfin, notez que ce sujet récompense les candidats capables de tisser des liens entre les parties : le préliminaire alimente la Partie II, la Partie I fournit le cadre analytique réutilisé en Parties II et IV, et la Partie III (Weierstrass) est un outil technique clé de la Partie IV. Lors de votre préparation, privilégiez les sujets transversaux qui articulent algèbre, analyse et probabilités.
